Bài giảng Toán cao cấp - Trần Thị Xuyến

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG
BỘ MÔN TOÁN
———————o0o——————–
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: Trần Thị Xuyến
HÀ NỘI - 2013
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP
Số tín chỉ: 3.
Phân bố thời gian:
Lý thuyết 60 %
Bài tập 40 %
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm
Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến.
Chương 4: Tích phân
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 6: Phương trình sai phân
TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN
Điểm chuyên cần: 10 %
Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %
Thi hết học phần: 60%
Thang điểm 10.
Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3
Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6
1
CHƯƠNG 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 HÀM SỐ
1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
A. Biến số
Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên
một tập số X 6= ∅.
Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z... và X gọi là miền biến thiên.
Các biến số kinh tế hay gặp
p: giá cả.
QS: Lượng cung.
QD: Lượng cầu.
pi: Lợi nhuận
TC: Tổng chi phí
V C: Chi phí biến đổi
FC: Chi phí cố định
ATC: Tổng chi phí bình quân
AV C: Chi phí biến đổi bình quân
TR: Tổng doanh thu
K: Vốn
L: Lao động
C: Lượng tiêu dùng
S: Lượng tiết kiệm.
Y : Thu nhập.
B.Hàm số
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số f xác định trên X ⊂ R là một quy tắc cho tương
ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y.
Kí hiệu: y = f(x)
2
x gọi là biến độc lập.
X gọi là miền xác định.
y gọi là biến phụ thuộc.
f(X) = {y ∈ R|y = f(x), x ∈ X} là miền giá trị của hàm số.
Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f(x), x ∈ X}
C. Các cách cho hàm số
1. Hàm số cho bởi bảng.
2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích.
Ví dụ 1.1.1. y =
√
5− x2 hay y =
 x
3 − 1, x > 3
5 + x, x ≤ 3
3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số.
D. Hàm ẩn
Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y: F (x, y) = 0
thì y gọi là hàm ẩn của x.
Ví dụ 1.1.2. x2 + y2 − 1 = 0 hay x3 − y3 + 1 = 0
E. Hàm ngược
Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y = f(x) với miền xác định X, miền giá trị Y.
Nếu ∀y0 ∈ Y , phương trình f(x) = y0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể
xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0 ∈ Y một và chỉ một x0 ∈ X sao cho
f(x0) = y0.
Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f(x), kí hiệu là: f−1.
Cách tìm hàm ngược
• Viết f(x) = y và tìm x theo y
• Đổi chỗ kí hiệu x, y cho nhau để biểu diễn f−1 như là hàm của x.
Ví dụ 1.1.3. Tìm hàm ngược của hàm sau
y = (x− 1)2,∀x ≥ 1
3
Các hàm ngược của các hàm số cơ bản
1. Khi xét hàm số y = sinx xác định trên X =
[−pi2 , pi2 ] và có MGT [−1, 1] có hàm
ngược là y = arcsinx xác định trên [−1, 1] và có MGT là [−pi2 , pi2 ].
2. Khi xét hàm số y = cos x xác định trên X = [0; pi] và có MGT [−1, 1] có hàm
ngược là y = arccosx xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0;pi].
3. Khi xét hàm số y = tanx xác định trên X =
(−pi2 , pi2) và có MGT R có hàm
ngược là y = arctanx xác định trên R và có MGT là
(−pi2 , pi2).
4. Khi xét hàm số y = cotx xác định trên X = (0;pi) và có MGT R có hàm ngược
là y = arccot x xác định trên R và có MGT là (0;pi).
5. Khi xét hàm số y = ax xác định trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngược là
y = loga x xác định trên (0; +∞) và có MGT là R.
F. Một số đặc trưng của hàm số
Hàm số đơn điệu
• Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu tăng trên miền X nếu x1 < x2 thì f(x1) <
f(x2),∀x1, x2 ∈ X.
• Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu giảm trên miền X nếu x1 > x2 thì f(x1) <
f(x2);∀x1, x2 ∈ X.
Hàm số bị chặn
• Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao
cho f(x) ≤M,∀x ∈ X.
• Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao
cho f(x) ≥ m,∀x ∈ X.
• Hàm số f(x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn.
f(x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f(x)| ≤ a,∀x ∈ X
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ X, ta có
−x ∈ X và f(−x) = f(x).
• Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X
và f(−x) = −f(x).
4
Hàm số tuần hoàn
Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X,
ta có x+ T ∈ X và f(x+ T ) = f(x).
Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất.
G. Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp
Các hàm số sơ cấp cơ bản
1. f(x) = C,C là hằng số.
2. Hàm lũy thừa f(x) = xα, α là hằng số.
• α ∈ N thì TXĐ D = R.
• α là số nguyên âm thì TXĐ D = R\{0}.
• α không là số nguyên thì TXĐ D = (0; +∞).
Chú ý: x
1
2 =
√
x khi x > 0.
3. Hàm số mũ f(x) = ax (a > 0, a 6= 1).
TXĐ: D = R.
4. Hàm số logarit f(x) = loga x (a > 0, a 6= 1).
Khi a = 10, ta có hàm f(x) = lgx.
TXĐ: D = (0; +∞).
5. Các hàm lượng giác:
y = sinx có tập xác định là R
y = cosx có tập xác định là R
y = tanx có tập xác định là x 6= pi2 + kpi, k ∈ Z
y = cotx có tập xác định là x 6= kpi, k ∈ Z
6. Các hàm lượng giác ngược:
y = arcsinx có tập xác định là [−1, 1]
y = arccosx có tập xác định là [−1, 1]
y = arctanx có tập xác định là R
y = arccot x có tập xác định là R
Các phép toán sơ cấp
1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số.
5
2. Phép hợp hàm
Giả sử khi x thay đổi trong X, các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc
miền xác định của hàm số y = f(u).
Khi đó, ta có quy tắc: x 7→ u = ϕ(x) 7→ y = f [ϕ(x)].
Hàm y = f [ϕ(x)] gọi là hàm hợp của hàm y = f(u), u = ϕ(x).
Các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán
số học và phép lấy hàm hợp.
Ví dụ 1.1.4. Các hàm sơ cấp: lg(x2 + sinx), x
3−1
x+1 , cos
3 5x
Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế
1. Hàm cung Qs = S(p)
2. Hàm cầu Qd = D(p)
3. Hàm sản xuất Q = f(L)
4. Hàm doanh thu TR = TR(Q)
5. Hàm tổng chi phí TC = TC(Q) = V C(Q) + FC
6. Hàm tổng chi phí bình quân ATC = TC(Q)Q
7. Hàm chi phí biến đổi bình quân AV C = V C(Q)Q
8. Hàm lợi nhuận pi = TR− TC
9. Hàm tiêu dùng C = C(Y )
10. Hàm tiết kiệm S = S(Y )
1.1.2 DÃY SỐ
Định nghĩa 1.1.5. Hàm số
f : N∗ → R
n 7→ f(n)
6
được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (xn)
xn được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Ví dụ: xn = 100(1 + 0.14)n có các số hạng là 114; 129.96; ...
1.2 GIỚI HẠN
1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số xn có giới hạn là a (hay xn hội tụ đến a) nếu
∀ > 0,∃n0 : ∀n > n0, |xn − a| < .
(Nói cách khác: ta làm cho các số hạng của dãy gần a bao nhiêu cũng được bằng
cách chọn chỉ số n đủ lớn )
Kí hiệu:
lim
n→+∞xn = a
Dãy số xn gọi là phân kì nếu không có giới hạn hữu hạn.
Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số
Định lí 1.2.1. 1. Giới hạn của một dãy số hội tụ là một số thực duy nhất.
2. Nếu dãy số xn hội tụ thì nó bị chặn.
3. Nếu xn ≥ yn và cả hai dãy xn, yn đều hội tụ thì
lim
n→+∞xn ≥ limn→+∞ yn
Giới hạn của dãy số đơn điệu
Định lí 1.2.2. 1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
7
2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 1.2.1. Dãy số sau có giới hạn hữu hạn
xn =
(
1 +
1
n
)n
số e và logarit tự nhiên
e = lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n
Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe.
lnx = loge x
1.2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Khái niệm giới hạn của hàm số
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f(x) xác định trên D.
f(x) có giới hạn là L khi x→ x0 nếu ∀xn ∈ D\{x0} : xn → x0 thì
lim
n→+∞ f(xn) = L.
Kí hiệu:
lim
x→x0
f(x) = L
Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.2.3. 1. Giới hạn bên trái
lim
x→x−0
f(x) = lim
x→ x0
x < x0
f(x)
8
2. Giới hạn bên phải
lim
x→x+0
f(x) = lim
x→ x0
x > x0
f(x)
Định lí 1.2.3. Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x→ x0
⇔ lim
x→x−0
f(x) = lim
x→x+0
f(x) = L
Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản
Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f(x) tại điểm a ∈ MXĐ là:
lim
x→a f(x) = f(a)
Giới hạn của hàm lượng giác ngược tại các điểm đầu mút
lim
x→+∞ arctanx =
pi
2
, lim
x→−∞ arctanx = −
pi
2
lim
x→+∞ arccotx = 0, limx→−∞ arccotx = pi
Các định lí cơ bản về giới hạn hàm số
Định lí 1.2.4. Nếu khi x → a, hàm số f(x), g(x) có giới hạn là các số thực b1, b2
thì
1. lim
x→a[f(x)± g(x)] = b1 ± b2
2. lim
x→a[kf(x)] = kb1
3. lim
x→a[f(x).g(x)] = b1.b2
4. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
b1
b2
, (b2 6= 0)
5. lim
x→a[f(x)]
g(x) = bb21 , (b1 > 0)
9
Định lí 1.2.5. (Định lí kẹp) Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) khi x gần a và
lim
x→a f(x) = limx→ah(x) = L thì limx→a g(x) = L
Ví dụ 1.2.2. Tính giới hạn sau
lim
x→0
x2 sin
1
x
Lời giải:
Ta có:
−1 ≤ sin 1
x
≤ 1
⇔ −x2 ≤ x2 sin 1
x
≤ x2
Mà
lim
x→0
(−x2) = lim
x→0
x2 = 0
Do đó:
lim
x→0
x2 sin
1
x
= 0
Định lí 1.2.6. Nếu f(x) là hàm bị chặn và g(x) thỏa mãn limx→a g(x) = 0 thì
lim
x→a f(x).g(x) = 0
Ví dụ 1.2.3. Tính giới hạn sau
lim
x→+∞(sin
√
x+ 1− sin√x)
Lời giải:
lim
x→+∞(sin
√
x+ 1− sin√x) = lim
x→+∞ 2 cos
√
x+ 1 +
√
x
2
sin
√
x+ 1−√x
2
= lim
x→+∞ 2 cos
√
x+ 1 +
√
x
2
sin
1
2(
√
x+ 1 +
√
x)
Ta có ∣∣∣∣cos √x+ 1 +√x2
∣∣∣∣ ≤ 1∀x ∈ R
lim
x→+∞ sin
1
2(
√
x+ 1 +
√
x)
= 0
10
Vậy
lim
x→+∞(sin
√
x+ 1− sin√x) = 0
Các dạng vô định của hàm số
Dạng 00 : Tính limx→x0
f(x)
g(x)
với f(x), g(x)→ 0 khi x→ x0
Ví dụ 1.2.4. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)− 1
x
2. lim
x→1
x−√2x− 1
x2 − 12x+ 11
Dạng ∞∞ : Tính limx→x0
f(x)
g(x)
với f(x), g(x)→∞ khi x→ x0
Ví dụ 1.2.5. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→+∞
√
x+
√
x+
√
x
√
x+ 1
2. lim
x→−∞
√
x6 − 3x
2x2 + 1
Dạng 0.∞: Tính lim
x→x0
f(x).g(x) với f(x)→ 0, g(x)→∞ khi x→ x0
Ví dụ 1.2.6. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→1+
(x3 − 1)
√
x
x2 − 1
2. lim
x→+∞(x+ 2)
√
x− 1
x3 + x
Dạng ∞−∞: Tính lim
x→x0
[f(x)− g(x)] với f(x), g(x)→∞ khi x→ x0
Ví dụ 1.2.7. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→+∞(
√
x+ 1−√x)
2. lim
x→+∞(
√
x2 + 1− x)
11
Dạng 1∞
Công thức hay dùng:
lim
x→0
(1 + x)
1
x = e; lim
x→±∞(1 +
1
x
)x = e
Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì
lim
x→a(1 + α(x))
1
α(x) = e
Ví dụ 1.2.8. Tính giới hạn sau
lim
x→1
(1 + sin pix)cotpix
Dạng vô định chứa hàm lượng giác
Chú ý:
lim
x→0
sinx
x
= 1
Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì
lim
x→a
sinα(x)
α(x)
= 1
Ví dụ 1.2.9. Tính giới hạn sau
lim
x→pi
sinmx
sinnx
Các công thức giới hạn quan trọng khác
1. lim
x→0
loga(1 + x)
x
= loga e (0 < a 6= 1)
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
2. lim
x→0
ax − 1
x
= ln a
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
3. lim
x→0
(1 + x)α − 1
x
= α (α ∈ R)
Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì
1. lim
x→a
loga(1 + α(x))
α(x)
= loga e (0 < a 6= 1)
12
lim
x→a
ln(1 + α(x))
α(x)
= 1
2. lim
x→a
aα(x) − 1
α(x)
= ln a
lim
x→a
eα(x) − 1
α(x)
= 1
3. lim
x→a
(1 + α(x))β − 1
α(x)
= β (β ∈ R)
1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.3.1 Định nghĩa hàm số liên tục
Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số f(x) xác định trong(a; b) và x0 ∈ (a; b). f(x) gọi là
liên tục tại x0 nếu
lim
x→x0
f(x) = f(x0)
Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì nói f(x) gián đoạn tại x0.
Tính liên tục một phía
1. f(x) gọi là liên tục trái tại x0 nếu
lim
x→x−0
f(x) = f(x0)
2. f(x) gọi là liên tục phải tại x0 nếu
lim
x→x+0
f(x) = f(x0)
Định lí 1.3.1. f(x) liên tục tại x0
⇔ lim
x→x−0
f(x) = lim
x→x+0
f(x) = f(x0)
13
Ví dụ 1.3.1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0.
f(x) =

1− cosx
x2
, x 6= 0
a, x = 0
Định lí 1.3.2. Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó.
14
CHƯƠNG 2
ĐẠO HÀM
2.1 ĐẠO HÀM
2.1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 2.1.1. Xét hàm số f(x) xác định trên (a; b) chứa x0. Cho x0 số gia
∆x và ∆y = f(x0 +∆x)− f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số
∆x tại điểm x0.
Nếu tỉ số ∆y∆x =
f(x0+∆x)−f(x0)
∆x có giới hạn hữu hạn khi ∆x→ 0 thì giới hạn đó được
gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = x0. Kí hiệu: f ′(x0)
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Định nghĩa 2.1.2.
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn.
Đạo hàm một phía
Định nghĩa 2.1.3. + Đạo hàm bên phải của f tại x0: f ′+(x0) = lim
∆x→0+
∆y
∆x nếu
giới hạn đó tồn tại hữu hạn.
+ Đạo hàm bên trái của f tại x0: f ′−(x0) = lim
∆x→0−
∆y
∆x nếu giới hạn đó tồn tại hữu
hạn.
Định lí 2.1.1. Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f ′+(x0), f ′−(x0)
và f ′+(x0) = f ′−(x0) .
15
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
1. Cách 1
B1 Cho x0 số gia ∆x
B2 Tính ∆y = f(x0 +∆x)− f(x0)
B3 Tính giới hạn tỉ số ∆y∆x khi ∆x→ 0
2. Cách 2
• Tính limx→x0 f(x)−f(x0)x−x0
• Nếu giới hạn trên bằng số hữu hạn k thì kết luận f ′(x0) = k, ngược lại kết
luận hàm số không có đạo hàm tại x0.
Ví dụ 2.1.1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0
f(x) =

1− cosx
x
, x 6= 0
0, x = 0
Ví dụ 2.1.2. Tính đạo hàm của hàm số y = |x| tại x = 0 (nếu có)
Lời giải
Cho x = 0 số gia ∆x
∆y
∆x
=
|0 +∆x| − |0|
∆x
=
|∆x|
∆x
lim
∆x→0+
∆y
∆x
= lim
∆x→0+
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0+
∆x
∆x
= 1 = f ′+(0)
lim
∆x→0−
∆y
∆x
= lim
∆x→0−
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0−
−∆x
∆x
= −1 = f ′−(0)
Vì f ′+(0) 6= f ′−(0) nên hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0
Định lí 2.1.2. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm
đó
Chú ý 2.1.3. Điều ngược lại của định lí 2 là sai.
Ví dụ: hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0.
16
2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
1.(C)′ = 0 2.(xα)′ = αxα−1, (x)′ = 1
3.(ax)′ = ax ln a; (ex)′ = ex 4.(loga x)′ =
1
x ln a
, (lnx)′ = 1x
3.(sinx)′ = cosx 6.(cosx)′ = −sinx
7.(tanx)′ =
1
cos2 x
8.(cotx)′ = − 1
sin2 x
9.(arcsinx)′ =
1√
1− x2 10.(arccosx)
′ = − 1√
1− x2
11.(arctanx)′ =
1
1 + x2
12.(arccotx)′ = − 1
1 + x2
2.1.3 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lí 2.1.4. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì:
1. (u+ v)′(x0) = u′(x0) + v′(x0);
2. (ku)′(x0) = ku′(x0) (k là hằng số bất kỳ);
3. (uv)′(x0) = u′(x0)v(x0) + u(x0)v′(x0);
4. (uv )
′(x0) =
u′(x0)v(x0)− u(x0)v′(x0)
v2(x0)
(v(x0) 6= 0).
B. Đạo hàm của hàm hợp
Định lí 2.1.5. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0 và hàm số y = f(u) có đạo
hàm tại điểm tương ứng u0 = u(x0) thì hàm hợp y = f [u(x)] có đạo hàm tại x0 được
tính theo công thức:
y′(x0) = f ′(u0).u′(x0)
hoặc
y′x = y
′
u.u
′
x
17
Ví dụ 2.1.3. Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin 2x
Lời giải:
y′ = 2sin 2x(ln 2)(sin 2x)′ = (ln 2)2sin 2x.2. cos 2x = (ln 2)2sin 2x+1 cos 2x
2.2 VI PHÂN
2.2.1 KHÁI NIỆM VI PHÂN VÀ LIÊN HỆ ĐẠO HÀM
A. Khái niệm hàm khả vi và vi phân
Định nghĩa 2.2.1. Hàm f(x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại số
thực k sao cho:
∆f(x0) = k∆x+ o(∆x)
Tích k∆x gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là df(x0)
df(x0) = k∆x
Ví dụ 2.2.1. Chứng minh hàm số f(x) = x3 khả vi tại điểm x bất kỳ.
B. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm
Định lí 2.2.1. Hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 ⇔ ∃f ′(x0).
Khi đó,
df(x0) = f
′(x0).∆x.
Biểu thức vi phân
1. Khi f(x) = x thì dx = ∆x
2. Nếu f(x) có đạo hàm tại x thì biểu thức vi phân của f(x) là:
df(x) = f ′(x)dx
Ví dụ 2.2.2. 1. y = ln(3x2 − 2x3). Tìm dy
18
2. y = arctanx2 . Tìm dy
Lời giải:
1. dy = (ln(3x2 − 2x3))′dx = (3x2−2x3)′3x2−2x3 dx = 6x(1−x)3x2−2x3dx
2. dy = (arctanx2)′dx = (x
2)′
1+x4dx =
2x
1+x4dx
2.2.2 CÁC QUY TẮC TÍNH VI PHÂN
A. Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lí 2.2. ... ên [a; b].
Kí hiệu: ∫ b
a
f(x)dx := lim
max∆xi→0
n∑
i=1
f(x∗i ).∆xi
Khi đó ta cũng nói f(x) khả tích trên [a; b].
Chú ý
1.
∫ b
a
f(x)dx là một số không phụ thuộc vào x nên∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(t)dt
2. Khi tính tích phân xác định bằng định nghĩa có thể chia đều đoạn [a; b] và lấy
x∗i là trung điểm của mỗi đoạn đó.
Ví dụ 4.2.1. Tính
∫ 1
0
x2dx bằng định nghĩa.
Một số lớp hàm khả tích
Định lí 4.2.1. Hàm f(x) khả tích trên [a; b] nếu thỏa mãn một trong các điều kiện
sau
41
• f(x) liên tục trên [a; b].
• f(x) bị chặn trên [a; b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên [a; b].
• f(x) đơn điệu và bị chặn trên [a; b].
Các tính chất của tích phân xác định
• ∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx
• ∫ a
a
f(x)dx = 0
• Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a; b] thì∫ b
a
[αf(x) + βg(x)]dx = α
∫ b
a
f(x)dx+ β
∫ b
a
g(x)dx
• Nếu f(x) khả tích trên [a, b] và c ∈ [a, b] thì∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
• Nếu f(x) khả tích trên [a; b] và f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a; b] thì∫ b
a
f(x)dx ≥ 0
• Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a; b] và f(x) ≥ g(x)∀x ∈ [a; b] thì∫ b
a
f(x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx
• Nếu f(x) khả tích trên [a; b] và M ≥ f(x) ≥ m,∀x ∈ [a; b] thì
M(b− a) ≥
∫ b
a
f(x)dx ≥ m(b− a)
• Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì ∃c ∈ [a; b] sao cho∫ b
a
f(x)dx = f(c)(b− a)
Công thức Newton-Lebniz
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và F (x) là một nguyên hàm của f(x) trong đoạn đó thì∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
42
4.2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Phương pháp khai triển
Biến đổi tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân đơn giản hơn
sau đó áp dụng công thức Newton-Lebniz.
Ví dụ 4.2.2. Tính tích phân sau:
I =
∫ 2
1
(x−√x)(1 +√x)
3
√
x
dx
Phương pháp đổi biến
Đổi biến dạng 1
Tính
∫ b
a
f(x)dx bằng cách đặt x = ϕ(t) với điều kiện
1. ϕ(t) có đạo hàm liên tục trong [α; β].
2. ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.
3. Khi t biến thiên liên tục trên [α, β] thì x biến thiên liên tục trong [a; b].
Khi đó:
∫ b
a
f(x)dx =
∫ β
α
f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt
Ví dụ 4.2.3. Tính tích phân sau
I =
∫ 2
0
√
4− x2dx
Đổi biến dạng 2 Tính
∫ b
a
f(x)dx bằng cách đặt t = ϕ(x) với điều kiện
1. ϕ(x) đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b].
2. f(x)dx trở thành g(t)dt với g(t) là hàm liên tục trên [ϕ(a), ϕ(b)].
Khi đó: ∫ b
a
f(x)dx =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
g(t)dt
Ví dụ 4.2.4. Tính tích phân sau
I =
∫ pi
2
0
cosx
1 + sin2 x
dx
43
Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm có đạo hàm liên tục.∫ b
a
udv = uv|ba −
∫ b
a
vdu
Ví dụ 4.2.5. Tính tích phân sau
I =
∫ e
1
e
lnxdx
4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG
4.3.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG MIỀN VÔ HẠN
Định nghĩa 4.3.1. Giả sử f(x) xác định và khả tích trên mọi [a, t], (t ≥ a). Khi
đó, tồn tại tích phân
F (t) =
∫ t
a
f(x)dx
Kí hiệu hình thức
lim
t→+∞F (t) = limt→+∞
∫ t
a
f(x)dx :=
∫ +∞
a
f(x)dx
Gọi
∫ +∞
a
f(x)dx là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên [a; +∞)
Nhận xét:
1. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ.
2. Nếu giới hạn trên vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng
phân kì.
Tương tự, ta có ∫ a
−∞
f(x)dx := lim
t→−∞
∫ a
t
f(x)dx∫ +∞
−∞
f(x)dx := lim
u→−∞,v→+∞
∫ v
u
f(x)dx
44
Nếu
∫ a
−∞ f(x)dx,
∫ +∞
a
f(x)dx hội tụ thì∫ +∞
−∞
f(x)dx :=
∫ a
−∞
f(x)dx+
∫ +∞
a
f(x)dx hội tụ
Ví dụ 4.3.1. Xét sự hội tụ của tích phân sau
I =
∫ +∞
−∞
dx
x2 + 1
Lời giải:
I =
∫ +∞
−∞
dx
x2 + 1
=
∫ 0
−∞
dx
x2 + 1
+
∫ +∞
0
dx
x2 + 1
= lim
u→−∞
∫ 0
u
dx
x2 + 1
+ lim
v→+∞
∫ v
0
dx
x2 + 1
Ta có: ∫ 0
u
dx
x2 + 1
= arctan 0− arctanu = − arctanu
lim
u→−∞
∫ 0
u
dx
x2 + 1
= lim
u→−∞(− arctanu) =
pi
2∫ v
0
dx
x2 + 1
= arctan v − arctan 0 = arctan v
lim
v→+∞
∫ v
0
dx
x2 + 1
= lim
v→+∞(arctan v) =
pi
2
⇒ I = pi
2
+
pi
2
= pi
Vậy tích phân trên hội tụ.
4.3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN
Định nghĩa 4.3.2. Cho hàm số f(x) xác định trên [a; b) khả tích trên mọi đoạn
[a; t], t ∈ [a; b) và không bị chặn trong lận cận điểm b. (b gọi là điểm kì dị)
Khi đó, tồn tại tích phân
G(t) =
∫ t
a
f(x)dx
Kí hiệu hình thức
lim
t→b−
G(t) = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx :=
∫ b
a
f(x)dx
45
Gọi
∫ b
a
f(x)dx là tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a; b).
