Bài giảng Toán 2 - Chương 3: Dãy số - Nguyễn Anh Thi

Dãy số
Định nghĩa
I Dãy số là một dãy vô hạn các phần tử là số thực được xếp
theo một thứ tự nào đó
a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .
I Hay nói cách khác, dãy số là một ánh xạ từ N→ R.
I Dãy số (a1, a2, a3, . . . ) được ký hiệu là (an)n∈N hay (an)
I Dãy số cũng có thể được đánh số từ số 0 hoặc từ bất kỳ số tự
nhiên nào khác.
Ví dụ
1. Dãy { nn+1}∞n=1 có an = nn+1{
1
2 ,
2
3 ,
3
4 ,
4
5 , . . . ,
n
n + 1 . . .
}
2. Dãy {(−1)n√n− 3}∞n=3 có an = (−1)n
√
n− 3
0, 1,−
√
2,
√
3, . . . , (−1)n√n− 3 . . .
3. Dãy {cos(npi/3)}∞n=0 có an = cos(npi/3)
1, 12 ,−
1
2 ,−1, . . . , cos(npi/3), . . .
4. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp
a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2,n ≥ 3
Dãy số hội tụ
Xét dãy số an = nn+1
Ta thấy khi n càng lớn thì giá trị của an = nn+1 tiến đến 1. Trong
trường hợp này ta nói dãy {n/(n+ 1)}∞n=1 có giới hạn là 1 và ta viết
lim
n→∞
n
n + 1 = 1.
Định nghĩa
Dãy số (an) được nói là hội tụ nếu tồn tại L ∈ R sao cho với mọi
 > 0, tồn tại N ∈ N sao cho
|an − L| N
Khi đó ta nói L là giới hạn của dãy (an), ký hiệu
L = lim
n→∞ an, hay viết tắt là L = lim an
Ta cũng viết là an → L (đọc là an tiến về L) khi n →∞ (đọc là n
tiến về +∞).
Ví dụ
I Dãy hằng an = α, ∀n ∈ N, là dãy hội tụ và có giới hạn là α.
I Dãy ( 1n)n∈N là dãy hội tụ và có giới hạn là 0.
Định nghĩa
Dãy (an) được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu mọi
số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M,∀n ≥ N
(tương ứng an N). Khi đó ta ký hiệu lim an =∞ (tương
ứng lim an = −∞) và nói dãy (an) có giới hạn bằng ∞ hoặc −∞.
Nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói (an) là dãy
phân kỳ.
Một số tính chất
Nếu (an) và (bn) là các dãy hội tụ và có giới hạn lần lượt là a và
b thì các dãy (an + bn), (anbn),
√an, (an)r, và αan, với α ∈ R
cũng là các dãy hội tụ và
lim
n→∞(an + bn) = a + b,
lim
n→∞(anbn) = ab,
lim
n→∞
√
an =
√
a,
lim
n→∞(an)
r = ar
lim
n→∞(αan) = αa.
Khi b 6= 0 và bn 6= 0,∀n ∈ N, dãy
(
an
bn
)
cũng hội tụ và
lim
n→∞
an
bn
=
a
b .
Mệnh đề
i) Nếu (xn) là dãy hội tụ và xn ≥ 0,∀n ∈ N thì limn→∞ xn ≥ 0.
Tổng quát, nếu (xn) và (yn) là hai dãy hội tụ và
xn ≥ yn,∀n ∈ N, thì limn→∞ xn ≥ limn→∞ yn.
ii) (Tiêu chuẩn giới hạn kẹp) Xét ba dãy số (an), (bn), và (cn)
với an ≤ bn ≤ cn,∀n ∈ N. Nếu các dãy (an) và (cn) hội tụ và
có cùng giới hạn là α thì (bn) cũng là dãy hội tụ và cũng có
giới hạn là α.
Dãy đơn điệu-Dãy bị chặn
Định nghĩa
Dãy (an) được gọi là dãy tăng nếu: an ≤ an+1,∀n ∈ N.
Dãy (an) được gọi là dãy giảm nếu: an ≥ an+1,∀n ∈ N.
Nếu (an) là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói dãy (an) là dãy đơn điệu.
