Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Ứng dụng đạo hàm, vi phân trong phân tích thay đổi tuyệt đối, tương đối của các biến kinh tế - Vương Thị Thảo Bình

V1.0018112205
BÀI 2
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, VI PHÂN TRONG 
PHÂN TÍCH THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI, 
TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC BIẾN KINH TẾ
TS. Vương Thị Thảo Bình
1
V1.0018112205
Tình huống dẫn nhập
2
Cho hàm sản xuất Coubb-Douglas: 
(K, L > 0) trong đó: Q - sản lượng, K - vốn , L - lao động.
- Nếu K tăng 2% và L tăng 3% thì Q tăng bao nhiêu %?
- Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1;
dL = -0,3 là các mức biến động của vốn và lao động.
Nêu công thức toán học xác định mức biến động của Q,
tìm và giải thích ý nghĩa?
2 1
3 3Q 30 K L . .
V1.0018112205
MỤC TIÊU BÀI HỌC
• Nắm được ứng dụng của đạo hàm, vi phân trong phân tích thay đổi trực tiếp.
• Nắm được ứng dụng của đạo hàm, vi phân trong trong phân tích thay đổi gián tiếp.
• Nắm được ứng dụng của đạo hàm, vi phân tính tỷ lệ tăng trưởng của một biến kinh tế.
3
V1.0018112205
CẤU TRÚC NỘI DUNG
4
2.1 Sự thay đổi tuyệt đối
Sự thay đổi tương đối2.2
V1.0018112205
2.1. SỰ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI
5
2.1.2 Đối với hàm nhiều biến
2.1.1 Đối với hàm một biến
V1.0018112205
2.1.1. ĐỐI VỚI HÀM MỘT BIẾN
là giá trị y cận biên theo x.
Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể
MPPL = f '(L)
MR = TR'(Q).
TR = pQ MR = p (p là giá sản phẩm trên thị trường).
MC = TC'(Q).
MPC = C'(y).
MPS = S'(Y).
6
0 0
0 0 0 0
Δx 0 Δx 0
f x Δx f x
f x Δy f x Δx f x f x Δx
( ) ( )y
'( ) lim lim ( ) ( ) '( ).
x x
V1.0018112205
2.1.1. ĐỐI VỚI HÀM MỘT BIẾN (tiếp theo)
Ví dụ 1:
Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là:
Ở mức sử dụng L = 100 đơn vị lao động, khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần thêm 1 đơn vị và các yếu
tố khác không đổi thì sản lượng hàng tuần sẽ thay đổi như thế nào?
Giải
Sản phẩm cận biên của lao động tại điểm L = 100 là:
Sản lượng hàng tuần sẽ tăng một lượng xấp xỉ bằng 0,25 đơn vị.
Cách 2: Q(101) – Q(100)= 0,2494
7
L
5
MPP Q 0 25
2 L
 ' ,
.
Q 5 L 
V1.0018112205
2.1.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN
Đối với hàm nhiều biến: Y = f(X1, X2, ..., Xn)
• Số gia toàn phần
 Y = f(X1 + X1, X2 + X2, ..., Xn + Xn) – f(X1, X2, ..., Xn)
• Số gia riêng theo Xi
 XiY = f(X1, ...,Xi+ Xi, ..., Xn) – f(X1, ...,Xi, ..., Xn)
• Vi phân toàn phần
(2.2)
• Vi phân riêng theo biến Xi:
8
X1 1 X2 2 Xn n
dY f dX f dX f dX ' ' '
Xi Xi i
d Y f dX '
1 2X 1 X 2 Xn n
Y dY Y X Y X Y X ' ' '
Xi Xi Xi i
Y d Y Y X '
V1.0018112205
2.2. SỰ THAY ĐỔI TƯƠNG ĐỐI
9
2.1.2 Đối với hàm nhiều biến
2.1.1 Đối với hàm một biến
V1.0018112205
2.2.1. ĐỐI VỚI HÀM MỘT BIẾN
Khi Y thay đổi 1 lượng là Y thì sự thay đổi tương đối của Y được đo bằng tỷ lệ
Như vậy, khi các biến khác không đổi, X tăng lên 1% thì Y thay đổi %.
10
Y
Y
r
Y
X
Y X X X X
Y Y dX X dX X dX X
r Y Y Y r
Y Y Y X Y X Y
'
' ' '
Y Y X X
Y
r r
Y
  
