Bài giảng Toán cao cấp A2, C2

Toán cao cấp
A2, C2 ĐH
Nguyễn Đức Phương
TP. HCM, Ngày 21 tháng 5 năm 2014
B
ài
gi
ản
g
Họ và tên:
Mssv:
Mục lục
Chương 1
Ma trận, định thức
1.1 Ma trận
Định nghĩa 1.1 (Ma trận). Một bảng số thực hình chữ nhật có m dòng
và n cột
A D
0
BBB@
a11 a12 
 
 
 a1n
a21 a22 
 
 
 a2n
:::
::: 
 
 
 :::
am1 am2 
 
 
 amn
1
CCCA
được gọi là ma trận cấp m  n: Tập hợp tất cả ma trận cấp m  n trên R
được ký hiệuMmn.R/:
Chú ý.
 A D aij 
mn
 aij là phần tử dòng i cột j .
Ví dụ 1.1. Ma trận
A D

2 1 8
0 6 5

 Số dòng? số cột?
 aij ?
Định nghĩa 1.2 (Ma trận vuông). Ma trận có số dòng bằng với số cột
(m D n) được gọi là ma trận vuông cấp n.
Trang 2 Chương 1. Ma trận, định thức
Ví dụ 1.2. Ma trận
A D
0
@ 2 0 11 4 8
9 4 3
1
A
là ma trận vuông cấp 3.
Định nghĩa 1.3 (Đường chéo của ma trận vuông).
 Đường chéo chứa a11; a22; : : : ; ann là đường chéo chính
A D
0
BBB@
a11 a12 
 
 
 a1n
a21 a22 
 
 
 a2n
:::
::: 
 
 
 :::
an1 an2 
 
 
 ann
1
CCCA
 Đường chéo ngược lại là đường chéo phụ.
A D
0
BBB@
a11 a12 
 
 
 a1n
a21 a22 
 
 
 a2n
:::
::: 
 
 
 :::
an1 an2 
 
 
 ann
1
CCCA
Định nghĩa 1.4 (Các ma trận vuông đặc biệt).
 Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính
bằng 0 được gọi làma trận chéo cấp n.
 Ma trận chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được
gọi làma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là In:
Ví dụ 1.3.
A D
0
@2 0 00 0 0
0 0 4
1
A
gọi là ma trận đường chéo.
I3 D
0
@1 0 00 1 0
0 0 1
1
A
là ma trận đơn vị cấp 3.
1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 3
Định nghĩa 1.5. Ma trận vuông có tất cả các phần tử trên (dưới) đường
chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dưới (trên).
Ví dụ 1.4.
A D
0
@2 0 04 3 0
3 0 0
1
A B D
0
@2 3 00 3 6
0 0 1
1
A
 A gọi là ma trận tam giác dưới.
 B gọi là ma trận tam giác trên.
Định nghĩa 1.6. Ma trận vuông có các phần tử đối xứng qua đường
chéo chính bằng nhau (aij D aj i ) gọi là ma trận đối xứng
Ví dụ 1.5.
A D
0
@ 3 4 14 1 0
1 0 2
1
A
là ma trận đối xứng.
1.2 Các phép toán trên ma trận
Định nghĩa 1.7 (Phép chuyển vị). Ma trận AT có được từ việc chuyển
tất cả các dòng của A thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A:
Ví dụ 1.6. Ma trận
A D

2 1 4
5 3 6

Tìm AT
Tính chất 1.8. Cho A;B 2Mmn.R/: Khi đó
i.

AT

T D AI
ii. AT D BT khi và chỉ khi A D B:
Trang 4 Chương 1. Ma trận, định thức
Định nghĩa 1.9 (Nhân vô hướng). Cho ma trận A D aij 
mn và k 2 R,
ta định nghĩa
kA D kaij 
mn
Ví dụ 1.7.
2

2 1 2
2 4 2

D
4 2 4
4 8 4

Tính chất 1.10. Cho A;B 2Mmn.R/ và ˛; ˇ 2 R Khi đó
i. .˛ˇ/A D ˛.ˇA/I
ii. .˛A/T D ˛AT :
Định nghĩa 1.11 (Phép cộng, trừ). Cho hai ma trận A D aij 
mn và
B D bij 
mn cùng cấp, ta định nghĩa
A˙B D aij ˙ bij 
mn
Ví dụ 1.8. 
1 2 3
2 0 1

C

3 1 3
2 3 6

D

4 3 6
4 3 7


1 2 3
2 0 1



3 1 3
2 3 6

D
2 1 0
0 3 5

Tính chất 1.12. Cho A;B 2Mmn.R/ và ˛; ˇ 2 R: Khi đó
i. ACB D BCAI
ii. ˛.ACB/ D ˛AC ˛BI
iii. .˛ C ˇ/A D ˛AC ˇA:
Định nghĩa 1.13 (Nhân hai ma trận). Cho hai ma trận A D aij 
mp và
B D bij 
pn (số cột của A bằng với số dòng của B), ta định nghĩa
AB D .cij /mn
trong đó cij D (dòng i của A/  (cột j của B/
Ví dụ 1.9. Cho A D

