Bài giảng Trường điện tử - Bài 1: Giải tích vectơ

1 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT Electromagnetics Field
Giải tích vectơ
Lecture 1
EE 2003: Trường điện từ
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Đại số vectơ
 Vectơ đơn vị: độ lớn bằng 1, ký hiệu: 
 Tập vectơ đơn vị trực giao: 3 vectơ đơn vị chỉ phương trực
giao nhau dùng để biễu diễn cho một vectơ bất kỳ
1a
2a
3a
Thuận
1a
3a
2a
Nghịch
Chỉ dùng trực giao thuận!
a
(along unit vector)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
2EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Đại số vectơ
 Biểu diễn vectơ trong tập vectơ đơn vị trực giao thuận
1a
2a
3a
P
11A a
22A a
1 21 2A a A a 
33A a
A
 
Độ lớn của :A
 
2 2 2
1 2 3| |A A A A 
 
1 2 31 2 3A a A a A a 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Đại số vectơ
 Các phép toán trên vectơ:
1 2 31 2 3A A a A a A a 
 
1 2 31 2 3B B a B a B a 
 
 Cộng trừ vectơ:
 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3A B A a A a A a B a B a B a 
  
 1 2 31 1 2 2 3 3A B a A B a A B a 
 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3A B A a A a A a B a B a B a 
  
 1 2 31 1 2 2 3 3A B a A B a A B a 
Ví dụ: 1 2 3 1 2 32 4 ; 2 3A a a a B a a a 
  
1 2 3
1 2 3
3 2 4
6 2
A B a a a
A B a a a
  
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
3EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Đại số vectơ
 Nhân, chia vectơ với vô hướng:
 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3mA m A a A a A a mA a mA a mA a 
 
1 2 31 2 3 31 2
1 2 3
B a B a B a BB BB
a a a
m m m m m
  
 Vectơ đơn vị theo hướng : A
 
31 2
1 2 3
| | | | | | | |
A
AA AA
a a a a
A A A A
 
    
Ví dụ: 1 2 32 4 4A a a a 
 
1 2 3
1 2 3
2 2 2
2 4 4 1 2 2
3 3 32 ( 4) 4
A
a a a
a a a a
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Đại số vectơ
 Tích vô hướng của 2 vectơ: . | || | cosA B AB A B 
      
. 1;
( 1,2,3; 1,2,3)
. 0;
i j
i j
a a i j
i j
a a i j
1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
. ( )( )A B A a A a A a B a B a B a
A B A B A B
  
Ví dụ: 1 2 3 1 2 32 4 ; 2 3A a a a B a a a 
  
. 2 8 3 3A B 
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
4EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Đại số vectơ
 Tích hữu hướng (tích vectơ) của 2 vectơ: 
| || | sin nA B A B a 
    
1 1
2 1 3
3 1 2
0a a
a a a
a a a
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
A B B A A A A
B B B
    
na
 1 2 3
2 2
3 2 1
0
a a a
a a
a a a
1 3 2
2 3 1
3 3 0
a a a
a a a
a a
1a
2a
3a
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Hệ tọa độ
Không gian để biểu diễn trường vô hướng & trường vectơ
 Mặt tọa độ: 3 mặt chuẩn biết trước 
 Đường tọa độ: giao của 2 mặt tọa độ
 Tọa độ: giao của 3 mặt tọa độ
 Vectơ đơn vị trong tập trực giao: tiếp tuyến với đường 
tọa độ tại điểm khảo sát, độ lớn bằng 1 đơn vị và hướng 
theo chiều tăng của tọa độ tương ứng. 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
5EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Hệ tọa độ Đề-các
x y zx y zVT : A=A (x,y,z)a +A (x,y,z)a +A (x,y,z)a
 
VH : (x,y,z) 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Hệ tọa độ trụ
r zr zVT : A=A (r, ,z)a +A (r, ,z)a +A (r, ,z)a  
 VH : (r, ,z) 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
6EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Hệ tọa độ cầu
r θr θVT : A=A (r,θ, )a +A (r,θ, )a +A (r,θ, )a  
 