Định nghĩa
Dãy (an) gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R, an ≤ M,∀n ∈ N.
Dãy (an) gọi là bị chặn dưới nếu: ∃N ∈ R, an ≥ N,∀n ∈ N.
Nếu (an) bị chặn trên và dưới thì ta nói nó bị chặn.
Mệnh đề (Tiêu chuẩn Weierstrass)
Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Ta định nghĩa
e = lim
n→+∞(1 +
1
n)
n
Các giới hạn cơ bản
1. Nếu a > 0, thì lim
n→∞
1
na = 0, limn→∞n
a =∞.
2. Nếu |a| < 1, thì lim
n→∞ a
n = 0, nếu a > 1 thì lim
n→∞ a
n =∞.
3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì lim
n→∞
nα
an = 0.
4. Nếu a > 0 thì lim
n→∞
n√a = 1. Đồng thời lim
n→∞
n√n = 1.
5. Giới hạn liên quan số e: lim
n→∞(1 +
x
n)
n = ex.
Ví dụ
Tính các giới hạn các dãy số sau:
1. lim
n→∞
4n2+1
3n2+2
2. lim
n→∞(
√
n2 + 1− n)
3. lim
n→∞(
√
2n +
√
n−√2n + 1)
4. lim
n→∞
n√n
n√n2+ n√n+1
5. lim
n→∞
3.5n−2n
4n+2.5n
6. lim
n→∞
n2n+1
3n+n2
7. lim
n→∞
( 2n−1
2n
)n
8. lim
n→∞
(
n
n+1
)2n
9. lim
n→∞
n sin
√
n
n2+n−1
Định nghĩa
Dãy an gọi là dãy Cauchy nếu:
∀ > 0,∃N ∈ N,∀m,n ∈ N : |am − an| < 
Định lý
Dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Ví dụ
Tính các giới hạn các dãy số sau:
1. lim
n→∞
2n+n3
1+2n3
2. lim
n→∞(
√
3n2 + n− n√3)
3. lim
n→∞
(
1 + 23n
)2n
4. lim
n→∞
n−3n+2
2n+3n
5. lim
n→∞
n!+n+1
(n+1)!+2
6. lim
n→∞
n
√
n+1
3n
√
n+2
7. lim
n→∞
(
3n−1
3n+1
)n
8. lim
n→∞
(
n
2n+1
)n
Chuỗi số thực
Định nghĩa
Xét dãy số thực (an)n∈N, ta định nghĩa tổng tất cả các số hạng của
nó,
a1 + a2 + · · ·+ an + · · · =
+∞∑
n=1
an,
và ta gọi
+∞∑
n=1
an, hay vắn tắt
∑
an, là một chuỗi số, đọc là chuỗi an.
Ví dụ
1. Với an = n, ta có chuỗi
∞∑
n=1
n = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n + · · ·
2. Với an = 12n , ta có chuỗi
∞∑
n=1
1
2n =
1
2 +
1
4 +
1
8 + · · ·+ 12n + · · ·
Chuỗi số hội tụ
Định nghĩa
Với chuỗi số
+∞∑
n=1
an, đặt sn =
n∑
k=1
ak,n ∈ N. Ta gọi sn là tổng riêng
phần (thứ n) của chuỗi số
∑
an.
Định nghĩa
Nếu dãy tổng riêng phần (sn) hội tụ, ta nói
∑
an hội tụ và giá trị
s = lim
n→∞ sn được gọi là tổng của chuỗi
∑
an, ký hiệu s =
+∞∑
n=1
an.
Ngược lại, nếu (sn) phân kỳ, ta nói
∑
an phân kỳ.
Ví dụ
Tính tổng riêng phần và tổng (nếu có) của các chuỗi:
I
∞∑
n=1
n
I
∞∑
n=1
1
2n
I
∞∑
n=1
(−1)n
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau đây
1.
∞∑
n=1
1
n(n+1)
2.
∞∑
n=4
1
(n−1)(n+1)
3.
∞∑
k=1
ln kk+1
Chuỗi hình học
Định nghĩa
Cho a 6= 0, r ∈ R, chuỗi hình học là chuỗi số có dạng
∞∑
n=0
arn = a + ar + ar2 + . . .
