Bài giảng Toán rời rạc - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên - Nguyễn Lê Minh

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
1
1
CHƯƠNG 2:
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 I) ĐỊNH NGHĨA:

 Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên), viết tắt là
ĐLNN, có thể được xem như là một đại lượng mà các
giá trị số của nó là kết quả của các thí nghiệm/ thực
nghiệm ngẫu nhiên hoặc quan sát hiện tượng tự nhiên;
giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.

 Đại lượng NN được chia thành hai loại: đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên lục.

 ĐLNN rời rạc lấy các giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm
được.

 ĐLNN liên tục lấy bất kỳ giá trị trên một (số) khoảng
của trục số thực.

 ĐLNN thường được ký hiệu là X, Y, Z, 
2
3
I) ĐỊNH NGHĨA: 
 Định nghĩa tương đối chặt chẽ, ĐLNN X là 
một ánh xạ thỏa: 
X:  R , với  là không gian mẫu các biến 
cố sơ cấp. 
( )X ֏ 
Tập ( ) { ( ): }X X    là tập các giá trị có thể 
có của X. 
 Định nghĩa chặt chẽ là định nghĩa dựa trên 
khái niệm: -đại số các biến cố, tập Borel, 
hàm đo được. 4
 VD1: Tung một đồng xu sấp ngữa 2 lần.
Gọi X= số lần được mặt sấp.
X là ĐLNN? Phân loại?
 VD2: Tung 1 con xúc xắc.
Gọi X= số nút xuất hiện của con xúc xắc.
X là ĐLNN? Phân loại?
 VD3: Khảo sát số người đến siêu thị trong 1 ngày.
Gọi X= số người đến siêu thị trong ngày.
X là ĐLNN? Phân loại?
 VD4: Đo chiều cao của 1 người.
Gọi X= chiều cao của người đó.
X là ĐLNN? Phân loại?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
2
 VD5: Nghiên cứu bão ở Việt Nam trong năm.
Gọi X= số cơn bão đổ bộ vào VN trong năm.
X là ĐLNN? Phân loại?
 VD6: Khảo sát tiền lương của 1 nhân viên nhà nước
trong năm (biết hệ số lương và số năm công tác).
Gọi X= tiền lương của người này trong tháng.
X là ĐLNN?
 VD6bis: Khảo sát tiền lương của 1 nhân viên nhà nước
trong năm (chưa biết hệ số lương và số năm công tác).
Gọi X= tiền lương của người này trong tháng.
X là ĐLNN?
5 6
 VD7: Một người lấy vợ. Xét xem người này lấy phải
người vợ có tính tình giống Tấm hay Cám (Tấm mặc áo
tứ thân chứ không phải Tấm mặc áo 2 dây!).
Gọi X= tính tình của người vợ này.
X là ĐLNN?
 VD8: Hộp có 10 bi, trong đó có 6 bi T.
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp.
Gọi X= số bi Trắng lấy được.
X là ĐLNN? Phân loại?
 VD9: Giống VD 8.
Nhưng hộp có tất cả đều là bi T.
 Nhận xét:
ĐLNN rời rạc: ta có thể liệt kê các giá trị được.
 ĐLNN liên tục: ta không thể liệt kê các giá trị được.
7
II) BIỂU DIỄN ĐLNN

 ĐLNN rời rạc: dùng bảng phân phối xác suất

 ĐLNN liên tục: dùng hàm mật độ xác suất (một
số sách dùng hàm phân phối xác suất).

 Phần quan trọng nhất của chương này là lập được
bảng ppxs (luật ppxs) của ĐLNN rời rạc.
8
II) BIỂU DIỄN ĐLNN
1) ĐLNN rời rạc: 
Dùng bảng phân phối xác suất: 
X x1  xi  xn 
P p1  pi  pn 
xi (i= 1...n) là các giá trị khác nhau có thể có của X 
pi = P(X = xi) : xác suất X nhận giá trị xi 
Tính chất: 
0 pi 1 , 
n
i
i
p
1
 =1 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
3
9

Câu hỏi:

Để lập được bảng ppxs của X ta cần làm gì?

Trả lời:

* Xác định các giá trị có thể có xi của X

* Tính các xác suất pi tương ứng với các giá trị xi
10
II) Biểu diễn ĐLNN (rời rạc)
VD1: Tung một đồng xu sấp ngữa 2 lần. 
Gọi X= số lần được mặt sấp. Lập bảng ppxs cho X? 
Giải: 
* X có thể có các giá trị: 0, 1, 2 
* Ta có 4 trường hợp xảy ra khi tung đồng xu SN 2 lần: 
 SS, SN, NS, NN 
P(X=0)= P(NN) = ¼ , P(X=1)= P(SN+NS)= 2/4 , 
P(X=2)= P(SS)= ¼ 
X 0 1 2 
P ¼ 2/4 ¼ 
11
VD2: Hộp có 6 bi, trong đó có 4 bi T, 2 bi Đ. Lấy ngẫu 
nhiên 2 bi từ hộp. 
Gọi X= số bi T lấy được. Lập bảng ppxs cho X? 
Giải: 
* X có thể có các giá trị 0,1,2 
*Ta tính xác suất như sau: 
Đặt A= bc lấy được 0 bi T (2 bi Đ) 
B= bc lấy được 1 bi T ; C= bc lấy được 2 bi T 
P(X=0)= P(A)= C(2,2) / C(2,6) = 1/15. 
P(X=1)= P(B)= C(1,4).C(1,2) / C(2,6) = 8/15 
P(X=2)= P(C)= C(2,4) / C(2,6) = 6/15 
X 0 1 2 
P 1/15 8/15 6/15 
 12
Nhận xét: Khi mới học thì ta đặt bc A rùi tính xác suất 
P(X=0) = P(A) để gợi nhớ chương 1 đầy kỷ niệm. 
Sau này khi ở đẳng cấp PRO thì ta tính thẳng P(X=0), 
không thông qua P(A) nữa.
Có muốn mình PRO hay không là tùy bạn!!! 

 Lưu ý:

 * Ta phải kiểm tra lại xem tổng xác suất có bằng 1
không

 * Không được làm:

 P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1) để tính P(X=2)

 * Không được tính xác suất ra số thập phân nếu
phép chia không hết, nếu có giản ước phân số thì để
cùng mẫu số.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
4
13

 VD3:

 Hộp có 4 bi T và 2 bi Đ. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi.

 Gọi X= số bi T lấy được (trong 3 bi lấy ra)

 Lập luật ppxs (bảng ppxs) cho X?
Giải: 
X 1 2 3 
P C(1,4).C(2,2) /C(3,6) C(2,4).C(1,2) /C(3,6) C(3,4) /C(3,6) 
14
VD 3bis: 
Hộp có 2 bi T, 3 bi V, 4 bi Đ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. 
X= số bi T lấy được. 
Bảng ppxs cho X là: 
X 0 1 2 
P C(3,7)/C(3,9) C(1,2).C(2,7)/C(3,9) C(2,2).C(1,7)/C(3,9) 
15
Hãy nghỉ đây là bài tập chương 1!!!

 VD4:

 Có 3 hộp, trong đó có 2 hộp loại 1 và 1 hộp loại 2.
Hộp loại 1 có: 3 bi T, 2 bi V.
Hộp loại 2 có: 3 bi T, 3 bi V.
Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy NN ra 2 bi.

 Gọi X= số bi T lấy được.

 Lập bảng ppxs cho X?
16
Giải VD4: 
Đặt Hi= bc lấy được hộp loại i, i= 1,2 
X 0 1 2 
P 2/15 9/15 4/15 
P(X=0)= P(X=0/H1)P(H1)+P(X=0/H2)P(H2) 
 = [C(2,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3)= 2/15 
P(X=1)= P(X=1/H1)P(H1)+P(X=1/H2)P(H2) 
 =[C(1,3).C(1,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(1,3).C(1,3)/C(2,6)].(1/3) 
 = 9/15 
P(X=2)= P(X=2/H1)P(H1)+P(X=2/H2)P(H2) 
 = [C(2,3)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3) = 4/15 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
5
17

 VD5:

 Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi V.
Hộp 2 có: 3 bi T, 2 bi V.
Lấy NN 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi lấy NN 2
bi từ hộp 2 ra xem màu.

 Gọi X= số bi T lấy được (trong 2 bi lấy ra từ hộp 2).

 Lập bảng ppxs cho X?
18
Giải VD5: 
Đặt Ai= bc lấy được i bi T từ hộp 1, i= 0,1,2. 
P(A0)= C(2,3)/C(2,5)= 3/10 , P(A2)= C(2,2)/C(2,5)= 1/10 
P(A1)= C(1,2).C(1,3)/C(2,5)= 6/10 
X 0 1 2 
P 
P(X=0)= P(X=0/A0)P(A0)+P(X=0/A1)P(A1)+P(X=0/A2)P(A2) 
 = [C(2,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,3)/C(2,7)].(6/10) 
 +[C(2,2)/C(2,7)].(1/10) 
P(X=1)= P(X=1/A0)P(A0)+P(X=1/A1)P(A1)+P(X=1/A2)P(A2) 
 = [C(1,3).C(1,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(1,4).C(1,3)/C(2,7)].(6/10) 
 +[C(1,5).C(1,2)/C(2,7)].(1/10) 
P(X=2)= P(X=2/A0)P(A0)+P(X=2/A1)P(A1)+P(X=2/A2)P(A2) 
 = [C(2,3)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,4)/C(2,7)].(6/10) 
 +[C(2,5)/C(2,7)].(1/10) 
19
VD6:
Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm
xấu. Kiện 2 có 2 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu.
Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2
ra 1 sản phẩm.
Lập luật ppxs của số sp tốt trong 3 sp lấy ra?
20
Giải VD6: 
Ai= bc lấy được i sp tốt từ kiện 1, i= 0, 1, 2 
Bi= bc lấy được i sp tốt từ kiện 2, i= 0, 1 
X= số sp tốt trong 3 sp lấy ra 
P(X=0)= P(A0B0)= P(A0).P(B0)= C(2,2)/C(2,5). (3/5)= 0,06 
P(X=1)= P(A1B0+A0B1)= P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1) 
 = C(1,3)C(1,2)/C(2,5). (3/5) + C(2,2)/C(2,5). (2/5)= 0,4 
P(X=2)= P(A1B1+A2B0)= 0,42 ; P(X=3)= P(A2B1)= 0,12 
X 0 1 2 3 
P 0,06 0,40 0,42 0,12 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
6
21

 Bình loạn: Đa số sinh viên rất “ái ngại” khi gặp dạng toán
lập bảng ppxs! Họ không biết rằng đây là một dạng toán
rất quen thuộc mà họ xem là “chuyện thường ngày ở
huyện”, đó là dạng toán tính xác suất của biến cố.

 Bạn hãy tưởng tượng Chương 1 là WinXP (tính P(A)), còn
Chương 2 chỉ là WinXP có vẻ ngoài “hào nhoáng, hoàng
gia” của Win7 (tính P(X=k)), do có cài thêm Seven
Transformation Pack. “Bộ cánh” hoàng gia này không che
dấu được bản chất quê mùa, lam lũ, chịu thương chịu khó
 của WinXP (thực chất bài toán lập bảng ppxs là bài toán
tính xs của biến cố, nhưng xét cho tất cả các trường hợp có
thể xảy ra). Phàm thì con người ta dễ bị vẻ hào nhoáng
bên ngoài làm cho “khiếp sợ, kiêng dè”!

 Bạn hãy nhìn ra bản chất chơn chất, thật thà, xù xì, thô
kệch, của C1 mà từ đó suy ra cách làm cho C2. 22
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc
Bảng ppxs của X: 
X x1 ... xi ... xn 
P p1 ... pi ... pn 
Hàm phân phối F(x) định nghĩa: 
F: |R |R 
F(x) = P(X<x) 
X là ĐLNN nhận các giá trị x1, x2, ..., xn 
x là 1 số thực bất kỳ 
(X<x) là một biến cố 
23
VD: Bảng ppxs 
X -1 0 1 3 
P 0,1 0,3 0,4 0,2 
 x≤-1 : F(x) = P(X<x) = P() = 0 
-1<x≤0 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1) = 0,1 
 0<x≤1 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1)+P(X=0) 
 = 0,1+0,3 = 0,4 
 1<x≤3 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) 
 = 0,1+0,3+0,4 = 0,8 
 3<x : F(x) = P(X<x) 
= P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=3) 
 = 0,1+0,3+0,4+0,2 = 1 24
Hàm phân phối có thể trình bày: 
x (-∞,-1] (-1,0] (0,1] (1,3] (3,+∞) 
F(x) 0 0,1 0,4 0,8 1 
Lưu ý: Có sách trình bày: 
x -1 0 1 3 
F(x) 0,1 0,4 0,8 1 
Bài tập: 
Tìm bảng (luật) ppxs và kỳ vọng của 
ĐLNN X có hàm phân phối: 
x -2 1 3 4 
F(x) 1/8 3/8 ¾ 1 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
7
25
Quy ước: lấy giá trị bên phải, không lấy giá trị bên trái
26
II) Biểu diễn ĐLNN (liên tục)
2)ĐLNN liên tục: 
Ta dùng hàm mật độ để biểu diễn. 
Hàm mật độ xác suất f(x) là hàm thỏa các điều kiện sau: 
 1. f:IR IR 
 2. f(x) 0, x 
 3. 
IR
dxxfdxxf 1)()( (tích phân suy rộng). 
Tính chất: 
 2
1
21
x
x
dxxfxXxP 
27
Thí dụ: Hàm mật độ Gauss 
 2
2
1exp
2
1)()( xxxf
là hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc N(0,1). 
 x=– x=+ 
Ý nghĩa hình học của điều kiện 3: Diện tích của hình (giới 
hạn bởi các đường: đường cong hàm mật độ f(x) và trục 
hoành, đường thẳng x=– , x=+ ) là 1. 
 2
1 
x 0 
1 
28
Ý nghĩa hình học của tính chất hàm mật độ xác suất: 
Xác suất để ĐLNN X có giá trị nằm trong khoảng (x1, x2) chính 
là diện tích của vùng được tô màu trong hình 
x2 x1 
x 0
f(x)
 2
1
21
x
x
dxxfxXxP
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
8
29
Ta cĩ: P(a <X< b) = 
b
f (x)dx
a
Với >0 đủ nhỏ, ta cĩ: 
P(x- <X< x+ ) = 
x
f (t)dt f (x).2
x
Do đĩ: f(x1)>f(x2) thì f (x ).2 f (x ).21 2
Hàm mật độ xác suất f(x) của đại lượng 
ngẫu nhiên liên tục X cho biết mức độ tập 
trung xác suất trong lân cận điểm x. 
Ý nghĩa hàm mật độ xác suất
30
Lưu ý về dấu “=“ trong ĐLNN liên tục và 
ĐLNN rời rạc 

 X là ĐLNN liên tục thì P(X=a) = 0, a

 Do đó P(X<=a) = P(X<a) + P(X=a) = P(X<a)

 Cẩn thận:

 X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì:

 P(X<=a) = P(X<a) + P(X=a) ≠ P(X<a)
31 32
III) HAI ĐLNN ĐỘC LẬP (chỉ xét rời rạc) 
* Nhắc lại 2 biến cố độc lập: 
A, B độc lập  P(AB) = P(A).P(B) 
* Xét 2 ĐLN X, Y có bảng ppxs: 
X x1  xi  xn Y y1  yj  ym 
P p1  pi  pn P p1  pj  pm 
2 biến cố (X=xi) và (Y=yj) độc lập 
  P[(X=xi).(Y=yj)] = P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) 
X,Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 
Thực hành: Nếu khi thực hiện phép thử mà việc X nhận các giá 
trị xi không ảnh hưởng đến khả năng Y nhận các giá trị yj, và 
ngược lại, thì ta nói X, Y độc lập. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
9
33

 VD1:

 Tung 1 con xúc xắc 2 lần.

 Gọi X= số nút xuất hiện ở lần tung 1

 Gọi Y= số nút xuất hiện ở lần tung 2

 X,Y độc lập?
34
Giải VD1: 
* Đặt Ci= bc xh mặt có số nút là i ở lần tung 1. 
 Di= bc xh mặt có số nút là i ở lần tung 2. 
* Không gian mẫu = {C1D1, C1D2,..., C1D6, 
 C2D1,... , C2D6, 
 .... 
 C6D1,... C6D6} 
X 1 2 3 4 5 6 
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
Y 1 2 3 4 5 6 
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
P(X=1,Y=1)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=1) 
P(X=1,Y=2)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=2) 
Tương tự: P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 
Vậy X,Y độc lập. 
35

 Thực hành:

 Ta thấy kết quả ở lần tung thứ 1 không ảnh hưởng
đến kết quả ở lần tung thứ 2, và ngược lại nên X,Y
độc lập.

 VD2:

 Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa 2 lần.

 Gọi X= số lần được mặt S.

 Y= số lần được mặt N.

 X,Y độc lập?
36
Giải VD2: 
X 0 1 2 
P ¼ 2/4 ¼ 
Y 0 1 2 
P ¼ 2/4 ¼ 
Ta thấy X+Y = 2 (số lần tung) nên X, Y 
không độc lập. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
10
37
IV)CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐLNN 
1)Kỳ vọng: 
Kỳ vọng của X, ký hiệu E(X), được tính bằng công thức: 
X x1  xi  xn 
P p1  pi  pn 
 E(X) =  xipi (nếu X là ĐLNN rời rạc), 
Hoặc 
 dxxfxXE )(.)( (nếu X là ĐLNN liên tục). 
Kỳ vọng toán có các tính chất: 
 E(c)= c 
 E(aX)= a.E(X) 
 E(X±Y)= E(X)±E(Y) 
 E(XY)= E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập. 
với a là hằng số, c là đại lượng ngẫu nhiên hằng. 38
VD1: 
Lớp học có 100 sinh viên. Điểm số môn XSTK của lớp như sau: 
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Số sv 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2 
1) Tính điểm trung bình môn XSTK của lớp? 
2) Chọn NN 1 sinh viên trong lớp ra xem điểm thi. 
 Gọi X là điểm số của sv này. 
 Lập bảng ppxs cho X? Tính kỳ vọng E(X)? 
39
Giải VD1: 
1) Điểm tb x= (1/100).[0*1+1*3+.+10*2] = 5,04 điểm 
2) Bảng ppxs: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P 0,01 0,03 0,05 0,08 0,23 0,25 0,15 0,07 0,08 0,03 0,02 
E(X)= 0*0,01+1*0,03+2*0,05++10*0,02 
 = (1/100)[0+1*3+.+10*2] = 5,04 = x 
Vậy E(X) chính là điểm số trung bình. 
Tương tự: 
Nếu X là trọng lượng thì E(X) là trọng lượng trung bình. 
X là năng suất thì E(X) là năng suất trung bình,  
Vậy E(X) là giá trị trung bình của X. 

 VD2:

 Xét trò chơi sau: Hộp có 3 bi T, 4 bi X. Lấy ngẫu nhiên
2 bi từ hộp. Nếu lấy được 2 bi T thì được thưởng 5
USD, nếu lấy được 1 bi T và 1 bi X thì được thưởng 2
USD, nếu lấy được 2 bi X thì bị phạt a= 7 USD.

 1) Có nên chơi hay không?

 2) Giá trị a là bao nhiêu thì trò chơi là công bằng?
40
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
11
Giải:

 X= số tiền lời (lỗ) cho mỗi lần chơi

 E(X)= 5(1/7)+2(4/7)+(-a)(2/7) = (1/7)(13-2a)

 1) Với a= 7 thì E(X)= -1/7 <0 : vậy không nên chơi

 2) Để trò chơi công bằng, chơi về lâu dài hòa vốn thì
E(X)= 0 (1/7)(13-2a)= 0 a= 6,5 USD
41
X 5 2 -a
Số bi T 
lấy được
2 1 0
P C(2,3)/C(2,7)
= 1/7
C(1,3).C(1,4)/C(2,7)
= 4/7
C(2,4)/C(2,7)
= 2/7
42
2)Phương sai: 
Phương sai xác định bằng công thức: 
 D(X)= var(X)=  2XEXE 
Với ĐLNN rời rạc : 
 var(X)= 
i
p
i
XE
i
x
2
 
Với ĐLNN liên tục : 
 var(X)   
 dxxfXEx )(.2 
Ta cũng có thể áp dụng công thức biến đổi của phương sai: 
 var(X)= E(X2) [E(X)]2 
 với E(X2)= xi2pi hoặc 
 dxxfxXE )(.2)2( . 
43
Phương sai có các tính chất sau: 
 var(c) = 0 
 var(X) ≥0, X ; var(X)= 0  X= c 
 var(aX) = a2.var(X) 
 var(X ± c) = var(X) 
 var(X ± Y) = var(X) + var(Y), nếu X, Y độc lập. 
Với c là ĐLNN hằng, a là hằng số 
44

 Ý nghĩa phương sai:

 Xét thí dụ điểm số ở trên. Ta muốn xem lớp có học
“đều” không, nghĩa là các điểm số xi có tập trung gần
điểm trung bình E(X) không, ta xét |xi-E(X)|. Để xét tất
cả các giá trị cùng lúc ta xét |xi-E(X)|pi. Ta mong
muốn nó càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên hàm |x| không
phải lúc nào cũng có đạo hàm, nên ta thay bằng hàm x2.

 Vậy ta xét: (xi-E(X))2pi và mong muốn nó càng nhỏ
càng tốt.

 Ta gọi var(X) = (xi-E(X))2pi.

 Nếu var(X) nhỏ thì ta nói các xi tập trung quanh E(X)

 Nếu var(X) lớn ta nói các xi phân tán ra xa E(X).
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
12
45
VD1: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P 0,01 0,03 0,05 0,08 0,23 0,25 0,15 0,07 0,08 0,03 0,02 
E(X2) = 02*0,01+12*0,03++102*0,02 = 29,26 
Var(X)= E(X2)- {E(X)}2 = 29,26-(5,04)2 = 3,8584 
Lưu ý: 
Đơn vị đo của phương sai là đơn vị đo của X bình 
phương. Thường ký hiệu cho giá trị phương sai là 2. 
46
3) Độ lệch chuẩn 
Độ lệch chuẩn được tính bằng căn bậc hai 
của phương sai, có cùng đơn vị đo với X. 
 SD(X) = var X 
 =  
VD1: 
 = 3,8584 = 1,9643 
Độ lệch chuẩn có ý nghĩa giống phương sai 

 VD2:

 Có 2 hãng A và B cung cấp dây chuyền sản xuất mì gói
ăn liền. Thử nghiệm sản xuất 100 gói mì trên dây
chuyền của từng hãng, ta có bảng kết quả:

 Vậy nên mua dây chuyền của hãng nào?
47
Cân nặng (g) 82 83 84 85 86 87
Số gói mì trên 
DC hãng A
10 20 10 30 20 10
Số gói mì trên 
DC hãng B
18 6 16 31 16 13
Giải: X 82 83 84 85 86 87
P 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 0,1
48
Y 82 83 84 85 86 87
P 0,18 0,06 0,16 0,31 0,16 0,13

 Gọi X= trọng lượng của gói mì sx trên DC của hãng A

 Y= trọng lượng của gói mì sx trên DC của hãng B

 Từ bảng phân phối xs trên ta tính được:

 E(X)= 84,6 g ; var(X)= 2,24 g2

 E(Y)= 84,6 g ; var(Y)= 2,54 g2

 Dây chuyền sản xuất của hãng A ổn định hơn
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
13
3bis) Hệ số biến thiên CV (Coefficient Variation)

CV(X) = {(X) / |E(X)|}.100% , với E(X) ≠ 0

 CV không phụ thuộc đơn vị đo của X.

 VD3: Một người chơi cổ phiếu dự định chơi 2 loại
cổ phiếu A, B.

 Lợi nhuận của cổ phiếu A biểu thị bởi ĐLNN X
có E(X) = 16 (%) , (X) = 4 (%).

 Lợi nhuận của cổ phiếu B biểu thị bởi ĐLNN Y
có E(Y) = 10 (%) , (Y) = 3 (%).