VH : (r,θ, ) 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Chuyển đổi hệ tọa độ
coscx r  
sincy r  
z z 
2 2
cr x y 
z z 
1tan
y
x
 
sin cossx r   
sin sinsy r   
cossz r  
2 2 2
sr x y z 
2 2
1tan
x y
z
 
1tan
y
x
 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
7EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Chuyển đổi hệ tọa độ

xa
 rca
ya
a
za

a
rca
za
rsa
a
. cosrc xa a  
. sinxa a  
. 0z xa a 
. sinrc ya a  
. cosya a  
. 0z ya a 
. 0rc za a 
. 0za a 
. 1z za a 
. sin cosrs xa a   
. cos cosxa a   
. sinxa a  
. sin sinrs ya a   
. cos sinya a   
. cosya a  
. cosrs za a  
. sinza a  
. 0za a 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Chuyển đổi hệ tọa độ
r x
y
z z
A cos sin 0 A
A sin cos 0 A
A 0 0 1 A

 
 
Đề các Trụ
x r
y
z z
A cos sin 0 A
A sin cos 0 A
A 0 0 1 A

 
 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Chuyển đổi hệ tọa độ
r x
y
z
A sin cos sin sin cos A
A cos cos cos sin sin A
A sin cos 0 A


    
    
 
Đề các Cầu
x r
y
z
A sin cos cos cos sin A
A sin sin cos sin cos A
A cos sin 0 A


    
    
 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Yếu tố vi phân
x y zd dxa dya dza 
 

x xdS dydza 
 
y ydS dxdza 
 
z zdS dxdya 
 
dV dxdydz 
Cartesian coordinate system 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
9EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Yếu tố vi phân
Cylindrical coordinate system 
r zd dra rd a dza 
 

r rdS rd dza 
 
dS drdza  
 
z zdS rdrd a 
 
dV rdrd dz 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Yếu tố vi phân
Spherical coordinate system 
sinrd dra rd a r d a    
 

2 sinr rdS r d d a   
 
sindS r drd a   
 
dS rdrd a  
 
2 sindV r drd d   
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
10
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Yếu tố vi phân
Coordinate 
system
Coor-
dinate
Range Unit 
vectors
Length 
element
Coordinate surfaces
Cartesian u1=x -∞ to +∞ dx = h1du1 Plane x = constant
u2=y -∞ to +∞ dy = h2du2 Plane y = constant
u3=z -∞ to +∞ dz = h3du3 Plane z = constant
Cylindrical u1=r 0 to ∞ dr = h1du1 Cylinder r = constant
u2= 0 to 2 rd = h2du2 Plane  = constant
u3=z -∞ to +∞ dz = h3du3 Plane z = constant
Spherical u1=r 0 to ∞ dr = h1du1 Sphere r = constant
u2= 0 to rd = h2du2 Cone  = constant
u3= 0 to 2 rsind = h3du3 Plane  = constant
1 xa a 
2 ya a 
3 za a 
1 ra a 
2a a 
3 za a 
1 ra a 
2a a 
3a a 
1 2 3: 1; 1; 1Cartesian h h h 1 2 3: 1; ; 1Cylindrical h h r h 
1 2 3: 1; ; sinSpherical h h r h r  
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Yếu tố vi phân
1 2 31 1 2 2 3 3d hdu a h du a h du a 
 

1 12 3 2 3 1 (u )dS h h du du a const 
 
2 21 3 1 3 2 (u )dS hh du du a const 
 
3 31 2 1 2 3 (u )dS hh du du a const 
 
1 2 3 1 2 3dV hh h du du du 
Differential elements
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
11
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Tích phân đường
B
AB C A
W Fd Fd 
    
 
C
F d 
  
 C: Đường kín
(công)
(lưu số)
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Tích phân đường
Ví dụ:
 
x yF=xya 2xa
?
B
A 
  
Fdl=
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
12
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Tích phân mặt
Thông lượng gửi qua mặt S:
S
FdS 
  F
 
dS
 
S Nếu S là mặt kín: S
FdS 
  

EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Tích phân mặt
Ví dụ:
r z
5
F= a +2za
r
?
S
FdS 
  

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
13
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Tích phân khối
Dùng để tính tổng của một đại lượng khi biết phân bố của nó 
trong thể V. Ví dụ: mật độ khối lượng (kg/m3); mật độ điện 
tích khối (C/m3); mật độ năng lượng (J/m3); mật độ công suất 
tổn hao nhiệt (W/m3); .
vV
Q dV 
Ví dụ:. 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt