Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong phân tích kinh tế - Vương Thị Thảo Bình

V1.0018112205
BÀI 1
ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
TS. Vương Thị Thảo Bình
1
V1.0018112205
Tình huống khởi động bài
(1) Xét thị trường hải sản gồm 2 mặt hàng Cá và tôm. Ký hiệu p1 là giá 1kg cá, p2 là giá 1kg tôm (đơn vị nghìn
đồng).
Ký hiệu QS1, QS2 là lượng cá và lượng tôm mà người bán bằng lòng bán tại mỗi mức giá p1, p2.
Ký hiệu QD1, QD2, là lượng cá, lượng tôm mà người mua bằng lòng mua tại mỗi mức giá p1, p2,
Cụ thể QS1, QS2 , QD1, QD2 được cho theo quy tắc như sau:
QS1 = ─40 + p1, QD1 = 60 – 3p1 + 4p2
QS2 = ─50 + 3p2, QD2 = 150 + 2p1 – p2
Tìm mức giá cá, giá tôm mà người bán vừa bán hết hàng và người mua vừa mua hết hàng trên thị trường.
(2) Vì sao thay đổi của một hay nhiều ngành sản xuất lại ảnh hưởng đến những ngành còn lại của nền kinh tế.
Kế hoạch sản xuất toàn diện của Chính phủ được biểu diễn bởi mô hình toán học như thế nào?
2
V1.0018112205
MỤC TIÊU BÀI HỌC
• Nắm được mô hình cân bằng thị trường và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
• Nắm được mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
• Nắm được mô hình IS - LM và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
• Nắm được mô hình I/O và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
3
V1.0018112205
CẤU TRÚC NỘI DUNG
4
1.1 Mô hình cân bằng thị trường
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô1.2
1.3 Mô hình IS-LM
1.4 Mô hình input – output Leontief 
V1.0018112205
1.1. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG
5
1.1.2 Thị trường nhiều hàng hóa
1.1.1 Thị trường một loại hàng hóa
V1.0018112205
1.1.1. THỊ TRƯỜNG MỘT LOẠI HÀNG HÓA
• Hàm cung: Qs = −a0 + a1p
• Hàm cầu: Qd = b0 − b1p
• Mô hình cân bằng thị trường có dạng:
• Giá cân bằng và lượng cân bằng:
s 0 1 s 0 1
d 0 1 d 0 1
s d 0 1 0 1
Q a a p Q a a p
Q b b p Q b b p
Q Q a a p b b p
1 0 0 1
s d
1 1
0 0
1 1
a b a b
Q Q Q
a b
a b
p
a b
6
V1.0018112205
1.1.2. THỊ TRƯỜNG NHIỀU HÀNG HÓA
• Hàm cung: Qsi = ai0 + ailp1 + ai2p2 (i = 1, 2)
• Hàm cầu: Qdi = bi0 + bilp1 + bi2p2 (i = 1, 2)
• Mô hình cân bằng thị trường hàng hóa có dạng:
s1 10 11 1 12 2
d1 10 11 1 12 2
s 2 20 21 1 22 2
d 2 20 21 1 22 2
s1 d1
s 2 d 2
Q a a p a p
Q b b p b p
Q a a p a p
Q b b p b p
Q Q
Q Q
7
V1.0018112205
1.1.2. THỊ TRƯỜNG NHIỀU HÀNG HÓA (tiếp theo)
• Hệ phương trình giá cân bằng:
• Giá cân bằng và lượng cân bằng tìm được từ hệ
10 11 1 12 2 10 11 1 12 2
20 21 1 22 2 20 21 1 22 2
a a p a p b b p b p
a a p a p b b p b p
11 1 12 2 10
21 1 22 2 20
c p c p c
c p c p c
8
V1.0018112205
1.1.2. THỊ TRƯỜNG NHIỀU HÀNG HÓA (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hoá như sau:
Xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
Giải
Thiết lập phương trình xác định giá cân bằng:
Giải hệ và tìm được bộ giá cân bằng là
Thay giá cân bằng vào hàm cung ta tìm được lượng cân bằng là:
1S 1
Q 2 3p 
2S 2
Q 1 2p 
D1 1 2
Q 8 2p p 
2S 1 2
Q 11 p p 
1 1
2 2
S D 1 1 2 1 2
S D 2 1 2 1 2
Q Q 2 3p 8 2p p 5p p 10
Q Q 1 2p 11 p p p 3p 12
1 2
(p ; p ) (3; 5) 
1 1
2 2
Q 2 3p 7
Q 1 2p 9
9
V1.0018112205
1.2. MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ
Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:
Y = C + G + I
C = aY + b (0 0), G=G0, I=I0
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này quy về hệ phương trình tuyến tính:
Nếu tính đến yếu tố thuế suất t:
10
0 0 0 0 0 0 0 0
Y C I G Y C I G b I G b a I G
Y C
1 a 1 aC aY b aY C b
( )
;
0 0
0 0 0 0
d
d
Y C I G
b I G b a 1 t I G
C aY b 0 a 1 b 0 Y C
1 a 1 t 1 a 1 t
Y Y tY 1 t Y
( )( )
( , ) ;
( ) ( )
( )
V1.0018112205
1.2. MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ (tiếp theo)
Ví dụ 2: Cho mô hình thu nhập quốc dân
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân, I0 - đầu tư, C - tiêu dùng, T - thuế, G0 - chi tiêu chính phủ
Tìm trạng thái cân bằng bằng phương pháp Crame khi I0 = 200, G0 = 900
Giải
Ta có:
11
0 0
Y C I G
C 150 0 8 Y T
T 0 2Y
, ( )
,
0 0
0 0 0 0
Y C I G
Y C I G Y C I G
C 150 0 8 Y T
C 150 0 8 Y 0 2Y 0 64Y C 150
T 0 2Y
, ( )
, ( , ) ,
,
 0 0 0 0Y 0 0 C 0 0
1 1 I G 1 1 I G
D 0 36 D I G 150 D 150 0 64 I G
0 64 1 150 1 0 64 150
, ; ; ,
, ,
V1.0018112205
1.3. MÔ HÌNH IS - LM
Thu nhập và lãi suất cân bằng tìm được là:
12
0 0 0
0 0 0
Y C I G Y aY b c dr G 1 a Y dr b c G
M L M Y r Y r M
   
