Bài giảng Toán 2 - Chương 2: Tích phân bội - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng Toán 2
Giảng viên
Nguyễn Anh Thi
2016
Chương 2
TÍCH PHÂN BỘI
Tích phân hai lớp
Giả sử f(x, y) ≥ 0,∀(x, y) ∈ R. Ta cần tính thể tích V của khối S:
S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ R}
Phân hoạch
Giả sử P1 = {x0, x1, . . . , xn; x∗1, . . . , x∗n} và
P2 = {y0, y1, . . . , ym; y∗1, . . . , y∗m} là các phân hoạch của [a, b] và
[c, d]. Thì P = P1×P2 gọi là một phân hoạch của R = [a, b]× [c, d].
Tổng Riemann
Tổng Riemann của hàm số f ứng với phân hoạch P như trên được
định nghĩa là:
S(f,P) =
m∑
i=1
n∑
j=1
f(x∗ij, y∗ij)∆xi∆yj
Với ∆xi = xi − xi−1 và ∆yj = yj − yj−1
Định nghĩa tích phân hai lớp
Gọi P(R) là tập các phân hoạch của R = [a, b]× [c, d]. Với
P ∈ P(R), đặt:
|P| = max{(xi − xi−1)(yj − yj−1) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}
Định nghĩa
Hàm f gọi là khả tích Riemann trên R nếu có α ∈ R sao cho với
mọi  > 0, tồn tại δ > 0 thỏa:
|S(f,P)− α| ≤ ,∀P ∈ P(R), |P| < δ
Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên R và ký hiệu:∫∫
R
f(x, y)dxdy = α
Tính chất
Tích phân hai lớp có các tính chất sau:
1. ∫∫
R
[f(x, y) + g(x, y)]dxdy =
∫∫
R
f(x, y)dxdy +
∫∫
R
g(x, y)dxdy
2. ∫∫
R
c[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = c
∫∫
R
[f(x, y) + g(x, y)]dxdy
3. Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ R thì:∫∫
R
f(x, y)dxdy ≤
∫∫
R
g(x, y)dxdy
Tích phân lặp
Cho f là hàm xác định trên R = [a, b]× [c, d].
I Cố định x ∈ [a, b], lấy tích phân theo y, ta được:
A(x) =
∫ d
c
f(x, y)dy
I Lấy tích phân A(x) từ a đến b ta được∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y)dy
]
dx =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y)dydx
Tích phân trên gọi là tích phân lặp.
Nếu ta lấy tích phân theo x trước và tích phân theo y sau thì ta
cũng được tích phân lặp.∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y)dx
]
dy =
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y)dxdy
Ví dụ
Tính ∫ 3
0
∫ 2
1
x2ydydx
∫ 2
1
∫ 3
0
x2ydxdy
Định lý (Định lý Fubini)
Nếu f liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b]× [c, d] thì:∫∫
R
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y)dydx =
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y)dxdy
Ví dụ
1. Tính tích phân hai lớp
∫∫
R(x− 3y2)dxdy với
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.
2. Tính tích phân hai lớp
∫∫
R 2x sin
2 ydxdy với R = [1, 2]× [0, pi].
Chú ý
Nếu R = [a, b]× [c, d] thì:∫∫
R
g(x)h(y)dxdy =
(∫ b
a
g(x)dx
)(∫ d
c
h(y)dy
)
Tích phân hai lớp-miền tổng quát
Cho D là miền bị chặn được giới hạn trong hình chữ nhật R
Ta định nghĩa hàm số xác định trên R như sau:
F(x, y) =
{
f(x, y), (x, y) ∈ D
0, (x, y) ∈ R\D
Định nghĩa
Nếu F khả tích trên R ta nói f khả tích trên D và định nghĩa∫∫
D
f(x, y)dxdy =
∫∫
R
F(x, y)dxdy
Một số tính chất
I
∫∫
D[f(x, y) + g(x, y)]dxdy =
∫∫
D f(x, y)dxdy +
∫∫
D g(x, y)dxdy
I
∫∫
D cf(x, y)dxdy = c
∫∫
D f(x, y)dxdy
I Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) với mọi (x, y) ∈ D, thì:∫∫
D
f(x, y)dxdy ≤
∫∫
D
g(x, y)dxdy
I Nếu D = D1 ∪ D2 và D1, D2 không che phủ nhau, thì∫∫
D
f(x, y)dxdy =
∫∫
D1
f(x, y)dxdy +
∫∫
D2
f(x, y)dxdy
I Diện tích miền D là: ∫∫
D
dxdy
I Thể tích của khối trụ có đáy là miền D và giới hạn trên bởi
mặt z = f(x, y) ≥ 0 là:
V =
∫∫
D
f(x, y)dxdy
Miền đơn giản theo Oy (loại 1)
Miền phẳng D được nói là đơn giản theo Oy (loại 1) nếu nó nằm
giữa đồ thị của hai hàm liên tục, tức là:
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
Với g1, g2 là các hàm liên tục trên [a, b].
