Bài giảng Toán 2 - Chương 4: Phương trình vi phân - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Bài giảng môn học Toán 2
Nguyễn Anh Thi
2016
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Định nghĩa phương trình vi phân
Định nghĩa
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập
x với hàm cần tìm y và các đạo hàm của nó y′, y”, . . . , y(n).
Như vậy phương trình vi phân là phương trình có dạng
F(x, y, y′, y”, . . . , y(n)) = 0
• Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo
hàm có trong phương trình.
• Nếu thay y bằng hàm số y(x) vào phương trình vi phân, ta
được đồng nhất thức, thì ta nói y = y(x) là nghiệm của
phương trình vi phân đó. Giải phương trình vi phân là tìm
tất cả các nghiệm của nó.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân cấp 1
Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng:
F(x, y, y′) = 0
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y = y(x) của phương
trình vi phân thỏa điều kiện đầu y(x0) = y0
• Hàm số y = ϕ(x,C) gọi là nghiệm tổng quát của phương
trình vi phân trên miền D ⊂ R2 nếu với mọi (x0, y0) ∈ D
tồn tại duy nhất C0 sao cho y = ϕ(x,C0) là nghiệm của
bài toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0.
• Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C một
giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng.
Ví dụ
Giải phương trình vi phân y′ = sin x và tìm nghiệm của bài
toán Cauchy y′ = sin x, y(0) = 1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân dạng tách
biến
Định nghĩa
Phương trình vi phân dạng tách biến là phương trình vi phân
có dạng y′ = f(x)g(y).
Cách giải: Với điều kiện g(y) 6= 0, chia hai vế cho g(y) ta được
dy
g(y) = f(x)dx. Lấy tích phân hai vế.
Ví dụ
Giải các phương trình vi phân:
1. y′ = 5x2.
2. xy′ = y2 + 1.
3. y′ = x2y3.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân tuyến tính
cấp 1
Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân
có dạng y′ + p(x)y = q(x)
Cách giải: Gọi P(x) là một nguyên hàm của p(x). Nhân hai vế
cho eP(x) ta được
eP(x)y′ + eP(x)p(x)y = eP(x)q(x)
(eP(x)y)′ = eP(x)q(x)
eP(x)y =
∫
eP(x)q(x)dx
y = e−P(x)
∫
eP(x)q(x)dx
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân tuyến tính
cấp 1
Ví dụ
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
1. y′ − xy = x.
2. 1x
dy
dx − 2yx2 − x cos x = 0
3. x2y′ + xy = 1, x > 0, y(1) = 2.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân toàn phần
Định nghĩa
Phương trình P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 được gọi là phương
trình vi phân toàn phần nếu có u(x, y) thỏa
du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
Nếu tìm được u(x, y) thì phương trình trở thành du(x, y) = 0,
suy ra u(x, y) = C.
Mệnh đề (Điều kiện đủ để có u(x, y))
Nếu các đạo hàm riêng ∂Q∂x (x, y),
∂P
∂y (x, y) đều liên tục trên
D ⊂ R và ∂Q∂x (x, y) = ∂P∂y (x, y). Thì tồn tại hàm u(x, y) thỏa
du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Cách tìm u(x, y)
Cố định y, tính tích phân theo x 2 vế của ux(x, y) = P(x, y)
u(x, y) =
∫
P(x, y)dx = φ(x, y) + C(y)
Cố định x, lấy đạo hàm theo y
uy(x, y) = φy(x, y) + C′(y).
Cho uy(x, y) = Q(x, y), suy ra C(y) và ta được u(x, y).
Ví dụ
Giải phương trình vi phân
1 (3y2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = 0
2 (x2 + 4y)y′ + 2xy + 1 = 0
3 dydx =
xy2−cos x sin x
y(1−x2) , y(0) = 2
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân đẳng cấp
Định nghĩa
Phương trình vi phân đẳng cấp là phương trình vi phân có
dạng y′ = h( yx ).
Cách giải: Đặt u = yx và đưa về dạng tách biến.
