Bài giảng Toán cao cấp - Bài 4: Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong kinh tế - Vương Thị Thảo Bình

V1.0018112205
BÀI 4
ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 
TRONG KINH TẾ
TS. Vương Thị Thảo Bình
1
V1.0018112205
Tình huống dẫn nhập
Cho hàm lợi ích tiêu dùng của 2 hàng hóa:
Trong đó: x là số đơn vị hàng hóa 1
y là số đơn vị hàng hóa 2
x > 0, y > 0
Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2 USD, 3 USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là 130 USD.
Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu được lợi ích tối đa.
2
0 4 0 6U x y , ,.
V1.0018112205
MỤC TIÊU BÀI HỌC
• Nắm được một số hàm nhiều biến trong kinh tế thông dụng
• Nắm được cách tìm cực trị không điều kiện và áp dụng được vào bài tập
• Nắm được cách tìm cực trị có điều kiện và áp dụng được vào bài tập
3
V1.0018112205
CẤU TRÚC NỘI DUNG
4
4.1 Giới thiệu một số hàm nhiều biến thông dụng trong kinh tế
Cực trị của hàm không điều kiện4.2
4.3 Cực trị có điều kiện
V1.0018112205
4.1. GIỚI THIỆU MỘT SỐ HÀM NHIỀU BIẾN THÔNG DỤNG TRONG KINH TẾ
5
4.1.2 Thị trường nhiều hàng hóa
4.1.1 Thị trường một loại hàng hóa
V1.0018112205
4.1. GIỚI THIỆU MỘT SỐ HÀM NHIỀU BIẾN THÔNG DỤNG TRONG KINH TẾ
• Hàm cung và hàm cầu trên thị trường nhiều hàng hóa liên quan:
Qsi = Si(p1,p2,...,pn)
Qdi = Di(p1,p2,...,pn)
• Hàm sản xuất dài hạn: Q= f(K,L)
• Hàm chi phí TC = wKK + wLL + C0
• Hàm chi phí kết hợp TC = TC(Q1,Q2,...,Qn)
• Lợi nhuận của một doanh nghiệp cạnh tranh
 = pf(K,L) - (wKK+wLL+C0)
6
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM KHÔNG ĐIỀU KIỆN
Quy tắc tìm cực trị hàm w = f(x,y)
Bước 1: Tìm các điểm dừng, M0(x,y) thỏa mãn
Bước 2: Tính các giá trị đạo hàm riêng cấp hai f”xx, f”xy, f”yx, f”yy tại các điểm dừng M0
và xét dấu biểu thức
Nếu < 0: hàm số không đạt cực trị tại M0.
Nếu > 0, hàm số đạt cực trị tại M0
f”xx > 0: M0 là điểm cực tiểu;
f”xx < 0: M0 là điểm cực đại
Nếu = 0, chưa kết luận M0 là điểm cực trị hay không.
7
x
y
f x y 0
f x y 0
'
'
( , )
( , )
xx xy
yy
f f
f f
" "
" "
yx
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Bài toán 1. Tối đa hóa lợi nhuận không ràng buộc ngân sách
Cho hàm sản xuất Q = f(K, L) của doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy. Giả sử giá thuê tư bản là wK, giá thuê
lao động là wL và chi phí cố định là C0. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao
nhiêu đơn vị lao động thì thu được lợi nhuận tối đa?
Cách giải:
Xét cực trị hàm tổng lợi nhuận:
 = p f(K, L) – (wKK + wLL + C0) max
8
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Bài toán 2. Tìm mức sản lượng tối ưu với doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm
Cho một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm tổng chi phí kết hợp được tính
theo số lượng sản phẩm: TC = TC(Q1, Q2)
Trong đó Q1 là số lượng sản phẩm thứ nhất và Q2 là số lượng sản phẩm thứ hai; p1, p2 là giá trị trường của 2
loại sản phẩm. Hãy xác định cơ cấu sản lượng để cho lợi nhuận tối đa?
Cách giải
Tìm cực trị của hàm tổng lợi nhuận có dạng:
Bài toán đưa về bài toán cực trị không điều kiện.
9
1 1 2 2 1 2
p Q p Q TC Q Q ( , )
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Bài toán 3: Tìm mức sản lượng tối ưu với doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm
Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm tổng chi phí kết hợp được tính theo số
lượng sản phẩm: TC = TC(Q1, Q2)
