Bài giảng Toán cao cấp A3 Đại học

ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 1
TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC 
PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Số tiết: 45
-----
Chương 1. Hàm số nhiều biến số 
Chương 2. Tích phân bội 
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 
Chương 4. Phương trình vi phân 
Tài liệu tham khảo 
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3 
– ĐHCN TP. HCM.
2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến 
(tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM.
3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích 
hàm nhiều biến – NXB Giáo dục.
4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) 
– NXB Giáo dục.
5. Đặng Văn Vinh – Slide bài giảng Toán A 3 
– ĐH Bách khoa Tp.HCM.
6. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2) 
– NXB ĐHQG Hà Nội.
7. Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2) 
 – NXB Giáo dục.
8. James Stewart – Calculus concepts and contexts. 
Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Download Slide bài giảng Toán A3 tại
dvntailieu.wordpress.com

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
1.1. Các định nghĩa 
a) Miền phẳng 
• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các 
đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các 
đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký 
hiệu D∂ hay Γ . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là 
miền phẳng với biên ở vô cùng. 
§1. Khái niệm cơ bản 
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân 
§3. Khai triển Taylor của hàm hai biến số 
§4. Cực trị của hàm hai biến số 
..

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
• Miền phẳng D kể cả biên D∂ được gọi là miền đóng, 
miền phẳng D không kể biên D∂ là miền mở. 
• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 
đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D .
Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi 
là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong 
kín rời nhau là miền đa liên (hình b). 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
 b) Lân cận của một điểm 
• Khoảng cách giữa 2 điểm 
1 1 1
( , )M x y , 
2 2 2
( , )M x y là: 
( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 1 2,d M M M M x x y y= = − + − . 
• Hình tròn ( , )S M ε mở có tâm 
( , )M x y , bán kính 0ε > được 
gọi là một lân cận của điểm M . 
Nghĩa là: 
2 2
0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( ) ( )M x y S M x x y y∈ ε ⇔ − + − < ε. 
M
ε
•

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
 Chú ý 
• Trong trường hợp xét hàm số ( , )f x y mà không nói gì 
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
2( , )M x y ∈ ℝ sao cho ( , )f x y có nghĩa. 
 c) Hàm số hai biến số 
• Trong mặt phẳng Oxy cho tập 2D ⊂ ℝ . 
 Tương ứng :f D → ℝ cho tương ứng mỗi ( , )x y D∈
với một giá trị ( , )z f x y= ∈ ℝ duy nhất được gọi là 
hàm số hai biến số ,x y . 
• Tập 2D ⊂ ℝ được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm 
số ( , )f x y , ký hiệu là 
f
D . Miền giá trị của hàm ( , )f x y là: 
{ }( , ) ( , ) fG z f x y x y D= = ∈ ∈ℝ . 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 2

