Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 3: Đạo hàm, vi phân - Nguyễn Ngọc Lam

55
PHẦN II. ĐẠO HÀM, VI PHÂN
Chương 3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Chương 4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 5. HÀM NHIỀU BIẾN
chương 6. TÍCH PHÂN
chương 7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
56
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x X, 
cho tương ứng duy nhất một y = f(x) Y theo qui tắc f, thì f 
gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu:
)(
:
xfyx
YXf
)(xfx 
• Đơn ánh: x1, x2 X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)
• Toàn ánh: Với mỗi y Y, x X: y = f(x)
• Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh
• Nếu f: X Y là song ánh thì f-1: Y X là ánh xạ ngược của f
57
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa hàm số: Với X,Y  R, ta gọi ánh xạ f:X Y là
một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x).
x: biến độc lập
y: biến phụ thuộc.
Tập X: miền xác định
Tập f(X) = {f(x): x X}: miền giá trị của f
58
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X:
• f = g: f(x) = g(x),  x X
• f g = f(x) g(x), x X
• fg = f(x)g(x), x X
• af = af(x), x X
• f/g = f(x)/g(x), x X, g(x) 0
59
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x). Khi đó
f = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua biến 
trung gian u. Ký hiệu fog.
Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog với g = lg2x, f = sinx, h=ex
Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu
f: X Y là một song ánh thì f-1: Y X được gọi là hàm số
ngược của f.
• Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x.
60
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số đơn điệu:
• f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2 (a,b): 
x1 f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2))
• f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2 (a,b): 
x1 f(x1) f(x2))
• Hàm số tăng hoặc giảm trên (a,b) được gọi đơn điệu.
Hàm số bị chặn:
• f gọi bị chặn nếu M: |f(x)| M, x
• f gọi bị chặn trên nếu M: f(x) M, x
• f gọi bị chặn dưới nếu m: f(x) m, x
61
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm 
số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: 
f(x+T) = f(x),  x X
Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ 
cơ sở của hàm số f.
Ví dụ:
• Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T0 = 2 .
• Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T0 = .
62
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x X.
• f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x X
• f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x X
Ví dụ: f(x) = cosx + x- x2 Hàm số chẵn
)1log()( 2 xxxg Hàm số lẻ
Ghi chú:
• Hàm số chẵn đối xứng qua Oy
• Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ
63
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa: y = x , với R
• N: mxđ R
• nguyên âm: mxđ x ≠ 0.
• có dạng 1/p, p Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
• là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x tại mọi x 0, > 0 và tại 
mọi x > 0 nếu < 0.
2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ
Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ 
(0,0) nếu > 0, không đi qua góc toạ độ nếu < 0.
64
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1)
• Hàm số mũ xác định với mọi x.
• Hàm số mũ tăng khi a > 1.
• Hàm số mũ giảm khi a < 1.
• Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.
65
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1
• Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
• Hàm số logax tăng khi a > 1
• Hàm số logax giảm khi a < 1
• Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị
• Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = a
x
66
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
)()(log)(log 21
2
1 xLogx
x
x
aaa 
baab log 
a
b
b
c
c
a
log
log
log 
 Một số tính chất của logax:
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2)
logax
α = αlogax
67
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
4. Hàm số lượng giác:
• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2 
• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2 
• y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1) /2, hàm lẻ, chu kỳ 
• y = cotgx, mxđ  x ≠ k , k Z, hàm lẻ, chu kỳ 
68
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
5. Hàm số lượng giác ngược:
• Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị 
[- /2, /2] và là hàm số tăng.
• Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá 
trị [0, ] là hàm số giảm
• Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị 
(- /2, /2) và là hàm số tăng.
• Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị 
(0, ) là hàm số giảm.
69
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
• Định nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit, 
lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số 
sơ cấp cơ bản.
2x
3)xsin(2
log)x(f
2
2
3
Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp, g(x) không là hàm sơ cấp
• Định nghĩa: Các hàm số nhận được bằng cách thực 
hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích 
thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ 
bản được gọi chung là hàm số sơ cấp.
x)x(g 
70
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa lân cận: 
• x thuộc lân cận của x0 >0 nhỏ bất kỳ: 0<x-x0 < 
Lân cận một phía:
• x thuộc lân cận phải của x0 và x > x0 x0 < x < x0 + 
• x thuộc lân cận trái của x0 và x < x0 x0 -  < x < x0
Lân cận ở vô cùng:
• x thuộc lân cận của + M>0 lớn bất kỳ: x > M
• x thuộc lân cận của - N<0 nhỏ bất kỳ: x < N
71
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn: Cho hàm f(x) xác định
trên một khoảng chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn
tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x x0,
nếu  > 0,  > 0: 0 < x – x0 <  f(x) – L < .