Nhận xét:
1. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ.
2. Nếu giới hạn trên vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng
phân kì.
Tương tự:
• Nếu a là điểm kì dị ∫ b
a
f(x)dx := lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx
• Nếu a, b đều là điểm kì dị∫ b
a
f(x)dx := lim
u→a+,v→b−
∫ v
u
f(x)dx
• Nếu ∫ c
a
f(x)dx,
∫ b
c
f(x)dx hội tụ thì∫ b
a
f(x)dx :=
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx hội tụ
Trường hợp đặc biệtNếu f(x) khả tích trên [a; t], [t′; b] và xác định trên [a; c), (c; b], c
là điểm kì dị thì
∫ b
a
f(x)dx là tích phân suy rộng loại 2.∫ b
a
f(x)dx :=
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Tính hội tụ hay phân kì của tích phân suy rộng ở vế trái phụ thuộc vào tính hội
tụ hay phân kì của tích phân suy rộng ở vế phải.
Ví dụ 4.3.2. Xét sự hội tụ của tích phân sau
I =
∫ 1
0
dx
x3
Lời giải:
I =
∫ 1
0
dx
x3
= lim
t→0+
∫ 1
t
dx
x3
46
Ta có ∫ 1
t
dx
x3
= −1
2
+
1
2t2
lim
t→0+
∫ 1
t
dx
x3
= lim
t→0+
(−1
2
+
1
2t2
) = +∞
Vậy tích phân trên phân kỳ.
47
CHƯƠNG 5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
5.1.1 Các khái niệm chung
Định nghĩa 5.1.1. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hoặc vi phân của nó.
Định nghĩa 5.1.2. Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân với hàm
số phải tìm là hàm một biến số.
Ví dụ 5.1.1.
y′ = y2 + x2
y′′ − 2y′ = 2x3 sinx
x(y − 3)dx+ y(x− 3)dy = 0
Định nghĩa 5.1.3. Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình vi phân
với hàm số phải tìm là hàm nhiều biến số.
Ví dụ 5.1.2.
x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
= u
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0
Định nghĩa 5.1.4. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm
có trong phương trình đó.
Ví dụ 5.1.3. • y′′ − 2y′ = 2x3 sinx là PTVP cấp 2
48
• x(y − 3)dx+ y(x− 3)dy = 0 là PTVP cấp 1
Định nghĩa 5.1.5. Nghiệm của PTVP thường là hàm số thỏa mãn phương trình
đó.
5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp 1
Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát sau
đây
F (x, y, y′) = 0 (1.1)
Các dạng thường gặp
dy
dx
= f(x, y)
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp 1
• Hàm số y = Φ(x,C), C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi là
nghiệm tổng quát.
• Nghiệm tổng quát được tìm dưới dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = 0 thì được gọi là
tích phân tổng quát của PTVP.
• Nghiệm riêng là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể.
• Tích phân riêng của PTVP thu được khi cho tích phân tổng quát giá trị C cụ
thể
Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm của phương trình vi phân
F (x, y, y′) = 0
thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(x0) = y0
49
5.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Phương trình tuyến tính thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng
dy
dx
+ p(x)y = q(x) (2.1)
Phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
dy
dx
+ p(x)y = 0 (2.2)
Nghiệm tổng quát của PT (2.2) là
y = Ce−
∫
p(x)dx
Ví dụ 5.2.1. Giải phương trình
dy
dx
− 2y
x
= 0
Lời giải:
Nghiệm tổng quát của pt trên là
y = Ce
∫
2dx
x = Ce2 ln |x| = Cx2
Định lí 5.2.1. Nếu y0(x) là một nghiệm của pt (2.1), y(x) là một nghiệm của
phương trình thuần nhất liên kết (2.2) thì y0(x) + y(x) là nghiệm của pt (2.1).
Ví dụ 5.2.2. Giải phương trình:
dy
dx
+ y = 2ex
Phương pháp biến thiên hằng số
B1: Giải PTVP (2.2) tìm được nghiệm tổng quát có dạng y = Ce−
∫
p(x)dx (∗), C
là hằng số bất kỳ.
B2: Tìm nghiệm của PTVP (2.1) có dạng (*) nhưng với C = C(x).
Thay y = C(x)e−
∫
p(x)dx vào (2.1), đồng nhất hệ số ta tìm được C(x).
50
B3: Thay C(x) tìm được vào (*) ta được nghiệm tổng quát của PTVP (2.1).
