Bài giảng Toán tài chính - Nguyễn Thị Thanh Hoa

8/10/2017
1
LOGO
BÀI GIẢNG
TOÁN TÀI CHÍNH
(MATHEMATICS OF FINANCE)
ThS. Nguyễn Thị Thanh Hoa
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KINH TẾ
1
LOGOMỤC TIÊU MÔN HỌC
 Hiểu về dòng tiền, lãi suất và các công cụ
tính toán trong tài chính.
 Hiểu cách vận động của các dòng ngân lưu
trong nền kinh tế.
 Vận dụng được những kỹ năng tính toán
các dòng tiền, các loại lãi suất trong tài chính.
 Vận dụng kỹ năng tính toán làm công cụ
nghiên cứu những môn chuyên ngành sau này.
2
LOGOYÊU CẦU ĐỐI VỚI NGƯỜI HỌC
 Đọc tài liệu trước khi đến lớp.
 Làm bài tập cá nhân và bài tập nhóm được
giao.
 Tự nghiên cứu tài liệu và bài tập khác có liên
quan.
 Đến lớp mang theo máy tính, tuyệt đối
không sử dụng điện thoại di động, laptop,
thiết bị điện tử tương tự, 3
8/10/2017
2
LOGOGIÁO TRÌNH – TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giáo trình bắt buộc:
Toán tài chính – TS. Bùi Hữu Phước, NXB
Phương Đông, 2012
Tài liệu tham khảo:
- Toán tài chính, PGS.TS Nguyễn Ngọc Định
NXB Thống kê.
- Toán tài chính, TS Lại Tiến Dĩnh, NXB Thống
kê.
-Tất cả những tài liệu (bài giảng, bài tập) liên
quan đến học phần toán tài chính.
4
LOGONỘI DUNG MÔN HỌC
Chương 1: Lãi đơn
5
Chương 2: Lãi kép
Chương 3: Chuỗi tiền tệ
Chương 4: Chiết khấu thương phiếu
Chương 5: Vay thông thường
Chương 6: Trái phiếu - Cổ phiếu
LOGOTIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ
Kiểm tra giữa kỳ: 0,30
Kiểm tra kết thúc học phần: 0,70
Tổng cộng: 1,00
Hình thức kiểm tra: tự luận (90 phút) - KSDTL
Điểm kiểm tra làm tròn đến 0,5.
Điểm tổng kết làm tròn 1 chữ số thập phân.
6
8/10/2017
3
LOGO
CHƯƠNG 1
LÃI ĐƠN
(SIMPLE INTEREST)
TOÁN TÀI CHÍNH
7
LOGOMỤC TIÊU
 Hiểu được thế nào là lợi tức, lợi suất/lãi suất.
 Hiểu và vận dụng được phương pháp lãi
đơn.
8
LOGONỘI DUNG 
Tổng quan1
Phương pháp tính lãi đơn2
Lãi suất trung bình trong lãi đơn3
Lãi suất thực trong lãi đơn4
Bài tập áp dụng5
9
8/10/2017
4
LOGO1. Tổng quan
1.1 Lợi tức (lãi/tiền lãi) - interest:
- Đối với người đi vay, lợi tức là chi phí (số tiền)
mà người đi vay phải trả cho người cho vay để
được quyền sử dụng vốn trong một thời gian nhất
định.
- Đối với nhà đầu tư, lợi tức là số tiền tăng thêm
(so với vốn đầu tư ban đầu) trong một thời gian
nhất định do hoạt động đầu tư hoặc cho vay.
10
LOGO1. Tổng quan
A vay tiền B A trả tiền B
Năm 2014 Năm 2015Thời gian
Sự kiện
Số tiền 2 tỉ đồng 2 + 0,2 tỉ đồng
Lợi tức
VD 1.1: Năm 2014, ông A vay ông B 2 tỉ đồng và cam
kết đến năm 2015 sẽ trả cho ông B 2,2 tỉ đồng.
11
LOGO1. Tổng quan
1.2 Lãi suất – interest rate:
- Là tỉ suất (tỉ lệ) giữa phần lợi tức phát sinh trong
một đơn vị thời gian so với vốn đầu tư ban đầu.
- Thời gian tính lãi có thể là năm, quý, tháng,
ngày, 
12
8/10/2017
5
LOGO1. Tổng quan
Công thức tính lãi suất:
Lãi suất =
Lợi tức trong một đv thời gian
Vốn đầu tư ban đầu
Thông thường lãi suất được biểu thị theo tỉ lệ
phần trăm (%) trên một đơn vị thời gian.
13
LOGO1. Tổng quan
VD 1.1: lãi suất được tính như sau
Lãi suất =
Lợi tức trong một đv thời gian
Vốn đầu tư ban đầu
Thời gian tính lãi trong trường hợp này là 1 năm,
nên ta viết lãi suất ở đây là 10%/năm.
0,2
0,1 10%
2
14
LOGO2. Phương pháp tính lãi đơn
Nội dung:
- Phương pháp tính lãi đơn là phương thức tính
toán mà tiền lãi phát sinh sau mỗi thời kỳ không
được nhập vào vốn gốc để tính lãi trong chu kỳ
tiếp theo.
- Tiền lãi của các kỳ đều như nhau.
15
8/10/2017
6
LOGO2. Phương pháp tính lãi đơn
VD 1.2: Ông B cho ông C vay 1 tỉ đồng trong 5
năm, tiền lãi được tính theo phương pháp lãi đơn,
lãi suất là 15%/năm.
