Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 4: Đạo hàm, vi phân - Nguyễn Ngọc Lam

87
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0 (a,b). Đạo 
hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu: 
0
0
0
)()(
lim)('
0 xx
xfxf
xf
xx 
Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0
 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0
x
y
y
x 
 0
lim'
88
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- Đạo hàm bên phải: 
- Đạo hàm bên trái: 
Định lý: f’(x0) tồn tại f’(x0
+) = f’(x0
-)
x
xf
xf
x 
 )(lim)(' 0
0
0
x
xf
xf
x 
 )(lim)(' 0
0
0
Đạo hàm một phía:
Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.
Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0 
89
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại 
mọi điểm trong khoảng đó, 
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi 
điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm 
trái tại b 
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 
Đạo hàm trên khoảng, đoạn:
Ý nghĩa của đạo hàm:
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0
• Đường cong liên tục
• Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị
90
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
• (u + v)’ = u’ + v’
• (u.v)’ = u’v + v’u
2
' ''
v
uvvu
v
u 
Đạo hàm của hàm số hợp:
Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm tại 
u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’x
• (v 0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số)
Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx
Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x
91
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược 
x = f-1(y) thì:
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
'
'1 1)(
x
y
f
f 
92
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm 
các hàm số 
sơ cấp cơ 
bản: 
(c)’ = 0
(x )’ = x -1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex
ax
xa
ln
1
)'(log 
x
x
1
)'(ln 
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
x
tgx
2cos
1
)'( 
x
gx
2sin
1
)'(cot 
21
1
)'(arcsin
x
x
21
1
)'(arccos
x
x
21
1
)'(
x
arctgx
21
1
)'cot(
x
gxarc
Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x)
93
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo 
hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo 
hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2
2
2
 ,
dx
fd
dx
yd
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo 
hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x).
n
n
n
n
dx
fd
dx
yd
 ,
94
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n:
1. y = ex
2. y = ax
3. y = lnx
4. y = x 
)
2
sin(ysin (n)
nxxy 
Một vài công thức:
)
2
cos(ycos (n)
nxxy 
95
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta 
có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
 
n
k
kknk
n
n vuCuv
0
)()()( .)( trong đó u(0) = u, v(0) = v 
96
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. VI PHÂN
Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại x0 nếu 
tồn tại A sao cho  f = A. x + 0 (x). 
Biểu thức df = A. x được gọi là vi phân của f tại x0.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
2v
udvvdu
v
u
d
Định lý: f(x) khả vi tại x0  f có đạo hàm và f’(x0) = A.
97
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi tại x và khi | x|
gần 0 ta có: f(x+ x) – f(x) f’(x) x
hay f(x+ x) f(x) + f’(x) x
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu 
dny = y(n)dxn được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
Ví dụ: Tính gần đúng (15,8)1/4
98
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong 
(a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c (a,b) sao cho 
f’(c) = 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi 
trong (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho
)('
)()(
cf
ab
afbf
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định 
lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
99
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi 
trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại c 
(a,b) sao cho 
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt 
của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.
100
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong 
lân cận D của x0 thì x D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x 
và x0 sao cho:
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
)(
)!1(
)(
)(
!
)(
...
...)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()(
n
n
n
n
xx
n
cf
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)( 
 n
n
n xx
n
cf
xR
Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrange
101
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:
 