Ví dụ 5.2.3. Giải phương trình sau
y = x(y′ − x cosx)
5.2.2 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ
Phương trình dạng M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 (3.1) hoặc
dy
dx =
f(x)g(y)
Cách giải:
• Chia hai vế pt (3.1) cho M2(y)N1(x) để đưa về dạng:
p(x)dx+ q(y)dy = 0 (3.2)
• Lấy tích phân hai vế pt (3.2) ta được tích phân tổng quát:∫
p(x)dx+
∫
q(y)dy = C
Lưu ý: trong quá trình thực hiện, có thể ta đã làm mất các nghiệm làm cho
M2(y)N1(x) = 0
Ví dụ 5.2.4. Giải phương trình:
ydx = ln ydy
với điều kiện y(2) = 1
Phương trình đưa về dạng phân li biến số
Phương trình thuần nhất
Phương trình dydx = f(x, y) được gọi là phương trình thuần nhất nếu
f(tx, ty) = f(x, y)∀t
Cách giải:
Đổi biến y = xz để đưa về dạng phân li biến số với z là hàm phải tìm
Ví dụ 5.2.5. Giải phương trình
(x− 2y)dy = (x− y)dx
51
Phương trình dạng dydx = f(ax+ by)
Cách giải:
Đổi biến z = ax+ by để đưa về dạng phân li biến số với z là hàm phải tìm
Ví dụ 5.2.6. Giải phương trình:
dy
dx
= 2x+ y
Phương trình dạng dydx = f
(
a1x+b1y+c1
a2x+b2y+c2
)
(3.3)
• Nếu a1b2 = a2b1 thì biến đổi về dạng dydx = g(a2x+ b2y)
• Nếu a1b2 6= a2b1 thì đặt x = x0 + u, y = y0 + v
với (x0, y0) là nghiệm của hệ
{
a1x+ b1y + c1 = 0
a2x+ b2y + c2 = 0
Khi đó phương trình (3.3) trở thành
dv
du
= f
(
a1u+ b1v
a2u+ b2v
)
Đây là phương trình thuần nhất với v = v(u) là hàm phải tìm nên ta đặt v = uz
để chuyển về dạng phân li biến số.
Ví dụ 5.2.7. Giải phương trình:
dy
dx
=
2x− y
2y − x+ 1
5.2.3 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
Phương trình Bernoulli
Dạng
dy
dx
+ p(x)y = yαq(x), (α 6= 0; 1) (3.4)
Cách giải:
• Chia hai vế pt cho yα được:
y−α
dy
dx
+ p(x)y1−α = q(x) (3.5)
• Đặt z = y1−α ta có: dzdx = (1− α)y−α dydx
52
• Thay vào pt (3.5) ta được: dzdx + (1−α)p(x)z = (1−α)q(x) Đây là phương trình
tuyến tính với hàm phải tìm là z.
Ví dụ 5.2.8. Giải phương trình sau
y′ − y = xy2
53
CHƯƠNG 6
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
6.1 KHÁI NIỆM
6.1.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG SỐ PHỨC
Định nghĩa số phức
• Đơn vị ảo, được kí hiệu là i, là số thỏa mãn i2 = −1
• Số phức có dạng z = a+ bi, a, b ∈ R
a gọi là phần thực, kí hiệu là Rez;
b gọi là phần ảo, kí hiệu là Imz
• Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau.
a+ bi = c+ di⇔ a = c, b = d
a+ bi = 0⇔ a = b = 0
• Số phức liên hợp của z = a+ bi là z = a− bi
Các dạng biểu diễn của số phức
1. Dạng đại số z = a+ bi
2. Dạng hình học: Biểu diễn số phức z = a+ bi bởi điểm có tọa độ (a; b) trên mặt
phẳng tọa độ Oxy
3. Dạng lượng giác của số phức z = a+ bi, z 6= 0 là z = r(cosϕ+ i sinϕ) trong đó
r =
√
a2 + b2,
{
cosϕ = a√
a2+b2
sinϕ = b√
a2+b2
4. Dạng hàm mũ của số phức
Nếu z = r(cosϕ+ i sinϕ) thì z = reiϕ
Phương trình bậc hai x2 + px+ q = 0
Nghiệm của pt bậc hai
54
1. Nếu ∆ = p2 − 4q > 0 thì pt có hai nghiệm thực phân biệt x = −p2 ±
√
∆
2
2. Nếu ∆ = p2 − 4q = 0 thì pt có nghiệm kép x = −p2
3. Nếu ∆ = p2 − 4q < 0 thì pt có hai nghiệm phức liên hợp x = −p2 ± i
√−∆
2
6.1.2 KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Định nghĩa 6.1.1. Hàm số với đối số nguyên
Hàm số u = f(n), n ∈ N(n ∈ N∗, n ∈ Z) được gọi là hàm số với đối số nguyên
Kí hiệu: un
Định nghĩa 6.1.2. Sai phân
Sai phân (sai phân cấp 1) của hàm số u = un là độ chênh lệch giá trị của hàm số
tại hai thời điểm kế tiếp.
Sai phân của hàm số u = un tại thời điểm n được kí hiệu là ∆un
∆un = un+1 − un
Ví dụ 6.1.1. Hàm số un = n3 có sai phân cấp 1 tại thời điểm n là
∆un = un+1 − un = (n+ 1)3 − n3 = 3n2 + 3n+ 1
Định nghĩa 6.1.3. Sai phân cấp m
Sai phân cấp m của hàm số u = un là sai phân của sai phân cấp m− 1 của hàm số
đó.
Sai phân cấp m của hàm số u = un tại thời điểm n được kí hiệu là ∆mun.
∆mun = ∆(∆
m−1un) = ∆m−1un+1 −∆m−1un
55
Ta có: ∆2un = ∆un+1 −∆un = un+2 − 2un+1 + un
Tương tự, ta có thể biểu diễn ∆mun qua un, un+1, un+2, ..., un+m
Định nghĩa 6.1.4. Phương trình sai phân
Phương trình sai phân là phương trình với hàm phải tìm là hàm đối số nguyên
u = un, trong đó hàm phải tìm xuất hiện dưới dạng sai phân các cấp của nó.
Định nghĩa 6.1.5. Cấp của phương trình sai phân
Cấp của phương trình sai phân là cấp cao nhất của sai phân có trong phương trình
đó.
Định nghĩa 6.1.6. Nghiệm của phương trình sai phân
1. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là hàm đối số nguyên un =
ϕ(n,C1, C2, ..., Cn) thỏa mãn phương trình đó. (C1, C2, ..., Cn là các hằng số bất
kì)
2. Nghiệm riêng của phương trình sai phân là nghiệm thu được khi cho nghiệm
tổng quát giá trị cụ thể của C1, C2, ..., Cn.
6.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN
NHẤT
6.2.1 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP 2
Dạng phương trình:
un+2 + pun+1 + qun = 0 (2.2)
Cách giải
Phương trình đặc trưng tương ứng là: k2 + pk + q = 0 (2.3)
56
TH1 Nếu (2.3) có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì
nghiệm tổng quát của (2.2) là: un = C1kn1 + C2k
n
2
TH2 Nếu (2.3) có nghiệm kép k 6= 0 thì
nghiệm tổng quát của (2.2) là: un = C1kn + C2nkn
TH3 Nếu (2.3) có 2 nghiệm phức liên hợp k = α± iβ, k không thuộc R
nghiệm tổng quát của (2.2) là: un = rn(C1 cosϕn+ C2 sinϕn)
r =
√
α2 + β2,
 cosϕ =
α√
α2+β2
sinϕ = β√
α2+β2
Ví dụ 6.2.1. Giải các phương trình sau
1. un+2 − 4un = 0, u(0) = 1, u1 = 3
2. un+2 + un+1 + un = 0
3. un+2 − 4un+1 + 4un = 0
6.2.2 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP m
Dạng phương trình:
un+m + a1un+m−1 + ...+ amun = 0 (2.4)
Cách giải
PT đặc trưng tương ứng: km + a1km−1 + ...+ am = 0 (2.5)
TH1 Nếu (2.5) có chứa j nghiệm thực phân biệt k1, .., kj thì
nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa: C1kn1 + ...+ Cjk
n
j
TH2 Nếu (2.5) có chứa nghiệm ki bội s thì nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa
C1k
n
i + C2nk
n
i + C3n
2kni ...+ Csn
s−1kni
TH3 Nếu (2.5) có chứa nghiệm phức liên hợp k = α± iβ, k không thuộc R bội s
nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa: rn(C1 cosϕn+C2 sinϕn) + nrn(C3 cosϕn+
C4 sinϕn) + ...+ n
s−1rn(C2s−1 cosϕn+ C2s sinϕn)
r =
√
α2 + β2,
 cosϕ =
α√
α2+β2
sinϕ = β√
α2+β2
Ví dụ 6.2.2. Giải các phương trình sau
57
1. un+3 − un+2 + 4un+1 − 4un = 0
2. un+3 + un = 0
6.3 PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP m
6.3.1 LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN
NHẤT
Dạng PT:
un+m + a1un+m−1 + ...+ amun = f(n) (2.6)
PT thuần nhất tương ứng:
un+m + a1un+m−1 + ...+ amun = 0 (2.7)
Định lí 6.3.1. Nếu u′n là nghiệm tổng quát của (2.7), u∗n là một nghiệm riêng của
(2.6) thì nghiệm tổng quát của (2.6) là un = u′n + u∗n
6.3.2 CÁCH GIẢI PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP m
Cách giải phương trình (2.6) với f(n) = Pm(n)βn, β ∈ R
1. Giải pt (2.7) để tìm u′n
2. Tìm 1 nghiệm riêng u∗n của (2.6)
• Tìm dạng nghiệm riêng u∗n
+ Nếu PT đặc trưng có tất cả các nghiệm k 6= β thì u∗n = βnQm(n)
+ Nếu PT đặc trưng có nghiệm k = β (bội s) thì u∗n = nsβnQm(n)
• Thay dạng u∗n vào pt (2.6), đồng nhất hệ số thì ta tìm được u∗n
3. Nghiệm tổng quát của (2.6) là un = u′n + u∗n
Ví dụ 6.3.1. Giải các phương trình sau
1. un+3 − un+2 + 4un+1 − 4un = 4n
2. un+3 + un = 2.(−1)n
58
Dạng PT: un+m + a1un+m−1 + ...+ amun = f(n) + g(n)
Cách giải:
1. Giải PT thuần nhất tương ứng để tìm nghiệm u′n.
2. Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình
un+m + a1un+m−1 + ...+ amun = f(n)
3. Tìm một nghiệm riêng u∗∗n của phương trình
un+m + a1un+m−1 + ...+ amun = g(n)
4. Nghiệm của PT ban đầu un = u′n + u∗1n + u
∗
2n
Ví dụ 6.3.2. Giải phương trình sau
un+2 − 4un+1 + 4un = 2n + n2
59