Tiền lãi phát sinh hàng năm:
Lãi suất =
Lợi tức
Vốn đầu tư ban đầu
 Lợi tức = Vốn đầu tư ban đầu x lãi suất
= 1.0,15 = 0,15 (tỉ đồng)
16
LOGO2. Phương pháp tính lãi đơn
Năm
0 1 2 3 4 5
Lợi tức 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
Tổng số tiền C phải trả:
Vốn gốc + lãi = 1 + 0,15 + 0,15 + 0,15 + 0,15 + 0,15
= 1 + 5.0,15
= 1,75 (tỉ đồng)
17
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Sơ đồ tổng quát:
Năm
0 1 2 3  n
Lợi tức I I I  I
Trong đó:
n: số kỳ
I : lợi tức (lãi) 1 kỳ
18
8/10/2017
7
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Gọi:
V0 là số vốn đầu tư ban đầu (vốn gốc)
Vn là tổng số tiền thu được vào thời điểm n.
i là lãi suất trong 1 kỳ
0
0
.
I
i I i V
V
19
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Ta có:
Cuối năm 1: V1 = V0 + I
Cuối năm 2: V2 = V0 + I + I = PV + 2.I
Cuối năm 3: V3 = V0 + 3.I
Cuối năm n: Vn = V0 + n. I
= V0 + n.i.PV
= V0 (1 + n.i)
20
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Công thức tổng quát:
0 (1 . )nV V n i 
Trong đó:
Vn là giá trị đạt được tại thời điểm n.
V0 là vốn gốc.
n là số kỳ
i là lãi suất 1 kỳ
21
8/10/2017
8
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Ví dụ áp dụng:
VD 1.3: Ngân hàng X cho DN Y vay 50 tỉ đồng trong 3
năm, lãi suất 14%/năm theo phương thức lãi đơn.
a/ Tính số tiền DN Y phải trả sau 3 năm. Bao nhiêu
trong đó là tiền lãi?
b/ Nếu tổng số tiền DN Y trả NH X sau 3 năm là 65 tỉ
đồng thì 2 bên phải thoả thuận lãi suất là bao nhiêu?
c/ Nếu giữ nguyên lãi suất là 14%/năm, nhưng số tiền
DN Y phải trả là 80 tỉ đồng; vậy số tiền gốc DN này
vay là bao nhiêu?
22
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Ví dụ áp dụng:.
VD 1.4: Ông Việt gửi tiết kiệm 300 triệu đồng tại ngân
hàng KT, lãi được tính theo phương thức lãi đơn.
a/ Tính số tiền ông Việt nhận được sau 5 tháng nếu lãi
suất là 1%/tháng?
b/ Lãi suất hàng tháng là bao nhiêu thì ông Việt mới có
thể nhận được 309 triệu sau 4 tháng?
c/ Nếu lãi suất là 1,2%/tháng thì sau bao lâu ông Việt
mới nhận được số tiền 328,8 triệu đồng?
23
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Trường hợp đặc biệt:
Nếu lãi suất tính theo năm, khoản vay tính theo tháng:
n là số tháng
Nếu lãi suất tính theo năm, khoản vay tính theo ngày:
n là số ngày
Nếu lãi suất tính theo tháng, khoản vay tính theo ngày:
n là số ngày
0
.
(1 )
12
n
n i
V V 
0
.
(1 )
360
n
n i
V V 
0
.
(1 )
30
n
n i
V V 
24
8/10/2017
9
LOGO2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Ví dụ áp dụng:.
VD 1.5: Ông Nam gửi tiết kiệm 500 triệu đồng tại ngân
hàng KT, lãi được tính theo phương thức lãi đơn.
a/ Tính số tiền ông Nam nhận được sau 5 tháng nếu
lãi suất là 10%/năm.
b/ Lãi suất hàng năm là bao nhiêu thì ông Nam mới có
thể nhận được 530 triệu sau 6 tháng?
c/ Nếu lãi suất là 1%/tháng thì ông Nam sẽ nhận được
bao nhiêu nếu gửi trong 15 ngày?
d/ Nếu lãi suất là 14%/năm thì ông Nam sẽ nhận được
bao nhiêu nếu gửi trong 200 ngày?25
LOGO2.2 Lãi suất tương đương
Trở lại trường hợp khi lãi suất tính theo năm, thời
hạn vay theo tháng ta có:
với n là số tháng
Đặt thì
Khi đó, i* được gọi là lãi suất (theo tháng) tương
đương với lãi suất i (tính theo năm)
0
.
(1 )
12
n
n i
V V 
*
12
i
i 0 (1 . *)nV V n i 
26
LOGO2.2 Lãi suất tương đương
Tổng quát:
Suy ra cho các trường hợp khác:
*
i
i
k
Lãi suất Thời hạn vay Lãi suất tương đương
năm quý i* = i/4
tháng ngày i* = i/30
năm tháng i* = i/12
năm ngày i* = i/360
27
8/10/2017
10
LOGO2.2 Lãi suất tương đương
Ví dụ áp dụng:.
Làm lại VD 1.5 sử dụng công thức tính lãi suất tương
đương. So sánh kết quả
28
LOGO3. Lãi suất trung bình trong lãi đơn
Trên thực tế, nhiều trường hợp khoản vay kéo dài
qua nhiều kỳ, mỗi kỳ có một mức lãi suất khác
nhau, khi đó, lãi suất trung bình 1 kỳ được tính bởi
công thức:
1
1
.
k
j j
j
k
j
j
n i
i
n


29
LOGO
Ví dụ áp dụng:.
VD 1.6: Ngân hàng Z có các hợp đồng vay dài hạn với
lãi suất thay đổi hàng năm như sau:
3. Lãi suất trung bình trong lãi đơn
Tính lãi suất trung bình của các hợp đồng trên.
Năm 1 2 3 4 5 6 7 8
HĐ 1 10 11 10 12 13 14 13 12
HĐ 2 10 10 10 12 11 11 14
HĐ 3 12 12 11 15 15 12 14 14
HĐ 4 11 13 15 15 13 14
HĐ 5 12 14 14 15 15
30
8/10/2017
11
LOGO4. Lãi suất thực trong lãi đơn
Khái niệm:
Lãi suất thực là tỉ lệ giữa mức chi phí (tiền lãi)
thực tế và người vay phải trả với số vốn vay trong
một thời gian nhất định.
Công thức tính:
Trong đó: ir là lãi suất thực, It là chi phí thực tế
trong thời gian vay, Ct là chi phí trả ngay khi vay.
ir =
Tổng chi phí thực tế
Tổng số vốn vay thực tế 0
t
t
I
V C
31
LOGO4. Lãi suất thực trong lãi đơn
VD 1.7: Mua tín phiếu kho bạc kỳ hạn 1 năm
mệnh giá 100 ngàn đồng. Lãi suất chiết khấu
8%/năm. Tính lãi suất thực.
Trước hết, cần hiểu việc mua tín phiếu kho bạc
tức là cho chính phủ vay tiền. Với mệnh giá 100
ngàn đồng người mua chỉ phải trả 92 ngàn đồng
(do lãi suất chiết khấu 8%/năm), sau 1 năm chính
phủ sẽ trả lại số tiền là 100 ngàn đồng.
32
LOGO4. Lãi suất thực trong lãi đơn
Như vậy:
Tổng chi phí vay tiền là:
Lãi suất chiết khấu x mệnh giá = 0,08.100 = 8 (ngàn đ)
Tổng vốn vay là: 92 ngàn đồng (do người mua chỉ trả
92 ngàn cho tờ trái phiếu, đồng nghĩa với việc chính
phủ vay được 92 ngàn đồng để sử dụng).
Lãi suất thực là:
ir =
Tổng chi phí thực tế
Tổng vốn vay thực tế
8
8, 70%
92
33
8/10/2017
12
LOGO4. Lãi suất thực trong lãi đơn
VD 1.8: Công ty X vay ngân hàng 400 triệu trong 1
năm, lãi suất 10%/năm chi phí hoàn thành thủ tục vay
300 ngàn đồng, chi phí phát sinh khác chiếm 0,1%
tổng vốn vay. Tính lãi suất thực.
34
LOGO4. Lãi suất thực trong lãi đơn
Ví dụ áp dụng:.Tính lãi suất thực
VD 1.9: NH A mua 1000 tờ trái phiếu kho bạc kỳ hạn 1
năm, mệnh giá 100 ngàn đồng, lãi suất chiết khấu 15%.
VD 1.10: Ông Việt vay ngân hàng 100 triệu đồng thời
hạn 1 năm, lãi suất 12%/năm, lãi suất trả ngay lúc vay
tiền.
VD 1.11: Công ty Y vay ngân hàng 12 tỉ đồng trong 1
năm, lãi suất 14%/năm. Chi phí thủ tục là 500 ngàn
đồng, tiền lãi trả ngay khi vay tiền.
VD 1.12: Trong VD 1.9, nếu muốn lãi suất thực là 15%
thì lãi suất chiết khấu phải là bao nhiêu?35
LOGO* Thực hành
Sinh viên kẻ bảng và điền số liệu theo hướng dẫn:
Vốn vay: điền giá trị bất kỳ từ 10 đến 100
Thời hạn vay: điền giá trị bất kỳ
Tính các giá trị còn lại
Vốn vay
(triệu đồng)
Lãi suất Thời hạn
vay
Tổng lãi Tổng tiền
phải trả
10%/năm  tháng
1%/tháng  tháng
12%/năm  ngày
1,2%/tháng  ngày
15%/năm  năm36
8/10/2017
13
LOGO* Thực hành
Sinh viên kẻ bảng và điền số liệu còn thiếu:
Vốn vay
(triệu đồng)
Lãi suất Thời hạn
vay
Tổng lãi
(triệu
đồng)
Tổng tiền
phải trả
? 15
%/năm
9
tháng
25 ?
450 ? 10
tháng
50 ?
600 13
%/năm
? 50 ?
750 14
%/tháng
50
ngày
? ?
37
LOGO5. Bài tập áp dụng
Bài 1: tính giá trị còn thiếu
Vốn vay
(triệu đồng)
Lãi suất Thời hạn
vay
Tổng lãi Tổng tiền
phải trả
100 ? %/năm 5 tháng 110
200 1%/tháng 50
250 10%/năm 10 tháng
300 1%/tháng 15 tháng
12%/năm 200 ngày 400
450 ? %/tháng 65 ngày 550
500 15%/năm 5 năm
38
LOGO5. Bài tập áp dụng
Bài 2: tính lãi suất trung bình của các hợp đồng sau:
Năm 1 2 3 4 5 6 7 8
HĐ 1 17 12 12 11 12 16
HĐ 2 12 16 13 17 13 18 12
HĐ 3 16 16 13 17 16 10 15 16
HĐ 4 10 18 15 16
HĐ 5 12 17 13 16 10
39
8/10/2017
14
LOGO5. Bài tập áp dụng
Bài 3: tính lãi suất thực các trường hợp sau:
STT Nội dung Thông tin 
1
Mua trái phiếu, tổng 
mệnh giá 100 triệu 
đồng
Lãi suất chiết 
khấu 10%/năm
2 Vay 200 triệu đồng Lãi suất 12%/năm
Lãi trả ngay khi 
vay
3 Vay 250 triệu đồng Lãi suất 13%/năm
Chi phí khác 
500 ngàn đồng
4 Vay 500 triệu đồng
Lãi suất 
12%/năm, lãi trả 
ngay khi vay
Phí thủ tục: 200 
ngàn, phí khác: 
0,6% vốn vay
40
LOGO
CHƯƠNG 2
LÃI KÉP
(COMPOUND INTEREST)
TOÁN TÀI CHÍNH
41
LOGOMỤC TIÊU
 Hiểu được phương pháp tính lãi kép.
 Vận dụng được phương pháp tính lãi kép để
tính toán.
 So sánh lãi đơn và lãi kép
42
8/10/2017
15
LOGONỘI DUNG 
Tổng quan1
Phương pháp tính lãi kép2
Lãi suất trung bình trong lãi kép3
Lãi suất thực trong lãi kép4
So sánh lãi đơn, lãi kép5
43
LOGO1. Tổng quan
 Lãi kép là phương pháp tính lãi mà tiền lãi của
kỳ này được nhập vào vốn gốc để tính lãi cho kỳ
sau.
 Lãi kép phản ánh giá trị theo thời gian của tiền
tệ (thời giá tiền tệ) và được ứng dụng tính toán
trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn.
 Một số thuật ngữ tương đương: lãi nhập vốn,
lãi gộp vốn, 
44
LOGO2. Phương pháp tính lãi kép
Nội dung:
- Phương pháp tính lãi đơn kép là phương thức
tính toán mà tiền lãi phát sinh sau mỗi thời kỳ
được nhập vào vốn gốc để tính lãi trong chu kỳ
tiếp theo.
- Tiền lãi của các kỳ không giống nhau.
45
8/10/2017
16
LOGO2. Phương pháp tính lãi kép
VD 2.1: Ông B cho ông C vay 1 tỉ đồng trong 5
năm, tiền lãi được tính theo phương pháp lãi kép,
lãi suất là 15%/năm.
Năm Vốn gốc Lãi Vốn + Lãi
0 1 0 1
1 1 1.0,15 = 0,15 1 + 0,15 = 1,15
2 1,15
1,15.0,15 = 
0,1725
1,15 + 0,1725 = 
1,3225
3 1.3225 0.1983750000 1.520875
4 1.520875 0.2281312500 1.74900625
5 1.74900625 0.2623509375 2.011357187546
LOGO
Gọi:
V0 là số vốn đầu tư ban đầu (vốn gốc)
Vn là tổng số tiền thu được vào thời điểm n (giá trị đạt
được vào thời điểm n.
i là lãi suất trong 1 kỳ
2.1 Công thức tính lãi kép
47
LOGO
Sơ đồ tổng quát:
Năm
0 1 2 3  n
Lợi tức I1 
Trong đó:
n: số kỳ
I k: lợi tức (lãi) kỳ thứ k
I2 I3 In
2.1 Công thức tính lãi kép
48
8/10/2017
17
LOGO
Ta có:
Cuối năm 1: V1 = V0 + I1 = V0 + V0 .i = V0 (1 + i)
Cuối năm 2: V2 = V1 + I2 = V0 (1+i) + V0 (1+i).i
= V0 (1+i)(1+i) = V0 (1+i)
2
Cuối năm 3: V3 = V0 (1+i)
3
Cuối năm n: Vn = V0 (1+i)
n
2.1 Công thức tính lãi kép
49
LOGO
Công thức tổng quát:
0 (1 )
n
nV V i 
Trong đó:
Vn là giá trị đạt được vào thời điểm n.
V0 là số vốn gốc.
n là số kỳ
i là lãi suất 1 kỳ
2.1 Công thức tính lãi kép
50
LOGO
Từ công thức trên, ta có thể suy ra:
Công thức tính vốn gốc:
Công thức tính lãi suất hàng kỳ:
Công thức tính số kỳ:
0
(1 )
n
n
V
V
i
2.1 Công thức tính lãi kép
0
1nn
V
i
V
1
0
log ni
V
n
V
51
8/10/2017
18
LOGO
Lưu ý:
Công thức trên giả sử rằng lãi suất các kỳ là như
nhau, nếu trường hợp lãi suất thay đổi thì ta có công
thức tính giá trị tương lai theo lãi kép như sau:
Trong đó: ik là lãi suất của kỳ thứ k
2.1 Công thức tính lãi kép
0 1 2 3(1 )(1 )(1 )...(1 )n nV V i i i i 
52
LOGO
Lưu ý:
Trên trục thời gian, cho một khoản tiền ở thời điểm bất
kỳ. Để tính giá trị của nó sau thời điểm này ta sử dụng
công thức tính giá trị đạt được, ngược lại, để tính giá
trị của khoản tiền trước thời điểm này ta dùng công
thức tính vốn gốc.
2.1 Công thức tính lãi kép
2011 2012 2013 2014 2015 2016
5 tỉ đồng ?? ? ?
V0 Vn53
LOGO
Ví dụ áp dụng:
VD 2.2: Ngân hàng X cho DN Y vay 50 tỉ đồng trong 3
năm, lãi suất 14%/năm, lãi nhập vốn hàng năm.
a/ Tính số tiền DN Y phải trả sau 3 năm. Bao nhiêu
trong đó là tiền lãi?
b/ Nếu tổng số tiền DN Y trả NH X sau 3 năm là 66,55
tỉ đồng thì 2 bên phải thoả thuận lãi suất là bao nhiêu?
c/ Nếu giữ nguyên lãi suất là 14%/năm, nhưng số tiền
DN Y phải trả là 80 tỉ đồng; vậy số tiền gốc DN này
vay là bao nhiêu?
2.1 Công thức tính lãi kép
54
8/10/2017
19
LOGO
Ví dụ áp dụng:.
VD 2.3: Ông Việt gửi tiết kiệm 300 triệu đồng tại ngân
hàng KT, lãi nhập vốn hàng tháng.
a/ Tính số tiền ông Việt nhận được sau 5 tháng nếu lãi
suất là 1%/tháng?
b/ Lãi suất hàng tháng là bao nhiêu thì ông Việt mới có
thể nhận được 317,1561 triệu sau 4 tháng?
c/ Nếu lãi suất là 1,2%/tháng thì sau bao lâu ông Việt
mới nhận được số tiền 338,0075 triệu đồng?
2.1 Công thức tính lãi kép
55
LOGO
Ví dụ áp dụng:.
VD 2.4: Tính giá trị theo thời gian của các khoản tiền
sau theo phương thức lãi nhập v ...  năm, thì mệnh giá của thương phiếu kỳ hạn
10 năm phải là bao nhiêu? (Lãi suất chiết khấu
5%/năm).
160
LOGO3.3 Thương phiếu tương đương
VD 4.11:
Muốn thay thế một thương phiếu có kỳ hạn 5 năm,
mệnh giá là 50.000.000 đồng bằng một thương phiếu
có mệnh giá 40.000.000 đồng, thì kỳ hạn thương
phiếu thay thế là bao lâu? (Lãi suất chiết khấu
5%/năm).
161
LOGOBài tập áp dụng
Bài tập 1:
Vào ngày 3/5/2015, ông A đem 3 thương phiếu đi chiết khấu
với mệnh giá và thời gian đáo hạn:
100.000.000 đồng, đáo hạn ngày 31/10/2015
150.000.000 đồng, đáo hạn ngày 30/11/2015
200.000.000 đồng, đáo hạn ngày 31/12/2015
Lãi suất chiết khấu 5%/năm, hoa hồng ký hậu 0,2%/năm, chi
phí khác 100.000 đồng.
Tính chi phí chiết khấu thương mại (theo lãi đơn), lãi suất
CK thực, số tiền ngân hàng trả cho ông A là bao nhiêu?
162
8/10/2017
55
LOGOBài tập áp dụng
Bài tập 2:
Vào ngày 3/8/2015, ông A đem 1 thương phiếu đi
chiết khấu với mệnh giá 100.000.000 đồng, đáo hạn
ngày 31/12/2015.
Lãi suất chiết khấu 8%/năm.
Tính phí chiết khấu hợp lý và phí chiết khấu thương
mại.
163
LOGO
CHƯƠNG 5
VAY THÔNG THƯỜNG
TOÁN TÀI CHÍNH
164
LOGOMỤC TIÊU
 Hiểu được bản chất của vay thông thường và
các phương thức trả nợ.
 Vận dụng được các phương pháp tính toán để
xây dựng bảng hoàn trả nợ.
165
8/10/2017
56
LOGONỘI DUNG 
Tổng quan1
Các phương thức hoàn trả2
Trả nợ dần định kỳ bằng kỳ khoản cố định3
Trả nợ dần định kỳ, cố định phần trả nợ gốc4
Vấn đề lập quỹ trả nợ5
166
LOGO1. Tổng quan
Khái niệm:
Vay thông thường là hình thức vay vốn chỉ liên
quan đến 2 chủ thể: người vay và người cho vay.
Người sở hữu vốn (người cho vay) nhượng quyền
sử dụng vốn cho người vay, và người vay có trách
nhiệm trả lại cho chủ sở hữu tiền lãi và vốn gốc
khi đáo hạn.
167
LOGO1. Tổng quan
Đặc điểm vay thông thường:
Người vay vốn phải trả cả vốn lẫn lời
Người cho vay có thể giao vốn 1 hay nhiều lần
Người vay có thể trả định kỳ, trả 1 lần hoặc trả
dần vốn và lãi phát sinh.
168
8/10/2017
57
LOGO1. Tổng quan
Các yếu tố của hợp đồng vay thông thường:
Số tiền cho vay (vốn gốc): V0
Lãi suất một kỳ (năm/quý/tháng): i
Thời hạn vay (năm/quý/tháng): n
Phương thức thanh toán nợ và lãi
169
LOGO2. Các phương thức hoàn trả
2.1. Trả vốn vay và lãi 1 lần khi đáo hạn
2.2. Trả lãi định kỳ, nợ gốc trả khi đáo hạn
2.3. Trả nợ dần định kỳ
170
LOGO2.1 Trả vốn vay và lãi 1 lần khi đáo hạn
Tiền vốn và lãi được trả một lần khi đáo hạn
Số tiền thanh toán là giá trị cuối của vốn vay:
Nếu vay ngắn hạn: Vn=V0(1+n.i)
Nếu vay dài hạn: Vn = V0(1+i)
n
171
8/10/2017
58
LOGO2.1 Trả vốn vay và lãi 1 lần khi đáo hạn
Đối với người cho vay:
-Không đem lại thu nhập thường xuyên
-Rủi ro lớn
Đối với người đi vay:
-Tạo ra khó khăn về tài chính khi phải trả một số
tiền lớn vào ngày đáo hạn
-Việc áp dụng lãi kép làm cho số nợ tăng nhanh
172
LOGO2.2 Trả lãi định kỳ, trả nợ gốc khi đ.hạn
Đối với phương thức này, hàng kỳ người vay phải
trả lãi phát sinh trong kỳ, còn nợ gốc trả một lần
khi đáo hạn.
Lãi hàng kỳ được xác định bằng công thức:
I = V0.i
Lãi có thể được trả vào đầu kỳ hoặc cuối kỳ.
173
LOGO2.2 Trả lãi định kỳ, trả nợ gốc khi đ.hạn
Trường hợp trả lãi đầu kỳ:
Vào kỳ cuối cùng, người vay chỉ phải trả phần nợ
gốc đã vay là V0
Trường hợp trả lãi cuối kỳ:
Vào kỳ cuối cùng, người vay phải trả phần nợ gốc
đã vay và tiền lãi phát sinh của kỳ cuối cùng. Vì
vậy, tổng số tiền phải trả vào kỳ cuối là
V0 + I = V0 + V0.i = V0(1+i)
174
8/10/2017
59
LOGO2.3 Trả nợ dần định kỳ
Đối với phương thức này, hàng kỳ người vay phải
trả lãi phát sinh trong kỳ và một phần nợ gốc.
Phương thức này thường được áp dụng trong
trong vay vốn sản xuất kinh doanh, vay dài hạn.
Đối với người vay: giảm áp lực trả nợ
Đối với người cho vay: nợ thu hồi dần, giảm rủi ro
175
LOGO3. Trả nợ dần đ.kỳ bằng kỳ khoản cố định
3.1. Kỳ khoản trả nợ
3.2. Bảng hoàn trả
3.3. Định luật trả nợ dần định kỳ bằng kỳ khoản cố 
định.