 Nên đầu tư vào loại cổ phiếu nào?
49
Giải:
1) Nếu muốn kỳ vọng thu hồi vốn cao thì nên
chọn cổ phiếu A.
2) Nếu muốn mức độ rủi ro khi đầu tư thấp thì
nên chọn cổ phiếu B.
3) Nếu muốn kỳ vọng thu hồi vốn tương đối
cao và mức độ rủi ro tương đối thấp, tức mức
độ biến động tương đối của dữ liệu thấp thì
dùng hệ số biến thiên CV.

 Cổ phiếu A: CV(X) = {4/16}.100% = 25 %
Cổ phiếu B: CV(Y) = {3/10}.100% = 30 %

 Vậy nên đầu tư vào cổ phiếu A.
50

 Bình loạn:

 Ai lấy vợ cũng luôn ao ước người vợ của mình “Đẹp
người Đẹp nết”, nhưng giống loài “Đẹp người Đẹp
nết” này hiện nay dường như đã tuyệt chủng rồi!!!

 Nếu được cả 2 cái đẹp này thì quá tốt, còn nếu chỉ
được 1 cái thì bạn sẽ chọn cái nào?! Đẹp người hay
Đẹp nết?!

 Bạn sẽ chọn cái “dung hòa” giữa 2 cái này:
Chọn vợ đẹp 1 tý thì phải chấp nhận vợ hung dữ 1 tý.
(Theo Hiền triết PLMA)
51 52
4) mode (giá trị tin chắc nhất) của X: 
 Giá trị tin chắc nhất của X, ký hiệu mod(X). 
ĐLNN rời rạc : là giá trị xi ứng với xác suất pi lớn nhất trong 
bảng phân phối xác suất của X. 
ĐLNN liên tục: là giá trị của X ứng với điểm cực đại của hàm 
mật độ xác suất của X. 
 Giá trị mod(X) có thể không duy nhất. 
VD1: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P 0,01 0,03 0,05 0,08 0,23 0,25 0,15 0,07 0,08 0,03 0,02 
Ta thấy p6 = 0,25 lớn nhất nên mod(X) = 5. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
14
53
VD2: 
Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa 3 lần. 
Gọi X= số lần được mặt S 
X 0 1 2 3 
P 1/8 3/8 3/8 1/8 
Mod(X) = 1 hoặc 2 , ghi là mod(X) = 1, 2 
Vậy khi tung đồng xu Sấp Ngữa 3 lần ta hy vọng 
(tin chắc nhất) sẽ được 1 hoặc 2 lần mặt Sấp. 
54
VD3: Hàm mật độ Gauss 1 1 2( ) exp
22
x x
 là 
hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc N(0,1). 
 x=– x=+ 
Điểm cực đại là (0, 1
2 
) 
Mod(X) là 0 
 2
1 
x 0 
1 
55

 V) HÀM CỦA ĐLNN

 1) Hàm 1 biến

 X là ĐLNN. Nếu f(x) là hàm 1 biến liên tục thì f(X)
là ĐLNN.

 VD : X2 , |X| là các ĐLNN

 Lưu ý:

 Ta không cần điều kiện “mạnh” là f liên tục, ta chỉ
cần f là “hàm đo được”. Khái niệm này đòi hỏi
phải có kiến thức về Xác suất lý thuyết. Điều này
chẳng có gì thích thú cả!

 2) Hàm 2 biến

 X,Y là 2 ĐLNN. Nếu f(x,y) là hàm 2 biến liên tục
thì f(X,Y) là ĐLNN.