Trong đó Q1 là số lượng sản phẩm thứ nhất và Q2 là số lượng sản phẩm thứ hai; Giả sử hàm cầu đối với 2
sản phẩm đó là:
Hãy xác định cơ cấu sản lượng để cho lợi nhuận tối đa?
Giải:
Bài toán đưa về bài toán cực trị không điều kiện của hàm tổng lợi nhuận có dạng:
10
1
1 1 1
1
2 2 2
p D Q
p D Q
( )
( )
1 1
1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
p Q p Q TC Q Q D Q Q D Q Q TC Q Q ( , ) ( ) ( ) ( , )
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Bài toán 4: Tìm mức sản lượng tối ưu với doanh nghiệp độc quyền có nhiều cơ sở sản xuất khác nhau
Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai cơ sở sản xuất khác nhau với hàm tổng
chi phí tại hai cơ sở: TC1 = TC1(Q1); TC2 = TC2(Q2)
Trong đó Q1 là số lượng sản phẩm được sản xuất ở nhà máy thứ nhất và Q2 là số lượng sản phẩm được sản
xuất ở nhà máy thứ hai; Giả sử hàm cầu ngược đối với sản phẩm đó là:
với Q là tổng số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất ở hai cơ sở. Hãy xác định cơ cấu sản lượng (Q1, Q2) để cho
lợi nhuận tối đa?
Giải
Bài toán đưa về bài toán cực trị không điều kiện của hàm tổng lợi nhuận có dạng:
với Q = Q1 + Q2.
11
1( ) p D Q
1
1 1 2 2 1 1 2 2
pQ TC Q TC Q D Q Q TC Q TC Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Bài toán 5: Tìm mức sản lượng tối ưu với doanh nghiệp độc quyền tiêu thụ sản phẩm ở các thị trường
khác nhau
Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ sản phẩm đó ở hai thị
trường riêng biệt. Giả sử hàm chi phí của nhà sản xuất là: TC = TC(Q)
trong đó Q là số lượng sản phẩm được sản xuất ra; giả sử hàm cầu ngược đối với hai thị trường là:
với Q1 + Q2 = Q. Hãy xác định p1, p2, Q1, Q2 để cho lợi nhuận tối đa?
Giải:
Bài toán đưa về bài toán cực trị không điều kiện của hàm tổng lợi nhuận có dạng:
12
1
1 1 1
1
2 2 2
p D Q
p D Q
( )
( )
1 1
1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
p Q p Q TC Q Q D Q Q D Q Q TC Q Q ( ) ( ) ( ) ( )
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Ví dụ 1. Công ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí:
Các hàm cầu đối với hai loại sản phảm trên là:
Q1 = 40 – 2p1 + p2
Q2 = 15 + p1 – p2
Tìm vectơ sản lượng và vectơ giá để lợi nhuận cuả công ty là lớn nhất.
Giải
13
 2 21 1 2 2C Q Q Q Q 
* * *
1 2Q Q ,Q 
* * *
1 2p p ,p 
 2 21 1 2 2
1 1 2
2 1 2
C Q Q Q Q 1
Q 40 2p p 2
Q 15 p p 3
( )
( )
( )
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Từ (2), (3) suy ra:
Từ (3),(4) suy ra:
p2 = 15 + p1 – Q2 = 15 – Q1 – 2Q2 = 70 – Q1 – 2Q2
14
2 1 2
1 2 1
1 1 2
Q 15 p p 3
Q Q 55 p
p 55 Q Q 4
( )
( )
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
Q p Q p C
Q 55 Q Q Q 70 Q 2Q Q Q Q Q
2Q 3Q 3Q Q 55Q 70Q
. .
V1.0018112205
4.2. CỰC TRỊ KHÔNG ĐIỀU KIỆN (tiếp theo)
Điều kiện cần:
Điều kiện đủ:
→ hàm có cực trị.
Do → hàm đạt cực đại
Với và thì lợi nhuận công ty đạt là lớn nhất.
15
1
2
11
Q 1 2
Q 2 1
2 2
15 25 23515
p 55Q4Q 3Q 55 0 2 3 62
25 15 50 2756Q 3Q 70 0
Q p 70
3 2 3 6
'
'
11 21
12 22
Q Q
Q Q
4 3
3 6
" "
" "
4 3
15 0
3 6
11
"
Q 4 0 
 1 2
7 25
Q Q
5 3
* *; ; 1 2
235 273
p p
6 6
* *; ;
V1.0018112205
4.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Tìm cực trị của hàm số w = f(x1, x2, , xn)
với điều kiện g(x1, x2, , xn) = b
Bước 1: Lập hàm số Lagrange L(, x1, x2, , xn) = f(x1, x2, , xn) + [b - g(x1, x2, , xn)]
Bước 2: Điều kiện cần, tìm các điểm
Bước 3: Điều kiện đủ
Hàm 2 biến:
Nếu det( ) > 0 thì M0 là điểm cực đại.
Nếu det( ) < 0 thì M0 là điểm cực tiểu
16
1 2
1 11 12
2 21 22
0 g g
H g L L
g L L
i i
L f
x x
   
