Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Ngọc Lam

32
C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1 Các khái niệm
2 HPTTT Crame
3 Phương pháp Gauss 
4 HPTTT Thuần nhất
5 Một số ứng dụng
33
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm 
m phương trình n ẩn có dạng:
(1) 
...
...............
...
...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xj là biến 
aij được gọi là hệ số (của ẩn)
bi: được gọi là hệ số tự do
34
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2. Ma trận các hệ số:
mnamama
naaa
naaa
A
...21
............
2...2221
1...1211
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: 
 Tnxxx
nx
x
x
X ...21
...
2
1
 Tmbbb
mb
b
b
B ...21
...
2
1
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 
35
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4. Ma trận bổ sung: 
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bAA
...
...
............
...
...
),( 2
1
21
22221
11211
Đây là dạng viết tắt của hệ PTTT
36
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 
2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ PTTT n 
phương trình, n ẩn và det(A) 0.
2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy
nhất tính bằng công thức:
X = A-1B
A
A
x
j
j 
Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột
các phần tử tự do.
37
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
7452
323
22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
38
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1. Định nghĩa: 2 hệ PTTT tương đương nếu có chung tập
hợp nghiệm.
3.2. Phương pháp:
Nghiệm của hệ PTTT không đổi nếu:
1. Đổi chỗ hai phương trình của hệ
2. Nhân một phương trình của hệ với số thực k 0
3. Nhân một phương trình của hệ với với một số thực 
sau đó cộng vào một phương trình khác
• Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp biến ma trận bổ sung về
ma trận bậc thang.
39
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
77114
223
4342
321
321
321
xxx
xxx
xxx
5192483
13254
24653
1342
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
40
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Hệ quả của định lý Kronecker-Capelli:
• r(A) r(A,b): Hệ vô nghiệm
• r(A) = r(A,b): Hệ có nghiệm
• r(A) = n: Hệ có 1 nghiệm
• r(A) = k < n: Hệ có vô số nghiệm, k ẩn phụ thuộc n-k ẩn
còn lại.
Ví dụ: Xác định tham số a để hệ phương trình có nghiệm:
1
1
1
321
321
321
axxx
xaxx
xxax
41
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.1. Định nghĩa:
0...
............
0...
0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
4.2. Nghiệm của hệ:
• Hệ luôn có nghiệm tầm thường X=(0,0,0)T
• Hệ có nghiệm không tầm thường khi hệ có vô số nghiệm
(r(A)<n)
42
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Trường hợp hệ có vô số nghiệm 
(r(A) = k < n):.
x1 x2 ... xk xk+1 xk+2  xn
c11 c12  c1k 1 0 ... 0
c11 c12  c1k 0 1 ... 0
... ... ... ...
cn-k,1 cn-k,2  cn-k,k 0 0 ... 1
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ PTTT
43
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
Hệ nghiệm cơ bản:
x1 = -1+8x3-7x4 x2 = 1-6x3+5x4 x3 x4
7 -5 1 0
-8 6 0 1
44
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.1. Mô hình cân bằng thị trường:
1. Thị trường 1 loại hàng hóa:
Hàm cung : Qs = -a0 + a1P
Hàm cầu : Qd = b0 - b1P 
ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm
• Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0)
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:
Hàm cung : Qs = -1 + P
Hàm cầu : Qd = 3 - P
45
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
2. Thị trường 2 loại hàng hóa:
• Sản phẩm 1:
Mô hình cân bằng:
22
11
ds
ds
QQ
QQ
21211110
21211110
1
1
PbPbbQ
PaPaaQ
d
s
22212120
22212120
2
2
PbPbbQ
PaPaaQ
d
s
• Sản phẩm 2:
46
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
3. Thị trường n loại hàng hóa:
• Sản phẩm i:
niniiid
niniiis
PbPbPbbQ
PaPaPaaQ
i
i
...
...
22110
22110
• Hệ phương trình cân bằng:
DnSn
DS
DS
QQ
QQ
QQ
.................
22
11
47
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Ví dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm:
321
321
28
45
1
1
PPPQ
PPPQ
d
s
321
321
210
42
2
2
PPPQ
PPPQ
d
s
321
321
214
41
3
3
PPPQ
PPPQ
d
s
48
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O):
Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất
Tổng cầu ngành:
- Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là 
yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách.
- Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ cho hộ 
gia đình, chính phủ và xuất khẩu.
Để không xảy ra hiện tượng khủng hoảng thừa hoặc khủng 
hoảng thiếu từng ngành phải sản xuất đúng theo nhu cầu của 
nền kinh tế.
49
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
I/O 1 2  3 di
1 x11 x12  x1n d1
2 x21 X22  x2n d2
n xn1 xn2  xnn dn
xi : tổng cầu của ngành i
xịj : là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành i mà 
ngành j làm yếu tố đầu vào.
di : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng 
và xuất khẩu.
50
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
j
ij
ij
x
x
a Đặt:
Tổng cầu của ngành i:
iiniii bxxxx ...21
in
n
inii
i bx
x
x
x
x
x
x
x
x
x ...2
2
2
1
1
1
• aij: Để SX ra 1$ GTSP thì Nj mua của Ni aij$ GTSP
• Trong tổng GTSP Nj Ni tham gia vào aij100%
51
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxax
bxaxaxax
bxaxaxax
...
......................................................
...
...
2211
222221212
112121111
j
ij
ij
x
x
a
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
)1...( 
......................................................
...)1(
... )1(
2211
22222121
11212111
Từ
52
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
nnanana
naaa
naaa
A
...21
............
2...2221
1...1211
BXAI )(
• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
• aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành
• [I-A] là ma trận Leontief.
53
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Ví dụ 1: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành, ma trận hệ số kỹ 
thuật như sau:
2,03,01,0
2,01,04,0
2,03,02,0
A
1) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A
2) Cho biết tỷ trọng giá trị gia tăng của các ngành đóng góp 
cho nền kinh tế.
3) Biết mức cầu cuối cùng là b1=10,b2=5,b3=6. Hãy xác định 
mức tổng cầu của mỗi ngành.
54
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Ví dụ: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành, thông tin về quan hệ 
trao đổi như sau:
1) Hãy giải thích ý nghĩa của số 90 trong ma trận
2) Hãy xác lập ma trận hệ số kỹ thuật của nền kinh tế
3) Tìm giá trị gia tăng của từng ngành.
504040503
209020402
602050301
321/
N
N
N
bNNNOI i