Nếu f liên tục trên miền:
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, thì∫∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y)dydx
Ví dụ
Tính I =
∫∫
D(x + 2y)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường
y = 2x2 và y = 1 + x2
Miền đơn giản theo Ox (loại II)
Miền phẳng D gọi là đơn giản theo Ox (loại II) nếu:
D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
Nếu f liên tục thì∫∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y)dxdy
Ví dụ
Tính
∫∫
D xydxdy, với D là miền giới hạn bởi các đường y = x− 1
và y2 = 2x + 6
Tọa độ cực
Diện tích của Rij:
∆Ai = 12r
2
i ∆θ − 12r2i−1∆θ = 12(r2i − r2i−1)∆θ =
1
2(ri + ri−1)(ri − ri−1)∆θ = r∗i ∆r∆θ
Với r∗i = (ri−1 + ri)/2
Đổi biến sang tọa độ cực (1)
m∑
i=1
n∑
j=1
f(x∗ij, y∗ij)∆Ai =
m∑
i=1
n∑
j=1
f(r∗i cos θj, r∗i sin θj)r∗i ∆r∆θ
Nếu f liên tục trên miền:
R : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β
Trong đó 0 ≤ β − α ≤ 2pi. Thì ta có∫∫
R
f(x, y)dxdy =
∫ β
α
∫ b
a
f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Ví dụ
I Tính
∫∫
R(3x + 4y
2)dxdy, với R là miền trong nửa mặt phẳng
trên, giới hạn bởi các đường x2 + y2 = 1 và x2 + y2 = 4
I Tính thể tích của khối giới hạn bởi mặt phẳng z = 0 và
parabol tròn xoay z = 1− x2 − y2
Đổi biến sang tọa độ cực (2)
Nếu f liên tục trên miền có dạng:
D = {(x, y) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}
thì ∫∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Ví dụ
Tìm thể tích vật thể nằm bên dưới parabol tròn xoay z = x2 + y2,
bên trên mặt phẳng Oxy và bên trong mặt trụ x2 + y2 = 2x.
V =
∫∫
D
(x2 + y2)dxdy
D = {(x, y) : −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ}
V =
∫∫
D
(x2 + y2)dxdy =
∫ pi/2
−pi/2
∫ 2 cos θ
0
r2rdrdθ = 3pi2
Ví dụ
Tính các tích phân sau:
1.
∫∫
D(x + y)dxdy miền D được giới hạn bởi y =
√
x, y = x2.
2.
∫∫
D(2x− 4y)dydx, với D là miền giới hạn bởi parabol
x = y2 − 2y và đường thẳng x = 3.
3.
∫∫
D xydxdy, D giới hạn bởi trục Oy, x + y = 1 và x− 2y = 4
4.
∫∫
D y
3dxdy, D là tam giác với đỉnh: (0, 2), (1, 1), (3, 2).
5.
∫∫
D(x+
√
4− x2 − y2)dxdy, với D là miền: x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x.
Tích phân trên hình hộp chữ nhật
I Xét hàm f xác định trên hình hộp chữ nhật:
B = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}
I Nếu Px,Py,Pz là một phân hoạch của [a, b], [c, d], [r, s]. Thì
P = Px × Py × Pz gọi là một phân hoạch của B.
S(f,P) =
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
f(x∗ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk)∆Vijk
gọi là tổng Riemann của f ứng với P. Ký hiệu P(B) là tập các
phân hoạch của B và |P| = max{∆Vijk}.
Định nghĩa
Hàm f gọi là khả tích Riemann trên B nếu có α ∈ R sao cho với
mọi  > 0, tồn tại δ > 0 thỏa:
|S(f,P)− α| ≤ ,∀P ∈ P(B), |P| ≤ δ
Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên B và ký hiệu:∫∫∫
B
f(x, y, z)dxdydz = α
Định lý Fubini
Định lý
Nếu f liên tục trên hình hộp chữ nhật B = [a, b]× [c, d]× [r, s], thì∫∫∫
B
f(x, y, z)dxdydz =
∫ s
r
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y, z)dxdydz
Tích phân ở vế phải là tích phân lặp.
Có 6 thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp ở vế phải, và tất cả
các cách lấy thứ tự đó đều cho kết quả giống nhau.
Ví dụ
Tính tích phân 3 lớp
∫∫∫
B xyz
2dxdydz, với B là:
B = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3}
Tích phân trên khối bị chặn
Gọi E là khối bị chặn bất kỳ được bao bởi hình hộp chữ nhật B. Ta
định nghĩa hàm F trên B như sau:
F(x, y, z) =
{
f(x, y, z), (x, y, z) ∈ E
0 (x, y, z) ∈ B\E
Khối đơn giản theo 0z (loại 1)
E = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
Nếu f liên tục trên E thì∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫
D
[∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z)dz
]
dxdy
E = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤
u2(x, y)}
∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z)dzdydx
E = {(x, y, z) : c ≤ y ≤ d, h1(x) ≤ x ≤ h2(x), u1(x, y) ≤ z ≤
u2(x, y)}
∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
∫ h2(x)
h1(x)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z)dzdxdy
Ví dụ
Tính tích phân
∫∫∫
E ydxdydz. Trong đó E là khối trong R
3 giới hạn
bởi 0 ≤ z ≤ 1− y,√x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1.
Ví dụ
Tính
∫∫∫
E zdxdydz, với E là khối tứ diện giới hạn bởi các mặt
phẳng x = 0, y = 0, z = 0, và x + y + z = 1.
Khối đơn giản theo Ox (loại 2)
E = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D, u1(y, z) ≤ x ≤ u2(y, z)}∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫
D
[∫ u2(y,z)
u1(y,z)
f(x, y, z)dx
]
dydz
Khối đơn giản theo Oy (loại 3)
E = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D, u1(y, z) ≤ y ≤ u2(y, z)}∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫
D
[∫ u2(x,z)
u1(x,z)
f(x, y, z)dy
]
dxdz
Ví dụ
Tính tích phân
∫∫∫
E zdxdydz. Trong đó E là khối trong R
3 giới hạn
bởi 0 ≤ y ≤ 1− x, (x, z) ∈ D với D là miền trong mặt phẳng zOx
giới hạn bởi các đường z = 0, z = 1− x2, x ∈ [0, 1].
Tích phân ba lớp trong tọa độ trụ
E = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} với
D = {(r, θ) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}
∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫
D
[∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z)dz
]
dxdy
=
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(r cos θ,r sin θ)
u1(r cos θ,r sin θ)
f(r cos θ, r sin θ, z)rdzdrdθ
Ví dụ
Tính I =
∫∫∫
E
√
x2 + y2dxdydz. Trong đó E là khối nằm bên trong
mặt trụ x2 + y2 = 1, bên dưới mặt z = 4 và bên trên parabol tròn
xoay z = 1− x2 − y2.
Tích phân ba lớp trong tọa độ cầu
Đổi biến trong tọa độ cầu
∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
∫ β
α
∫ b
a
f(ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)ρ2 sinφdρdθdφ
Với miền tổng quát hơn
E = {(ρ, θ, φ) : α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d, g1(θ, φ) ≤ ρ ≤ g2(θ, φ)}
∫∫∫
E
f(x, y, z)dxdydz =∫ d
c
∫ β
α
∫ g2(θ,φ)
g1(θ,φ)
f(ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)ρ2 sinφdρdθdφ
Ví dụ
Tính tích phân ba lớp ∫∫∫
E
(x + y)dxdydz
trong đó E là khối giới hạn bởi x2 + y2 + z2 ≤ 4 và z ≤ 0, y ≥ 0.