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. 
 VD 1. 
• Hàm số 2( , ) 3 cosf x y x y xy= − có 2
f
D = ℝ . 
• Hàm số 2 24z x y= − − có MXĐ là hình tròn đóng 
tâm (0; 0)O , bán kính 2R = . 
• Hàm số 2 2ln(4 )z x y= − − có MXĐ là hình tròn mở 
tâm (0; 0)O , bán kính 2R = . 
• Hàm số ( , ) ln(2 3)z f x y x y= = + − có MXĐ là nửa
mp mở có biên : 2 3 0d x y+ − = , không chứa O . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số 
 a) Điểm tụ 
• Trong mpOxy cho dãy điểm ( , ), 1, 2, ...
n n n
M x y n =
Điểm 
0 0 0
( , )M x y được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu 
mọi lân cận của 
0
M đều chứa vô số phần tử của dãy. 
• Điểm 
0 0 0
( , )M x y được gọi là điểm tụ của tập 2D ⊂ ℝ
nếu mọi lân cận của điểm 
0
M đều chứa vô số điểm 
thuộc D . 
 b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) 
• Điểm 
0 0 0
( , )M x y được gọi là giới hạn của dãy điểm 
( , ), 1, 2, ...
n n n
M x y n = nếu 
0 0 0
( , )M x y là điểm tụ duy 
nhất của dãy. 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
• Hàm số ( , )f x y có giới hạn là { }L ∈ ±∞ℝ ∪ khi 
n
M
dần đến 
0
M nếu lim ( , )
n n
n
f x y L
→∞
= . Ký hiệu: 
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) .
x x x y x y M M
y y
f x y f x y f M L
→ → →
→
= = =
VD 2. 
2
2( , ) (1, 1)
2 3 1 3
lim
23x y
x y x
xy→ −
− −
=−
+
. 
VD 3. Tìm 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
, với 
2 2
( , )
xy
f x y
x y
=
+
. 
 Ký hiệu là: 
0
lim
n
n
M M
→∞
= hay 
0
n
n
M M
→∞→ . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
 Vậy 
( , ) (0,0)
lim ( , ) 0
x y
f x y
→
= . 
Nhận xét 
• Nếu đặt 
0 0
cos , sinx x r y y r= + ϕ = + ϕ thì: 
0 0
( , ) ( , ) 0x y x y r→ ⇔ → . 
VD 4. Tìm 
2 2
2 2( , ) (0,0)
sin( )
lim
x y
x y
x y→
+
+
. 
Giải. 
0
0
2 2 2
0 ( , ) 0
x
yxy xy
f x y x
x y y
→
→
≤ = ≤ = →
+
. 
 Giải. Đặt cos , sinx r y r= ϕ = ϕ , ta có: 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
VD 5. Cho hàm số 
2 2
2
( , )
xy
f x y
x y
=
+
. 
 Chứng tỏ rằng 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
 không tồn tại. 
Giải. Đặt cos , sinx r y r= ϕ = ϕ , ta có: 
2
2( , ) (0,0) 0
sin 2
lim ( , ) lim sin 2 .
x y r
r
f x y
r→ →
ϕ
= = ϕ 
 Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không duy nhất. 
 Vậy 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
 không tồn tại. 
2 2 2
2 2 2( , ) (0,0) 0
sin( ) sin
lim lim 1
x y r
x y r
x y r→ →
+
= =
+
. 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
c) Giới hạn lặp 
• Giới hạn theo từng biến khi 
n
M dần đến 
0
M của hàm số 
( , )f x y được gọi là giới hạn lặp. 
 Khi 
0
x x→ trước, 
0
y y→ sau thì ta viết: 
0 0
lim lim ( , )
y y x x
f x y
→ →
. 
 Khi 
0
y y→ trước, 
0
x x→ sau thì ta viết: 
0 0
lim lim ( , )
x x y y
f x y
→ →
. 
 VD 6. Xét hàm số 
2 2
2 2
sin sin
( , )
x y
f x y
x y
−
=
+
. Ta có: 
2
20 0 0
sin
lim lim ( , ) lim 1
y x y
y
f x y
y→ → →
−
= =− , 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 3

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
• Định lý 
 Trong 2ℝ cho hình vuông H có 1 đỉnh là 
0 0 0
( , )M x y
và hàm số ( , )f x y xác định trong H . 
 Nếu tồn tại 
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y L
→
= ∈ ℝ và mỗi y Y∈
tồn tại 
0
( ) lim ( , )
x x
y f x y
→
ϕ = ∈ ℝ thì: 
0 0 0
lim lim ( , ) lim ( )
y y x x y y
f x y y L
→ → →
= ϕ = . 
2
20 0 0
sin
lim lim ( , ) lim 1
x y x
x
f x y
x→ → →
= = . 
 Vậy 
0 0 0 0
lim lim ( , ) lim lim ( , )
y x x y
f x y f x y
→ → → →
≠ . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Nhận xét 
• Nếu 
0 0 0 0
lim lim ( , ) lim lim ( , )
y y x x x x y y
f x y f x y
→ → → →
≠ thì không tồn 
tại 
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
. 
• Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại giới 
hạn bội và ngược lại. 
1.3. Hàm số liên tục 
• Hàm số ( , )f x y liên tục tại 2
0 0 0
( , )M x y D∈ ⊂ ℝ
 nếu 
0 0
0 0
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , ).
x y x y
f x y f x y
→
=
• Hàm số ( , )f x y liên tục trên tập 2D ⊂ ℝ nếu nó liên tục 
tại mọi điểm thuộc D . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
VD 7. Xét sự liên tục của 
2 2
2 2
sin sin
( , )
x y
f x y
x y
−
=
+
. 
Giải. Với ( , ) (0, 0)x y ≠ thì hàm số ( , )f x y xác định nên
liên tục. 
 Tại (0, 0) thì 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
 không tồn tại (VD 6). 
 Vậy hàm số ( , )f x y liên tục trên 2 \ {(0, 0)}ℝ . 
 Chú ý 
 Hàm số ( , )f x y liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó 
đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 
2.1. Đạo hàm riêng 
a) Đạo hàm riêng cấp 1 
• Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền mở 2D ⊂ ℝ
chứa điểm 
0 0 0
( , )M x y . Cố định 
0
y , nếu hàm số 
0
( , )f x y
có đạo hàm tại 
0
x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng 
theo biến x của hàm số ( , )f x y tại 
0 0
( , )x y . 
 Ký hiệu: 
0 0
( , )
x
f x y hay /
0 0
( , )
x
f x y hay 
0 0
( , ).
f
x y
x
∂
∂
 Vậy 
0
/ 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim .
x
x x
f x y f x y
f x y
x x→
−
=
−