176
LOGO3.1 Kỳ khoản trả nợ
Kỳ khoản trả nợ là tổng số tiền lãi và nợ gốc mà
người vay phải trả trong 1 kỳ.
Đối với phương thức trả nợ dần định kỳ bằng kỳ
khoản cố định, kỳ khoản trả nợ của mỗi kỳ là như
nhau
177
8/10/2017
60
LOGO
0 1 2 3  n
V0
Kỳ
Vay
0 1 2 3  n
a a a a
Kỳ
Trả
3.1 Kỳ khoản trả nợ
178
LOGO
Công thức tính kỳ khoản trả nợ cố định (trả nợ
cuối kỳ):
3.1 Kỳ khoản trả nợ
0
1 (1 ) n
i
a V
i 
179
LOGO3.2 Bảng hoàn trả
Biểu mẫu:
Kỳ
(1)
Nợ đầu kỳ
(2)
Lãi trong
kỳ
(3)
Phần hoàn
vốn gốc
(4)
Kỳ khoản (a)
(5)
1 V0 =(2)xi =(5)-(3) a
2
=(2.1)-
(4.1)
a
 a
Tổng   = V0 
180
8/10/2017
61
LOGO3.2 Bảng hoàn trả
Ví dụ 5.1: Một doanh nghiệp vay vốn đầu tư kinh
doanh, tổng vốn vay: 80.000.000 đồng. Vay trong vòng
1 năm, trả nợ hàng tháng theo phương thức kỳ khoản
cố định. Lập bảng hoàn trả cho doanh nghiệp này, biết
lãi suất áp dụng là 1%/tháng.
181
LOGO3.3 Định luật
Định luật:
Một khoản vay được thanh toán dần bằng những
kỳ khoản cố định, thì các phần trả nợ gốc trong
mỗi kỳ khoản hợp thành một cấp số nhân có công
bội (1 + i)
182
LOGO3.3 Định luật
Hệ quả:
Phần trả nợ gốc trong kỳ khoản đầu tiên (M1)
Phần vốn hoàn trả trong kỳ khoản cuối cùng (Mn)
1 0
(1 ) 1n
i
M V
i
(1 )
n
a
M
i
183
8/10/2017
62
LOGO3.3 Định luật
Hệ quả:
Phần vốn hoàn trả kỳ khoản bất kỳ (Mp):
Số nợ đã trả sau kỳ khoản thứ p (Rp):
( 1)(1 ) n ppM a i
0
(1 ) 1
(1 ) 1
p
p n
i
R V
i
184
LOGO3.3 Định luật
Hệ quả:
Số còn nợ sau kỳ khoản thứ p (Vp)
0
(1 ) (1 )
(1 ) 1
n p
p n
i i
V V
i
185
LOGO3.3 Định luật
Định lý đảo:
Một khoản vay mà vốn gốc trả dần hợp thành một
cấp số nhân có công bội là (1+i) thì số tiền trả nợ
dần định kỳ (kỳ khoản thanh toán) là kỳ khoản cố
định.
186
8/10/2017
63
LOGO4. Trả nợ dần đ.kỳ, cố định phần trả nợ gốc
Khái niệm:
Là phương thức trả nợ dần, trong đó hàng kỳ,
người vay phải trả một phần nợ gốc cùng với lãi
phát sinh trong kỳ, số nợ gốc được trả ở mỗi kỳ là
như nhau, chỉ có lãi phát sinh là khác nhau.
187
LOGO4. Trả nợ dần đ.kỳ, cố định phần trả nợ gốc
Bảng hoàn trả:
Kỳ
(1)
Nợ đầu kỳ
(2)
Lãi trong
kỳ
(3)
Phần hoàn
vốn gốc
(4)
Kỳ khoản (a)
(5)
1 V0 =(2)xi M =(3)+(4)
2
=(2.1)-
(4.1)
M
 M
Tổng   = V0 
188
LOGO4. Trả nợ dần đ.kỳ, cố định phần trả nợ gốc
Ví dụ 5.2: Một doanh nghiệp vay vốn đầu tư kinh
doanh, tổng vốn vay: 200.000.000 đồng với lãi suất
10%/năm. Vay trong vòng 5 năm, trả nợ dần vào cuối
mỗi năm cố định phần trả nợ gốc. Lập bảng hoàn trả
cho doanh nghiệp này.
189
8/10/2017
64
LOGO5. Vấn đề lập quỹ trả nợ
Khi áp dụng phương thức tính lãi định kỳ, nợ gốc
trả một lần khi đáo hạn, người đi vay sẽ gặp áp
lực lớn về tài chính vào ngày đáo hạn. Vì vậy,
người vay thường chuẩn bị cho việc trả nợ bằng
cách hàng kỳ gửi một khoản tiền cố định vào ngân
hàng để mong đạt được một số tiền trong tương
lai đảm bảo cho việc trả nợ.
190
LOGO5. Vấn đề lập quỹ trả nợ
Gọi M là khoản tiền cố định cần tiết kiệm hàng kỳ,
để thanh toán số vốn gốc V0 khi đáo hạn, ta có:
Với, i' là lãi tiền gửi tiết kiệm (thường nhỏ hơn lãi
vay i)
0
(1 ) 1n
i
M V
i
191
LOGO5. Vấn đề lập quỹ trả nợ
Hàng kỳ, người vay phải trả cho người cho vay
tiền lãi I và gửi vào ngân hàng một khoản M.
Như vậy, mỗi kỳ, người vay phải chi tổng cộng số
tiền là:
0 0.
