Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 3: Không gian vecto
KHÔNG GIAN P2[X]
Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức.
Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một
số
Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai
đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau)
V2 là không gian vec tơ. Ký hiệu: P2[x]
Tương tự ta có không gian Pn[x]
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 3: Không gian vecto", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 3: Không gian vecto
![Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 3: Không gian vecto Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 3: Không gian vecto](https://s1.tailieubachkhoa.net/rl6k7x3q9zfh00j8/thumb/2021/11/25/bai-giang-toan-cao-cap-2-chuong-3-khong-gian-vecto_egmJZct4Vu.jpg)
10/11/2019 1 KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 3 10/10/2019 1 NỘI DUNG o Subspaces of Rn o Spanning sets o Independence o Bases of vector spaces o Dimensions o Column space and row space of a matrix 10/10/2019 2 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ 10/10/2019 3 TÍNH CHẤT 1 .0 0x x 10/10/2019 4 KHÔNG GIAN R3 Phép cộng hai vec tơ: Phép nhân vec tơ với một số: Sự bằng nhau của hai vec tơ: V1 là không gian vec tơ. Ký hiệu: R3 Tương tự ta có không gian Rn 1 1 2 3 1 2 3 , , | , ,V x x x x x x R 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , , , , ,x y x x x y y y x y x y x y 1 2 3 1 2 3 . , , , ,x x x x x x x 1 1 2 2 3 3 x y x y x y x y 10/10/2019 5 VECTOR N CHIỀU (x1, x2) // vector in R 2 (x1, x2, x3) // vector in R 3 (x1, x2, x3, x4) // vector in R 4 (x1, x2, , xn) // vector in R n A vector (x1, x2, , xn) in R n is also called a point in Rn. (0, 0, , 0): the zero vector in Rn 10/10/2019 6 10/11/2019 2 PHÉP CỘNG VÀ NHÂN VÔ HƯỚNG TRONG RN u = u1, u2, , un) v = (v1, v2, , vn) Vector addition: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, , un + vn) Scalar multiplication: cv = (cv1, cv2, , cvn) 10/10/2019 7 EXAMPLES Given two vectors u = (2, -1, 1, 2), v = (3, 1, 2, -1) Find u + v u + v = (5, 0, 3, 1) Find ½u ½u = (1, - ½, ½,1) Find -3v -3v = (-9, -3, -6, 3) And find 3u - 2v 3u + 2v = (0, -5, -1, 8) 10/10/2019 8 KHÔNG GIAN P2[X] Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức. Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một số Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau) V2 là không gian vec tơ. Ký hiệu: P2[x] Tương tự ta có không gian Pn[x] 2 2 ax bx c | , ,V a b c R 10/10/2019 9 KHÔNG GIAN M2[R] Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận. Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân ma trận với một số Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai ma trận bằng nhau. V3 là không gian vec tơ. Ký hiệu: M2[R] Tương tự ta có không gian Mn[R] 3 : , , , a b V a b c d R c d 10/10/2019 10 KGVT CON Không gian vecto con Không gian sinh bởi một họ vecto Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính) Độc lập tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính 10/10/2019 11 KHÔNG GIAN VECTO CON CỦA RN A nonempty subset V is called a subspace of Rn if: 0 = 0, 0, , 0 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 for all 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢, 𝑣. v 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 for any 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, and any number k Example. V = {(a, a, 0) | a R} (0, 0, 0) is in V If (a, a, 0) and (b, b, 0) are in V then (a + b, a + b, 0) is in V If v=(a, a, 0) is in V then cv = (ca, ca, 0) is in V V is a subspace of R3. 10/10/2019 12 10/11/2019 3 SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF RN: 0 = 0, 0, , 0 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉 𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 U= V= W= 10/10/2019 13 SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF RN: V = {(a, b, c) | a = b or a = -b} V = {(a, b, c) | a = 0 or b = 0} 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (1,0,0) 𝑢 = 1,1,0 , 𝑣 = (1,−1,0) // in V but u + v is not in V 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = 1,0,0 // in V 𝑢+ 𝑣 = (1, 1, 1) // not in V 0 = 0, 0, , 0 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉 𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 10/10/2019 14 SUBSPACE OR NOT? Key = a 10/10/2019 15 VÍ DỤ_BIỂU THỊ TUYẾN TÍNH Cho các vecto u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 3), w = (1, -3, 1). Hãy viết vecto w dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vecto u và v (nếu được) Điều này có nghĩa là tìm các hệ số a, b sao cho: w = au + bv (1, -3, 1) = a(1, -1, 2) + b(2, 1, 3) = (a + b, -a + b, 2a + 3b) w u v a + b =1 -a + b = -3 2a + 3b = 1 a = 2, b = -1 w = 2u - v 10/10/2019 16 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH (LINEAR COMBINATION) 10/10/2019 17 LINEAR COMBINATION Given u = (1, -1, 2), v = (-2, 0, 3) and w = (-3, 2, 1) Write x = (1, 0, 2) as a linear combination of u, v, and w. We find numbers a, b, c such that: x = au + bv + cw (1, 0, 2) = a(1, -1, 2) + b(-2, 0, 3) + c(3, 2, 1) (1, 0, 2) = (a -2b + 3c, -a + 2c, 2a + 3b + c) 1a -2b + 3c = 1 -1a + 0b + 2c = 0 2a + 3b + 1c = 2 a = 2, b = -1, c = 1 x = 2u –v + w 10/10/2019 18 10/11/2019 4 VÍ DỤ 1 2 3(1,3, 2); (0,1, 1); (2,0, ( 2,1 ) , 1) 3 10/10/2019 19 SPANNING SETS V = span{𝑢, 𝑣} = {a𝑢 + 𝑏𝑣| a, b in R} V = span{𝑢, 𝑣, 𝑤} = {a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤| a, b, c in R}. We also say {u, v, w} spans V a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤 is called a linear combination of 𝑢, 𝑣, and 𝑤. V u v 10/10/2019 20 SPANNING SETS - EXAMPLES Given V = span{(-1, 2, 1), (3, -5, -1)} a. (-1, 1, 1) V? b. Find m such that (-2, 1, m) V. Solution. a. (-1, 1, 1) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) (-1, 1, 1) = (-a + 3b, 2a – 5b, a –b) b. (-2, 1, m) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) -a + 3b = -1 2a – 5b = 1 a – b = 1 -a + 3b = -2 2a – 5b = 1 a – b = m 10/10/2019 21 KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ Cho tập hợp các vec tơ: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính các vec tơ của M tạo thành một không gian vec tơ. Span(M) là không gian vecto con, sinh bởi một họ vec tơ 1 2 , ,..., n M v v v 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n span M v v v span v v v 10/10/2019 22 1 −1 2 2 −1 5 −3 5 −4 −1 −2 𝑚 VÍ DỤ Find m such that (-1, -2, m) lies in the subspace spanned by the vectors (1, 2, -3), (-1, -1, 5) and (2, 5, -4). Solution. We want the system below has solution a, b, c: (-1, -2, m) = a(1, 2, -3) + b(-1, -1, 5) + c(2, 5, -4) (-1, -2, m) = (a -2b + 2c, 2a –b +5c, -3a + 5b -4c) a – b + 2c = -1 2a – b + 5c = -2 -3a + 5b – 4c = m 1 −1 2 0 1 1 0 2 2 −1 0 𝑚 − 3 1 −1 2 0 1 1 0 0 0 −1 0 𝑚 − 3 m = 3 10/10/2019 23 BÀI TẬP 1. Find the values of t for which (2, -1, t) lies in the subspace spanned by the vectors (-1, 1, 0) and (2, -3, - 1). 2. For what values of x does the vector (1, 1, x) is a linear combination of the vectors (1, 0, -3) and (-2, 1, 5)? 3. Find the values of m such that (4, -2, -1, m) lies in the subspace spanned by the vectors (1, 0, -1, 1), (1, 0, 0, 1), and (2, -1, 1, 0). 10/10/2019 24 10/11/2019 5 SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. Key = d, e, b Let X = (-1, -3, 3) and U = span{Y = (1, 0, 3), Z = (1, 1, 1)}. If X is in U, write X =aY + bZ, then find the sum a+b. a) X is not in U b) a+b = -1 c) a+b = 4 d) a+b = 0 e) None of these 10/10/2019 25 SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. Key = e, c, a 10/10/2019 26 SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. Suppose V = span{(1, -1, 0), (2, -1, 1), (-1, 0, 1)}. Find all values of t such that (1, 2, t) V. a) t is arbitrary b) t = 3/2 c) t = 3 d) t = -1 10/10/2019 27 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH Một tập hợp các vecto {v1, v2, , vn} được gọi là độc lập tuyến tính (linearly independent) nếu hệ phương trình: t1𝑣1+ t2𝑣2+ ... + tn𝑣𝑛= 0 Chỉ có nghiệm tầm thường: t1 = t2 = = tn = 0 10/10/2019 28 Độc lập tuyến tính số phần tử cơ sở = Số vecto 10/10/2019 29 DO YOURSELF 10/10/2019 30 10/11/2019 6 VÍ DỤ Các hệ vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 1 2 3 1 2 a) (1,2,3); (2,1,0); (0,1, 2) b) (2,4); ( 1, 2) 10/10/2019 31 VÍ DỤ Trong không gian R3 cho hệ vec tơ: 1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính được qua hệ M không? 1,1,1 ; 2,1,3 ; 1,2,0M 10/10/2019 32 TỔNG HỢP 10/10/2019 33 XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 10/10/2019 34 XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 10/10/2019 35 XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN Trong Rn cho hệ vec tơ • Hệ M độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A=m (số véc tơ của hệ) • Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi rank A<m. 1 2, , , mM 1 11 12 1 11 12 1 2 21 22 2 21 22 2 1 21 2 ( , , , ) ( , , , ) .............................. ( , , , ) n n n n m m mnm m m mn a a a a a a a a a a a a A a a aa a a 10/10/2019 36 10/11/2019 7 VÍ DỤ Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau đây trong không gian đã chỉ ra 3 1 2 3 4 1 2 3 a) (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1 trong R b) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (2,3,1,0) trong R 10/10/2019 37 CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT Tập sinh Cơ sở Số chiều 10/10/2019 38 TẬP SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTO 10/10/2019 39 VÍ DỤ 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1,1,1 1,2,1 2, 3,1 2 2 3 x x x x Hệ này có nghiệm với mọi x nên mọi vec tơ x của không gian R3 đều là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M 10/10/2019 40 VÍ DỤ 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 1,1, 1 2, 3,1 3, 4, 0 2 3 3 4 x x x x Hệ này có thể vô nghiệm nên vẫn có vec tơ x của không gian R3 không là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M 10/10/2019 41 CƠ SỞ - SỐ CHIỀU Hệ vec tơ M gọi là cơ sở của không gian vec tơ V nếu nó độc lập tuyến tính và mọi vec tơ của không gian V đều biểu thị tuyến tính được qua M. 10/10/2019 42 10/11/2019 8 ĐỊNH LÝ Giả sử V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó: 1) Tồn tại vô số cơ sở của không gian vec tơ V 2) Số lượng vec tơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau. Định lý. Trong không gian Rn, một tập hợp gồm đúng n vecto là cơ sở của Rn khi và chỉ khi các vecto này độc lập tuyến tính. 10/10/2019 43 Choose a set of 3 vectors And this set must be linearly independent VÍ DỤ 10/10/2019 44 SỐ CHIỀU CỦA KGVT Số chiều = số lượng vecto trong cơ sở dim(Rn) = n If U V then dim(U) dim(V) dim(subspace) 3 = dim(R3) Dimension is not 4 or more than 4 Dim( ) = 2 = number of leading ones 1 2 -1 1 -3 2 -2 2 0 1 -1 0 1 0 0 1 -3 2 -4 8 -4 2 -4 2 1 0 0 1 -3 2 1 -2 1 0 0 0 10/10/2019 45 VÍ DỤ 10/10/2019 46 CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn Trong Rn ta dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở. Đặt: ta gọi đây là cơ sở chính tắc của Rn 1, 0,..., 0 ; 0,1, 0,..., 0 ;...; 0, 0..., 0,1 nE R 1 2 (1,0, ,0) (0,1, ,0) .................. (0, 0,1)n e e e dim nR n 10/10/2019 47 TÍNH CHẤT Cho không gian vec tơ V có số chiều là n, dimV=n 10/10/2019 48 10/11/2019 9 VÍ DỤ A) Kiểm tra tập hợp sau có là cơ sở của R3 B) Kiểm tra tập hợp sau có là tập sinh của R3 1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, 0M 1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, 0 ; 1, 2,1M 10/10/2019 49 HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ Cho hệ vec tơ: Một tập hợp con các vecto của M được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu: + Hệ độc lập tuyến tính + Nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ M vào hệ con đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến tính 1 2 , ,..., n M x x x 10/10/2019 50 HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ + Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau + Số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Hạng của hệ vec tơ M là số tối đại các vec tơ độc lập tuyến tính của M. Ký hiệu là rank(M) 10/10/2019 51 TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI, HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn Trong Rn cho hệ gồm m vec tơ sau: Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại: 1) Lập ma trận A có các hàng là các vec tơ xi 2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về dạng ma trận bậc thang A’. 3) Khi đó hạng của hệ M chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của M gồm các véc tơ ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A’. 1 2 , ,..., n M x x x 10/10/2019 52 VÍ DỤ Trong R4 cho hệ vec tơ sau: Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó 1 2 3 4 5 (1,1,2,2),(2,3,6,6),(3,4,8,8),(5,7,14,14),(8,11,22,22) , , , , M M x x x x x 10/10/2019 53 VÍ DỤ Trong R4 cho các hệ vec tơ sau: Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó 1 2 3) (1, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (0,1, 1,2) ) 1,1,1,0 ; 1,2,1,1 ; 2,3,2,1 ; 1,3,1,2 a M b N 10/10/2019 54 10/11/2019 10 TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ 1) Hạng của họ vec tơ M không đổi nếu ta nhân một vec tơ của M với một số khác không. 2) Cộng vào một vec tơ của họ M một vec tơ khác đã được nhân với một số thì hạng không đổi 3) Thêm vào họ M một vec tơ x là tổ hợp tuyến tính của M thì hạng không thay đổi. Chú ý. Nếu rank(M)= k0 thì: + Tồn tại k0 vec tơ độc lập tuyến tính của M + Mọi tập hợp chứa nhiều hơn k0 vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. 10/10/2019 55 HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT Cho ma trận A: Họ vec tơ hàng của A: Họ vec tơ cột của A: 1 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 1 1 3 1 2 A 1,1,1, 0 ; 1,2,1,1 ; 2, 3,2,1 ; 1, 3,1,2M 1 1 1 0 1 2 1 1 ; ; ; 2 3 2 1 1 3 1 2 N 10/10/2019 56 ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG Định lý. Cho A là ma trận cỡ m x n Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ hàng A. Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ cột của A. rank A rank colA rank rowA 10/10/2019 57 VÍ DỤ Tìm hạng của hệ vec tơ sau: Giải. M là họ vec tơ hàng của ma trận A nên hạng của M bằng với hạng của ma trận A. 1,1,1, 0 ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0,2M 1 1 1 0 1 1 1 1 2 3 1 1 3 4 0 2 A 10/10/2019 58 VÍ DỤ Tìm tất cả các số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc tuyến tính 1,1, 0 ; 1,2,1 ; , 0,1M m 10/10/2019 59 KGVT HÀNG – CỘT VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN A is a mxn matrix rank(A) m, rank(A) n Row space Column space Row space of a matrix Row(A) = span{row1, row2, , rowm} (rows = vectors) Column space of a matrix Col(A) = span{col1, col2, , coln} dim(row(A)) = dim(col(A)) = rank(A) 10/10/2019 60 10/11/2019 11 VÍ DỤ 10/10/2019 61 Dim(col(A)) = rank(A) 10/10/2019 62 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ thuần nhất Đặt: Là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 . 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x A X a x a x a x 1 2, ,..., R : . 0nnL x x x x A X 10/10/2019 63 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Định lý. L là không gian vec tơ con của Rn và: Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. dimL n r A Cơ sở: hệ nghiệm cơ sở của hệ 10/10/2019 64 VÍ DỤ Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình thuần nhất. 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 0 ) 2 4 3 =0 2 +5x =0 2 3 4 0 ) 2 4 2 7 5 0 2 4 2 4 2 0 x x x x a x x x x x x x x x x x b x x x x x x x x x x 10/10/2019 65 KHÔNG GIAN NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT dim(solution space) = n – r // n: số biến trong hệ, r : hạng của ma trận hệ số 10/10/2019 66 10/11/2019 12 Dim(G) = n – r = 3 – 1 = 2 a basis for G contains 2 vectors c, e, b impossible In other hand, (1, 0, 0) is not in G can not be d, f a VÍ DỤ 10/10/2019 67 Null space of a matrix A: Null(A) = {X :AX = 0} (solution space of a homogeneous system) dim(null(A)) = n – r Image space: Im(A) = {all image AX: X in Rn} Im(A) = col(A) dim(im(A)) = dim(col(A)) = rank(A) NULL SPACE AND IMAGE SPACE OF A MATRIX 10/10/2019 68 VÍ DỤ 10/10/2019 69 TỌA ĐỘ CỦA VECTO Tọa độ Đổi tọa độ Ma trận chuyển cơ sở Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 10/10/2019 70 TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ 10/10/2019 71 VÍ DỤ 10/10/2019 72 10/11/2019 13 TÍNH CHẤT 10/10/2019 73 Ý NGHĨA 10/10/2019 74 VÍ DỤ 10/10/2019 75 ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT 10/10/2019 76 ĐỊNH LÝ & VÍ DỤ 10/10/2019 77 VÍ DỤ Trong kgvt R3 cho 2 cơ sở: A) Viết ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2 B) Tìm tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2. Ghi chú. Cơ sở B1 gọi là cơ sở chính tắc của R3 1 1 2 3 2 1 2 3 1, 0, 0 ; 0,1, 0 ; 0, 0,1 2, 1, 3 ; 1, 0,1 ; 0, 1,2 B e e e B u u u 10/10/2019 78 10/11/2019 14 GIẢI A) Ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2: B) Tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2 là: 1 2 2 1 0 1 0 1 3 1 2 B B T 2 1 1 22 1 2 1 1 3 2 1 0 3 1 1 0 1 1 0 3 1 2 0 1 2 1 3 5 1 4 2 1 7 1 1 1 0 4 B B B BB B B x T x T x 10/10/2019 79 DOT PRODUCT 𝑢 = (x1, y1, z1, w1), 𝑣 = (x2, y2, z2, w2) vector vector // dot product: 𝑢 𝑣 = x1x2 + y1y2 + z1z2 + w1w2 = a number 𝑢 𝑣= 0 orthogonal // trực giao Length of a vector: 𝑣 = 𝑣 𝑣 = x12 + y12 + z12 + w12 Distance between 𝑢, 𝑣: Dist(𝑢, 𝑣) = 𝑢 − 𝑣 10/10/2019 80 PROPERTIES 10/10/2019 81 KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’ 1) Cho các ma trận: A) Tìm điều kiện để ma trận A khả nghịch. B) Giải phương trình sau biết detA=-1. 3 4 6 1 2 0 1 1 0 1 3 4 3 7 A B 3XA B 10/10/2019 82 GIẢI BÀI 1 det 12 4 0 6 9 0 3 2 3 det 0 2 A A 1 3.3 3.2 det 1 3 2 1 2 3 4 6 0 1 1 2 3 4 1 2 0 1 3 1 2 2 2 0 3 2 1 3 7 . 3 A A A B X A B vo nghiem 10/10/2019 83 BÀI 2 Tính các định thức: 2 8 6 8 2 8 6 8 2 1 0 0 3 9 5 10 0 9 6 8 0 9 6 8 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 1 4 0 6 1 4 0 6 1 4 0 6 0 1 0 0 18 6 8 6 6 4 2 6 4 18 9 6 8 3 1 2 6 1 1 1 6 0 1 1 36 3 0 1 2 9 0 6 3 0 3 0 0 3 9 4 0 6 A A 10/10/2019 84 10/11/2019 15 BÀI 2 Tính các định thức: 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 3 3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 x x x x x x B x x x x x x x x x x A x x x x x 10/10/2019 85 BÀI 3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 4 3 2 3 x x mx m mx x m x x x x m 10/10/2019 86 GIẢI 2 2 1 3 2 2 2 3 1 1 2 2 2 6 1 1 3 1 4 2 2 2 2 4 6 2 3 1 3 1 4 2 2 2 4 8 6 1 2 3 3 1 1 2 4 6 1 1 2 3 m D m m m m m m D m m m m m m D m m m m m m m D m m m m 10/10/2019 87 GIẢI 2 1 1 2 3 1 1 2 2 2 6 0 2 3 1 1 3 2 0, 0 3 0, 0 m D m m m m m m m D D m D D D D 10/10/2019 88 BÀI 4 Cho các vec tơ sau: v1 = (2,3,1,2), v2 = (1,2,3,−1), v3 = (7,12,11,1), v4 = (4,m,−3,n). A) Hệ vec tơ { v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? B) Tìm m,n để v4 là tổ hợp tuyến tính của { v1, v2, v3 }. 10/10/2019 89 BÀI 4 A) Phụ thuộc tuyến tính B) m=5, n=20 10/10/2019 90 10/11/2019 16 KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’_K57 1) Cho các ma trận: A) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có) B) Giải phương trình sau: 0 1 2 2 4 1 0 3 1 0 4 3 8 3 6 A B .AX B 10/10/2019 91 CÂU 1 1 1 4.5 7 1.5 2 4 1 1.5 2 0.5 4.5 7 1.5 6.5 27 2 4 1 3 14 1. 0 1 2 1 0 3 4 3 8 . . 2 5 2 0 4 1 0 .5 2.5 93 6 A A AX B X A B X 10/10/2019 92 BÀI 2 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B và C. • Với 1$ giá trị của sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu, 0,25$ lương lao động và 0,15$ phụ phí. • Với 1$ giá trị của sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu, 0,30$ lương lao động và 0,15$ phụ phí. A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm và loại chi phí của công ty. B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C thì chi phí cụ thể của từng mục như thế nào? C) Gọi q1, q2, q3, q4 là ma trận cột sản lượng tính theo $ của các sản phâm B và C trong các quý 1,2,3,4. Hãy tính và giải thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4] 10/10/2019 93 BÀI 2 Ma trận chi phí: Product Product cos cos 0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0.15 0.45 0.25 0.15 0.40 0.30 0.15 t product product t Materia Labor phu phi B l C Nguyen lieu Lao dong Phu phi U product B U product C 10/10/2019 94 BÀI 2 Nếu sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C Product Product cos cos cos cos 0.45 0.40 100 0.25 0.30 200 0.15 0.15 0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0. t product product total t product product total t total t total B C Nguyen lieu Lao dong Phu phi U A U A C C 100 20 125 85 45 0 15 Nguyen lieu Lao dong Phu phi 10/10/2019 95 BÀI 2 Ma trận tích thể hiện chi phí từng loại theo từng quý. Product Product cos 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 cos cos 0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0.15 t product B B B B product time C C C C t product product time t time B C Nguyen lieu Lao dong Phu phi U q q q q Q q q q q q q q q U Q C 10/10/2019 96 10/11/2019 17 BÀI 3 Tính các định thức sau: 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 a a A b b c c x y B z t 10/10/2019 97 BÀI 3A 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 12 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 det 1 0 1 0 1 det 1 det h h h h h h a a A b b c c a a a a A b b b a b a c c c a c a b a b a b a A b a c a c ac a c a A b a c a c b 10/10/2019 98 BÀI 3B 3 3 4 1 1 2 4 2 2 4 2 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 0 1 0 det 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 det 1 0 0 1 3 0 1 0 1 1 3 det 4 1 d d d d d d d d d d d d x x t y y t B z z t t t x t x t B y t x y t z t z t x y t B t z x y z t 10/10/2019 99 CÂU 4 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính. 2 1 2 2 2 1 mx y z m x m y z x y m z 10/10/2019 100 CÂU 4 Ta có: 2 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2 1 2 2 11 1 2 1 4 7 3 5 1 4 5 4 1 2 2 2 2 1 m m A m B m D m m m D m m m m m m D m D m m m m 0 1D m 10/10/2019 101 BIỆN LUẬN Nghiệm duy nhất Nếu m=1 thì D=D1=D2=D3=0 Ta có hệ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 0 1 1 3 1 0 0 4 2 A 2 2 2 2 2 24 5 4 , , ; ; 1 4 7 4 7 4 7 mm m x y z khi m m m m m m m 10/10/2019 102 10/11/2019 18 BIỆN LUẬN Ta có hệ tương đương: Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số. 1 1/ 2 4 2 1/ 2 x y z x y z z 1 1 , , 2 2 t t t 10/10/2019 103 CÂU 4 Ta có: 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 2 2 11 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 2 1 2 0 1 2 3 1 2 31 1 2 1 1 2 1 4 7 1 1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 2 2 2 0 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 m m A m B m m m m m m m D m m m m mm m D m m m m D m m m m m D m m m m D m 10/10/2019 104
File đính kèm:
bai_giang_toan_cao_cap_2_chuong_3_khong_gian_vecto.pdf