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại 
0 0
( , )x y là: 
0
/ 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim .
y
y y
f x y f x y
f x y
y y→
−
=
−
Chú ý 
• Nếu ( )f x là hàm số một biến x thì /
x
f df
f
x dx
∂
= =
∂
. 
• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự. 
VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: 
4 3 2 3( , ) 3 2 3f x y x x y y xy= − + − tại ( 1; 2)− . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cos xz
y
= tại ( ; 4)π . 
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 
2
( , , ) sinx yf x y z e z= . 
b) Đạo hàm riêng cấp cao 
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số /( , )
x
f x y , /( , )
y
f x y
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của ( , )f x y . 
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của 
2
2 2
1
ln
1
x
z
x y
+
=
+ +
. 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 4

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
 Ký hiệu: 
( )2
2
//
2xx x xx
f f
f f f
x x x
 ∂ ∂ ∂= = = =  ∂ ∂  ∂
, 
( )2
2
//
2yy yy y
f f
f f f
y y y
 ∂ ∂ ∂= = = =  ∂ ∂  ∂
, 
( )
2
//
xy xy x y
f f
f f f
y x y x
 ∂ ∂ ∂= = = =  ∂ ∂ ∂ ∂ 
, 
( )
2
//
yx yx y x
f f
f f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂= = = =  ∂ ∂ ∂ ∂ 
. 
• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 
2 có định nghĩa tương tự. 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
VD 6. Cho hàm số 5 4 4 5( , )f x y x y x y= + − . 
 Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm 
3 2
(5) (1; 1)
x y
f − là: 
A. 
3 2
(5) (1; 1) 480
x y
f − = ; B. 
3 2
(5) (1; 1) 480
x y
f − =− ; 
C. 
3 2
(5) (1; 1) 120
x y
f − = ; D. 
3 2
(5) (1; 1) 120
x y
f − =− . 
VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: 
3 2 3 4( , ) yf x y x e x y y= + − tại ( 1; 1)− . 
• Định lý Schwarz 
 Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng // //,
xy yx
f f liên 
tục trong miền mở 2D ⊂ ℝ thì // //.
xy yx
f f= 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
VD 7. Đạo hàm riêng 
2 2
( ) ( 2)
m n
m n
x y x
z m−
+ ≥ của 2x yz e −= là: 
A. 2( 1) 2n m n x ye+ −− ; B. 2( 1) 2m m n x ye+ −− ; 
C. 2( 1) 2m m x ye −− ; D. 2( 1) 2n m x ye −− . 
2.2. Vi phân 
2.2.1. Vi phân cấp 1 
a) Số gia của hàm số 
• Cho hàm số ( , )f x y xác định trong lân cận 
0
( , )S M ε
của điểm 
0 0 0
( , )M x y . Cho x một số gia x∆ và y một 
số gia y∆ , khi đó hàm ( , )f x y có tương ứng số gia: 
0 0 0 0
( , ) ( , ).f f x x y y f x y∆ = +∆ +∆ −

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
 b) Định nghĩa 
• Nếu trong lân cận 
0
( , )S M ε với số gia x∆ , y∆ mà số 
gia f∆ tương ứng có thể viết được dưới dạng: 
( ) 2 2. . , ( ) ( )f A x B y O r r x y∆ = ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ , 
 trong đó ,A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm 
0 0 0
( , )M x y và hàm ( , )f x y , không phụ thuộc , x y∆ ∆
thì đại lượng . .A x B y∆ + ∆ được gọi là vi phân của 
hàm số ( , )f x y tại điểm 
0 0 0
( , )M x y . 
• Khi đó, ( , )f x y được gọi là khả vi tại điểm 
0 0 0
( , )M x y . 
 Ký hiệu là: 0 0( , ) . . .df x y A x B y= ∆ + ∆ 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Nhận xét 
• Xét những điểm 
0 0
( , )M x x y y+ ∆ + ∆ dịch chuyển 
trên đường đi qua 
0
M song song Ox . Khi đó 0y∆ = : 
0 0 0 0
( , ) ( , ) . ( )f f x x y f x y A x O x∆ = + ∆ − = ∆ + ∆ 
/
0 0
0
lim ( , )
x
x
f
A A f x y
x∆ →
∆
⇒ = ⇒ =
∆
. 
 Tương tự, /
0 0
0
lim ( , )
y
y
f
B B f x y
y∆ →
∆
= ⇒ =
∆
. 
 Suy ra / /( , ) ( , ). ( , ).
x y
df x y f x y x f x y y= ∆ + ∆ . 
• Xét ( , ) ( , )f x y x df x y x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . 
 Tương tự, dy y= ∆ . Vậy: 
/ /( , ) ( , ) ( , ) .
x y
df x y f x y dx f x y dy= +