1 2 4
2 1 5

; B D
0
@1 23 1
2 2
1
A Tính AB:
1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 5
Ví dụ 1.10. Cho hai ma trận
A D
0
@0 1 12 2 0
3 0 3
1
A ; B D
0
@1 2 10 3 1
2 1 0
1
A
Tính AB; BA và so sánh kết quả.
Ví dụ 1.11. Cho ma trận A D
0
@1 2 30 5 2
2 4 6
1
A Tính AI3 và I3A và so sánh
kết quả.
Nhận xét. Tổng quát, phép nhân không có tính giao hoán nghĩa là
AB ¤ BA:
Tính chất 1.14. Cho A;B;C thỏa điều kiện nhân được
i. .AB/C D A.BC/I
ii. A.BCC/ D ABCACI
iii. .AB/T D BTAT I
Trang 6 Chương 1. Ma trận, định thức
iv. AIn D InA D A:
1.3 Ma trận bậc thang
Định nghĩa 1.15.
 Trong một ma trận, một dòng có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là
dòng không.
 Trong một ma trận, phần tử khác không đầu tiên (trái sang phải)
của dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng.
Ví dụ 1.12. Ma trận
A D
0
@1 3 20 0 0
3 1 5
1
A! dòng không
Xác định phần tử cơ sở của
A D
0
BB@
1 3 2
0 0 3
0 0 0
0 2 5
1
CCA
Định nghĩa 1.16 (Ma trận bậc thang). Ma trận thỏa hai điều sau được
gọi là ma trận bậc thang:
 Các dòng 0 nằm bên dưới các dòng khác.
 Phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ phài nằm bên phải phần tử cơ
sở các dòng trên nó.
Ví dụ 1.13. Các ma trận sau là bậc thang:
A D
0
@ 7 0 20 0 3
0 0 0
1
AIB D
0
@ 0 3 1 20 0 3 5
0 0 0 4
1
A
Ví dụ 1.14. Các ma trận sau không là ma trận bậc thang
A D
0
@ 0 2 30 3 5
0 0 6
1
A IB D
0
@ 0 0 00 2 3
0 0 5
1
A
1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng Trang 7
Định nghĩa 1.17. Ma trận bậc thang rút gọn (đơn giản) là ma trận bậc
thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử
khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó.
Ví dụ 1.15. Ma trận nào sau đây là ma trận bậc thang rút gọn:
A D
0
@1 2 0 30 0 1 1
0 0 0 0
1
A IB D 1 3 2
0 0 0

1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng
Định nghĩa 1.18 (Phép biến đổi sơ cấp trên dòng). Cho A D aij 
mn :
Ta gọi các phép biến đổi sau là phép biến đổi sơ cấp trên dòng
i) Đổi vị trí hai dòng i và k: A
di$dk! B:
ii) Nhân dòng i với số thực  ¤ 0: A di!
di! B:
iii) Thay dòng i bằng dòng i cộng  lần dòng k khác: A
di!diC
dk! B:
Chú ý.
 Phép biến đổi ii) và iii) có thể được thay bằng
A
di!diC
dk! B:
trong đó  ¤ 0:
 Ma trận B nhận được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta
nói A tương đương dòng với B; ký hiệu A  B:
Định lý 1.19. Mọi ma trận đều có thể được đưa về ma trận bậc thang
bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sớ cấp.
Trang 8 Chương 1. Ma trận, định thức
Ví dụ 1.16. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận sau
về dạng ma trận bậc thang
A D
0
@1 1 2 42 3 3 3
5 7 4 10
1
A IB D
0
@ 1 2 42 4 7
3 2 5
1
A
1.5 Hạng của ma trận
Định nghĩa 1.20 (Hạng của ma trận). Dùng phép biến đổi sơ cấp trên
dòng biến A thành ma trận bậc thang QA:Hạng của A, ký hiệu r.A/ là số
dòng khác không của QA
Ví dụ 1.17. Tìm hạng của
A D
0
@1 2 30 0 1
0 0 0
1
A
có r.A/ D : : :
1.5 Hạng của ma trận Trang 9
Ví dụ 1.18. Cho
A D
0
@1 2 12 0 3
4 4 1
1
A
Tìm r.A/
Tính chất 1.21.
i. r.A/ D r.AT /I
ii. Nếu A D .aij /mn thì r.A/  minfmIngI
iii. Nếu A là ma trận vuông có jAj ¤ 0 khi và chỉ khi r.A/ D n:
Ví dụ 1.19. Cho ma trận
A D
0
@mC 1 1 32 mC 2 0
2m 1 3
1
A
Tìm m để r.A/ D 2
Trang 10 Chương 1. Ma trận, định thức
Chú ý. Ta nên chuyển các cột không chứa tham số lên đầu.
Ví dụ 1.20. Biện luận theo m số hạng của
A D
0
BB@
1 2 1 1 1
m 1 1 1 1
1 m 0 1 1
0 4 3 2 2
1
CCA
1.6 Định thức Trang 11
1.6 Định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n: Ký hiệu Mij là ma trận có được từ A
bằng các xóa bỏ dòng i cột j cùa A:
Ví dụ 1.21. Nếu
A D
0
@1 2 34 5 6
7 8 9
1
A
thì
M23 D
0
@1 2 34 5 6
7 8 9
1
A D 1 2
7 8

Định nghĩa 1.22 (Định thức). Định thức của ma trận vuông A cấp n;
ký hiệu detA hay jAj được định nghĩa quy nạp như sau:
 Nếu n D 1 thì jAj D ja11j D a11:
 Nếu n D 2 thì jAj D
ˇˇˇ
ˇa11 a12a21 a22
ˇˇˇ
ˇ D a11a22  a12a21:
 Nếu 3  n thì
jAj D ai1Ai1 C ai2Ai2 C 
 
 
 C ainAin
D a1jA1j C a2jA2j C 
 
 
 C anjAnj
trong đó Aij D .1/iCj jMij j:
Ví dụ 1.22. Tính định thức của các ma trận
A D

