Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

10/11/2019
1
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5
10/10/2019 1
KHÁI NIỆM
Một ánh xạ 
được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn: 
: n mf R R 
( ) ( ) ( ), ,
( ) ( ), ,
n
n
f x y f x f y x y R
f x f x x R R  
  
   
10/10/2019 2
VÍ DỤ
10/10/2019 3
VÍ DỤ 1
Kiểm tra điều kiện đầu tiên.
Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự
Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính
10/10/2019 4
VÍ DỤ 2
Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay 
không?
2 2
2 2
) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 )
) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 5)
a f R R f x y x y x y
b f R R f x y x y x y
10/10/2019 5
MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
: n mf R R 
 , 1 2 ... nA f f f     
10/10/2019 6
10/11/2019
2
XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F
  ,f x A x   
10/10/2019 7
VÍ DỤ 3
3 2
1 2 3 1 2 3 1 3: , ( , , ) ( 2 3 ,2 )f R R f x x x x x x x x 
 
 
(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)
(1,1);(1,2)
E
F
10/10/2019 8
GIẢI
Ma trận cần tìm:
10/10/2019 9
VÍ DỤ 4
3 3
1 2 3 1 3 1 2 2 3: , ( , , ) ( , , )f R R f x x x x x x x x x 
 
 
1 2 3
1 2 3
( ) (1,1,1); ( 1,1,2); (1,2,3)
( ) (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)
   
10/10/2019 10
VÍ DỤ 5
1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( , , , ) ( , ,
, , )
n n n n n
m m mn n
f x x x a x a x a x a x a x a x
a x a x a x
 : ,n mf R R 
10/10/2019 11
VÍ DỤ 6
Cho ánh xạ tuyến tính:
Biết ma trận của f trong cặp cơ sở:
Là:
A) Tìm f(3,1,5)
B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3)
3 2:f R R 
  1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 1,1 , 2,1E F 
,
2 1 3
0 3 4
E FA
10/10/2019 12
10/11/2019
3
VÍ DỤ 6
10/10/2019 13
VÍ DỤ 6
Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E)
10/10/2019 14
VÍ DỤ 6
10/10/2019 15
VÍ DỤ 7
Cho ánh xạ tuyến tính:
A) Tìm f(2,1,5)
B) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở:
C) Tính f(2,1,5) theo công thức và so sánh với a)
3 3:f R R 
 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,2 ,3 4f x f x x x x x x x x x x x x 
 1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2E 
10/10/2019 16
GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
. .A x x 
10/10/2019 17
VÍ DỤ 8
10/10/2019 18
10/11/2019
4
VÍ DỤ 9
10/10/2019 19
GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG
10/10/2019 20
ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG
11 12 1
21 22 2
1 2
( )
n
n
A
n n nn
a a a
a a a
P
a a a