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
b c G dM
Y
d 1 a
b c G 1 a M
r
d 1 a
 
  
  
( )
( )
( ) ( )
( )
V1.0018112205
1.4. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF
13
Ngành Tổng cầu
Cầu trung gian
Cầu cuối cùng
Ngành 1 Ngành 2 ... Ngành n-1 Ngành n
Ngành 1 x1 x11 x12 ... x1n-1 x1n b1
Ngành 2 x2 x21 x22 ... x2n-1 x2n b2
... ... ... ... ... ... ... ...
Ngành n-1 xn-1 xn-11 xn-12 ... xn-1n-1 xn-1n bn-1
Ngành n xn xn1 xn2 ... xnn-1 xnn bn
• Đặt
j
j
x
a x a x
x
 ij
ij ij ij
V1.0018112205
1.4. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF (tiếp theo)
14
1 11 1 12 2 1n n 1
2 21 1 22 2 2n n 2
n n1 1 n2 2 nn n n
x a x a x a x b
x a x a x a x b
x a x a x a x b
1
E A X B X E A B
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n 2 2 nn n n
1 a x a x a x b
a x 1 a x a x b
a x a x 1 a x b
( ) ...
( ) ...
.......................................
... ( )
V1.0018112205
1.4. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF (tiếp theo)
Định nghĩa
Ma trận A được gọi là ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị (hay ma trận hệ số kỹ thuật); ma trận X là ma
trận tổng cầu; ma trận B là ma trận cầu cuối cùng. Ma trận E – A được gọi là ma trận Leontief hay ma trận
công nghệ, (E – A)–1 được gọi là ma trận chi phí dạng toàn bộ.
Ví dụ 3
Giả sử nền kinh tế có hai ngành sản xuất, ngành 1 và ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là:
Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 10, 20 tỷ đồng. Hãy xác
định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.
15
0 2 0 3
A
0 4 0 1
, ,
, ,
V1.0018112205
Giải quyết tình huống dẫn nhập
• Hệ phương trình giá cân bằng
• Vì sao thay đổi của một hay nhiều ngành sản xuất lại ảnh hưởng đến những ngành còn lại của nền kinh tế?
• Kế hoạch sản xuất toàn diện của Chính phủ được biểu diễn bởi mô hình toán học như thế nào?
Giải thích bằng mô hình I/O.
16
1 1 2 1 2
2 1 2
1
1 2 2
40 p 60 3p 4p p p 25
50 3p 150 2p p
p 150
p 2p 100 p 125
 – 
 – 
V1.0018112205
TỔNG KẾT BÀI HỌC
• Mô hình cân bằng thị trường 1 hàng hóa
• Mô hình cân bằng thị trường hai hàng hóa
• Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
• Mô hình IS - LM
• Mô hình Input – Output
17