Mệnh đề
Nếu |r| < 1 thì chuỗi hình học hội tụ, và khi đó
∞∑
n=0
arn = a1− r .
Ngược lại, nếu |r| > 1 thì chuỗi hình học phân kỳ.
Ví dụ
1. Các chuỗi số sau có hội tụ không? Tính tổng (nếu có) của nó.
a. 4− 83 + 169 − 3227 + . . .
b.
∞∑
n=0
22n31−n
2. Tính tổng của chuỗi
∞∑
n=0
xn, với |x| < 1.
3. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây thành phân số
a. 2.317 = 2.3171717...
b. 0.9 = 0.999999...
Các tính chất
Mệnh đề
Nếu
∑
an hội tụ thì limn→∞ an = 0
Chú ý
I Chiều ngược lại không hẳn đúng. Nếu lim
n→∞ an = 0 thì
∑
an
cũng có thể hội tụ, cũng có thể phân kỳ. Chẳng hạn ta có
dãy 1n → 0 nhưng
∑ 1
n phân kỳ.
I Nếu lim
n→∞ an không tồn tại hoặc limn→∞ an 6= 0 thì chuỗi
∞∑
n=1
an
phân kỳ.
Ví dụ
Xét sự hội tụ của chuỗi số
∞∑
n=1
n2+1
2n2+n
Các tính chất
Mệnh đề
Nếu các chuỗi
∑
an,
∑
bn đều hội tụ thì các chuỗi
∑
can(c ∈ R),∑
(an + bn) và
∑
(an − bn) cũng hội tụ, và:
a)
∞∑
n=1
can = c
∞∑
n=1
an
b)
∞∑
n=1
(an + bn) =
∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
bn
c)
∞∑
n=1
(an − bn) =
∞∑
n=1
an −
∞∑
n=1
bn
Ví dụ
Tính tổng (nếu có) của chuỗi
∞∑
n=1
(
2
n(n+1) +
1
2n
)
Mệnh đề
Với mọi N ∈ N,
∞∑
n=1
an hội tụ khi và chỉ khi
∞∑
n=N
an hội tụ.
Tiêu chuẩn tích phân
Mệnh đề
Cho f là hàm số dương, giảm, liên tục trên [1,+∞), đặt an = f(n).
Khi đó chuỗi
+∞∑
n=1
an và tích phân
∫ +∞
1 f(x)dx cùng hội tụ hoặc
cùng phân kỳ.
Chú ý
Do sự hội tụ của chuỗi số không phụ thuộc vào hữu hạn số ban
đầu, nên chỉ cần f dương và giảm trên khoảng [M,+∞) với
M ∈ R bất kỳ.
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số:
1.
∞∑
n=1
1
1+n2
2.
∞∑
n=1
ln n
n
3.
∞∑
n=2
1
n ln2 n
4. Với giá trị nào của p thì chuỗi
∞∑
n=1
1
np hội tụ?
Tiêu chuẩn so sánh 1 (hiệu số)
Mệnh đề
Cho
∑
an,
∑
bn là các chuỗi số không âm (nghĩa là
an ≥ 0, bn ≥ 0,∀n). Khi đó:
I Nếu bn ≥ an,∀n và
∑
bn hội tụ thì
∑
an hội tụ,
I Nếu bn ≤ an,∀n và
∑
bn phân kỳ thì
∑
an phân kỳ.
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1.
∞∑
n=1
2
n2+3
2.
∞∑
n=1
2n
3n+n
3.
∞∑
n=1
n
(n+1)(n
√
n+2)
4.
∞∑
n=1
ln n
n
Tiêu chuẩn so sánh 2 (tỷ số)
Mệnh đề
Cho
∑
an,
∑
bn là các chuỗi số không âm, bn 6= 0, ∀n ∈ N.
I Nếu lim
n→∞
an
bn = c ∈ (0,+∞), thì
∑
an và
∑
bn cùng hội tụ
hoặc cùng phân kỳ.
I Nếu lim
n→∞
an
bn = 0 và tổng
∑
bn hội tụ thì
∑
an hội tụ.
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1.
∞∑
n=2
1
n3−2n
2.
∞∑
n=1
22n+1
3n+1+n
3.