( ) 0AP  
10/10/2019 21
TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG
10/10/2019 22
KHÔNG GIAN CON RIÊNG
10/10/2019 23
BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG
10/10/2019 24
10/11/2019
5
VÍ DỤ 10
Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận
3 1 1
2 4 2
1 1 3
A
10/10/2019 25
VÍ DỤ 10
10/10/2019 26
VÍ DỤ 11
Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận
2 1 0
0 1 1
0 2 4
A
10/10/2019 27
ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG
Định lý. Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác 
nhau thì độc lập tuyến tính.
10/10/2019 28
CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VUÔNG
1T AT D 
10/10/2019 29
CHÉO HÓA MA TRẬN
- Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A. 
- Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n ma 
trận A không chéo hóa được
- Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo 
hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T 
là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính.
Định lý. Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ
khi bội hình học của mọi giá trị riêng luôn bằng bội đại số
của chúng.
10/10/2019 30
10/11/2019
6
VÍ DỤ 12
Ma trận nào sau đây chéo hóa được?
5 4 6 3 1 1
4 5 6 7 5 1
4 4 5 6 6 2
A B
10/10/2019 31
VÍ DỤ 13
Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.
1 3 3
3 5 3
3 3 1
A
10/10/2019 32
VÍ DỤ 13
10/10/2019 33
VÍ DỤ 13
10/10/2019 34
VÍ DỤ 14
Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.
2 4 3
4 6 3
3 3 1
A
10/10/2019 35
VÍ DỤ 15
A) Hãy chéo hóa ma trận A nếu được:
B) Tính A100
Giải.
5 0 0 0
0 5 0 0
1 4 3 0
1 2 0 3
A
10/10/2019 36
10/11/2019
7
VÍ DỤ 15
10/10/2019 37
VÍ DỤ 15
B) Ta có:
Sinh viên tự tính kết quả sau cùng.
10/10/2019 38
VÍ DỤ 16
10/10/2019 39
MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO
10/10/2019 40
MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO
10/10/2019 41
ĐỊNH LÝ
Chú ý.
- Ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được.
- Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực
giao P.
- Ma trận chéo hóa trực giao được thì đối xứng. 
10/10/2019 42
10/11/2019
8
CÁC BƯỚC CHÉO HÓA TRỰC GIAO
Chú ý. Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên 
không cần kiểm tra.
Để tìm cơ sở trực chuẩn ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng 
quá trình Gram-Schmidt.
10/10/2019 43
VÍ DỤ
10/10/2019 44
VÍ DỤ
10/10/2019 45 10/10/2019 46
10/10/2019 47
DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Định nghĩa. Dạng toàn phương trong không gian Rn là 
một hàm số thực: 
Được xác định bởi:
Với A là ma trận đối xứng (thực) và được gọi là ma trận 
của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)
1
2
,
...
T n
n
x
x
f x x Ax x
x
: nf
10/10/2019 48
10/11/2019
9
VÍ DỤ
Cho:
Ta có dạng toàn phương trong R2
Nhận xét các phần tử của A và các hệ số của dạng toàn 
phương.
1
2
2 3
3 4
x
x A
x
1 1
1 2 1 2 1 21 2
2 22 2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2
2 3
2 3 3 4
3 4
2 3 3 4 2 6 4
T
T
x x
x Ax x x x x x x
x x
x Ax x x x x x x x x x x
10/10/2019 49
DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R3
Thường được ghi dưới dạng sau:
Ma tận dạng toàn phương:
Dễ thấy:
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1, , 2 2 2f x f x x x Ax Bx Cx Dx x Ex x Fx x
A D F
M D B E
F E C
1
1 2 3 2
3
T
xA D F
f x x x x D B E x x Mx
F E C x
10/10/2019 50
VÍ DỤ
Cho dạng toàn phương trong R3
Tìm ma trận A của q(x).
Đáp án
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3( ) 2 3 4 6 .q x x x x x x x x x x 
1
2 3
2
1
3 2 .
2
3 2 1
A
10/10/2019 51
DẠNG CHÍNH TẮC
10/10/2019 52
DẠNG CHÍNH TẮC
Trong dạng chính tắc, các số hạng có dạng bình phương.
Ma trận A của dạng toàn phương ban đầu là ma trận xét trong cơ sở chính
tắc.
Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương nhưng xét trong cơ sở
khác (cơ sở trực giao)
10/10/2019 53
ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bằng phép biến đổi trực giao.
10/10/2019 54
10/11/2019
10
VÍ DỤ.
10/10/2019 55
VÍ DỤ
Ma trận của dạng toàn phương:
Chéo hóa bằng ma trận trực giao:
10/10/2019 56
VÍ DỤ
Dạng chính tắc cần tìm:
Phép biến đổi cần tìm:
 2 2 21 2 3 1 2 3, , 7 7 2f y y y y y y 
1 1
2 2
3 3
x y
x Py x P y
x y
10/10/2019 57
ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Phép biến đổi Lagrange
- Sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng
toàn phương về dạng chính tắc
- Dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp, 
không cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.
- Cơ sở không phải là trực chuẩn nên sẽ khó khăn.
Chú ý. Phép biến đổi x=Py gọi là không suy biến nếu ma 
trận P không suy biến.
10/10/2019 58
PP LAGRANGE
, ,
i i j
k k
j i jx y y x y y
x x k i j 
10/10/2019 59
VÍ DỤ
10/10/2019 60
10/11/2019
11
VÍ DỤ
Bước 3. Lập thành dạng tổng bình phương ở nhóm 1
Ta có:
Bước 4. Lặp lại cho dạng toàn phương sau: 
10/10/2019 61
VÍ DỤ
Một cách tương tự:
+ Chọn số hạng:
+ Tạo 2 nhóm:
+ Lập dạng tổng bình phương:
2
2
14
3
x
10/10/2019 62
VÍ DỤ
Ta có dạng:
Phép biến đổi cần tìm:
Dạng chính tắc cần tìm:
10/10/2019 63
VÍ DỤ
Dạng toàn phương này không có số hạng bình phương.
Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2):
10/10/2019 64
VÍ DỤ
Ta có:
10/10/2019 65
DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG
 0, 0f x x  
 0, 0f x x  
 1 10, : 0f x x x f x   
 1 10, : 0f x x x f x   
 1 2 1 1, : 0, 0x x f x f x 
10/10/2019 66
10/11/2019
12
DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG
10/10/2019 67
LUẬT QUÁN TÍNH
10/10/2019 68
ĐỊNH THỨC CON CHÍNH
Ký hiệu các định thức con chính:
10/10/2019 69
TIÊU CHUẨN SYLVESTER.
10/10/2019 70
VÍ DỤ
10/10/2019 71
VÍ DỤ
10/10/2019 72
10/11/2019
13
ỨNG DỤNG TRONG ĐƯỜNG BẬC 2
10/10/2019 73
VÍ DỤ
10/10/2019 74
VÍ DỤ
10/10/2019 75
KIỂM TRA 45PH
Hãy chéo hóa các ma trận sau đây (nếu được)
3 4 2 1 3 3
1 7 7 3 5 3
1 4 4 1 1 1
A B
10/10/2019 76