3 2
1 4

I B D
0
@ 1 2 22 3 1
2 1 2
1
A
Trang 12 Chương 1. Ma trận, định thức
Chú ý. Quy tắc sáu đường chéo tính định thức ma trận cấp 3
jAj D
ˇˇˇ
ˇˇˇa11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
ˇˇˇ
ˇˇˇ a11 a12a21 a22
a31 a32
D.a11a22a33 C a12a23a31C a13a21a32/
.a11a22a33 C a12a23a31C a13a21a32/
Ví dụ 1.23. Tính định thức của ma trận B D
0
@ 1 2 22 3 1
2 1 2
1
A
Ví dụ 1.24. Tính định thức của ma trận A D
0
BB@
0 0 3 2
3 4 2 1
1 1 0 2
2 1 1 5
1
CCA
1.6 Định thức Trang 13
Tính chất 1.23. Nếu A
di$dk! B thì jBj D jAj
Ví dụ 1.25. Tính các định thức:
jAj D
ˇˇˇ
ˇˇˇ1 2 02 1 1
3 3 1
ˇˇˇ
ˇˇˇ I jBj D
ˇˇˇ
ˇˇˇ2 1 11 2 0
3 3 1
ˇˇˇ
ˇˇˇ
Tính chất 1.24. Nếu A
di!di!
¤0
B thì jBj D jAj:
Ví dụ 1.26. Tính các định thức:
jAj D
ˇˇˇ
ˇˇˇ2 1 02 0 1
3 3 1
ˇˇˇ
ˇˇˇ I jBj D
ˇˇˇ
ˇˇˇ6 3 02 0 1
3 3 1
ˇˇˇ
ˇˇˇ
và suy ra giá trị j3Aj:
Trang 14 Chương 1. Ma trận, định thức
Tính chất 1.25. Nếu A
di!diCk! B thì jBj D jAj:
Ví dụ 1.27. Tính định thức: jAj D
ˇˇˇ
ˇˇˇ 1 1 32 2 1
2 3 1
ˇˇˇ
ˇˇˇ và định thức của ma trận
B có được bằng phép biến đổi d2 D d2  2d1 từ ma trận A
Nhận xét. Phép biến đổi trong tính chất ?? và ?? còn được viết chung
dưới dạng
di!diCdk!
¤0
Tính chất 1.26.ˇˇˇ
ˇˇˇ
ˇˇˇ
a11 C a=11 a12 
 
 
 a1n
a21 C a=21 a22 
 
 
 a2n
:::
::: 
 
 
 :::
an1 C a=n1 an2 
 
 
 ann
ˇˇˇ
ˇˇˇ
ˇˇˇ D
ˇˇˇ
ˇˇˇ
ˇˇˇ
a11 a12 
 
 
 a1n
a21 a22 
 
 
 a2n
:::
::: 
 
 
 :::
an1 an2 
 
 
 ann
ˇˇˇ
ˇˇˇ
ˇˇˇC
ˇˇˇ
ˇˇˇ
ˇˇˇ
a
=
11 a12 
 
 
 a1n
a
=
21 a22 
 
 
 a2n
:::
::: 
 
 
 :::
a
=
n1 an2 
 
 
 ann
ˇˇˇ
ˇˇˇ
ˇˇˇ
Ví dụ 1.28. Tính định thức
ˇˇˇ
ˇˇˇx a xy b y C 3
z c z
ˇˇˇ
ˇˇˇ
1.7 Ma trận khả nghịch Trang 15
Chú ý. Các tính chất của định thức ở trên được phát biểu cho biến đổi
trên dòng, và các tính chất này cũng đúng cho biến đổi trên cột.
Chú ý.Một số kết quả đặc biệt
 Dạng chia khối: nếu A;C là hai ma trận vuông và O là ma trận
không ˇˇˇ
ˇA BO C
ˇˇˇ
ˇ D
ˇˇˇ
ˇA 0B C
ˇˇˇ
ˇ D jAjjCj
 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính.
 jABj D jAjjBj:
1.7 Ma trận khả nghịch
Định nghĩa 1.27. Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu
tồn tại ma trận vuông cùng cấp A1 sao cho AA1 D A1A D In:Ma trận
A1 là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A:
Ví dụ 1.29. Ma trận A D

2 5
1 3

và A1 D

3 5
1 2

là hai ma trận
nghịch đảo của nhau.
Trang 16 Chương 1. Ma trận, định thức
1.7.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận A vuông cấp n; ta tìm A1 nếu có như sau:
Bước 1. Lập ma trận .AjIn/:
Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa .AjIn/ về dạng
.A0jB/; với A0 là ma trận bậc thang rút gọn.
Bước 3. Nếu A0 D In thì A khả nghịch và A1 D B; ngược lại ta kết
luận A không khả nghịch.
Ví dụ 1.30. Tìm A1 nếu có của A D

1 2
2 4

:
Ví dụ 1.31. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D
0
@1 1 11 0 1
2 1 1
1
A :
1.7 Ma trận khả nghịch Trang 17
Định lý 1.28. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi jAj ¤ 0
Ví dụ 1.32. Tìm m để A D
0
@mC 1 1 32 mC 2 0
2m 1 3
1
A khả nghịch
1.7.2 Công thức tìm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận khả nghịch A; ma trận nghịch đảo của A được tính như
sau:
A1 D 1jAj
0
BBB@
A11 A12 
 
 
 A1n
A21 A22 
 
 
 A2n
:::
::: 
 
 
 :::
An1 An2 
 
 
 Ann
1
CCCA
T
(1.1)
Ví dụ 1.33. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D

2 3
1 4

:
Trang 18 Chương 1. Ma trận, định thức
Ví dụ 1.34. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D
0
@1 2 12 0 1
3 2 2
1
A :
Chương 2
Hệ phương trình tuyến tính
2.1 Hệ phương trình tổng quát
Định nghĩa 2.1. Một hệ phương trình bậc nhất có n ẩn xj ; j D 1; : : : ; n:8ˆˆ
ˆˆ<
ˆˆˆˆ:
a11x1 C a12x2 C 
 