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
c) Định lý 
• Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận 
nào đó của 
0 0
( , )x y và các đạo hàm riêng này liên tục 
tại 
0 0
( , )x y thì ( , )f x y khả vi tại 
0 0
( , )x y . 
VD 8. Cho hàm 2 5( , ) x yf x y x e y−= − . Tính (1; 1)df − . 
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm 
2 2sin( )x yz e xy−= . 
 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO 
 a) Vi phân cấp 2 
• Giả sử ( , )f x y là hàm khả vi với ,x y là các biến độc 
lập. Các số gia ,dx x dy y= ∆ = ∆ tùy ý độc lập với 
,x y nên được xem là hằng số đối với ,x y . 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 5

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Chú ý 
• Nếu ,x y là các biến không độc lập (biến trung gian) 
( , )x x= ϕ ψ , ( , )y y= ϕ ψ thì công thức trên không còn 
đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp ,x y độc lập. 
• Vi phân của ( , )df x y được gọi là vi phân cấp 2 của 
( , )f x y . Ký hiệu và công thức: 
( ) 2 22 2 22 .xyx yd f d df f dx f dxdy f dy′′ ′′ ′′= = + + 
VD 10. Cho hàm số 2 3 2 3 5( , ) 3f x y x y xy x y= + − . 
 Tính vi phân cấp hai 2(2; 1)df − . 
VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm 2( , ) ln( )f x y xy= . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
b) Vi phân cấp n 
( ) ( )1
0
.
k n k
n
nn n k k n k
n x y
k
d f d d f C f dx dy−
− −
=
= =∑ 
 Trong đó 
0
( ) ( )
n n
n n
x y x
f f= , 
0
( ) ( )
n n
n n
x y y
f f= , 
0n ndx dy dx= , 0 n ndx dy dy= . 
VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm số 3 2( , )f x y x y= . 
VD 13. Tính vi phân 3d z của hàm số 2 cos 3xz e y= . 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp 
a) Hàm hợp với một biến độc lập 
• Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những 
hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của 
biến t là ( ) ( ( ), ( ))t f x t y tω = khả vi. Ta có: 
/ /( ) .
x y
dx dy
t f f
dt dt
′ω = +
VD 14. Tính ( )t′ω với hàm số 2( , )f x y x y= và 
23 , sinx t t y t= − = . 
Giải. / /( ) . .
x y
dx dy
t f f
dt dt
′ω = + 
2 / 2 / 22 (3 ) (sin ) 2 (6 1) cos
t t
xy t t x t xy t x t= − + = − + .

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
 Tính trực tiếp như sau: 
2 2( ) (3 ) sint t t tω = − 
2 2 2( ) 2(3 )(6 1)sin (3 ) cost t t t t t t t′⇒ ω = − − + − 
22 (6 1) cosxy t x t= − + . 
VD 15. Cho 2 2 2( , ) ln( ), sinf x y x y y x= + = . Tính df
dx
. 
Giải 
/ /
2 2 2 2 2 /ln( ) ln( ) (sin )
x
x y
df
x y x y x
dx
   = + + +      
2 2 2 2 2 2
2 2 sin 2 2 2 sin 2x y x x y x
x y x y x y
+
= + =
+ + +
. 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
b) Hàm hợp với hai biến độc lập 
• Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những 
hàm khả vi đối với hai biến độc lập ,ϕ ψ. Khi đó, hàm 
hợp của 2 biến ,ϕ ψ là ( , ) ( ( , ), ( , ))f x yω ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ
khả vi. Ta có: 
/ / / / / / / / / /. . , . . .
x y x y
f x f y f x f yϕ ϕ ϕ ψ ψ ψω = + ω = + 
2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) 
• Hàm ( , )z x y xác định trên 2
z
D ⊂ ℝ thỏa phương trình 
( , , ( , )) 0, ( , )
z
F x y z x y x y D D= ∀ ∈ ⊂ (*) được gọi là 
hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*). 

 Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: 
/ / / / / /. 0, . 0
x z x y z y
F F z F F z+ = + = . 
 Vậy ( )
//
/ / /
/ /
, 0 .
yx
x y z
z z
FF
z z F
F F
= − =− ≠
VD 16. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình: 
cos( )xyz x y z= + + . Tính / /, 
x y
z z . 
VD 17. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình mặt cầu: 
2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = . Tính /
y
z . 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, Ja ... D 1. Tìm hàm ( )y y x= thỏa 0y x′ − = . 
Biết đường cong tích phân đi qua điểm (2; 1)M . 
 Giải. Với điều kiện 1 1y− ≤ ≤ , ta có: 
2 21 1
dy
y y y
dx
′ = − ⇒ = − 
21
dy
dx
y
⇒ =
−
∫ ∫ , 1 1y− < < . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 Nhận thấy 1y = ± thỏa ptvp nhưng không thỏa (2). 
 Vậy 1y = ± là nghiệm kỳ dị. 

 Từ đây về sau, ta không xét đến nghiệm kỳ dị. 
 arcsin sin( )y x C y x C⇒ = + ⇒ = + (2). 
VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong 2y Cx= . 
Giải. Ta có: 
2 2y Cx y Cx′= ⇒ = 2
2 2
y y
C y x
x x
′ ′
⇒ = ⇒ = 
 Vậy 2 , 0yy x
x
′ = ≠ . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 
2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 

 Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: 
( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy+ =

 Phương pháp giải 
 Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: 
( ) ( ) .f x dx g y dy C+ =∫ ∫ 
VD 4. Giải phương trình vi phân 
2 2
0
1 1
xdx ydy
x y
+ =
+ +
. 

 Chương 4. Phương trình vi phân
VD 6. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy+ + − − = . 
VD 5. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y′ = + . 
VD 7. Giải ptvp 2xy y y′ + = thỏa điều kiện 1(1)
2
y = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 Chẳng hạn, hàm số: 
( , )
2 3
x y
f x y
x y
−
=
+
 là đẳng cấp bậc 0, 
24 3
( , )
5
x xy
f x y
x y
+
=
−
 là đẳng cấp bậc 1, 
2( , ) 3 2f x y x xy= − là đẳng cấp bậc 2. 
2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 
a) Hàm đẳng cấp hai biến số 
• Hàm hai biến ( , )f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu 
với mọi 0k > thì ( , ) ( , )nf kx ky k f x y= . 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 31

 Chương 4. Phương trình vi phân
b) Phương trình vi phân đẳng cấp 
• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: 
( , ) (2).y f x y′ =
 Trong đó, ( , )f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0. 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Biến đổi (2) yy
x
 ′⇔ = ϕ    
. 
Bước 2. Đặt yu y u xu
x
′ ′= ⇒ = + . 
Bước 3. (2) ( )
( )
du dx
u xu u
u u x
′⇒ + = ϕ ⇒ =
ϕ −
 ( )( ) 0u u xϕ − ≠ ≠ (đây là ptvp có biến phân ly). 

 Chương 4. Phương trình vi phân
VD 8. Giải phương trình vi phân 
2 2x xy y
y
xy
− +′ = . 
 VD 9. Giải phương trình vi phân x yy
x y
+′ =
−
 với điều kiện đầu (1) 0y = . 
 VD 10. Giải phương trình vi phân: 
ln ln
y y
xy y x
x x
′ = + ( , 0)x y > . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần 
• Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y và các đạo hàm riêng 
của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện 
, ( , )
x y
Q P x y D′ ′= ∀ ∈ . Nếu tồn tại hàm ( , )u x y sao cho 
( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy= + 
 thì phương trình vi phân có dạng: 
( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy+ =
được gọi là phương trình vi phân toàn phần. 
• Nghiệm tổng quát của (3) là ( , )u x y C= . 
 Nhận xét 
( , ) ( , ), ( , ) ( , )
x y
u x y P x y u x y Q x y′ ′= = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 Phương pháp giải 
 Bước 1. Từ (3) ta có 
x
u P′ = (3a) và 
y
u Q′ = (3b). 
 Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: 
 ( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y= = ϕ +∫ (3c). 
 Trong đó, ( )C y là hàm theo biến y . 
 Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: 
( )
y y
u C y′ ′ ′= ϕ + (3d). 
 Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được ( )C y . 
 Thay ( )C y vào (3c) ta được ( , )u x y . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 VD 11. Cho phương trình vi phân: 
2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy+ + + + + = (*). 
1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 
2) Giải phương trình (*). 
 VD 12. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy+ − + + = . 
 VD 13. Giải phương trình vi phân: 
[( 1) ] ( ) 0x y x yx y e e dx e xe dy+ + + + + = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: 
( ) ( ) (4).y p x y q x′ + =
• Khi ( ) 0q x = thì (4) được gọi là phương trình vi phân 
tuyến tính cấp 1 thuần nhất. 
 Phương pháp giải 
 (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) 
Bước 1. Tìm biểu thức ( )( ) p x dxA x e−∫= . 
Bước 2. Tìm biểu thức ( )( ) ( ). p x dxB x q x e dx∫= ∫ . 
Bước 3. Nghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C = +   . 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 32