Ví dụ
Giải các phương trình vi phân
1. y′ = y
2+2xy
x2
2.
{
xy′ = y + 3√xy
y(1) = 9
3. xy′ = (3x + 2y)ln 3x+2yx + y
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Giải các phương trình vi phân
1 xdy = (x5ex + 4y)dx
2 (
√
x + y) + (√y + x)dydx = 0
3 x2 dydx = y− xy
4 dydx =
y2+2xy
x2
5 x2y′ = y2 − xy + x2, y(1) = 2
6 y′ = x
2+3y
x , y(2) = 8
7 y′ − yx−1 = x2(x2 − 1)
8 sin(2x)dx + ydyx(y+1) = 0, y(
pi
2 ) = 0
9 xy′ = y
2
y−x , y(1) = e
10 (x2 + 1)y′ + y(y− 1) = 0
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân cấp 2
Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình vi phân có dạng
F(x, y, y′, y′′) = 0 hoặc y′′ = f(x, y, y′).
Ví dụ
Các phương trình sau đây là phương trình vi phân cấp 2:
x3y′′ + 2xy2 + exy + 3x = 0, y′′ = 8exy′ + y.
Định lý
Xét phương trình y′′ = f(x, y, y′). Nếu f liên tục trên miền mở
chứa điểm (x0, y0, y1) thì phương trình đã cho tồn tại nghiệm
y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y′(x0) = y1. Hơn nữa, nếu ∂f∂y và
∂f
∂y′
đều liên tục thì nghiệm nói trên là duy nhất.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân cấp 2 giảm
cấp
Phương trình vi phân cấp 2 y′′ = f(x, y, y′) nếu có các dạng sau
thì có thể giảm cấp.
Trường hợp 1: Nếu vế phải không chứa y, y′, lấy tích phân hai
lần, ta được nghiệm.
Ví dụ
Giải phương trình vi phân y′′ = sin x, y(0) = 0, y′(0) = 1.
Trường hợp 2: Nếu vế phải không chứa y, đặt u = y′ ta được
phương trình vi phân cấp 1.
Ví dụ
Giải phương trình vi phân y′′ = x− y′x .
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Nếu vế phải không chứa x, coi y′ là hàm theo y, nghĩa là đặt
y′ = p(y) thì y′′ = pp′. Giải p theo y.
Ví dụ
Giải phương trình vi phân 2yy′′ + y′2 = 0.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân tuyến tính
cấp 2 thuần nhất
Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng
P(x)d
2y
dx2 + Q(x)
dy
dx + R(x)y = G(x) (1) với P(x) 6= 0.
• Nếu G(x) = 0 thì (1) được gọi là thuần nhất. Như vậy
phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất là
phương trình có dạng P(x)d
2y
dx2 + Q(x)
dy
dx + R(x)y = 0 (2)
• Nếu G(x) 6= 0 thì (1) được gọi là không thuần nhất.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Cấu trúc nghiệm của phương
trình vi phân tuyến tính cấp 2
thuần nhất
Tính chất
Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì với mọi hằng số
c1, c2, ta có y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) cũng là nghiệm của 2.
Định nghĩa
Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu
c1y1(x) + c2y2(x) = 0 kéo theo c1 = c2 = 0.
Mệnh đề
Nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2)
thì nghiệm tổng quát của (2) được cho bởi
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) trong đó c1, c2 là các hằng số tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Cấu trúc nghiệm của phương
trình vi phân tuyến tính cấp 2
thuần nhất hệ số hằng
Định nghĩa
Nếu P,Q,R là các hằng số thì (2) gọi là phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. Như vậy phương trình
vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng là phương
trình vi phân có dạng ay′′ + by′ + cy = 0 (3) với a 6= 0.