(1 ) 1n
i
M I V i V
i
192
8/10/2017
65
LOGO5. Vấn đề lập quỹ trả nợ
Ví dụ 5.3: Một doanh nghiệp vay vốn đầu tư kinh
doanh, tổng vốn vay: 500.000.000 đồng với lãi suất
10%/năm. Vay trong vòng 5 năm, lãi trả hàng kỳ, nợ
gốc trả vào ngày đáo hạn.
a/ Lập bảng hoàn trả cho doanh nghiệp này.
b/ Để chuẩn bị cho việc trả nợ gốc vào ngày đáo hạn,
cuối mỗi năm doanh nghiệp gửi 1 khoản tiết kiệm cố
định ở ngân hàng với lãi suất 8%/năm. Mỗi năm DN
cần gửi tiết kiệm bao nhiêu?
c/ Mỗi năm, DN chi tổng cộng bao nhiêu tiền?
193
LOGOBài tập áp dụng
Bài tập 1:
Một doanh nghiệp vay ngân hàng 500.000.000
đồng, trả dần trong 5 năm vào cuối mỗi năm. Lãi
suất 10%/năm.
a/ Tính số tiền hàng năm DN trả theo kỳ khoản cố
định. Lập bảng hoàn trả.
b/ Lập bảng hoàn trả nếu DN trả dần cố định phần
trả nợ gốc mỗi năm.
194
LOGOBài tập áp dụng
Bài tập 2:
Ông Nam vay ngân hàng 100.000.000 đồng để
xây nhà. Lãi trả hàng năm vào cuối mỗi năm, tiền
gốc trả cuối năm 1 là 20.000.000 đồng, cuối năm
2 là 30.000.000, cuối năm 3 là 30.000.000 và
phần còn lại trả vào cuối năm thứ 5. Lãi suất
10%/năm.
Lập bảng hoàn trả.
195
8/10/2017
66
LOGO
CHƯƠNG 6
TRÁI PHIẾU - CỔ PHIẾU
TOÁN TÀI CHÍNH
196
LOGOMỤC TIÊU
 Hiểu được bản chất của các loại trái phiếu, cổ
phiếu.
 Vận dụng được các phương pháp tính toán để
định giá trái phiếu, cổ phiếu.
197
LOGONỘI DUNG 
Khái niệm1
Định giá trái phiếu2
Định giá cổ phiếu3
198
8/10/2017
67
LOGO1.1 Trái phiếu
Khái niệm:
Trái phiếu là giấy chứng nhận nợ do người vay
(thường là doanh nghiệp, ngân hàng hoặc nhà
nước) phát hành, xác nhận số nợ phải trả trong
một thời gian nhất định theo một lãi suất cố định.
Người sở hữu trái phiếu gọi là trái chủ.
199
LOGO1.1 Trái phiếu
Nội dung của trái phiếu:
Nhà phát hành
Mệnh giá (giá ghi trên trái phiếu)
Thời gian đáo hạn
Lãi suất (đối với trái phiếu coupon)
200
LOGO1.1 Trái phiếu
Phân loại:
Thông thường có 2 loại trái phiếu:
-Trái phiếu không hưởng lãi (trái phiếu zero
coupon)
- Trái phiếu hưởng lãi (trái phiếu coupon)
201
8/10/2017
68
LOGO1.2 Cổ phiếu
Khái niệm:
Cổ phiếu là giấy chứng nhận quyền sở hữu một
phần tài sản ở công ty cổ phần.
Chủ sở hữu cổ phiếu gọi là cổ đông.
202
LOGO1.2 Cổ phiếu
Phân loại:
 Cổ phiếu ưu đãi: được ưu tiên trả lãi trước cổ
phiếu thường theo lãi suất cố định (gần giống với
trái phiếu). Người sở hữu loại cổ phiếu này mặc
dù là chủ DN nhưng không có quyền quản lý DN.
 Cổ phiếu thường (cổ phiếu phổ thông): là giấy
chứng nhận đầu tư vào công ty cổ phần, người
sở hữu cổ phiếu này thường được chia lợi nhuận
hàng năm từ kết quả hoạt động của công ty.
203
LOGO2. Định giá trái phiếu
Định giá trái phiếu là việc xác định giá trị lý thuyết
của trái phiếu một cách chính xác và công bằng.
Trái phiếu được định giá bằng cách xác định hiện
giá của toàn bộ thu nhập nhận được trong thời
hạn hiệu lực của trái phiếu.
204
8/10/2017
69
LOGO2.1 Định giá trái phiếu coupon
Người sở hữu trái phiếu coupon sẽ được nhận tiền lãi
hàng kỳ, tiền gốc nhận khi đáo hạn.
Để đơn giản trong việc tính toán, trong phần này ta
quy ước:
-Khoản thanh toán lợi tức được thực hiện cuối mỗi kỳ
-Lãi suất được cố định trong suốt thời gian hiệu lực
của trái phiếu
-Lãi suất chiết khấu là lãi suất thị trường.
205
LOGO2.1 Định giá trái phiếu coupon
Giá trị của trái phiếu coupon:
Trong đó:
P: giá trị của trái phiếu
I: lợi tức hàng kỳ
n: số kỳ
C: mệnh giá của trái phiếu
rd: lãi suất kỳ vọng
0 1 2
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nd d d d
I I I C
P
r r r r
206
LOGO2.1 Định giá trái phiếu coupon
Ví dụ 6.1:
Doanh nghiệp ABC phát hành trái phiếu coupon mệnh
giá 5.000.000 đồng, thời hạn 10 năm, hưởng lãi
8%/năm. Với lãi suất kỳ vọng là 10%/năm, hãy định
giá trái phiếu này.
207
8/10/2017
70
LOGO2.2 Định giá trái phiếu zero-coupon
Người sở hữu trái phiếu này mua trái phiếu với giá
thấp hơn mệnh giá, vào ngày đáo hạn bán lại với giá
bằng đúng mệnh giá ghi trên trái phiếu.
