Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 1: Ma trận, định thức - Nguyễn Ngọc Lam

4/25/2018 1
C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1 Ma trận
2 Định thức
3 Ma trận nghịch đảo
4 Hạng của ma trận
4/25/2018 2
1. MA TRẬN
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m 
hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n
nmijnmij
mnmm
n
n
aa
aaa
aaa
aaa
A x x 
21
22221
11211
)(][
...
............
...
...
• aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. 
• Ma trận ký hiệu chữ IN.
• Phần tử ghi chữ thường và kèm theo chỉ số.
4/25/2018 3
1. MA TRẬN
Trong thực tiễn các bảng 2 chiều đều là một ma trận:
Đại lý Sản phẩm
A B C D
1 150 230 210 180
2 225 175 200 350
3 120 425 175 380
380175425120
350200175225
180210230150
43xQ
Yếu tố hàng là đại lý, yếu tố cột là số sản phẩm tiêu thụ.
4/25/2018 4
1. MA TRẬN
1.1.2. Ma trận vuông:
 Ma trận vuông: Khi m = n
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
• a11,a22,ann được gọi là các phần tử chéo.
• Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường
chéo chính.
4/25/2018 5
1. MA TRẬN
 Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j
nn
n
n
nn
n
n
a
aa
aaa
a
aa
aaa
A
......
...
...
...00
............
...0
...
222
11211
222
11211
 Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j
nnnnnnnn aaa
aa
a
aaa
aa
a
A
...
.........
...
............
0...
0...0
21
2221
11
21
2221
11
4/25/2018 6
1. MA TRẬN
 Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j
nnnn a
a
a
a
a
a
A
...
...00
............
0...0
0...0
22
11
22
11
 Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aij=1,i=j; aij = 0, i≠j
1
...
1
1
1...00
............
0...10
0...01
I
4/25/2018 7
1. MA TRẬN
1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột)
1.1.4. Ma trận không:
0...00
............
0...00
0...00
mxn
1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B
1) A = [aij]m x n; B = [bij]m x n
2) aij = bij với mọi i,j
Ví dụ, tìm X=B: 
25
13
,B
ttz
tzytzyx
X
4/25/2018 8
1. MA TRẬN
1.1.5. Ma trận chuyển vị: A = [aij]m x n => A
T = [aji]n x m
419
224
693
741
AVí dụ: tìm AT:
1.1.6. Ma trận đối xứng: A = AT
4647
6315
4123
7531
AVí dụ:
4/25/2018 9
1. MA TRẬN
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:
1.2.1. Phép cộng hai ma trận
1. Định nghĩa: A = [aij]mxn; B = [bij]mxn => A+B = [aij+bij]mxn
531
394
032
412
X
2. Tính chất:
• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
•  + A = A
• Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A = 
Ví dụ, tìm X:
4/25/2018 10
1. MA TRẬN
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận:
1. Định nghĩa: cho A = [aij]m x n, k R => kA = [kaij]m x n
853
142
A
2. Tính chất: cho k, h R:
• k(A + B) = kA + kB
• (k + h)A = kA + hA
Tính 3A?
4/25/2018 11
1. MA TRẬN
1.2.3. Phép nhân hai ma trận:
1. Định nghĩa : A=[aik]m x p; B=[bkj]p x nz=> C = AB= [cij]m x n:
 
p
1k
kjikpjip2ji21ji1ij baba...babac
Thuật toán: Hàng i ma trận A x Cột j ma trận B
4/25/2018 12
1. MA TRẬN
2. Một số tính chất:
• (A.B).C = A.(B.C)
• A(B+C) = AB + AC
• (B+C)A = BA + CA
• k(BC) = (kB)C = B(kC)
• Phép nhân nói chung không có tính giao hoán
• A=[aij]n x n => I.A = A.I = A
1203
0112
1321
123
112
Ví dụ: Tính:
4/25/2018 13
1. MA TRẬN
1.3. VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng. 
Tháng 1 A B C D
CH1 10 2 40 15
CH2 4 1 35 20
Tháng 2 A B C D
CH1 12 4 20 10
CH2 10 3 15 15
4/25/2018 14
1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng 
theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau:
Phân 
xưởng
Sản phẩm
A B C
PX1 10 0 5
PX2 0 8 4
PX3 0 2 10
Sản 
phẩm
Vật liệu
VL1 VL2 VL3 VL4 VL5
A 1 2 0 2 0
B 0 1 1 2 0
C 0 0 2 1 3
4/25/2018 15
2. ĐỊNH THỨC
2.1. ĐỊNH NGHĨA:
 A là ma trận vuông cấp 2:
 A là ma trận vuông cấp 1:
A= [a11] thì det(A) = |A| = |a11|
2221
1211
aa
aa
A
Có 2 cách định nghĩa: theo truy hồi và thế vị. Dưới đây là
định nghĩa theo phương pháp truy hồi:
21122211
2221
1211 det(A) aaaa
aa
aa
A 
4/25/2018 16
2. ĐỊNH THỨC
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
A ,
...
............
...
...
21
22221
11211
21
22221
11211
• Aij là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá 
hàng i cột j. Aij: ma trận con bù của aij
• cij = (-1)
i+jdet(Aij) là phần bù đại số của aij
• C = (cij): Ma trận phần bù đại số của A
• A là ma trận vuông cấp n:
4/25/2018 17
2. ĐỊNH THỨC
Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 
513
321
342
 A
• Định thức cấp n của A là:
det(A) = a11c11 + a12c12 + + a1nc1n
  