    
1 2 n
i
g(x , x , ..., x ) = b
g
 = - = 0, i = 1, n
x
H
H
 0 0 00 1 2 nM x x x , ,...,
V1.0018112205
4.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN (Tiếp)
Bài toán 6. Cho hàm lợi ích U = U(x,y). Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là p1, p2 và thu nhập dành cho
người tiêu dùng là M0.
a) Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi hàng hóa nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
b) Nếu thu nhập dành cho người tiêu dùng tăng lên 1 đơn vị thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào?
Cách giải
a) Bước 1: Lập bài toán
U = U(x, y) max
Điều kiện:
Lập hàm số Lagrange
17
1 2
p x p y m 
1 2
L U x y m p x p y  ( , ) ( )
V1.0018112205
4.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN (Tiếp)
Điều kiện cần:
Điều kiện đủ:
b) Thay đổi  đơn vị.
18
1 2 1 2
1 2x 1 1
1 2y 2 2
L m p x p y 0 U U
p pL U p 0
p x p y mL U p 0

 
  
  
'
'
'
1 2
1 2
1 2
U U
p p
p x p y m
 
1 2
1 2
U x y U x y
p p
 
( , ) ( , )
1 2 1 2
1 11 12 1 11 12
2 21 22 2 21 22
0 g g 0 p p
H g L L p U U
g L L p U U
2 2
1 2 12 1 22 2 11
D H 2p p U p U p U 0 .
Hàm cầu Marshall là hàm cầu của người
tiêu dùng theo quan điểm tối đa hóa lợi ích.
V1.0018112205
4.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN (Tiếp)
Bài toán 7: Tối đa hóa lợi nhuận với ngân sách cố định
Cho hàm sản xuất Q = f(K, L) của doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy. Giả sử giá thuê tư bản là wK, giá thuê
lao động là wL và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách thuê các yếu tố đầu vào là B.
a) Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được
sản lượng tối đa?
b) Nếu ngân sách tăng thêm 1 đơn vị thì sản lượng tối đa thay đổi như thế nào?
(Chú ý: Tối đa hóa lợi nhuận đồng nhất với tối đa hóa tổng doanh thu, hay tối đa sản lượng)
Cách giải
a) Bài toán: Q = f(K, L) Max
với điều kiện: wKK + wLL = B
b) Dùng nhân tử Lagrange.
19
V1.0018112205
4.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN (Tiếp)
Bài toán 8: Cho hàm sản xuất Q = f(K, L) của doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy. Biết giá thuê tư bản là wK,
giá thuê lao động là wL.
a) Hãy xác định mức sử dụng K và L để hãng tối thiểu hóa chi phí mà vẫn giữ mức sản lượng Q0.
b) Nếu tăng thêm sản lượng đầu ra 1 đơn vị thì chi phí tối thiểu thay đổi như thế nào?
(Chú ý: Tối đa hóa lợi nhuận ở đây đồng nhất với tối thiểu hóa chi phí)
Cách giải
a) Bài toán:
C = wKK + wLL Min
với điều kiện:
f(K, L) = Q0
b) Dùng nhân tử Lagrange.
20
V1.0018112205
4.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN (Tiếp)
Bài toán 9: Tìm chi phí tối thiểu biết hàm chi tiêu C = C(x,y) trong điều kiện
a) Giữ mức lợi ích U0 = u(x,y)
b) Giữ mức doanh thu R(x, y) = R0.
Cách giải
Bài toán
C = wKK + wLL Max
với điều kiện:
a) Giữ mức lợi ích U0 = u(x,y)
b) Giữ mức doanh thu R(x, y) = R0.
21
V1.0018112205
Giải quyết tình huống dẫn nhập
Cho hàm lợi ích tiêu dùng của 2 hàng hóa: (x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa
2; x > 0, y > 0). Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2 USD, 3 USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là
130 USD. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu được lợi ích tối đa.
Giải:
• Lập bài toán:
U= x0,4 y0,6 Max
• Điều kiện: 2x + 3y = 130
• Lập hàm Lagrance: L= x0,4 y0,6 + [130-(2x+ 3y)]
• Điều kiện cần:
22
0 4 0 6U x y , ,.
0 6 0 6
x
0 4 0 4
y
L 0 4x y 2 0
x y 26
L 0 6x y 3 0
0 2
L 130 2x 3y 0

  
  
 
' , ,
' , ,
'
,
,
,
V1.0018112205
Giải quyết tình huống dẫn nhập
• Điều kiện đủ:
Tại x = y = 26,  = 0,2 tính toán (bạn đọc tự tính), ta có:
 Umax tại x = y = 26 và Umax = 260,4260,6 10,74
• Kết luận: Để người dùng thu được lợi ích tối đa thì lượng cầu của hai mặt hàng phải bằng nhau và bằng 26.
23
1 2
1 11 12
2 21 22
0 g g 0 2 3
H g L L 2 0 15 0 1 H 2 83 0
g L L 3 0 1 0 07
, , det ,
, ,
V1.0018112205
TỔNG KẾT BÀI HỌC
• Giới thiệu một số hàm nhiều biến thông dụng trong kinh tế
• Cực trị không điều kiện
• Cực trị có điều kiện
24