∞∑
n=1
n−1√
n(n+2)(n2+1)
4.
∞∑
n=1
ln 3n2+13n2
Chuỗi đan dấu
Định nghĩa
Chuỗi đan dấu là chuỗi mà số hạng tổng quát có dạng
an = (−1)n+1bn hoặc an = (−1)nbn trong đó bn > 0.
Ví dụ
I 1− 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + · · · =
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
I −12 + 23 − 34 + 45 − 56 + 67 − · · · =
∞∑
n=1
(−1)n nn+1
Tiêu chuẩn Leibnitz
Mệnh đề
Nếu dãy (bn) dương, giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu∑∞
n=1(−1)n+1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . . hội tụ.
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau:
1.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
2.
∞∑
n=3
(−1)n+1 ln nn
3.
∞∑
n=1
(−1)nn
3n+1
4.
∞∑
n=2
(−1)n n2n3+1
Hội tụ tuyệt đối
Định nghĩa
Chuỗi
∞∑
n=1
an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
∞∑
n=1
|an| = |a1|+ |a2|+ |a3|+ · · ·+ |an|+ · · · hội tụ
Nếu
∑
an hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối, ta nói
∑
an hội tụ
có điều kiện.
Ví dụ
Các chuỗi sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không?
1.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2
2.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
3.
∞∑
n=1
1
n
Mệnh đề
Nếu
∞∑
n=1
an hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.
Ví dụ
Các chuỗi sau có hội tụ, hội tụ tuyệt đối không?
1.
∞∑
n=1
(−1)n+1
ln(2n+1)
2.
∞∑
n=1
sin 3n
3n
3.
∞∑
n=1
(−1)n e−1/nn3
Tiêu chuẩn tỷ số (của d'Alembert)
Mệnh đề
Đặt L = lim
n→∞ |
an+1
an |.
I Nếu L < 1 thì chuỗi
∞∑
n=1
an hội tụ tuyệt đối.
I Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi
∞∑
n=1
an phân kỳ.
Ví dụ
Các chuỗi sau có hội tụ không?
1.
∞∑
n=1
n3
3n
2.
∞∑
n=1
n!
nn(n+1)
3.
∞∑
n=1
n2n
(2n)!
Tiêu chuẩn căn số của Cauchy
Mệnh đề
Đặt L = lim
n→∞
n
√|an|
1. Nếu L < 1 thì chuỗi
∞∑
n=1
an hội tụ tuyệt đối.
2. Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi
∞∑
n=1
an phân kỳ.
Ví dụ
Các chuỗi số sau có hội tụ không?
1.
∞∑
n=1
(
2n2+3n
3n2+2n
)n
2.
∞∑
n=1
(
n
n+1
)n2+n
để xét sự hội tụ của chuỗi số ta có một số chú ý sau:
Chú ý
I Chuỗi gần giống chuỗi
∑
1/np hay chuỗi hình học thì dùng
tiêu chuẩn so sánh. Chuỗi không dương thì dùng tiêu chuẩn
so sánh cho
∑ |an| rồi dùng tiêu chuẩn trị tuyệt đối.
I Nếu thấy lim
n→∞ an 6= 0 thì chuỗi phân kỳ.
I Chuỗi đan dấu thì dùng tiêu chuẩn Leibnitz.
I Chuỗi có giai thừa hoặc mũ thì dùng tiêu chuẩn tỷ số (của
d'Alembert).
I Nếu an có dạng (bn)n thì dùng tiêu chuẩn căn số của Cauchy.
I Nếu an = f(n) mà
∫
f(x)dx dễ tính thì dùng tiêu chuẩn tích
phân.
Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1.
∑∞
n=1
n−1
2n+1
2.
∑∞
n=1
√
n3+1
n3+4n2+2
3.
∑∞
n=1 ln
2n+2
2n+1
4.
∑∞
k=0
2k
(k+1)!
5.
∑∞
n=1
(−1)nn3
n4+1
6.
∑∞
n=2
(−2)n
nn
7.
∑∞
n=1
sin
√
n
2n+3n
8.
∑∞
n=1
n!
3n2
9.
∑∞
n=1
2n+n
3n−1
10.
∑∞
n=3
1
(ln n)ln n