Bài giảng Toán 2 - Chương 1: Đạo hàm riêng - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng Toán 2
Giảng viên
Nguyễn Anh Thi
2016
Chương 1
ĐẠO HÀM RIÊNG
Hàm nhiều biến
Định nghĩa
Cho D ⊂ Rn, một hàm số f trên D là một quy tắc mà ứng với mỗi
phần tử của D cho tương ứng duy nhất một số thực
z = f(x1, x2, ..., xn) với (x1, x2, ..., xn) ∈ D. Khi đó ta gọi D là miền
xác định của hàm f, và tập các giá trị có thể của f gọi là miền giá
trị.
Ví dụ
Hàm số f : Rn → R xác định bởi
f(x1, x2, . . . , xn) = x21 + x22 + · · ·+ x2n là một hàm nhiều biến.
Hàm hai biến
Trường hợp D ⊂ R2, ta nói f là hàm hai biến.
Ví dụ
Một số hàm hai biến:
a) f : R
2 → R
(x, y) 7→ x2 + y2
b) f : R
2 → R
(x, y) 7→
√
x2 + y2
c)
f : R2\{0} → R
(x, y) 7→ 1xy
Hàm ba biến
Trường hợp D ⊂ R3, ta nói f là hàm ba biến.
Ví dụ
Một số hàm ba biến:
a) f : R
2 → R
(x, y, z) 7→ x2 + y2 + z2
b) f : R
2 → R
(x, y, z) 7→
√
x2 + y2 + z2
c)
f : R2\{0} → R
(x, y, z) 7→ 1xyz
Đồ thị hàm hai biến
Định nghĩa
Tập hợp các điểm (x, y, f(x, y)) với (x, y) thuộc tập xác định của f
được gọi là đồ thị của f.
Ví dụ
Đồ thị hàm hai biến
Đồ thị hàm hai biến
Đồ thị hàm hai biến
Giới hạn và liên tục
Định nghĩa
Ta nói f(x, y) có giới hạn bằng L khi (x, y) tiến về (a, b) và viết
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L
nếu với mọi  > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi (x, y) thuộc miền
xác định của f
0 <
√
(x− a)2 + (y− b)2 < δ ⇒ |f(x, y)− L| < 
Giới hạn và liên tục
Chú ý
Nếu f(x, y)→ L1 khi (x, y)→ (a, b) theo đường C1 và f(x, y)→ L2
khi (x, y)→ (a, b) theo đường C2, với L1 6= L2, thì lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)
không tồn tại.
Ví dụ
Chứng minh rằng lim
(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2+y2 không tồn tại.
Đặt f(x, y) = x
2−y2
x2+y2 .
Xét (x, y) tiến đến (0, 0) dọc theo trục 0x, khi đó y = 0, ta được
f(x, y) = x2x2 = 1 với x 6= 0. Do đó f(x, y)→ 1 khi (x, y)→ (0, 0) dọc
theo trục 0x.
Tương tự, ta được f(x, y)→ −1 khi (x, y)→ (0, 0) dọc theo trục 0y.
Vì f(x, y) có hai giới hạn khác nhau khi (x, y) tiến đến (0, 0) theo
hai đường khác nhau, nên lim
(x,y)→(0,0)
không tồn tại.
Bài tập
Tìm các giới hạn
1. lim
(x,y)→(0,0)
2x
2+3x2+y2
2. lim
(x,y)→(1,1)
ln(1+ x2y2)
3. lim
(x,y)→(3,5)
√
(x2 + y2 − 1)
4. lim
(x,y)→(1,−2)
1
x2+y2
5. lim
(x,y)→(0,0)
ey sin x
x
6. lim
(x,y)→(1,1)
3
√|xy| − 1
Bài tập
Các hàm số sau có giới hạn tại (0, 0) không?
1. x
2+y2
1+x2
2. 1−xyx2+y2
3. x2x2−y
4. − x√
x2+y2
Sự liên tục của hàm hai biến
Định nghĩa
Hàm số hai biến f được gọi là liên tục tại điểm (a, b) nếu
lim
(x,y)→(a,b)
= f(a, b)
Ta nói f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi điểm trên D.
Ví dụ
Tính lim
(x,y)→(1,2)
(x2y3 − x3y2 + 3x+ 2y).
Vì f(x, y) = x2y3 − x3y2 + 3x+ 2y là một đa thức, nên nó liên tục
tại mọi điểm, ta có giới hạn lim
(x,y)→(1,2)
(x2y3 − x3y2 + 3x+ 2y) = 11
Đạo hàm riêng
I Cho hàm hai biến f(x, y). Cố định y = y0 ta được hàm một
biến g(x) = f(x, y0).
I Đạo hàm của hàm số này tại x0 gọi là đạo hàm riêng theo
biến x của f tại điểm (x0, y0).
