Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Định thức - Lê Xuân Trường

ĐỊNH THỨC
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 1 / 8
Ma trận con bù
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n.
A
bỏ dòng i−−−−−→
bỏ cột j
Mij
↓
ma trận con bù của aij
Ví dụ: Xét ma trận
A =
 2 −1 31 4 −5
−3 2 −2

ma trận con bù của a12: M12 =
[
1 −5
−3 −2
]
ma trận con bù của a31: M31 =
[−1 3
4 −5
]
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 2 / 8
Khái niệm định thức
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số thực,
ký hiệu bởi det(A), và được xác định bởi qui nạp theo n như sau
n = 2:
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
⇒ det(A) = a11a22 − a12a21
Ví dụ: A =
[
1 2
3 4
]
⇒ det(A) = −2
n ≥ 3:
det(A) = (−1)k+1ak1det(Mk1) + · · ·+ (−1)k+nakndet(Mkn)
(với k bất kỳ trong tập {1, 2, ..., n})
Ví dụ: Tính định thức của ma trận A =
−1 2 23 1 4
−2 3 1

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 3 / 8
Qui tắc Sarrus (tính định thức cấp 3)
Qui tắc Sarrus
Ví dụ:
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 4 / 8
Lưu ý
Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ
Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau
A =

3 1 0 2
−1 2 0 3
1 −2 0 1
2 −1 −2 0

Khai triển theo cột thứ 3
det(A) = (−1)4+3(−2)
∣∣∣∣∣∣
3 1 2
−1 2 3
1 −2 1
∣∣∣∣∣∣ = 28
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 5 / 8
Phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Loại 1: Đổi chỗ hai dòng (di ←→ dj )
Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0 (di
λ 6=0−−→ λdi )
Loại 3: Thay một dòng bởi dòng đó cộng với bội số của một dòng khác
di
λ∈R−−→ di + λdj
Các phép biến đổi sơ cấp trên cột (tương tự)
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 6 / 8
Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức thì định thức đổi dấu
Nhân một dòng của ma trận A với số λ 6= 0 thì định thức của ma
trận thu được gấp λ lần định thức của A
Phép biến đổi loại 3 không làm thay đổi định thức
Ví dụ: Tính định thức của ma trận
A =

1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 7 / 8
Một số tính chất khác
Nếu ma trận có hai dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì định thức của ma trận
đó bằng 0
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính
det(λA) = λndet(A)
det(AT ) = det(A)
det(AB) = det(A)det(B)
Nếu A = [a1...aj ...an] và aj = a
′
j + a
′′
j , trong đó ak =

a1k
a2k
...
ank
 thì
det(A) = det([a1...a
′
j ...an]) + det([a1...a
′′
j ...an])
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 8 / 8