 VD: X+Y , X.Y là các ĐLNN 56
VD1: 
Cho X có bảng ppxs 
X -1 0 1 2 
P 1/7 3/7 1/7 2/7 
1) Lập bảng phân phối xác suất cho |X| 
2) Tính E(|X|), var(|X|) 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
15
57
Giải VD1: 
|X| |-1| |0| |1| |2| 
Z = |X| 0 1 2 
P 
7
1 
7
3 
7
1 
7
2 P 
7
3 
7
2 
7
2 
E(Z) = 0. 
7
3 + 1. 
7
2 + 2. 
7
2 = 
7
6 
E(Z2) = 02. 
7
3 + 12. 
7
2 + 22. 
7
2 = 
7
10 
var(Z) = E(Z2) – [E(Z)]2 = 
7
10 – (
7
6 )2 = 34/49 
Cách khác: 
var(Z) = (0–
7
6 )2. 
7
3 + (1–
7
6 )2. 
7
2 + (2–
7
6 )2. 
7
2 = 34/49 
58
Câu 3, 4 tự làm; giống câu 1, 2
VD3: Cho X, Y độc lập. 
X 0 1 Y 0 1 2 
P ½ ½ P ¼ 2/4 ¼ 
1) Lập bảng phân phối xác suất của X+Y. 
2) Tính E(X+Y) , var(X+Y). 
3) Lập bảng phân phối xác suất của X.Y 
4) Tính E(X.Y), var(X.Y). 
59
Giải VD3: 
1) Ta lập bảng sau: Z = X + Y 
 X Y 0 1 2 
0 Z=0 Z=1 Z=2 
1 Z=1 Z=2 Z=3 
Các số trong bảng là tổng của 2 số ở dòng, 
cột tương ứng 
X + Y 0 1 2 3 
P 1/8 3/8 3/8 1/8 
 60
Giải VD3 (tt)
P(X+Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) .P(Y = 0) 
 = ½. ¼ = 1/8 
P(X+Y = 1) = P [(X = 0,Y = 1) +(X = 1, Y = 0)] 
 = P(X =0,Y = 1) +P(X = 1,Y =0) 
 = P(X = 0) P(Y = 1) + P(X =1) P(Y = 0) 
 = ½. 
4
2 + ½. ¼ = 3/8 
P(X + Y = 2) = P(X = 0) P(Y = 2) + P(X = 1) P(Y = 1) 
 = ½ . ¼ + ½ . 
4
2 = 3/8 
P(X + Y = 3) = P(X = 1) P (Y = 2) = ½ . ¼ = 1/8 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2 21-01-2019
16
61
Giải VD3 (tt)
2) E(Z) = 0.
8
1 + 1.
8
3 + 2. 
8
3 + 3. 
8
1 = 3/2 
 E(Z2) = 02. 
8
1+ 12. 
8
3 + 22. 
8
3 + 32. 
8
1 = 3 
 var(Z) = E(Z2) – (E(Z))2 = 3 – (
2
3)2 = ¾ 
Cách khác: 
var(Z) = (0 –
2
3)2. 
8
1+ (1–
2
3)2. 8
3+(2–
2
3)2. 8
3+(3–
2
3)2. 
8
1 = ¾ 
Lưu ý: Nếu ta áp dụng tính chất của kỳ vọng, 
phương sai thì làm như sau: 
 E(X + Y) = E(X) + E(Y) = ½ + 1 = 3/2 
 var(X + Y) = var(X) + var(Y) = ¼ + ½ = ¾ 
Ứng dụng: Hàm của ĐLNN
VD4:
Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm
loại I và 4 sản phẩm loại II. Tiền lời khi bán 1 sản
phẩm loại I, loại II lần lượt là 5, 3 ngàn đ. Lấy ngẫu
nhiên từ kiện ra 3 sản phẩm để bán.
1) Tìm quy luật phân phối xác suất của số sản phẩm
loại I lấy được?
2) Tìm quy luật phân phối xác suất của số tiền lời thu
được do bán 3 sản phẩm trên?
62
63
Giải: 
1) Gọi X = số sản phẩm loại I có trong 3 sản phẩm lấy ra 
Bảng phân phối xác suất của X 
X 0 1 2 3 
P 1/30 9/30 15/30 5/30 
2) Gọi Y = số tiền lời thu được do bán 3 sản phẩm lấy ra 
Ta có : Y = 5. X + 3. (3 – X) = 2X + 9 
 Số spl I Số spl II 
Bảng ppxs của Y 
X 0 1 2 3 
Y 9 11 13 15 
P 1/30 9/30 15/30 5/30 
Mời ghé thăm trang web:
64

 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/

 https://sites.google.com/site/phamtricao/