Định nghĩa
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f(x, y) tại điểm (x0, y0)
được định nghĩa là
∂f
∂x
∣∣∣∣
(x0,y0)
= lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
Đạo hàm riêng
I Một cách tương tự ta có thể định nghĩa ∂f∂x
∣∣∣
(x0,y0)
= dfdx
∣∣∣
(x0,y0)
I Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số z = f(x, y) tại điểm
(x0, y0) được ký hiệu theo nhiều cách
∂f
∂x
∣∣∣∣
(x0,y0)
, fx(x0, y0), hoặc
∂z
∂x
∣∣∣∣
(x0,y0)
, zx(x0, y0)
I Đạo hàm riêng theo biến x của z = f(x, y) cũng là hàm số hai
biến và được ký hiệu
∂f
∂x , fx hoặc
∂z
∂x , zx
Đạo hàm riêng
I Tương tự ta có định nghĩa
∂f
∂y
∣∣∣
(x0,y0)
= dfdy
∣∣∣
(x0,y0)
= lim
h→0
f(x0,y0+h)−f(x0,y0)
h
I Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số z = f(x, y) tại điểm
(x0, y0) được ký hiệu theo nhiều cách
∂f
∂y
∣∣∣∣
(x0,y0)
, fy(x0, y0), hoặc
∂z
∂y
∣∣∣∣
(x0,y0)
, zy(x0, y0)
I Đạo hàm riêng theo biến y của z = f(x, y) cũng là hàm số hai
biến và được ký hiệu
∂f
∂y , fy hoặc
∂z
∂y , zy
Vector gradient
Khi hàm f(x, y) có các đạo hàm riêng
(
∂f
∂x ,
∂f
∂y
)
tại điểm
(x0, y0) ∈ D, ta gọi vector
(
∂f
∂x ,
∂f
∂y
)
là vector gradient của hàm số
f(x, y) và ký hiệu là ∇f hoặc gradf
Chú ý
Để tính đạo hàm riêng theo x, ta coi y là hằng số.
Để tính đạo hàm riêng theo y, ta coi x là hằng số.
Ví dụ
I Cho f(x, y) = x3y. Hãy tính ∇f(x, y),∇f(1, 2).
I Cho f(x, y) = y sin(xy). Hãy tính ∇f(x, y).
Đạo hàm riêng hàm nhiều biến hơn
I Đạo hàm riêng cho hàm nhiều biến hơn được định nghĩa
tương tự hàm hai biến.
I Giả sử hàm có n biến, ta có vector gradient
∇f = (fx1 , fx2 , . . . , fxn)
I Để tính đạo hàm riêng theo một biến, ta coi tất cả các biến
còn lại là hằng số.
Ví dụ
Tính fx, fy, fz biết
f(x, y, z) = x sin(y+ 3z)
Đạo hàm riêng cấp cao
I Các đạo hàm riêng của fx và fy được gọi là các đạo hàm riêng
cấp hai của f. Chúng được ký hiệu lần lượt là
fxx =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2 , fxy =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
fyx =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x∂y , fyy =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
I Các đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự.
Ví dụ
Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 của
a) f(x, y) = x cos y+ yex
b) f(x, y) = xy
Đạo hàm riêng cấp cao
Định lý
Nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng của nó fx, fy, fxy, fyx tồn tại trên
một miền mở chứa điểm (a, b) và tất cả đều liên tục tại (a, b) thì
fxy(a, b) = fyx(a, b)
Nhận xét
I Nếu tất cả các đạo hàm riêng đều liên tục thì thứ tự lấy đạo
hàm không quan trọng.
I Với hàm nhiều biến hơn thì các định nghĩa và ký hiệu cũng
tương tự, ví dụ ∂3f
∂x∂y2 = fyyx
Ví dụ
Tính fyxyz biết
f(x, y, z) = 1− 2xy2z+ x2y
Tính khả vi
Định nghĩa
Cho hàm số z = f(x, y) và đặt
∆z = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)
Hàm số nói trên được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu fx(x0, y0) và
fy(x0, y0) tồn tại, đồng thời ∆z thỏa mãn một phương trình có
dạng
∆z = fx(x0, y0)∆x+ fy(x0, y0)∆y+ 1∆x+ 2∆y
Trong đó mỗi 1 và 2 đều tiến về 0 khi cả ∆x,∆y → 0. Ta nói f
khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền xác định.
Định lý
Nếu các đạo hàm riêng fx, fy của f(x, y) đều liên tục trên một
miền mở R thì f khả vi tại mọi điểm thuộc R.
Định lý
Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì nó liên tục tại (x0, y0).
Đạo hàm hàm hợp 1
Trường hợp hàm 1 biến, nếu w = f(x) và x = g(t) thì
dw
dt =
dw
dx
dx
dt
Định lý
Nếu w = f(x, y) khả vi và x = x(t), y = y(t) cũng là những hàm
khả vi thì hàm hợp w = f(x(t), y(t)) khả vi theo t và
dw
dt = fx(x(t), y(t))x
′(t) + fy(x(t), y(t))y′(t)
Hay
dw
dt =
∂f
∂x
dx
dt +
∂f
∂y
dy
dt
Ví dụ
Trường hợp nhiều biến hơn, ta có công thức tương tự.