Khi đó, giá trị của trái phiếu được tính như sau:
0
(1 )nd
C
P
r
208
LOGO2.2 Định giá trái phiếu zero-coupon
Ví dụ 6.2:
Doanh nghiệp ABC phát hành trái phiếu zero coupon
mệnh giá 5.000.000 đồng, thời hạn 10 năm. Với lãi
suất kỳ vọng là 10%/năm, hãy định giá trái phiếu này.
209
LOGO3. Định giá cổ phiếu
Tương tự như trái phiếu, cổ phiếu cũng được định
giá bằng cách xác định hiện giá của toàn bộ thu
nhập nhận được trong thời hạn hiệu lực của cổ
phiếu.
210
8/10/2017
71
LOGO3.1 Định giá cổ phiếu ưu đãi
Cổ phiếu ưu đãi là loại cổ phiếu mà DN cam kết
trả tỷ lệ cổ tức cố định hàng năm và không tuyên
bố ngày đáo hạn (thời hạn vĩnh viễn).
Giá trị của cổ phiếu ưu đãi được xác định như
sau:
Ip: là cổ tức hàng năm của cổ phiếu ưu đãi
rp:là lãi suất kỳ vọng của nhà đầu tư
0
p
p
I
P
r
211
LOGO3.1 Định giá cổ phiếu ưu đãi
Ví dụ 6.3:
Công ty cổ phần XYZ phát hành cổ phiếu ưu đãi
mệnh giá 500.000 đồng, trả cổ tức cố định 10%/năm,
lãi suất kỳ vọng của nhà đầu tư là 12%/năm. Hãy định
giá cổ phiếu này.
212
LOGO3.2 Định giá cổ phiếu thường
Cổ phiếu thường có thể được định theo mô hình
chiết khấu cổ tức hoặc theo mô hình định giá tài
sản vốn – CAPM.
Trong nội dung môn học này, chỉ giới thiệu mô
hình chiết khấu cố tức.
213
8/10/2017
72
LOGO3.2 Định giá cổ phiếu thường
Theo mô hình chiết khấu cố tức, cổ phiếu thường
cũng được định giá bằng cách tính hiện giá của
tất cả các khoản cổ tức nhận được trong tương
lai.
Do đó, mô hình này có công thức định giá như
sau:
1 2
0 1 2
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n n
n n
e e e e
I I I P
P
r r r r
214
LOGO3.2 Định giá cổ phiếu thường
Hay:
Trong đó:
Ij: là lợi tức của kỳ thứ j
re: là lãi suất kỳ vọng
Pn: là giá cổ phiếu mà nhà đầu tư dự kiến bán lại
vào thời điểm n
0
1 (1 ) (1 )
n
j n
j n
j e e
I P
P
r r 

215
LOGO3.2 Định giá cổ phiếu thường
Ví dụ 6.4:
Ông Việt dự định mua cổ phiếu của công ty A, dự kiến
cổ tức năm sau là 2.000 đồng/cổ phiếu, và giá bán cổ
phiếu này năm sau là 20.000 đồng/cổ phiếu. Vậy,
mức giá mà ông Việt có thể mua là bao nhiêu? (Biết
lãi suất kỳ vọng là 10%/năm)
216
8/10/2017
73
LOGO3.2 Định giá cổ phiếu thường
Trong định giá cổ phiếu thường, lưu ý rằng các
khoản lợi tức và giá bán là trong tương lai, các giá
trị dùng để tính toán chỉ là dự đoán.
Giá trị tính toán được của cổ phiếu dù theo
phương pháp nào cũng chỉ là giá trị lý thuyết, còn
giá mà cổ phiếu được mua bán trên thị trường có
thể khác rất nhiều do quy luật cung cầu của thị
trường.
217
LOGO3.2 Định giá cổ phiếu thường
Trường hợp cổ tức hàng năm cố định
định giá giống cổ phiếu ưu đãi
Trường hợp cổ tức hàng năm tăng trưởng đều
Trường hợp cổ tức hàng năm thay đổi không đều
1 0
0
(1 )
e e
I I g
P
r g r g
1 2
0 1 2
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n n
n n
e e e e
I I I P
P
r r r r
218
LOGO3.2 Định giá cổ phiếu thường
Ví dụ 6.5:
Định giá các cổ phiếu sau
a/ Cổ phiếu thường, dự kiến cổ tức hàng năm là
10.000 đồng/cổ phiếu, lãi suất kỳ vọng 10%/năm
b/ Cổ phiếu thường, dự kiến cổ tức năm sau là 5.000
đồng/cổ phiếu, cổ tức mỗi năm tăng 5%, lãi suất kỳ
vọng 12%/năm
c/ Cổ phiếu thường, cổ tức năm sau dự kiến là 5.000
đồng/cổ phiếu, tốc độ tăng trưởng các năm kế tiếp lần
lượt là 0%, 5%, 2%, sau đó cố định là 3% cho tới vĩnh
viễn. Lãi suất kỳ vọng là 12%/năm
219
8/10/2017
74
LOGOBài tập áp dụng
Bài tập 1:
Trái phiếu coupon mệnh giá 150$, thời hạn 10 năm,
cuối mỗi năm trả lãi tức là 10$.
Tính giá trị của trái phiếu này biết lãi suất kỳ vọng là
12%.
Nếu trái phiếu được định giá là 64$ thì lãi suất kỳ
vọng là bao nhiêu?
220
LOGOBài tập áp dụng
Bài tập 2:
Cổ phiếu X đang được bán trên thị trường với giá
115.000 đồng/cổ phiếu, được kỳ vọng sẽ mang lại cổ
tức là 10.000 đồng/cổ phiếu vào năm sau và dự đoán
giá cổ phiếu trên thị trường 1 năm sau sẽ là 120.000
đồng/cổ phiếu.
Một nhà đầu tư kỳ vọng mức lãi suất 12%/năm có nên
đầu tư vào cổ phiếu này không?
Nếu cổ tức hàng năm đều tăng 5% thì cổ phiếu X sẽ
được định giá là bao nhiêu?
221