Bài giảng Toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc - Chương 2: Phương pháp đếm dùng hàm sinh

Ví dụ. Tìm hàm sinh của dãy {ữr}r>0, với ar là số cách để chọn r viên bi từ 3 viên bi màu xanh, 3 viên bi màu trắng, 3 viên bi màu đỏ, và 3 viên bi màu vàng.

Giải. Dể tìm ữr, ta đưa bài toán về bài toán tìm số nghiệm nguyên của phương trình

61 + 62 + 63 + e4 = r

với 0 < 6ị="">< 3.="" ở="" đây="" 61,62,="" 63,="" 64="" tương="" ứng="" là="" số="" viên="" bi="" màu="" xanh,="" trắng,="" đỏ="" và="">

Dề tìm hàm sinh của {ữr}r>0 ta xây dựng các nhân tử đa thức sao cho sau khi nhân các đa thức đó lại với nhau ta được tất cả các hạng tử có dạng .Teiứ?e2íEe3rre4, trong đó 0 < 6ị="">< 3="" và="" 61="" +="" 62="" +="" 63="" +="" 64="">

Như vậy ta cần 4 nhân tử, và mỗi nhân tử bằng 1 + X + X2 + X3 bao gồm tất cả các lũy thừa nhỏ hơn hay bằng 3 của X. Ta được hàm sinh cần tìm là

(1 + X + X2 + X3)4 =1 + 4x + 10.T2 + 20rr3 + 31x4 + 40z5 + 44.T6+ com https:Az|ft>3ổW?a4enÌtaẫciHt20ír^ + + 4.T11 + a?12.