 Chương 4. Phương trình vi phân
Chú ý 
• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. 
• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm 
 tổng quát của (4) dưới dạng: ( )( ) .p x dxy C x e−∫= 
Nhận xét. ( ) ( )( ) ( ). .
( )
p x dx q x
B x q x e dx dx
A x
∫= =∫ ∫ 
 VD 14. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm
nghiệm tổng quát của 2 4 lnyy x x
x
′ + =
 dưới dạng: 
A. 
2
( )C x
y
x
= ; B. 
3
( )C x
y
x
= ; 
C. ( )C xy
x
= ; D. ( )C xy
x
= − . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 VD 15. Giải phương trình vi phân 2 0y x y′ − = 
 thỏa điều kiện đầu 9
3x
y e
=
= − . 
 VD 16. Giải phương trình sincos xy y x e−′ + = . 
 VD 17. Giải phương trình 2 tan2 sin 4y y x x′ − = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli 
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: 
( ) ( ) (5).y p x y q x yα′ + =
• Khi 0α = hoặc 1α = thì (5) là tuyến tính cấp 1. 
• Khi ( ) ( ) 1p x q x= = thì (5) là pt có biến phân ly. 
 Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) 
Bước 1. Với 0y ≠ , ta chia hai vế cho yα: 
(5) ( ) ( )
y y
p x q x
y yα α
′
⇒ + = 
1( ) ( )y y p x y q x−α −α′⇒ + = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
Bước 2. Đặt 1 (1 )z y z y y−α −α′ ′= ⇒ = −α , ta được: 
(5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x′⇒ + −α = −α 
(đây là phương trình tuyến tính cấp 1). 
 VD 18. Giải phương trình vi phân 2yy xy
x
′ + = 
 với điều kiện đầu 1, 1x y= = . 
 VD 19. Giải phương trình vi phân 3 42y xy x y′ − = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 
3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ 
• Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng: 
( ) (1).y f x′′ =
 Phương pháp giải 
• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: 
1
( ) ( ) ( )y f x y f x dx x C′′ ′= ⇒ = = ϕ +∫ 
1 1 2
( ) ( )y x dx C x x C x C⇒ = ϕ + = ψ + +∫ . 
VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x′′ = . 
 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết 

 Chương 4. Phương trình vi phân
VD 2. Giải ptvp 2xy e′′ = với 7 3(0) , (0)
4 2
y y ′= − = . 
3.1.2. Phương trình khuyết y 
• Phương trình vi phân khuyết y có dạng: 
( , ) (2).y f x y′′ ′=
Phương pháp giải 
• Đặt z y ′= đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. 
VD 3. Giải phương trình vi phân yy x
x
′
′′ = − . 
VD 4. Giải pt vi phân ( 1) 0
1
y
y x x
x
′
′′ − − − =
−
 với điều kiện (2) 1, (2) 1y y ′= = − . 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 33

 Chương 4. Phương trình vi phân
3.1.3. Phương trình khuyết x 
• Phương trình vi phân khuyết x có dạng: 
( , ) (3).y f y y′′ ′=
VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y′′ ′+ − = 
 với điều kiện 1(0) 0, (0)
2
y y ′= = . 

 Phương pháp giải 
• Đặt z y ′= ta có: .dz dz dy dzy z z
dx dy dx dy
′′ ′= = = = . 
• Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. 
VD 5. Giải phương trình vi phân 2(1 ) 2( ) 0y y y′′ ′− + = . 
VD 7. Giải phương trình vi phân ( )22 1yy y′′ ′= + . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính 
 với hệ số hằng 
3.2.1. Phương trình thuần nhất 
• Phương trình thuần nhất có dạng: 
( )1 2 1 20, , (4).y a y a y a a′′ ′+ + = ∈ ℝ 

 Trường hợp 1 
 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt 
1 2
, k k . 
 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2
1 2
, 
k x k x
y e y e= = 
 và nghiệm tổng quát là 1 21 2 .
k x k x
y C e C e= +
 Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): 
2
1 2
0 (5).k a k a+ + =

 Chương 4. Phương trình vi phân

 Trường hợp 2 
 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . 
 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 
1 2
, kx kxy e y xe= = 
 và nghiệm tổng quát là 1 2 .
kx kxy C e C xe= +

 Trường hợp 3 
 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp 
k i= α ± β. 
 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: 
1 2
cos , sinx xy e x y e xα α= β = β 
 và nghiệm tổng quát là: 
( )1 2cos sin .xy e C x C xα= β + β 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 VD 8. Giải phương trình vi phân 2 3 0y y y′′ ′+ − = . 
 VD 9. Giải phương trình vi phân 6 9 0y y y′′ ′− + = . 
 VD 10. Giải phương trình vi phân 16 0y y′′ + = . 
 VD 11. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y′′ ′+ + = . 
 VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 
0y y y′′ ′− + = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 3.2.2. Phương trình không thuần nhất 
• Phương trình không thuần nhất có dạng: 
( )1 2 1 2( ), , (6).y a y a y f x a a′′ ′+ + = ∈ ℝ 
a) Phương pháp giải tổng quát 
• Nếu (4) có hai nghiệm riêng 
1 2
( ), ( )y x y x thì (6) có 
nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x= + 
• Để tìm 
1
( )C x và 
2
( )C x , ta giải hệ Wronsky: 
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
C x y x C x y x
C x y x C x y x f x
 ′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + =

 Chương 4. Phương trình vi phân
 VD 13. Giải phương trình vi phân 2y y y x′′ ′− + = (a). 
 Giải. Xét phương trình thuần nhất: 
2 0y y y′′ ′− + = (b). 
 Ta có: 2 2 1 0 1k k k− + = ⇔ = 
1 2
,x xy e y xe⇒ = = là 2 nghiệm riêng của (b). 
 Suy ra, nghiệm tổng quát của (a) có dạng: 
1 2
( ). ( ).x xy C x e C x xe= + . 
 Ta có hệ Wronsky: 
1 2
1 2
. ( ) . ( ) 0
. ( ) ( 1) . ( )
x x
x x
e C x xe C x
e C x x e C x x
 ′ ′+ = ′ ′+ + =
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 34

 Chương 4. Phương trình vi phân
 Giải hệ bằng định thức Crammer, ta được: 
2
1
2
( )
( )
x
x
C x x e
C x xe
−
−
 ′ = − ′ =
2
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( 2 2)
( ) ( ) ( 1) .
x
x
C x C x dx e x x C
C x C x dx e x C
−
−
 ′= = + + +⇒  ′= = − + +
∫
∫
 Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: 
1 2
2x xy C e C xe x= + + + . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT 

 Phương pháp cộng nghiệm 
• Định lý 
 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất 
(6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần 
nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6). 
 VD 14. Cho phương trình vi phân: 
22 2 (2 ) xy y y x e′′ ′− + = + (*). 
1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e= . 
2) Tìm nghiệm tổng quát của (*). 
 VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 
2 sin 2 4 cos2y y x x′′ ′+ = + , 
 biết 1 nghiệm riêng là cos2y x= − . 

 Chương 4. Phương trình vi phân

 Phương pháp chồng chất nghiệm 
• Định lý 
 Cho phương trình 
1 2 1 2
( ) ( ) (7)y a y a y f x f x′′ ′+ + = + . 
 Nếu 
1
( )y x và 
2
( )y x lần lượt là nghiệm riêng của 
1 2 1
( )y a y a y f x′′ ′+ + = , 
1 2 2
( )y a y a y f x′′ ′+ + = 
 thì nghiệm riêng của (7) là: 
1 2
( ) ( ).y y x y x= +
VD 16. Tìm nghiệm tổng quát của 22cosy y x′′ ′− = (*). 
Cho biết 1y y′′ ′− = và cos2y y x′′ ′− = lần lượt có 
nghiệm riêng 
1
y x=− , 
2
2 1
cos2 sin 2
10 10
y x x=− − . 