 
 C a1nxn D b1
a21x1 C a22x2 C 
 
 
 C a2nxn D b1
:::
::: 
 
 
 ::: :::
am1x1 C am2x2 C 
 
 
 C amnxn D b1
(2.1)
trong đó aij ; bi là các hằng số thực, được gọi hệ phương trình tuyến tính.
Nếu ta đặt:
A D
0
BBB@
a11 a12 
 
 
 a1n
a21 a22 
 
 
 a2n
:::
::: 
 
 
 :::
am1 am2 
 
 
 amn
1
CCCA IB D
0
BBB@
b1
b2
:::
bm
1
CCCA IX D
0
BBB@
x1
x2
:::
xn
1
CCCA
Khi đó hệ ?? được viết dưới dạng ma trận AX D B:
Ví dụ 2.1. Viết dạng ma trận8ˆ<
:ˆ
x1  x2 C 2x3 C 4x4 D 4
2x1 C x2 C 4x3 D 3
2x2  7x3 D 5
Trang 20 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
2.2 Hệ Cramer
Định nghĩa 2.2. Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng
số ẩn và định thức ma trận hệ số khác không.
Ví dụ 2.2. Kiểm xem hệ phương trình tuyến tính sau có phải là hệ
Cramer: 8ˆ<
:ˆ
x C 2y C z D 4
x  3y C 6z D 4
5x  y C z D 5
2.2.1 Quy tắc Cramer
Định lý 2.3. Hệ Cramer có nghiệm duy nhất là
xj D
jAj j
jAj ; j D 1; 2; : : : ; n (2.2)
trong đó Aj nhận được bằng cách thay cột j của A bằng B:
Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình
8ˆ<
:ˆ
x1  2x2 C x3 D 5
2x1 C 3x2  2x3 D 1
x1 C x2 C 2x3 D 1
2.2 Hệ Cramer Trang 21
2.2.2 Biện số nghiệm hệ n phương trình n ẩn
Cho AX D B là hệ n phương trình n ẩn có chứa tham số m: Khi đó:
Trường hợp 1. Nếu jAj ¤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Trường hợp 2. Nếu jAj D 0 và tồn tại jAj j ¤ 0 thì hệ vô nghiệm.
Trường hợp 3. Nếu jAj D 0 và mọi jAj j D 0 thì hệ vô nghiệm hoặc có
vô số nghiệm.
Ví dụ 2.4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình(
.mC 1/x C y D mC 2
x C .mC 1/y D 0
có nghiệm.
Trang 22 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 2.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình8ˆ<
:ˆ
2x C 3y  z D 1
4x C .mC 5/y C .m  3/z D mC 1
8x C 12y C .m  4/z D mC 4
2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 23
2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss giải hệp phương trình có 3 bước:
Bước 1. Đặt ma trận mở rộng
NA D .AjB/ D
0
BBB@
a11 a12 
 
 
 a1n b1
a21 a22 
 
 
 a2n b2
:::
::: 
 
 
 ::: :::
am1 am2 
 
 
 amn bm
1
CCCA
Bước 2. Đưa NA về ma trận bậc thang QA
Bước 3. Viết lại hệ và giải ngược lại từ dưới lên trên.
Ví dụ 2.6. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss8ˆ<
:ˆ
x C y C z D 6
2x C 3y  z D 1
x C 4y C z D 10
Trang 24 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Định lý 2.4 (Kronecker-Capelli). Hệ phương trình tuyến tính AX D B
có nghiệm khi và chỉ khi r.A/ D r. NA/:
Nhận xét.
i. r.A/  r. NA/:
ii. Nếu r.A/ < r. NA/ thì hệ vô nghiệm.
iii. Nếu r.A/ D r. NA/ D n thì hệ có nghiệm duy nhất.
iv. Nếu r.A/ D r. NA/ < n thì hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 2.7. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss8ˆ<
:ˆ
3x C 7y D 5
2x C 3y  z D 1
x C y C 2z D 2
2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 25
Ví dụ 2.8. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
8ˆ<
:ˆ
x C y  z D 2
2x C y  4z D 3
3x C y  7z D 4
Trang 26 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
2.4 Hệ phương trình thuần nhất
Định nghĩa 2.5. Hệ phương trình tuyến tính8ˆˆ
ˆˆ<
ˆˆˆˆ:
a11x1 C a12x2 C 
 
 
 C a1nxn D 0
a21x1 C a22x2 C 
 
 
 C a2nxn D 0
:::
::: 
 