/
Y X

/
V1.0018112205
2.2.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN
• Đối với hàm n biến Y = f(X1,X2,...,Xn)
• Tính hệ số tăng trưởng với một số dạng hàm kinh tế
11
1 1 2 2 n nY Y X X Y X X Y X X
r r r r    
/ / /
Y
Y
r d Y
Y
 ln
Y
dY dt
r
Y
V1.0018112205
2.2.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo)
Ví dụ 3: Mức cân bằng thu nhập quốc dân biểu diễn dưới dạng hàm số
Trong đó C0: chi tiêu tự định; T0, I0, G0 tương ứng là thuế, đầu tư, chi tiêu chính phủ (cố định). T là thuế suất.
Cho
Nếu chi tiêu tự định tăng lên 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào? Nếu chi tiêu tự định tăng lên
1% thì thu nhập cân bằng thay đổi bao nhiêu %?
Giải
12
0 0 0 0
C bT I G
Y
1 b bt
0 0 0 0
C 80 I 90 G 81 T 20 b 0 9 t 0 1 ; ; ; ; , ; ,
0C
1 1
Y 5 2632
1 b bt 1 0 9 0 9 0 1
' ,
, , ,
0 0 0
Y
0 0 0 00 0 0 0 0
0Y
C C CY 1
C bT I GC 1 b bt C bT I GY
1 b bt
80
C 80 0 343
80 0 9 20 90 81

   
  
  
( ) ,
,
V1.0018112205
2.2.2. ĐỐI VỚI HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo)
Ví dụ 4: Cho hàm xuất khẩu X(t) = X0 e
at (X0, a > 0). Tính hệ số tăng trưởng của xuất khẩu?
Giải
13
at
0
X at
0
X e adX dt
r a
X X e
V1.0018112205
Giải quyết tình huống dẫn nhập
• Cho hàm sản xuất Coubb-Douglas: (K,L>0) trong đó: Q- sản lượng, K-vốn , L lao động.
• Nếu lượng vốn tăng thêm 2%, lao động tăng thêm 3% thì lợi nhuận công ty thay đổi như thế nào?
Tùy theo hàm sản xuất của doanh nghiệp và áp dụng vào công thức
• Nếu vốn tăng 0,1 đơn vị, lao động giảm 0,3 đơn vị thì lợi nhuận không đổi phải không?
14
1 2X 1 X 2
Y dY Y X Y X 0 9785 ' ' ,
1 1 2 2Y Y X X Y X X
r r r 2 33   
/ /
, %
1 1 1 1
3 3 3 3
K
2
Q 30 L K 20L K 26 66
3
 ' . . . ,
2 2
3 3
K
1
Q 30 K L 5 625
3
 ' . . ,
2 1
3 3Q 30 K L . .
1 3 1 3
Q K K 2 3 1 3
K K 2
Q 20K L
Q 30K L 3
  ' / // / /
2 3 2 3
Q L L 2 3 1 3
L L 1
Q 10K L
Q 30K L 3
  ' / // / /
V1.0018112205
TỔNG KẾT BÀI HỌC
• Sự thay đổi tuyệt đối
• Sự thay đổi tương đối
• Tính hệ số tăng trưởng
15
1 1 2 2 n nY Y X X Y X X Y X X
r r r r    
/ / /
1 2X 1 X 2 Xn n
Y dY Y X Y X Y X ' ' '
Y
Y
r d Y
Y
 ln
Y
dY dt
r
Y