 Chương 4. Phương trình vi phân

 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình 
vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng 
 Xét phương trình 
1 2
( ) (6)y a y a y f x′′ ′+ + = 
 và 
1 2
0 (4).y a y a y′′ ′+ + = 
• Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) 
 ( ( )
n
P x
 là đa thức bậc n ). 
 Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng: 
. ( )m x
n
y x e Q xα=
( ( )
n
Q x là đa thức đầy đủ bậc n ). 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 Bước 2. Xác định m : 
1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng 
của (4) thì 0m = . 
2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 
của (4) thì 1m = . 
3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng 
của (4) thì 2m = . 
 Bước 3. Thế . ( )m x
n
y x e Q xα= vào (6) và đồng nhất thức 
ta được nghiệm riêng cần tìm. 
 VD 17. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 
3 22 3 ( 1)xy y y e x′′ ′− − = + . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
Giải. Ta có 3 2( ) ( 1)xf x e x= + , 2
2
3, ( ) 1P x xα = = + . 
 Suy ra nghiệm riêng có dạng: 
3 2( )m xy x e Ax Bx C= + + . 
 Do 3α = là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 
2 2 3 0k k− − = nên 1m = . 
 Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + . 
 Thế 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + vào phương trình đã cho, 
đồng nhất thức ta được: 
1 1 9
, ,
12 16 32
A B C= = − = . 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM 
dvntailieu.wordpress.com
Wednesday, January 26, 2011
Toán cao cấp A3 Đại học 35

 Chương 4. Phương trình vi phân
Vậy nghiệm riêng là 3 21 1 9
12 16 32
xy xe x x
 = − +    
. 
• Trường hợp 2 
f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx] 
( ( )
n
P x
 là đa thức bậc n , ( )
m
Q x
 là đa thức bậc m ). 
Bước 1. Nghiệm riêng có dạng: 
[ ( )cos ( )sin ]s x
k k
y x e R x x H x xα β β= + 
( ( ), ( )
k k
R x H x
 là đa thức đầy đủ bậc max{ , }k n m= ). 
VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 
2 2x xy y y xe e−′′ ′+ + = + . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
Bước 2. Xác định s : 
1) Nếu iα β± không là nghiệm của phương trình đặc 
trưng của (4) thì 0s = . 
2) Nếu iα β± là nghiệm của phương trình đặc trưng 
của (4) thì 1s = . 
 Bước 3. Thế [ ( )cos ( )sin ]s x
k k
y x e R x x H x xα β β= + 
vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.
VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 
2 3 cos 3 sinx xy y y e x xe x′′ ′+ − = + . 
Giải. Ta có ( ) (cos 3 sin )xf x e x x x= + 
1, 1, 0, 1, 1n m kα β⇒ = = = = = . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 Suy ra nghiệm riêng có dạng: 
[( )cos ( )sin ]s xy x e Ax B x Cx D x= + + + . 
 Do 1i iα β± = ± không là nghiệm của phương trình 
đặc trưng 2 2 3 0k k+ − = nên 0s = . 
 Vậy dạng nghiệm riêng là: 
[( )cos ( )sin ]xy e Ax B x Cx D x= + + + . 
Giải. Ta có 1, 1, 2kα β= = = . 
1 i±
 là nghiệm của 2 2 2 0 1k k s− + = ⇒ = . 
VD 20. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 
22 2 [( 1)cos sin ]xy y y e x x x x′′ ′− + = + + . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là: 
2 2[( )cos ( )sin ]xy xe Ax Bx C x Dx Ex F x= + + + + + . 
VD 21. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 
3 siny y x′′ + =
 (*). 
 3.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 
 tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 
• Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n có dạng: 
( ) ( 1) ( 2)
1 2 1
+ + +...+ + 0 (8).n n n
n n
y a y a y a y a y− − −
′ =
Trong đó, , 1,2,...,
i
a i n∈ =ℝ . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
• Định lý 
 Nếu phương trình đặc trưng của (8) 
1 2
1 2 1
... 0n n n
n n
k a k a k a k a− − −+ + + + + = 
 có n nghiệm thực đơn 
1 2 1
, , ..., , 
n n
k k k k− 
 thì phương trình (8) có n nghiệm riêng 
1 2 1
1 2 1
, , ..., , n n
k x k x k x k x
n n
y e y e y e y e−−= = = = 
 và nghiệm tổng quát là: 
1 2 1
1 2 1
... .n n
k x k x k x k x
n n
y C e C e C e C e−−= + + + + 
Trong đó, , 1,2,...,
i
C i n∈ =ℝ . 

 Chương 4. Phương trình vi phân
 VD 22. Giải phương trình 2 2 0y y y y′′′ ′′ ′− − + = . 
 Giải. Phương trình đặc trưng: 
3 22 2 0 1, 2k k k k k− − + = ⇔ = ± = . 
 Vậy phương trình có 3 nghiệm riêng: 
2
1 2 3
, , x x xy e y e y e−= = = 
 và nghiệm tổng quát là 2
1 2 3
x x xy C e C e C e−= + + . 
 VD 23. Giải phương trình vi phân (4) 5 4 0y y y′′− + = . 
Hết