Ta sẽ tìm 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (3) dưới dạng
y(x) = erx. Ta có y′(x) = rerx, y′′(x) = r2erx. Thay vào (3)
(ar2 + br + c)erx = 0. Nhưng erx 6= 0,∀x nên ar2 + br + c = 0
Định nghĩa
Phương trình ar2 + br + c = 0 (4) gọi là phương trình đặc
trưng của (3).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi • Nếu phương trình đặc trưng (4) có 2 nghiệm thực phân
biệt r1, r2 thì nghiệm tổng quát của (3) là
y(x) = c1er1x + c2er2x
• Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực duy nhất
là r0 thì nghiệm tổng quát của (3) là
y(x) = c1er0x + c2xer0x
• Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm ảo r = α± iβ
thì nghiệm tổng quát của (3) là
y(x) = eαx(c1 cosβx + c2 sinβx).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Ví dụ
Giải các phương trình vi phân sau:
1. y′′ + y′ − 6y = 0;
2. 3y′′ + y′ − y = 0;
3. 4y′′ + 12y′ + 9y = 0;
4. y′′ − 6y′ + 13y = 0.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Bài toán giá trị đầu
Định nghĩa
Bài toán giá trị đầu cho phương trình (1) và (2) là bài toán tìm
nghiệm y(x) thỏa y(x0) = y0, y′(x0) = y1.
Ví dụ
Giải phương trình vi phân
1. y′′ + y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0.
2. y′′ + y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 3.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Bài toán giá trị biên
Định nghĩa
Bài toán giá trị biên cho phương trình (1) và (2) là bài toán
tìm nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y(x1) = y1.
Ví dụ
Giải phương trình vi phân y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 1, y(1) = 3.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Phương trình vi phân tuyến tính
cấp 2 không thuần nhất hệ số
hằng
Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số
hằng là phương trình vi phân có dạng
ay′′ + by′ + cy = G(x) (5)
với G(x) 6= 0.
Cách giải: Gọi y = y0(x) là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất tương ứng ay′′ + by′ + cy = 0, thì nghiệm tổng
quát của (5) có dạng:
y(x) = y0(x) + yr(x)
trong đó yr(x) là một nghiệm riêng của (5). Vậy nếu tìm được
nghiệm riêng thì sẽ tìm được nghiệm tổng quát của (5).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Tìm nghiệm riêng
1. Nếu G(x) = eαxPn(x), trong đó Pn(x) là đa thức bậc n thì
một nghiệm riêng của (5) có dạng yr(x) = xseαxQn(x).
Trong đó, Qn(x) là đa thức bậc n, có n + 1 hệ số cần xác
định, và
s =

0 nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng
1 nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
2 nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Tìm nghiệm riêng
Ví dụ
Giải phương trình vi phân
1. y′′ + 4y = e3x
2. y′′ − 3y′ + 2y = 2ex − 2xex
3. y′′ + y′ − 2y = x2
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
Tìm nghiệm riêng
2. Nếu G(x) = eαx[Pn(x) cosβx + Qm(x) sinβx], trong đó Pn(x)
là đa thức bậc n, Qm(x) là đa thức bậc m thì một nghiệm
riêng của (5) có dạng
yr(x) = xseαx[Rk(x) cosβx + Tk(x) sinβx].
Trong đó k = max{n,m},Rk(x),Tk(x) là các đa thức bậc k
cần xác định và
s =
{
0 nếu α+ iβ không là nghiệm của pt đặc trưng
1 nếu α+ iβ là nghiệm của pt đặc trưng.
Ví dụ
Giải các phương trình vi phân
1. y′′ + y = 3 sin x, y(0) = y′(pi) = 1,
2. y′′ − 5y′ + 6y = 3 sin 2x− 2 cos 2x,
3. y′′ + y′ − 2y = e2x(5 cos x + 3 sin x).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2
Bài giảng môn
học Toán 2
Nguyễn Anh
Thi
3. Nếu G(x) = G1(x) + G2(x) với G1(x),G2(x) có một trong hai
dạng trên, thì một nghiệm riêng của (5) có dạng
yr(x) = yr1(x) + yr2(x)
với yr1, yr2 là các nghiệm riêng của các phương trình
ay′′ + by′ + cy = G1(x), ay′′ + by′ + cy = G2(x).
Ví dụ
Giải phương trình vi phân
y′′ − 4y = xex + cos 2x.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 2