Định lý (Đạo hàm hàm hợp 2)
Nếu w = f(x, y, z) khả vi và x = x(t), y = y(t), z = z(t) cũng là
những hàm khả vi thì hàm hợp w = f(x(t), y(t), z(t)) khả vi theo t
và
dw
dt =
∂f
∂x
dx
dt +
∂f
∂y
dy
dt +
∂f
∂z
dz
dt
Ví dụ
1. Dùng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của
w = xy
theo biến t, biết x = cos t và y = sin t. Tính giá trị của đạo
hàm này tại t = pi/2.
2. Tính dwdt biết w = xy+ z, x = cos t, y = sin t, z = t. Tính
dw
dt
∣∣∣
t=0
Định lý (Đạo hàm hàm hợp 3)
Nếu w = f(x, y, z) khả vi và x = g(r, s), y = h(r, s), và z = k(r, s)
cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp
w = f(g(r, s), h(r, s), k(r, s)) khả vi và
∂w
∂r =
∂w
∂x
∂x
∂r +
∂w
∂y
∂y
∂r +
∂w
∂z
∂z
∂r
∂w
∂s =
∂w
∂x
∂x
∂s +
∂w
∂y
∂y
∂s +
∂w
∂z
∂z
∂s
Chú ý
Trường hợp w = f(x, y) và x = g(r, s), y = h(r, s) ta cũng có công
thức tương tự
∂w
∂r =
∂w
∂x
∂x
∂r +
∂w
∂y
∂y
∂r
∂w
∂s =
∂w
∂x
∂x
∂s +
∂w
∂y
∂y
∂s
Tổng quát w = f(x1, x2, . . . , xn) và mỗi xi là một hàm theo k biến
t1, t2, . . . , tk thì với mỗi j = 1, k
∂w
∂tj
=
∂w
∂x1
∂x1
∂tj
+
∂w
∂x2
∂x2
∂tj
+ · · ·+ ∂w
∂xn
∂xn
∂tj
Ví dụ
a) Tính ∂w/∂r và ∂w/∂s biết
w = x+ 2y+ z2
x = rs , y = r
2 + ln s, z = 2r
b) Tính ∂w/∂r và ∂w/∂s biết w = x2 + y2, x = r− s, y = r+ s
Ví dụ
Các phương trình
x3 + y3 − 9xy = 0 và x2 + y2 − 25 = 0
thể hiện mối liên hệ của y theo x.
Nhận xét
Nếu từ phương trình F(x, y) = 0 ta có thể suy ra y = y(x) (y là
một hàm số theo x) thì khi đó ta nói y là một hàm ẩn.
Một số trường hợp ta có thể suy ra công thức tường minh cho hàm
ẩn y = y(x). Tuy nhiên trong một số trường hợp ta không có công
thức tường minh.
Giả sử rằng hàm số F(x, y) khả vi và phương trình F(x, y) = 0 xác
định được hàm ẩn khả vi y = h(x).
Khi đó hàm hợp w(x) = F(x, h(x)) khả vi, do w(x) = F(x, h(x)) = 0
nên ta có
0 = dwdx =
∂F
∂x
dx
dx +
∂F
∂y
dy
dx = Fx + Fy
dy
dx
Nếu Fy 6= 0 thì
dy
dx = −
Fx
Fy
Định lý
Nếu F(x, y) khả vi và phương trình F(x, y) = 0 xác định được y là
hàm ẩn khả vi theo x thì tại những điểm Fy 6= 0
dy
dx = −
Fx
Fy
Ví dụ
a) Tính y′ biết y2 = x
b) Tính y′ biết y2 = x2 + sin(xy)
c) Tính y′ biết x2 + y2 = 25 tại (3,−4)
Giả sử rằng hàm số F(x, y, z) khả vi và phương trình F(x, y, z) = 0
xác định được hàm ẩn khả vi z = f(x, y).
Khi đó hàm hợp w = F(x, y, f(x, y)) khả vi, do
w = F(x, y, f(x, y)) = 0 nên ta có
0 = ∂w
∂x = Fx
∂x
∂x + Fy
∂y
∂x + Fz
∂z
∂x = Fx + Fz
∂z
∂x
0 = ∂w
∂y = Fx
∂x
∂y + Fy
∂y
∂y + Fz
∂z
∂y = Fy + Fz
∂z
∂y
Nếu Fz 6= 0 thì
∂z
∂x = −
Fx
Fz
và ∂z
∂y = −
Fy
Fz
Ví dụ
Tính ∂z/∂x và ∂z/∂y tại điểm (0, 0, 0) biết
x3 + z2 + yexz + z cos y = 0