n
j
jj
j
n
j
jj AacaA
1
11
1
1
11 )det()1()det(
4/25/2018 18
2. ĐỊNH THỨC
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:
• Tính chất 1:AT=A
Hệ quả: Một phát biểu của định thức đúng theo hàng thì 
đúng theo cột.
• Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (cột) định thức đổi dấu. 
Hệ quả: Định thức triển khai theo bất kỳ hàng nào.
1200
15925
4100
2103
 AVí dụ: Tính:
4/25/2018 19
2. ĐỊNH THỨC
• Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (cột) bằng nhau 
thì bằng không.
• Tính chất 4: Một định thức có một hàng (cột) toàn là số 
không thì bằng không.
1201
159215
4104
2102
 A
4/25/2018 20
2. ĐỊNH THỨC
• Tính chất 5: Nhân các phần tử của một hàng (cột) với 
cùng một số k (k 0) thì được một định thức mới bằng định 
thức cũ nhân với k.
Hệ quả: Ta có thể đưa thừa số chung của một hàng (cột) 
ra ngoài định thức. 
ABA 3
34
36
34
12
 Ví dụ:
4/25/2018 21
2. ĐỊNH THỨC
• Tính chất 10: Định thức ma trận tam giác bằng tích các 
phần tử chéo:
nn
n
n
a
aa
aaa
A
...00
............
...0
...
222
11211
nnaaaA ...2211 
nnmn aaa
aa
a
A
...
............
0...
0...0
21
2221
11
• Tính chất 9: Cộng k lần hàng r vào hàng s thì định thức 
không đổi.
516
754
312
 Tính
4/25/2018 22
2. ĐỊNH THỨC
2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:
• Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. 
• Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp biến đổi 
ma trận về dạng tam giác. 
Phép biến đổi Tác dụng TC
Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu 2
Nhân một hàng với số thực k 0 Định thức nhân k 5
Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi 9
• Phương pháp 3: Kết hợp hai phương pháp trên và một số 
tính chất của định thức.
4/25/2018 23
2. ĐỊNH THỨC
1203
3332
1311
21014
Ví dụ: Tính định thức:
4/25/2018 24
2. ĐỊNH THỨC
Tính định thức cấp 3
332112322311312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
A
4/25/2018 25
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 
3.1. Ma trận không suy biến: nếu det(A) ≠ 0.
3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho A cấp n, nếu tồn tại B thoả: 
AB = BA = I thì:
• B gọi là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu: B = A-1
• A gọi là ma trận khả nghịch.
3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo:
Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất. 
4/25/2018 26
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.4. Sự tồn tại và biểu thức ma trận nghịch đảo:
Định lý: A khả nghịch det(A)≠0 và 
nnnn
n
n
T
ccc
ccc
ccc
A
C
A
A
...
............
...
...
11
21
22212
12111
1
• CT: ma trận chuyển vị của ma trận phần bù đại số 
121
212
113
AVí dụ, tìm ma trận nghịch đảo:
4/25/2018 27
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.6. Phương pháp Gauss - Jordan:
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp chuyển: [A│I] = [I│A-1]
Phép biến đổi
1. Đổi chỗ hai hàng
2. Nhân một hàng với một số thực k 0
3. Cộng k lần hàng r vào hàng s
Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo: 
5321
4331
6543
4321
A
4/25/2018 28
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.7. Định lý:
Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch 
thì AB cũng khả nghịch và (AB)-1 = B-1A-1.
4/25/2018 29
4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.1. Ma trận con: 
• Ma trận vuông cấp p suy ra từ Amxn bằng cách bỏ đi m-p 
hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp p của A. 
• Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p 
của A. 
• p min(m,n)
Ví dụ: Tìm các ma trận con A
2121
4112
2431
B 
24
31
A
4/25/2018 30
4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.2. Hạng của ma trận:
• Định nghĩa: Hạng của ma trận Amxn là cấp cao nhất của 
định thức con khác không của A.
Nếu r là hạng của ma trận thì:
• Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0.
• r = min(m,n) hoặc mọi định thức con của A cấp lớn hơn r 
đều bằng 0.
• Ký hiệu: r(A) = r
Ví dụ: Tìm hạng A 
2121
4112
2431
A
4/25/2018 31
4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.3. Ma trận bậc thang: 
4.3.1. Định nghĩa:
• Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm 
những phần tử 0.
• Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần 
tử khác 0 thì được gọi là dòng khác 0.
• Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần 
tử chính của dòng đó.
4/25/2018 32
4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả các 
điều kiện sau:
• A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng 
khác 0.
• Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 
tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên 
phải cột chứa phần tử chính của dòng trên. 
0000
1000
0210
4321
A 
100
042
B
000
012
432
C
310
000
021
D
4/25/2018 33
4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.3.2. Định lý về hạng của ma trận:
Sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của 
ma trận thì hạng không thay đổi.
Hệ quả: Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma 
trận bậc thang thu được sau một số hữu hạn các phép 
biến đổi sơ cấp.
40132
22242
51263
11131
AVí dụ: Tìm hạng của ma trận: