Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

10/11/2019
1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 2
10/10/2019 1
NỘI DUNG
 Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm
Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss
 Giải và biện luận hệ Cramer
Hệ phương trình thuần nhất
Ứng dụng
10/10/2019 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng tổng quát
aij gọi là các hệ số
bj: hệ số tự do
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...............................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
10/10/2019 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
...................... ... ...
...
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
A X B
10/10/2019 4
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
Ma trận A gọi là ma trận hệ số.
X: ma trận cột các ẩn số
B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do
Nghiệm của phương trình là một bộ số:
Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình trong hệ đều thỏa 
mãn.
A X B
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n n
x x x c c c
10/10/2019 5
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
 Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0 Hệ Crammer
 Nếu hệ số tự do triệt tiêu Hệ thuần nhất
 Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu 
chúng có cùng tập nghiệm.
Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A A B
a a a b
Augmented matrix
10/10/2019 6
10/11/2019
2
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A A B r A r A
a a a b
11 12 1 1
21 22 2 2
0 0 0 0
n
n
a a a b
a a a b
r A r A
b
10/10/2019 7
VÍ DỤ
Các hệ phương trình sau có nghiệm hay không?
2 3 1 2 3 4
1 3 1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1 2 4 2
) 2 ) 2 1
2 2 2 1 7 4 11 5
2 2
2 4 1
)
3 4 0
2 4 1
x x x x x x
a x x b x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x
c
x x x
x x x
10/10/2019 8
VÍ DỤ 2

10/10/2019 9
HỆ CRAMER
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Phương pháp định thức
1. .AX B X A B
Định lý. Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và 
nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đó D=detA và 
Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột 
thứ i bởi cột hệ số tự do.
det
det
i i
i
A D
x
A D
10/10/2019 10
HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC
11 12 1 1 12 1
21 22 2 2 22 2
1
1
2
2
1 2
... ...
... ...
;
...................... ... ......................
... ...
n n
n n
n n nn n n nnn
b
b
b
a a a b a a
a a a b a a
A B A
a a a b a a
1
2
12 1
22 2
1 1
2
...
...
det
....................
...
n
n
n n nn
b
b
b
a a
a a
D A
a a
10/10/2019 11
HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC
Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. Do đó:
Ta có:
1. .AX B X A B
10/10/2019 12
10/11/2019
3
VÍ DỤ 3
Giải hệ phương trình sau:
Giải.
Cách 1. Ta có:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
Nghiệm của hệ (1,1,-2)
10/10/2019 13
VÍ DỤ 3
Cách 2. Ta có:
Ta tính được: 
Vậy nghiệm của hệ là: 
1
3 3 0 5 18 1
1 1
12 18 12 1 18 1
18 18
12 6 6 5 36 2
X A B 
10/10/2019 14
VÍ DỤ 4
Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer. Tìm nghiệm 
của hệ trong trường hợp này.
10/10/2019 15
SỐ NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT
Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn.
Trong trường hợp ii) hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-
r(A) tham số. 
i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát
ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm
iii) Heä pt voâ nghieäm
iv) Heä pt coù nghieäm
r A r A n
r A r A n
r A r A
r A r A
10/10/2019 16
PP KHỬ GAUSS - JORDAN
- Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma 
trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang.
- Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay 
không và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn.
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng?
-
-
-
10/10/2019 17
PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN

bdsc hang
r r
A A B A A B
10/10/2019 18
10/11/2019
4
VÍ DỤ 5

10/10/2019 19
VÍ DỤ 6
Giải và biện luận hệ phương trình:
Giải.
Ma trận hệ số bổ sung:
10/10/2019 20
VÍ DỤ 6
Biện luận.
10/10/2019 21
BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER
Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A là ma 
trận vuông.
Ñaët:
Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát:
Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm.
Neáu thì heä voâ nghieäm 
hoaëc voâ soá nghieäm.
Ta giaûi tieáp
1 1
1
det ; det ; ...; det
) 0
) 0 0
) ... 0
n n
i
i
i
n
D A D A D A
i D
D
x
D
ii D D
ii D D D
 baèng phöông phaùp Gauss.
10/10/2019 22
VÍ DỤ 6
Ta có:
Sinh viên tự làm tiếp
1 1
2 1 3 3
1 1 1 1 1
det 1 1 detA 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
detA 1 1 1 det 1 1
1 1 1 1 1
m
D A m D m
m m
m m
D D A m
m
10/10/2019 23
VÍ DỤ 7
Giải và biện luận hệ phương trình sau
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1 4
) ) 8
2 4
mx x x ax y z
a x mx x m b x by z
x by zx x mx m
10/10/2019 24
10/11/2019
5
HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT
Hệ thuần nhất có dạng:
Hoặc dạng ma trận:
Ma trận mở rộng:
Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A.
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
. 0A X 
 | 0A A r A r A 
10/10/2019 25
TÍNH CHẤT
1. Hệ phương trình thuần nhất luôn luôn có nghiệm.
2. (0,0,,0) luôn là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm
thường.
3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất
cũng là nghiệm. Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ có
nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm.
Q. Khi nào thì hệ có nghiệm tầm thường? Vô số nghiệm?
A.
10/10/2019 26
VÍ DỤ 8
Giải hệ phương trình
Giải.
Xét ma trận hệ số của phương trình.
10/10/2019 27
VÍ DỤ 8
Hệ đã cho tương đương với hệ:
Tập nghiệm của hệ là:
Nghiệm cơ sở (basic solutions):
 8, 6,1,0 ; 7,5,0,1 
10/10/2019 28
BÀI 1
Cho hai ma trận:
Tìm ma trận nghịch đảo của A.
Tìm X biết: X.A=3B
1 2 3 1 2 1
3 2 4 3 1 0
2 1 0 2 1 1
A B
10/10/2019 29
BÀI 2
Giải các phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 4
0
2 2 1
3 2 5
) 2 3 6 1 )
5 4
7
7 3 10
x x x x
x x x
x x x x
a x x x b
x x x
x x x m
x x x x
10/10/2019 30
10/11/2019
6
BÀI 3
Giải các hệ phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 9 6
) 3 5 4 ) 2 3 4 21
4 7 5 7 3 6
2 2 4
4 3 2 6
)
8 5 3 4 12
3 3 11 5 6
x y z x y z
a x y z b x y z
x y z x y z
x x x x
x x x x
c
x x x x
x x x x
10/10/2019 31
BÀI 4
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1
1 1
1 1 1
m
A m
m m
10/10/2019 32
BÀI 5
Cho hệ phương trình tuyến tính.
A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất
B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m
1
( 1) ( 1)
x y mz
x my z a
x m y m z b
10/10/2019 33
BÀI 6
Giải và biện luận theo m
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
) 2 2 2 4
3 3 3
) 2 ( 1) ( 1) 1
1
x x mx m
a m x x m x
x x x m m
mx y z m
b x m y m z m
x y mz
10/10/2019 34
ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ
Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y. Hai đại lý này chỉ 
chuyên bán xe Dream II và xe môtô. Doanh số bán hàng trong 
tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau: 
a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi 
loại xe. 
b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9. 
c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh 
thu. Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận 
được trong tháng 9. 
Tháng 8
Dream II Môtô 
Đại lý X $ 18,000 $ 36,000 
Đại lý Y $ 36,000 $ 0
Tháng 9
Dream II Môtô 
Đại lý X $ 72,000 $ 144,000 
Đại lý Y $ 90,000 $ 108,000
10/10/2019 35
GIẢI
Ta có:
90000 180000
)
126000 108000
54000 108000
)
54000 108000
3600 7200
)5%.
4500 5400
X
a A B
Y
X
b B A
Y
X
c B
Y
10/10/2019 36
10/11/2019
7
ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ
Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau: 
Tiền lương tính theo giờ:
0.6 0.6 0.2
1.0 0.9 0.3
1.5 1.2 0.4
cut assemble package
product A
M product B
product C
Factory Factory
I II
6 7
8 10
3 4
cut
assemble
package
N
10/10/2019 37
VÍ DỤ
 a/ Kích thước của M, N và M*N 
 b/ Tính M*N và giải thích kết quả. 
 Giải.
 A) 
 B) Ta có:
 a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I.
 Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho 
mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy. 
9 11
. 14.1 17.2
19.8 24.1
product A
M N product B
product C
 11
6
0.6 0.6 0.2 8 9$
3
a
10/10/2019 38
BÀI 1
A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
B) Tìm ma trận nghịch đảo:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
3 2
2 3 3
x x x
x ax x
x x ax
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
10/10/2019 39
BÀI 2
A) Giải phương trình:
B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:
23 2 2
1 2 3 4
0
3 2 2 2
9 2 3 18
x x x 
1 1 2
2 1 5
1 10 6 1
m
B m
10/10/2019 40