 
 ::: :::
am1x1 C am2x2 C 
 
 
 C amnxn D 0
(2.3)
được gọi là thuần nhất.
Dạng ma trận của hệ thuần nhất trên là AX D O; trong đó O là ma
trận không.
Nhận xét.
 Do r.A/ D r. NA/ nên hệ ?? luôn có nghiệm.
 X D .0I 0I : : : I 0/ luôn là nghiệm của ?? và nghiệm này được gọi là
nghiệm tầm thường.
Ví dụ 2.9. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm
tầm thường 8ˆ<
:ˆ
3x C m2y C .m  5/z D 0
.mC 2/y C z D 0
4y C .mC 2/z D 0
2.4 Hệ phương trình thuần nhất Trang 27
Ví dụ 2.10. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm8ˆ<
:ˆ
x C y C .1 m/z D 0
.mC 1/x  y C 2z D 0
2x  my C 3z D 0
Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình8ˆ<
:ˆ
x1 C 2x2 C 2x3 C 2x4 D 0
2x1 C 3x2 C 4x3 C x4 D 0
x1 C x2 C 2x3  x4 D 0
Chỉ ra nghiệm tổng quát, nghiệm cơ bản.
Trang 28 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3
Không gian vector
3.1 Không gian vector, không gian vector con
Định nghĩa 3.1. Cho tập V khác rỗng, hai phép toan cộng và nhân vô
hướng
V  V ! V
.x; y/ 7 ... iện sau:
i. f .˛x/ D f˛ .x/; 8x 2 X; ˛ 2 RI
ii. f .x C y/ D f .x/C f .y/; 8x; y 2 X:
Chú ý. Trong giới hạn chương trình ta chỉ khảo sát ánh xạ tuyến tính
f W Rn ! Rm: Nếu m D n ta gọi f là toán tử tuyến tính.
Ví dụ 4.1. Chứng tỏ f W R3 ! R2 được định nghĩa
f .x1Ix2Ix3/ D .x1  x2 C x3Ix2  x3/
là ánh xạ tuyến tính.
Trang 48 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 4.2. Chứng tỏ f W R2 ! R2 được định nghĩa
f .x1Ix2/ D .x1  2I 2x1 C x2/
không là ánh xạ tuyến tính.
Ví dụ 4.3. Các phép biển đổi sau là ánh xạ tuyến tính từ R2 vào R2
 Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox;Oy W
f .xIy/ D .xI 0/; f .xIy/ D .0Iy/
 Phép đối xứng qua trục Ox;Oy W
f .xIy/ D .xI y/; f .x; y/ D .xIy/
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 4.2. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y W
 Tập
Ker.f / D fx 2 X W f .x/ D Y g (4.1)
được gọi là nhân của f:
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Trang 49
 Tập
Im.f / D ff .x/ W x 2 Rg (4.2)
được gọi là ảnh của f:
Tính chất 4.3. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y; ta có các tính chất
sau:
i. Ker.f / là không gian vector con của X I
ii. Im.f / là không gian vector con của Y I
iii. f đơn ánh khi và chỉ khi Ker.f / D fXgI
iv. f toàn ánh khi và chỉ khi Im.f / D Y I
v. Nếu hU i D X thì hf .U /i D Im.f /:
Ví dụ 4.4. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 được định nghĩa
f .x1Ix2Ix3/ D .x1  x2 C 2x3I 2x1  x3/
Tìm Ker.f / và Im.f /:
Trang 50 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 4.4. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y W
 dimKer.f / được gọi là số khuyết của f; ký hiệu d.f /:
 dim Im.f / được gọi là hạng của f; ký hiệu r.f /:
Ví dụ 4.5. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 được định nghĩa
f .x1Ix2Ix3/ D .x1 C x2I x2 C x3Ix2  x3/
Tìm số khuyết và hạng của f:
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Trang 51
Định lý 4.5. Cho X và Y là hai không gian vector hữu hạn chiều. Nếu
f là ánh xạ tuyến tính từ X vào Y thì
dimKer.f /C dim Im.f / D dimX (4.3)
Hệ quả 4.6. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y có dimX D dimY: Khi
đó các điều sau là tương đương:
i. f song ánh;
ii. f đơn ánh;
iii. f toàn ánh.
Ví dụ 4.6. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R3 được định nghĩa
f .x1Ix2Ix3/ D .mx1 C x2 C x3Ix1 Cmx2 C x3Ix1 C x2 Cmx3/
Tìm m để f song ánh.
Trang 52 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Chú ý. Nếu f song ánh thì f có ánh xạ ngược f 1:
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 4.7 (Ma trận của ánh xạ tuyến tính). Cho ánh xạ tuyến
tính f W Rn ! Rm và hai cơ sở của Rn;Rm lần lượt là U1 D fu1; u2; : : : ; ung
và U2 D fv1; v2; : : : ; vmg : Ma trận
A D Œf .u1/U2 Œf .u2/U2 
 
 
 Œf .un/U2
 (4.4)
được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở B1; B2; ký
hiệu Œf U2U1 :
Ví dụ 4.7. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 được định nghĩa
f .x1Ix2Ix3/ D .x1Ix1 C x2/
hai cở sở của R3;R2 lần lượt được cho như sau:
U1 D fu1 D .1I 1I 2/; u2 D .2I 2I 1/; u3 D .3; 1; 2/g
U2 D fv1 D .2I 3/; v2 D .1I 1/g
a. Tìm A D Œf U2U1 :
b. Tìm A D Œf E2U1 :
c. Tim B D Œf E2E3 :
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Trang 53
Tính chất 4.8. Nếu f W Rn ! Rm là ánh xạ tuyến tính và hai cơ sở của
R
n;Rm lần lượt là U1; U2 thì
i. r.f / D r

Œf 
U2
U1

I
ii. Œf .x/U2 D Œf U2U1 
 ŒxU1; 8x 2 Rn:
Ví dụ 4.8. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 và 2 cơ sở U1; U2 tương
Trang 54 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
ứng, trong đó:
U1 D fu1 D .1I 2I 0/; u2 D .1; 1; 1/Iu3 D .1I 5I 2/g
Cho biết Œf U2U1 D

1 0 1
0 2 1

và x D .1I 2I 3/; tìm Œf .x/B2 :
Ví dụ 4.9. Cho ánh xạ tuyến tính f W R2 ! R3 và hai cơ sở tương ứng
U1 D fu1 D .1I 1/; u2 D .1I 2/g
U2 D fv1 D .1I 0I 1/; v2 D .1I 1I 1/; v3 D .1I 0I 0/g
Cho biết Œf E3E2 D
0
@1 30 2
4 3
1
A tìm Œf U2U1 :
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Trang 55
Hệ quả 4.9. Nếu f W Rn ! Rn là toán tử tuyến tính và hai cơ sở của Rn
là U1; U2: Nếu tồn tại f 1 thì
i.

f 1
U2
U1
D

Œf 
U2
U1
1
I
ii.