Ký hiệu: Lxf
xx
)(lim
0
Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng
7)12(lim
3
x
x
Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của
điểm x0 thì: )()(lim 0
0
xfxf
xx
72
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Lxf
xx
)(lim
0
Lxf
xx
)(lim
0
Định nghĩa giới hạn một bên:
• Bên phải:  > 0,  > 0: x0 < x < x0 +  f(x) – L < 
• Bên trái:  > 0,  > 0: x0 -  < x < x0 f(x) – L < 
Lxf
xx
)(lim
0
Lxfxf
xxxx
)(lim)(lim
00
Định lý:
Ví dụ, Tìm giới hạn f(x) khi x 0
0 x khix-1
0 x
)(
khix
xf
73
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
.
Định nghĩa giới hạn lân cận :
Lxf
x
)(lim
nếu  > 0, N > 0 đủ lớn: x > N f(x) - L < 
Lxf
x
)(lim
nếu  > 0, N < 0 đủ nhỏ: x < N f(x) - L < 
Ví dụ, chứng minh rằng 0
1
lim 
 xx
74
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Giới hạn vô hạn của hàm số:
)(lim
0
xf
xx
M > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 M
)(lim
0
xf
xx
N 0: 0 < x – x0<  f(x) < N
Ví dụ: chứng minh 
 2)(
1
lim
axax
75
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B thì
• lim (f ± g) = A ± B
• lim (fg) = AB
• lim (f/g) = A/B (B ≠ 0)
• lim fg = AB
• lim C = C
• lim [Cf(x)] = CA
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, / , - , 0. , 1 , 
 0, 00 thì phải biến đổi để khử chúng.
76
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Tìm
2
8
lim )
3
2 
 x
x
a
x
2
83
lim )
2
3
 x
xx
b
x
)13(lim ) 23 
xxc
x
77
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Giả sử g(x) f(x) h(x) đối với mọi x thuộc lân cận 
của x0. Nếu 
Lxhxg
xxxx
)(lim)(lim
00
Lxf
xx
)(lim
0
Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ
cấp xác định trong lân cận của L, thì
limf(u) = f(L) = f(limu)
 xx
x
x 2
2
2
1
sinlim
 Ví dụ: Tìm
)/1(sinlim 24
0
xx
x 
Ví dụ: Tìm
78
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1
sin
lim
0
 x
x
x
e
x
x
x
1
1lim
 ex x
x
/1
0
1lima
x
ax
x
ln
1
lim
0
1
)1ln(
lim
0
 x
x
x
4. Một số giới hạn đặc biệt:
• Hàm số lũy thừa:
0 xlim ; xlim : 0
0xx
 0xx
 xlim ;0 xlim : 0 
79
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
• Hàm mũ: 0a lim ;a lim : 1
xx
xxa
 xx
a lim ;0a lim : 10 xxa
• Hàm logarit: 
 0x
a
x
a log lim ;log lim : 1 xxa
 0x
a
x
a log lim ;log lim : 10 xxa
• Hàm ngược lượng giác:
2
arctgx lim ;
2
arctgx lim
xx
 xx
arccotgx lim ;0arccotgx lim
80
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Chứng minh:
1lim
0
 x
tgx
x
1
arcsin
lim
0
 x
x
x
1lim
0
 x
arctgx
x
Ví dụ: Tìm:
x
x x
x
3
lim
3
1
2
lim
 x
x x
x
4. Vô cùng bé và vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé (vô cùng
lớn) trong một quá trình nếu limf(x) = 0 (limf(x) = )
81
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình và 
lim(f/g) = A, nếu:
• A = 0: f là VCB bậc cao hơn g. Ký hiệu: f(x) = 0g(x)
• A = : f là VCB bậc thấp hơn g
• A (hằng số 0, ): f, g là hai VCB cùng bậc
• A = 1: f, g là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x)
• Nghịch đảo của VCB (VCL) là VCL (VCB)
82
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f, g là hai VCB, nếu f~f1, g~g1 thì
lim(f/g) = lim(f1/g1)
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g là VCB bậc
cao hơn f trong cùng quá trình thì f + g ~ f
Ví dụ: Chứng minh
3
2
3
arcsin2sin
lim
22
0
 x
xarctgxx
x
32~sin xxxx Khi x 0+
83
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:
)()(lim 0
0
xfxf
xx
• Liên tục trái: )()(lim 0
0
xfxf
xx
Liên tục một bên:
• Liên tục phải: )()(lim 0
0
xfxf
xx
Định lý: f liên tục tại x0 khi và chỉ khi f liên tục phải và liên
tục trái tại x0
84
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó 
không liên tục tại x0.
Hàm số f(x) gián đoạn tại x0 trong các trường hợp sau:
- f không xác định tại x0
- f xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x x0
- không tồn tại lim f(x) khi x x0
0 x khi1
0 xkhi1
)(
x
x
xf
x
xf
1
)( 
Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0
85
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu
nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b]
nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục
bên phải tại a và liên tục bên trái tại b.
86
C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số
sau cũng liên tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg, f/g (g(x0)≠0).
Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên 
tục tại u0 thì limf(u(x)) = f(lim u(x)) = f(u0)
Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] và f(a)f(b) < 0 thì x0 (a,b):
f(x0) = 0.
Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất trên [a,b]