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
1
)1()(
2
)!1(
)(
!
)0(
...
!2
)0("
!1
)0('
)0()( 
 n
n
n
n
x
n
cf
x
n
f
x
f
x
f
fxf
102
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x 
(a,b)
0)(lim)(lim 
xgxf
axax
L
xg
xf
xg
xf
axax
 )('
)('
lim
)(
)(
lim
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0)(lim)(lim 
xgxf
xx
)(lim)(lim xgxf
axax
)(lim)(lim xgxf
xx
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
103
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
xx
xtgx
x sin
lim
0 
 30
sin
lim
x
xx
x
x
arctgx
x 1
2lim
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng / )
gx
x
x cot
ln
lim
0 
nx x
xln
lim
 x
n
x e
x
lim
1. Dạng 0/0, / 
104
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. Dạng 0. , - : Chuyển chúng về dạng 0/0, / .
Ví dụ:
xx
x
lnlim 5
0 
)4/()4(lim 2
2
xtgx
x
)
cos
1
(lim
2/
tgx
xx
3. Dạng vô định: 00, 1 , 0:
Ta xét limfg = elimg.lnf (f > 0)
Ví dụ:
2
0
lim x
x
x
x
x
x 
1
2
1
lim x
x
gx ln
1
0
)(cotlim
105
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa 
phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) 
f(x0) (f(x) f(x0)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a,b) thì f tăng.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a,b) thì f giảm.
106
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và có 
đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0.
Ví dụ: Xét đạo hàm tại x = 0: y = x3 , y = |x|
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì 
được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi 
là điểm dừng của f.
107
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý 1: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang 
âm thì f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang 
dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0.
c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) 
không đạt cực trị tại x0.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
3 2 .)1( xxy 
108
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Quy tắc 1 tìm cực trị:
1.Tìm miền xác định
2. Tính f’(x). Tìm f’(x)=0 và không tồn tại f’(x).
3. Lập bảng biến thiên.
4. Suy ra điểm cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
3 2 .)1( xxy 
109
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận 
điểm x0 và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = x – ln(1+x)
Quy tắc 2 tìm cực trị: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên 
tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0.
1. Tìm miền xác định
2. Tính f’(x). Tìm nghiệm f’(x)=0, xi.
3. Tính f’’(x) và f’’(xi)
4. Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra cực trị.
110
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT:
Cho f(x) xác định trên D:
• M được gọi là giá trị lớn nhất của y=f(x) trên tập D nếu 
f(x) ≤ M với mọi x D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M.
• M được gọi là giá trị nhỏ nhất của y=f(x) trên tập D nếu 
f(x) ≥ m với mọi x D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m.
111
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số trên [a,b]:
1. Tính f tại các điểm tới hạn trong [a,b] và f(a), f(b)
2. fmax (fmin) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị tìm 
được.
Ví dụ: tìm fmax ,fmin của f(x) = x
3 – 3x2 +1 trên [-1, 1]
112
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng
QS Quantity Supplied Lượng cung
QD Quantity Demanded Lượng cầu
P Price Giá cả
C Cost Chi phí
TC Total Cost Tổng chi phí
R Revenue Doanh thu
TR Total Revenue Tổng doanh thu
Pr Profit Lợi nhuận
K Capital Tư bản
L Labour Lao động
FC Fix Cost Định phí
VC Variable Cost Biến phí
113
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Hàm số kinh tế:
• Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu: TR = PQ
• Hàm chi phí : TC = f(Q) = VC(Q) + FC
• Hàm lợi nhuận : = TR - TC
Thuê mặt bằng, 
điện nước
50.000đ/ngày
Bún 300đ/tô
Gia vị 200đ/tô
Thịt bò, heo 2.000đ/tô
Nhân viên 500đ/tô
Ví dụ: Một quán bún bình dân, 
hãy tính mỗi ngày bán bao 
nhiêu tô thì có lời với giá bán 
5.000đ/tô và chi phí như sau:
114
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:
• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi 
của sản lượng khi tăng lao động hay vốn thêm một đơn vị.
Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho 
nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:
LQ 5 
115
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản 
lượng tăng lên một đơn vị.
Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận 
xét.
TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100
116
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản 
lượng hay giá tăng thêm 1 đơn vị.
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 30
117
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận: = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi 
nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
118
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Hệ số co giãn: (Elasticity)
• Lượng thay đổi tuyệt đối: x
• Lượng thay đổi tương đối: 
x
x 
• Hệ số co dãn: Đo lường sự thay đổi tương đối của y phụ 
thuộc vào sự thay đổi tương đối của x.
y
x
x
y
xx
yy
yx .
 
y
x
xy
y
x
x
y
x
yx )('.lim
0

• Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 – 4P – P2. Tìm hệ số co dãn tại 
điểm P = 3.
119
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận: = TR – TC = Px – TC(x)
0
)(
0
)(
0
0
2
2
2
2
dx
TCTRd
dx
TCTRd
dx
d
dx
d
120
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp 
thông tin:
Định phí: FC = 600
Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x
Hàm cầu: x = -8/7 P + 100
Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.