f 1.x/

U1
D

Œf 
U2
U1
1

 ŒxU1; 8x 2 Rn:
Ví dụ 4.10. Cho toán tử tuyến tính f W R2 ! R2 được định nghĩa
f .x1Ix2/ D .x1 C 2x2I x1  3x2/
a. Chứng tỏ tồn tại hàm f 1:
b. Tìm

f 1.x/

E2
và biểu thức của f 1.x1Ix2/:
Trang 56 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Định lý 4.10 (Chuyển đổi ma trận của ánh xạ tuyến tính). Giả sử U1; U2
là hai cơ sở của Rn và U
0
1; U
0
2 là hai cơ sở của R
m: Nếu f là ánh xạ tuyến
tình từ Rn vào Rm thì
Œf 
U
0
2
U2
D PU 0
2
!U 0
1

 Œf U
0
1
U1

PU1!U2 (4.5)
Nhận xét. Nếu f W Rn ! Rn là toán tử tuyến tính và U là một cơ sở của
R
n thì
Œf U D PU!E 
 Œf E 
PE!U (4.6)
Ví dụ 4.11. Cho toán tử tuyến tính f W R3 ! R3 được định nghĩa
f .x1Ix2Ix3/ D .x1 C x2 C x3Ix1  x2 C x3Ix1 C x2  x3/
Tìm Œf U với U D fu1 D .2I 1I 0/; u2 D .1I 0I 1/; u3 D .1I 0I 1/g :
4.4 Trị riêng, vector riêng Trang 57
4.4 Trị riêng, vector riêng
4.4.1 Ma trận đồng dạng
Định nghĩa 4.11 (Ma trận đồng dạng). Hai ma trận A và B được gọi là
đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho B D P1 
A 
P:
Định lý 4.12. Cho U1 và U2 là hai cơ sở khác nhau của V: Khi đó Œf U1
và Œf U2 là đồng dạng.
4.4.2 Đa thức đặc trưng
Định nghĩa 4.13 (Đa thức đặc trưng của ma trận). Đa thức đặc trưng
của ma trận vuông A cấp n là đa thức bậc n của  2 R được định nghĩa
PA D jA  Inj (4.7)
Ví dụ 4.12. Tìm đa thức đặc trưng của A D

2 1
1 2

Trang 58 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Định lý 4.14. Hai ma trận đồng dạng nhau thì có cùng đa thức đặc
trưng.
Định nghĩa 4.15 (Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính). Đa thức
đặc trưng của toán tử tuyến tính f W Rn ! Rn là đa thức bậc n của  2 R
được định nghĩa
Pf D jA  Inj (4.8)
trong đó A D Œf U với U là một cơ sở nào đó của Rn:
Nhận xét. Đa thức đặc trưng của f không đổi khi ta thay đổi cơ sở U:
Do đó để đơn giản khi tìm đa thức đặc trưng của f ta chọn A D Œf En :
Ví dụ 4.13. Cho toán tử tuyến tính f W R3 ! R3 được định nghĩa
f .xIyI z/ D .x C yIy  zIx C y C z/
Tìm đa thức đặc trưng của f:
4.4.3 Trị riêng, vector riêng
Định nghĩa 4.16 (Trị riêng, vector riêng của ma trận vuông A).  được
gọi là trị riêng của ma trận vuông A nếu tồn tại x ¤  trong Rn sao cho
A 
 x D  
 x: (4.9)
vector x ¤  trong ?? được gọi là vector riêng ứng với trị riêng .
4.4 Trị riêng, vector riêng Trang 59
Định nghĩa 4.17 (Trị riêng, vector riêng của toán tử tuyến tính f ). 
được gọi là trị riêng của toán tử tuyến tính f nếu tồn tại x ¤  trong Rn
sao cho
f .x/ D  
 x: (4.10)
vector x ¤  trong ?? được gọi là vector riêng ứng với trị riêng .
Định lý 4.18. Cho toán tử tuyến tính f W Rn ! Rn và một cơ sở U của
R
n: Khi đó:
i.  2 R là trị riêng của f khi và chỉ khi  là trị riêng của Œf U :
ii. x là vector riêng của f khi và chỉ khi ŒxU là vector riêng của ma
trận Œf U :
Nhận xét. Đa thức đặc trưng của f và của ma trận Œf U là như nhau.
Do đó thay vì tìm đa thức đặc trưng của f ta tìm đa thức đặc trưng của
ma trận Œf U :
Nhận xét. Để x ¤ 0 là vector riêng ứng với trị riêng  của A thì x là
nghiệm không tầm thường của
.A   
 In/x D :
Nghĩa là jA   
 Inj D 0: Vậy  là nghiệm của phương trình đặc trưng
PA./ D 0:
Ví dụ 4.14. Cho toán tử tuyến tính f W R2 ! R2 được định nghĩa
f .x1Ix2/ D .4x1 C x2I 2x1 C x2/
Tìm trị riêng, vector riêng của f:
Trang 60 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 4.15. Cho ma trận A D
0
@0 0 10 1 0
1 0 0
1
A : Tìm trị riêng, vector riêng của
A:
4.4.4 Không gian con riêng
Định lý 4.19. Cho toán tử tuyến tính f W Rn ! Rn: Tập
E./ D fxjf .x/ D  
 xg [ fg
4.4 Trị riêng, vector riêng Trang 61
là một không gian vector con của Rn:
Định nghĩa 4.20. Ta gọi E./ là không gian con riêng ứng với trị riêng
:
Ví dụ 4.16. Cho toán tử tuyến tính f W Rn ! Rn được định nghĩa
f .x1Ix2Ix3/ D .x1 C 2x2 C 2x3Ix1 C 2x2  x3I x1 C x2 C 4x3/
Tìm các không gian con riêng và cơ sở, số chiều của nó.
Ví dụ 4.17. Cho ma trận A D
0
@1 1 00 1 0
0 0 1
1
A : Tìm các không gian con riêng
và cơ sở, số chiều của nó.
Trang 62 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
4.4.5 Định lý Cayley-Hamilton
Định lý 4.21 (Cayley-Hamilton). Nếu toán tử tuyến tính f W Rn ! Rn có
ma trận biểu diễn trong một cơ sở nào đó là A và có đa thức đặc trưng
Pf ./ thì
Pf .A/ D

