Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 4: Tích phân

11/1/2018
1
LOG
O
Chương 4:
Tích phân
GV. Phan Trung Hiếu
§4. Tích phân suy rộng
§5. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế
§1. Nguyên hàm
§3. Các phương pháp tính tích phân
§2. Tích phân xác định
2
§1. Nguyên hàm
I. Nguyên hàm:
3
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên 
khoảng D.
Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D
( ) ( ), .F x f x x D  
Ví dụ 1.1:
 x2 là nguyên hàm của 2x, vì 2( ) 2 .x x 
 x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì 2( 3) 2 .x x 
 x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 
2x, vì 2( ) 2 .x C x 
4
Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D
đều có dạng F(x) + C.
5
II. Tích phân bất định:
trong đó : dấu tích phân.
:x biến lấy tích phân.
( ) :f x hàm lấy tích phân.
Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm
số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất
cả các nguyên hàm của f trên D.
Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được
ký hiệu là
( ) :f x dx biểu thức dưới dấu tích phân.
( ) , f x dx
6
Ví dụ 1.2. 22x dx x C vì 2( ) 2 .x x
Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là
hai thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x 
11/1/2018
2
III. Tính chất:
7
 . ( ) ( )k f x dx k f x dx với k là hằng số khác 0.
 ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx
 ( ) ( ) .f x dx f x C
 ( ) ( ).f x dx f x
IV. Bảng công thức tích phân cơ bản:
8
Xem Bảng 3. 
9
§2. Tích phân xác định
I. Công thức Newton-Leibniz:
10
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a 
Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích
phân xác định của f từ a đến b là
II. Tính chất:
11
 ( ) 0
a
a
f x dx
 ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx

b b
a a
k f x dx k f x dx . ( ) . ( ) với k là hằng số
 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
 ( ) 0f x trên [a,b] ( ) 0.
b
a
f x dx
12
§3. Các phương pháp 
tính tích phân
11/1/2018
3
13
 Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp
sao cho biểu thức còn lại trong hàm số.
Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi
hàm số.
 t
I. Phương pháp đổi biến số loại 1:
14
Bước 1 (đổi biến): Đặt ( )t u x ( )dt u x dx 
Bước 2 (thay vào tích phân):
 ( ) ( ) ( )I f t dt F t C F u x C 
Tích phân dạng:  ( ) ( )I f u x u x dx 
15
Tích phân dạng:  ( ) ( )
b
a
I f u x u x dx 
Bước 1 (đổi biến): Đặt ( )t u x ( )dt u x dx 
Bước 2 (đổi cận): x a b
t u(a) u(b)
Bước 3 (thay vào tích phân):
( )
( )
( )
u b
u a
I f t dt 
(cận mới, biến mới).
16
 Dấu hiệu đổi biến thường gặp:
Có Đặt
căn t = căn
và
và
 xe ,xt e const 
ln x lnt x 1
x
2
1
x
1
x
1t
x
n(u(x)) t u(x) 
17
Dạng Đặt
có và t = tanx
có và t = cotx
có arcsinx và t = arcsinx
có arccosx và t = arccosx
tan x 2
1
cos x
cot x 2
1
sin x
2
1
1 x
2
1
1 x
18
Dạng Đặt
có arctanx và t = arctanx
có arccotx và t = arccotx
(sin )f x dx cosx sint x 
(cos )f x dx sinx cost x 
2
1
1 x
2
1
1 x
11/1/2018
4
19
Dạng
Đặt
f đổi dấu
f đổi dấu
f không đổi dấu
Tổng quát
(sin ,cos )f x x dx sin sin
Thay
cos cos
x x
x x tant x 
Thay sin sin x x
cost x 
Thay cos cos x x
sint x 
tan
2
xt
20
Ví dụ 3.1. Tính
1
3 2
0
) 1 b x x dx
4
2
1
)
1 
dxc
x x
 3 5 2) ( ) (3 1)a x x x dx
 2) (2 ln )
dx
f
x x
1
2
2
1/2
1 1
) sing dx
xx
tan4
2
0
)
cos
xe
i dx
x
 2 4) tan tan j x x dx
)
1 
x
x
e dxe
e
4) 
xd dx
x
3
11
3
)
x
h dx
x
21
2
2 sin
0
) cos
 xl e xdx
6
0
) (1 cos3 )sin3
 m x xdx
2
7 5
0
) sin cos
 n x xdx
2
6
sin)
cos 
xq dx
x
2
sin(2 1))
cos (2 1)
xp dx
x
2 3) cos tan o x xdx
2
arccos)
1 
xk dx
x
)
3cos 4sin 5 
dxr
x x
22
 2) 4 4 5
dx
s
x x
sin cos
)
sin cos
x x
t dx
x x
2
2
0
) 4 2 x xv x e dx 
3
sin
)
cos
x
u dx
x x
23
Phương pháp (đổi biến):
Đặt ( ) x u t ( ) dx u t dt
II. Phương pháp đổi biến số loại 2
 Dấu hiệu đặt thông thường:
Có Đặt
2 2 ( )a u x ( ) sin , ;2 2
u x a t t
2 2( )u x a ( ) ,sin 
au x
t
2 2( ) u x a ( ) tan , ;
2 2
u x a t t
0;
2
t nếu ( ) u x a
3;
2
t nếu ( ) u x a
24
Ví dụ 3.2. Tính
) 1 a x xdx 2 2) , 11
dxb x
x x
3 3
32
2 3/2
0
)
(4 9) 
xc dx
x
11/1/2018
5
25
Phương pháp:
Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức.
Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =
một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta
làm như sau
( )
( )
P x dx
Q x , P(x), Q(x) là các đa thức.
III. Tích phân hàm hữu tỉ:
26
Mẫu có : Đặt( )nax b . t ax b
Mẫu là tam thức bậc hai 2 : ax bx c
Vô nghiệm và tích phân có dạng ta 
biến đổi .
2 , 
dx
ax bx c
2 2 2 ( ) ax bx c a u x
Có nghiệm kép x0 , ta phân tích 
2 2
0
( ) ( ) .
( )
P x P x
ax bx c a x x
2 2
0( )ax bx c a x x 
27
Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích 
1 2 1 2
( ) .
( )( )
P x A B
a x x x x x x x x
2
1 2( )( ). ax bx c a x x x x
Tìm hệ số A, B sao cho
28
Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích
mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay
lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các
hệ số như sau
1 2 3 1 2 3
A B C
x x x x x x
( )
( )( )( )
P x
x x x x x x 
2 2
1 2 1 2 2( )
A B C
x x x x x x
( )
( )( )
P x
x x x x 
2 2
0 0
A Bx C
x x ax bx c
( )
( )( )
P x
x x ax + bx + c 
trong đó vô nghiệm.2 0 ax bx c
29
2 2 2 2
0 0 0( )
A B Cx D
x x x x ax bx c
( )
( ) ( )
P x
x x ax + bx + c 
2 2 2 2 2
0 0 ( )
A Bx C Dx E
x x ax bx c ax bx c
( )
( )( )
P x
x x ax + bx+ c 
trong đó vô nghiệm.2 0 ax bx c
 Đặc điểm:
-Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng.
-Mẫu là lũy thừa của tam thức vô nghiệm: Tử
là nhị thức.
2 ax bx c
30
Ví dụ 3.3. Tính
3sin)
2 cos 
xa dx
x
1
0
4 3)
2 1
xb dx
x
3) (2 1) 
xdxd
x
4 2
3 2
1
( 1))
3 4 12 
xe dx
x x x
3 2
2
2 4 3)
2 3
x x xf dx
x x
2
2
( 2))
( 1)
xg dx
x x
2
3 2
2 3 11)
3 5
x xh dx
x x x
2
0
)
2 sin
dxc
x
2
2 2
2 1)
( 1) ( 1)
x xi dx
x x
3 2
2 2
2 5 8 4)
( 2 2)
x x xj dx
x x
11/1/2018
6
31
2 2) ( 1) 
dxk
x x
1) 
xl dx
x
2
2) 3 2 
x
x x
e dxm
e e
32
IV. Phương pháp tích phân từng phần:
B1: Đặt ( ) ( )
( )
u f x du f x
dv g x v
dx
dx Nguyên hàm của g(x)
 Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log);
đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác);
mũ (eax+b) liên hệ với nhau bởi phép nhân.
 Phương pháp:
33
B2: Dùng công thức tích phân từng phần
udv uv vdu 
hoặc
.
b b
b
a
a a
udv uv vdu 
34
Ví dụ 3.4. Tính
) cos a x xdx
2
0
) sin 2 ln(2 cos )
 h x x dx
2) arccos f x xdx
1
2
0
) xb x e dx
2
1
ln) 
e xd dx
x
 ) sinxg e xdx
2) ln( ) c x x dx
 ) arctan 4e xdx
2) ln i x xdx
35
§4. Tích phân suy rộng
I. Các loại tích phân suy rộng:
36
Loại 1:
( ) ; ( ) ; ( ) .
b
a
f x dx f x dx f x dx
Loại 2:
( )
b
a
f x dx trong đó vớilim ( )x c f x [ , ].c a b 
11/1/2018
7
37
Ví dụ 4.1: Tích phân nào sau đây là tích phân
suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy
cho biết nó thuộc loại nào.
2
1
1)
 a dxx 2) 1
dxb
x
/2
0
sin)
cos
xdxc
x
1
1
)
dxd
x
1
2
) .
dxe
x
II. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
38
TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân.
TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay
phân kỳ.
39
TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.
40
 Chú ý 4.1:
 ( ) lim ( )
b b
a
a
f x dx f x dx
 ( ) lim ( )
b
b
a a
f x dx f x dx
( ) ( ) ( ) , 
c
c
f x dx f x dx f x dx c
 ( ) ( ) ( ) , (0, )
b
a a b
f x dx f x dx f x dx b

tùy ý
tùy ý
41
 Điểm suy rộng tại a lim ( )x a f x 
( ) lim ( )
b b
t a
t
f x dx f x dx
a
 Điểm suy rộng tại b lim ( )x b f x 
( ) lim ( )
t
t b
a a
f x dx f x dx
b
 Điểm suy rộng tại a và b
( ) ( ) ( ) , ( , )
c b
a c
f x dx f x dx f x dx c a b 
b
a
42
-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn
tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược
lại là tích phân phân kỳ.
-Trong công thức ,, , nếu cả 2 tích
phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
 Điểm suy rộng tại ( , )a b c
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx f x dx 
c
c
11/1/2018
8
43
Định lí 4.2: 
a) ( )
a
f x dx
 hội tụ và ( )
a
g x dx
 hội tụ
 ( ) ( )
a
f x g x dx
 hội tụ và
 ( ) ( ) ( ) ( ) .
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
b) ( )
a
f x dx
 hội tụ và k là một hằng số
. ( )
a
k f x dx
 hội tụ và . ( ) . ( )
a a
k f x dx k f x dx
44
Ví dụ 4.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích 
phân sau (trong trường hợp hội tụ)
2
1
) dxa
x
0
) xb e dx 
0
) xd xe dx
 2) 1
dxf
x
1
2
0
)
1 
dxg
x
1
1
)
1 
x
x
e dxi
e
/2
0
sin)
1 cos
xdxh
x
1
ln) xc dx
x
2
2
2
)
4 
dxj
x
2
2)
1
xdxe
x
45
TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x
-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã
có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên
hàm.
46
Định lí 4.3: f(x), g(x) dương trên và khả tích 
trên mọi đoạn [a,b], 
[ , )a 
Xét
( )lim .
( ) 
x
f x k
g xi) 0 :k 
( ) , ( )
a a
f x dx g x dx
 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
ii) 0 :k ( )
a
g x dx
 hội tụ ( )
a
f x dx
 hội tụ.
( )
a
f x dx
 phân kỳ ( )
a
g x dx
 phân kỳ.
iii) :k ( )
a
f x dx
 hội tụ ( )
a
g x dx
 hội tụ.
( )
a
g x dx
 phân kỳ ( )
a
f x dx
 phân kỳ.
. b a
47
Hệ quả 4.4: f(x), g(x) dương, liên tục trên và
thì
[ , )a 
( ) ( )f x g x khi x 
( )
a
f x dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
( )
a
g x dx
 và
Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên 
[ , ), ( , ]a b a b
48
 Chú ý 4.5:
 Với , ta có0 a 
1 
 n
a
dx
x
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
 Với , ta có0 b 
0
1
b
n dxx
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
11/1/2018
9
49
Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
3
1
)
1
dxa
x x
 51
2)
1
xdxb
x x
33
1
( 5))
1
x dxc
x x
1
3/2
0
ln(1 )) x dxe
x
1
0
)
sin
dxf
x 
3
0
) dxd
x
50
§5. Ứng dụng của tích phân
trong kinh tế
I. Tìm mức biến thiên:
51
Chúng ta biết rằng F’ (x) là tốc độ biến thiên
của y = F(x) theo x. Khi đó, mức biến thiên của
y khi x biến thiên từ a đến b là
 ( ) ( ) ( )
b
a
F b F a F x dx
52
Ví dụ 5.1: Nếu C(x) là chi phí sản xuất x đơn 
vị sản phẩm, C’(x) là chi phí biên. Khi đó
15
10
( )C x dx
biểu thị cho cái gì?
Ví dụ 5.2: Một công ty khai thác mỏ ước tính 
rằng chi phí biên chiết xuất x tấn quặng đồng từ 
mỏ là (nghìn USD/tấn). Chi 
phí thành lập là C(0) = 100000USD. Hãy cho biết 
chi phí chiết xuất 50 tấn đồng đầu tiên là bao 
nhiêu? 50 tấn kế tiếp là bao nhiêu?
 ( ) 0,6 0,008C x x
II. Xác định hàm tổng theo biên tế:
53
Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng
chi phí, tổng doanh thu, tổng tiêu dùng,) là hàm số
được xác định theo giá trị của biến số x:
y = f (x)
Nếu ta biết được hàm giá trị cận biên thì ta
có thể xác định được hàm tổng y = f (x) thông qua
phép toán tích phân
( )My f x 
'( )y Mydx f x dx 
Hằng số C trong tích phân bất định trên được xác
định nếu ta biết giá trị của y tại một điểm x0 nào đó:
y0 = f(x0).
54
Ví dụ 5.4: Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức
sản lượng Q là
MC = 8.e0,2Q
và chi phí cố định là FC = 50. Tìm hàm tổng chi
phí C(Q) và chi phí khả biến VC(Q).
Ví dụ 5.3: Nếu hàm giá trị cận biên của doanh
thu theo sản lượng của một loại sản phẩm là
 210000MR Q
Tìm hàm cầu của loại sản phẩm này.
11/1/2018
10
III. Tính thặng dư:
55
Trong kinh tế học:
-Tổng tất cả các giá trị hưởng lợi của mọi người
tiêu dùng được gọi là thặng dư của người tiêu
dùng (Consumers’Surplus), ký hiệu là CS.
-Tổng tất cả các giá trị mà mọi nhà sản xuất được
hưởng lợi khi giá cân bằng là thặng dư của nhà
sản xuất (Producers’Surplus), ký hiệu là PS.
56
Giả sử:
Điểm cân bằng của thị trường là (P0,Q0), nghĩa
là khi giá P = P0 thì QS=QD
P(QS) là hàm cung (ngược).
P(QD) là hàm cầu (ngược).
Khi đó:
0
0
0 0
0
0 0
0
( ) .
. ( )
Q
D D
Q
S S
CS P Q dQ P Q
PS P Q P Q dQ
57
Ví dụ 5.5: Biết hàm cung, hàm cầu của một loại
hàng hóa được cho bởi
Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và
thặng dư của nhà sản xuất đối với hàng hóa đó
trong điều kiện thị trường cân bằng.
1,
113 .
Q P
Q P
Bài tập Toán Cao cấp C1 
11 
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 
Bài 1: Tính các tích phân sau 
1) 2 2
17
5 cos
xx dx
x
. 2) 
1
2
0
( 1) x xdx . 3) 
3 2
3
xx x e x dx
x
. 
4) 
2
3
(1 ) 
x
x
e dx
e
 5) 
3 1
1
x
x
e dx
e
. 6) 
2
2
0
2cos
2
x dx . 
7) 2tan xdx . 8) 2(tan cot ) x x dx . 9) 
4
0
1 cos 4
 xdx . 
10) 
2
0
1 cos
2
xdx . 11) sin cos3 cos5 x x xdx . 12) 2 32 .3 .5 x x x dx . 
13) 
2
3 .
1 9 
dx
x
 14) 
2
2
0
.
8 2 
dx
x
Bài 2: Tính các tích phân sau 
1) 2 10( 3 1) (2 3) x x x dx 2) 32
.
4 
x dx
x
 3) 
1
2 3
1
3 1 .
 x x dx 
4) 
2
2
1 (1 ) 
dx
x x
. 5) 
3 2
2 .
1 
xdx
x
 6) 2 .
1
x dx
x
7) 
2
.
1 
dx
x x
 8) 2 .(1 ) 
x
x
e dx
e
 9) 1 . x xe e dx 
10) 2 .
2 3 
X
X dx 11) 
ln 4
2
0
.
9 
x
x
e dx
e
 12)
21 x
dx
e
13) 
4
ln 
e
e
dx
x x
. 14) ln
1 ln 
x dx
x x
 15)
2
1 4 ln 
e dx
x x
. 
16) 2
1 1cos 1 . 
dx
x x
 17) 5
1 . 
x dx
x
 18) 2
cot .
cos 
xdx
x
19)
21 tan .
1 tan
x dx
x
 20) 
2
4
tan .
cos 
x dx
x
 21) 
2
/2
2/3
cot
2
sin
2
x
dxx . 
22) 
1/2
1/4
arcsin
(1 ) 
x dx
x x
. 23) 
2
2
(arccos3 )
1 9
x x dx
x
. 24) 2
arcsin
1 
xdx
x
. 
25) 3cos sin x xdx . 26)
3
4
sin .
cos 
x dx
x
 27) 
2
2
0
sin .
3 2cos
x dx
x
Bài tập Toán Cao cấp C1 
12 
28) 2 2
cos
sin 2 tan 
x dx
x x
. 29) 5sin cos .
3 3 
x x dx 30) 2
1 1 1sin cos . dxx x x 
31) 
22
3
sin .
1 cos
x dx
x
 32) 21 sin 1 sin 1 cos 1 . x x x dx 
33) 
4
sin 2
4 sin 
x dx
x
. 34) 2
sin
(1 sin ) 
x dx
x
. 35) 
1
31
.
x
x
36) 
1
4
1
12
2 .
4 
dx dx
x x x
 37) 
4 2
5 3
3 1
5 5
x x dx
x x x
 38) 3 .1 
x dx
x
Bài 3: Tính các tích phân sau 
1) 
2 2 1 
dx
x x
. 2)
2
2
.
9 
x dx
x
 3)
2
3
25 , 5. 
x dx x
x
 4) 
4
.
1 
xdx
x
Bài 4: Tính các tích phân sau 
1) 1
1
x dx
x
. 2) 
4
2 4 
x dx
x
. 3)
3 22 7 12 11
2 3
x x x dx
x
. 
4) 
1 3
2
0
4 10
6
x x
x x
. 5) 
0 3
2
1
.
2 1 
x dx
x x
 6)
2
2
8
5 6
x dx
x x
. 
7) 
4 3 2
3 2
3
2 4 .
2
x x dx
x x
 8)
4
4 2
9 .
9
x dx
x x
 9)
3
3 2
9 3 1 . 
x x dx
x x
10) 
2 4 1 .
1 1 3
x x dx
x x x
 11) 3 2
4 .
3 10
x dx
x x x
 12)
 2
6 7 .
2
x dx
x
13) 
2
2 .1 ( 2 1) 
x dx
x x x
 14)
3 2
3
1
3 4 . 
x x dx
x x
 15)
3 2
2 2
2 1
( 1)( 1)
x x x dx
x x
. 
16) 
2
2 2
2 1 .
( 1)
x x dx
x
 17)
4
22
81 .
9
x dx
x x
 18)
2
4 .1 
x dx
x
19) 
1
2
0
.
4 13 
x dx
x x
 20) 2 4 
dx
x x
. 21)
3
4
2
1
x x dx
x
. 
22) 2
sin
cos 3cos 
x dx
x x
. 23) 2( 2)( 1) 
x
x x
e dx
e e
. 24) 2( 2)( 1) 
x
x x
e dx
e e
. 
25) 
1 x
dx
e
. 26) 
sin (1 cos ) 
dx
x x
. 27) 
4cos 3sin 5 
dx
x x
. 
28) 1 
x dx
x
. 29) 
2 3 
dx
x x
. 30) 
2 
dx
x x x
. 
Bài tập Toán Cao cấp C1 
13 
31) 
1
3
0
1 .
1 dxx 32) 3 
dx
x x
. 
Bài 5: Tính các tích phân sau 
1) sin .
2 
xx dx 2) 2 cos . x xdx 3) 
2
1
ln . x xdx 
4) 2 22 1 . xx x e dx 5) 2 cos3 . xe xdx 6) sin ln . x dx 
7) 2ln . x x dx 8) 
arctan
2
arctan
1 
xe xdx
x
 9)
2
2
ln( 1 )
1
x x x dx
x
. 
10) 
arctan
2 3/2(1 ) 
xxe dx
x
. 11)
ln 2
0
 xxe dx . 12) 
1 2
3
0
ln(2 4 1)
( 1)
x x dx
x
. 
13) 
3
0
arctan x xdx . 14) 
/2
sin
0
sin 2
 xe xdx . 15) 
/2
2
0
(2 1) cos
 x xdx . 
16) 
1
2 2
0
ln(1 ) x x dx . 17) 
2
4
0
sin
 xdx . 18) 2
0
cos
 xe xdx . 
Bài 6: Tính các tích phân sau và cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ
a) 2
4
x
e dx
b) 
1
2 xe dx
c) 4(2 )x dx
d) 
1
xe dx
x
 e) 
0
24
dx
x 
f) 3
0
xx e dx
g) 2 2
0 ( 2)
xdx
x
h) 
2
3lne
dx
x x
 i) ln lne
dx
x x x
j) 21
xdx
x
k) 
32 xx e dx
 l) 
1
0
dx
x 
m) 
1
2
0
dx
x n) 
1
2
0 1
xdx
x 
o) 
2 5
2
0 4
x dx
x 
p) 
1
0 (2 ) 1
dx
x x 
q) 
1
2
1
dx
x 
 r) 
4
2
0 ( 1)
dx
x 
s)
1 3
0
(ln )
x dx
x
 t) 2
2 2
dx
x x 
Bài tập Toán Cao cấp C1 
14 
Bài 7: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau 
a)
5 10
1 1
dx
x x x
b)
3 53
1 1 1
xdx
x x
c)
2 45
1
1
2 1
x x dx
x x
d)
3
2
1
2
2 1
x dx
x x
e) 2
1
1ln 1
1
x
x dx
x
f)
1
0 ( 1)
dx
x x 
g)
2 35
sin
0
ln(1 )
1x
x dx
e
h)
1
2
0 sin
x dx
x 
i)
1
0 1x
dx
e 
j)
2
0 2
xdx
x
k)
3
0
dx
x x
 l) 22
5 1
2
x dx
x 
Bài 8: Tốc độ thay đổi dân số của một thành phố A được mô hình bởi 0,026'( ) 11,7. tP t e (nghìn 
người/năm), trong đó t là thời gian (năm) kể từ năm 1960 và P là dân số (nghìn người). Biết rằng, năm 
1980, thành phố A có 790.000 người. 
a) Tìm P(t). 
b) Tìm dân số của thành phố A vào năm 2012. 
Bài 9: Hiệu quả E của người vận hành máy (tính bằng %) có tốc độ thay đổi theo thời gian t được cho 
bởi biểu thức 30 10 ,dE t
dt
 trong đó t là số giờ mà người vận hành làm việc. 
a) Tìm E(t) biết rằng hiệu quả của người vận hành là 72% sau hai giờ làm việc. 
b) Tìm hiệu quả vận hành sau 3 giờ, sau 5 giờ. 
Bài 10: Tốc độ tăng chi phí sản xuất của một xí nghiệp được cho bởi biểu thức 0, 2 8dC Q
dQ
 , trong 
đó Q là sản lượng sản xuất (kg), C là chi phí sản xuất (triệu đồng). Xác định chi phí sản xuất khi tăng 
sản lượng từ 65 kg đến 75 kg. 
Bài 11: Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q của một loại sản phẩm là 
250 2 3MR Q Q . Hãy xác định hàm tổng doanh thu R(Q) và hàm cầu đối với sản phẩm này. 
Bài 12: Giả sử chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q của một loại sản phẩm là 
225 30 9MC Q Q và chi phí cố định là FC = 55. Hãy xác định hàm tổng chi phí C(Q) và hàm chi 
phí khả biến VC(Q). 
Bài 13: Cho hàm sản phẩm biên của lao động MP = 40.L-0,5. Hãy tìm hàm sản xuất Q = f(L), biết 
Q (100) = 4000. 
Bài tập Toán Cao cấp C1 
15 
Bài 14: Hàm tiêu dùng C = C(Y) biểu diễn lượng tiêu dùng C tùy ý theo mức thu nhập Y. Xu hướng 
tiêu dùng cận biên MPC ở mỗi mức thu nhập Y là đạo hàm của hàm tiêu dùng 
MPC = C’(Y). 
Giả sử ở mỗi mức thu nhập Y ta xác định được 
MPC = 0,6 + 
3
0,1
Y
. 
và mức tiêu dùng thiết yếu là 50. Hãy tìm hàm tiêu dùng C(Y). 
Bài 15: Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t được xác định bởi hàm số 0,75( ) 140.I t t và quỹ vốn tại 
thời điểm xuất phát là (0) 150.K Tìm hàm quỹ vốn K(t). 
Bài 16: Cho hàm giá trị cận biên của lợi nhuận theo sản lượng là 5 500M Q và nếu chỉ bán 
được 50 sản phẩm thì bị lỗ 13500 đơn vị tiền. Tìm hàm lợi nhuận ( )Q . 
Bài 17: Trong quá trình sản xuất một loại sản phẩm, chi phí cố định trên mỗi tuần là 4000USD. Nếu 
hàm chi phí biên là 20,000001.(0,002 25 ) 0, 2,dC Q Q
dQ
trong đó C là tổng chi phí (USD) sản xuất 
ra Q (kg) sản phẩm trong một tuần. Tìm chi phí sản xuất ra 1000 kg sản phẩm trong một tuần. 
Bài 18: Cho phương trình hàm cầu của một loại sản phẩm là 10 100Q P . Tìm thặng dư của người 
tiêu dùng khi thị trường xảy ra cân bằng tại mức giá là 84 USD. 
Bài 19: Biết hàm cung và hàm cầu của hàng hóa cho bởi 3;Q P 185Q P . Hãy tính thặng 
dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất đối với hàng hóa đó khi thị trường xảy ra cân 
bằng. 
Bài 20: Cho phương trình hàm cầu của một loại sản phẩm là ( 10)( 20) 1000P Q và phương trình 
hàm cung là 4 10 0Q P . Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất đối 
với hàng hóa đó trong điều kiện thị trường cân bằng.