0ij


n
(4.11)
Ví dụ 4.18. Cho ma trận A D
0
@ 1 1 00 1 1
1 0 1
1
A : Tính định thức của ma
trận B D A8 C 3A7  3A6 C A  2I3:
4.5 Chéo hóa ma trận vuông Trang 63
4.5 Chéo hóa ma trận vuông
Trong phần này, ta xét A là ma trận biểu diễn toán tử f W Rn ! Rn theo
một cơ sở nào đó của Rn:
Định nghĩa 4.22 (Ma trận chéo hóa được). Ma trận vuông A được gọi
là chéo hoa được nếu A đồng dạng với ma trận đường chéo D: Nghĩa là
tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A D P1AP: Khi đó, ta gọi P là
chéo hóa A:
Ví dụ 4.19. Ma trận A D

1 0
6 1

là chéo hóa được vì có ma trận khả
nghịch P D

0 1
1 3

thỏa P1AP D
1 0
0 1

4.5.1 Điều kiện ma trận chéo hóa được
Định lý 4.23 (Chéo hóa được). Ma trận A 2Mn.R/ được gọi là chéo hóa
được khi và chỉ trong Rn có một cơ sở gồm n vector riêng của A:
Hệ quả 4.24. Nếu A 2Mn.R/ có n trị riêng phân biệt thì chéo hóa được.
Định lý 4.25. Giả sử A 2 Mn.R/ có k trị riêng i ; .i D 1; : : : ; k/ phân
biệt và ta đặt ni D dimE.i/: Khi đó, ba điều sau tương đương:
i. A chéo hóa được.
ii. Đa thức đặc trưng của A có dạng
PA./ D .  1/n1.  2/n2 
 
 
 .  k/nk
iii. n D n1 C n2 C 
 
 
 C nk:
Ví dụ 4.20. Chứng tỏ ma trận A D
0
@ 4 2 16 4 3
6 6 5
1
A chéo hóa được trên
R:
Trang 64 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 4.21. Chứng tỏ ma trận A D
0
@6 5 33 2 2
2 2 0
1
A không chéo hóa được
trên R:
4.5 Chéo hóa ma trận vuông Trang 65
4.5.2 Ma trận làm chéo hóa ma trận vuông
Giả sử ma trận A 2 Mn.R/ chéo hóa được. Khi đó, tồn tại ma trận khả
nghịch P có các cột là các vector cơ sở của E.i/ thỏa P1AP D D với D
là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính lần lượt i
(mỗi i xuất hiện ni lần).
D D
0
BBBBB@
1
2
3
: : :
n
1
CCCCCA
Ví dụ 4.22. Chéo hóa ma trận sau (nếu được trên R):
A D
0
@1 3 33 6 3
1 1 1
1
A
Trang 66 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 4.23. Chéo hóa ma trận sau (nếu được trên R):
A D
0
@1 3 33 5 3
1 1 1
1
A
4.5 Chéo hóa ma trận vuông Trang 67
Ví dụ 4.24. Chéo hóa ma trận sau (nếu được trên R):
A D
0
@ 6 3 25 2 2
3 2 0
1
A
Chương 5
Dạng toàn phương
5.1 Dạng song tuyến tính
Định nghĩa 5.1 (Dạng song tuyến tính). Ánh xạ
f W Rn  Rn ! R
.x; y/ 7! f .x; y/
được gọi là một dạng song tuyến tính trên Rn nếu f tuyến tính theo từng
biến x; y: Nghĩa là, với mọi x; y; z 2 Rn và ˛ 2 R ta có:
i. f .x C y; z/ D f .x; z/C f .y; z/I
ii. f .x; y C z/ D f .x; y/C f .x; z/I
iii. f .˛x; y/ D f˛ .x; y/I
iv. f .x; ˛y/ D f˛ .x; y/:
Ví dụ 5.1. f W R2  R2 ! R có biểu thức
f .x; y/ D x1y1  x2y1C 4x1y2
là dạng song tuyến tính
5.1 Dạng song tuyến tính Trang 69
Giả sử f .x; y/ là một dạng song tuyến tính trên Rn: Gọi U là một cơ
sở của Rn: Với hai vector x; y bất kỳ thuộc Rn
x D
nX
iD1
uixi và y D
nX
jD1
ujyj
ta có
f .x; y/ D
nX
iD1
nX
jD1
f .ui ; uj /xiyj
Định nghĩa 5.2 (Ma trận của dạng song tuyến tính). Ma trận A D .aij /
trong đó aij D f .ui ; uj / được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f
trong cơ sở U; ký hiệu A D Œf U :
Khi đó dạng song tuyến tính f được viết lại dưới dạng ma trận
f .x; y/ D .ŒxU /T 
A 
 ŒyU (5.1)
Ví dụ 5.2. Xét dạng song tuyến tính f W R2  R2 ! R có biểu thức
f .x; y/ D x1y1  x2y1 C 4x1y2
với x D .x1; x2/ và y D .y1; y2/: Tìm ma trận của f trong cơ sở:
a. U D fu1 D .2I 1/; u2 D .1; 1/g :
b. Chính tắc.
Trang 70 Chương 5. Dạng toàn phương
Ví dụ 5.3. Xét dạng song tuyến tính f W R3  R3 ! R có ma trận của f
trong cơ sở chính tắc là A D
0
@1 2 34 5 6
7 8 9
1
A : Tìm biểu thức của f:
Chú ý. Khi cơ sở không được chỉ rõ thì ta ngầm hiểu đó là cơ sở chính
tắc của Rn:
Định nghĩa 5.3 (Dạng song tuyến tính đối xứng). Dạng song tuyến tính
f trên Rn được gọi là đối xứng nếu f .x; y/ D f .y; x/ với mọi x; y 2 Rn:
Định nghĩa 5.4 (Dạng song tuyến tính phản đối xứng). Dạng song
tuyến tính f trên Rn được gọi là đối xứng nếu f .x; y/ D f .y; x/ với
mọi x; y 2 Rn:
Ví dụ 5.4. Dạng song tuyến tính
f .x; y/ D 2x1y1C 3x1y2 C 3x2y1  x2y2
5.2 Dạng toàn phương Trang 71
là đối xứng vì
5.2 Dạng toàn phương
Định nghĩa 5.5 (Dạng toàn phương). Cho f là dạng song tuyến tính
đối xứng trên Rn: Ánh xạ
q W Rn ! R
x 7! q.x/ D f .x; x/
được gọi là dạng toàn phương q trên Rn ứng với f:
Nếu A D Œf U thì A D ŒqU và
q.x/ D .ŒxU /T 
AŒxU
Ví dụ 5.5. Cho dạng song tuyến tính đối xứng
f .x; y/ D x1y1 C 3x1y2 C 3x2y1  x2y2:
Xác định dạng toàn phương q tương ứng.
Ví dụ 5.6. Tìm dạng toàn phương q.x/: Biết ŒqE D

1 2
2 1

Trang 72 Chương 5. Dạng toàn phương
Ví dụ 5.7. Tìm ma trận của dạng toàn phương q W R3 ! R được cho
q.x/ D 2x21 C 3x22  x23  4x1x2 C 6x2x3
5.3 Dạng toàn phương chính tắc
Định nghĩa 5.6. Trong Rn; dạng toàn phương
q.x/ D .ŒxU /T 
 ŒqU ŒxU
D a11x21 C a22x22 C 
 
 
 C annx2n
được gọi là dạng toàn phương chính tắc hay gọi tắt là dạng chính tắc.
Nếu có ai i D 0; thì dạng chính tắc được gọi là suy biến.
Ví dụ 5.8. Trong R2; cho dạng chính tắc q có ma trận Œq D

2 0
0 1

:
Tìm biểu thức của q.x/:
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Trang 73
Ví dụ 5.9. Trong R3; cho dạng chính tắc q.x/ D x21 C 2x23 : Tìm ŒqE‹
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
5.4.1 Phương pháp chung
Trong Rn, dạng toàn phương q.x/ có ŒqE D A: Xét một cơ sở U của Rn:
Gọi P D PE!U ; thực hiện đổi biến Œx D P Œy ta được
q.x/ D ŒxTAŒx suy ra q.y/ D ŒyT .P TAP/Œy
Nếu P TAP có dạng chéo thì ta nói dạng toàn phương q.x/ được đưa về
dạng chính tắc q.y/:
5.4.2 Chéo hóa trực giao
Định nghĩa 5.7 (Ma trận trực giao). Ma trận P được gọi là trực giao
nếu PT D P1:
Tính chất 5.8.
i. P D .aij / là ma trận trực giao thì
nP
iD1
a2ij D 1:
ii. Nếu W là cơ sở trực chuẩn thì PE!W là ma trận trực giao.
Trang 74 Chương 5. Dạng toàn phương
Thuật toán chéo hóa trực giao
Bước 1 Tìm trị riêng i của Avà các vector riêng cơ sở ui của không
gian riêng ứng với trị riêng i :
Bước 2 Trực chuẩn hóa Gram - Schmidt fui ; : : : ; ung thành cơ sở trực
chuẩn W D fwi ; : : : ; wng
Bước 3 Ma trận P D PE!W là ma trận trực giao.
Bước 4 Đổi biến Œx D PŒy ta được dạng chính tắc.
Ví dụ 5.10. Đưa dạng toàn phương q.x/ D 3x22 C 4x1x2 trong R2 về
dạng chính tắc bằng thuật toán chéo hóa trực giao.
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Trang 75
Ví dụ 5.11. Đưa dạng toàn phương
q.x/ D 3x21 C 6x22 C 3x23  4x1x2 C 8x1x3 C 4x2x3
trong R3 về dạng chính tắc bằng thuật toán chéo hóa trực giao.
Trang 76 Chương 5. Dạng toàn phương
5.4.3 Thuật toán biến đổi ma trận đối xứng
Trong Rn, giả sử dạng toàn phương q.x/ có Œq D A:
Bước 1 Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến đổi
.AjIn/!

A
0jPT

5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Trang 77
trong đó A0 là ma trận đường chéo, các phần tử trên đường chéo là
i :
Ví dụ 5.12. Đưa dạng toàn phương
q.x/ D 3x21 C 6x22 C 3x23  4x1x2 C 8x1x3 C 4x2x3
trong R3 về dạng chính tắc bằng thuật toán chéo hóa trực giao.
Trang 78 Tài liệu tham khảo
Tài liệu tham khảo
[1] Bùi Xuân Hải. (2001). Đại số tuyến tính. NXB ĐHQG TP. HCM
[2] Đoàn Vương Nguyên. (2012). Đại số tuyến tính. NXB ĐHCN
TP.HCM.
[3] Serge Lang. (1970). Linear algebra, 2nd edition. Addison - Wesley.