Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 9 - Trần Quang Việt

Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
Ch-5: Lấy mẫu (Sampling) 
Lecture-9 
5.1. Lý thuyết lấy mẫu 
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh (FFT) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.1. Lý thuyết lấy mẫu 
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian 
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
 Có vô số tín hiệu có thể khôi phục từ các mẫu biết trước. 
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian 
 Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn thì có thể khôi phục lại duy nhất 
 từ các mẫu biết trước nếu được lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian 
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu 
b) Lấy mẫu bằng bộ giữ mẫu bậc không 
c) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu 
 Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn là B Hz 
 Tín hiệu f(t) được lấy mẫu bằng cách nhân với chuỗi xung đơn vị 
f (t)=f(t)p(t)
s
n
f (t)=f(t) δ(t nT )
s s
n
f (t) f(nT )δ(t nT )
f0(t) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu 
 Phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu 
f(t) F(ω)
s s s s s
ns
2π
p(t) P(ω) δ(ω nω ); F =1/T , ω =2πF
T
s
ns
1 1
f (t) F(ω)= [F(ω) P(ω)] F(ω nω )
2π T
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu 
sF 2B s; F =2B Nyquist rate
 Khôi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon 
Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khôi phục chính 
xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với 
tốc độ Fs 2B mẫu/s. Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ 
nhất là Fs=2B Hz 
sω 4πB
Low-pass Filter 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không 
 Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không 
 Bộ khôi phục tín hiệu cho bộ giữ mẫu bậc không 
r s 1 2H (ω)=T H (ω)H (ω) Không thực hiện được!!! 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không 
 Khôi phục gần đúng cho bộ giữ mẫu bậc 0 
Low-pass Filter 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế 
Ideal Filter 
Practical Filter 
 Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế 
 Băng tần tín hiệu vô hạn – hiện tượng alias 
Giải pháp: Anti-aliasing Filter 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số 
 Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn và phổ như hình vẽ 
 Lấy mẫu F( ) trên thang tần số với chu kỳ lấy mẫu là 0 
0T 0 0 0
n= n=
F (ω)=F(ω) δ(ω nω ) F(nω )δ(ω nω )
0T 0 0 0 0
n=
f (t)=T f(t) δ(t nT );T =2π/ω
0T 0 0
n=
f (t)=T f(t nT )
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số 
 Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc khi lấy mẫu phổ của tín hiệu 
0T τ 0ω 2π/τ
 Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT 
jωtF(ω)= f(t)e dt
jωt1f(t)= F(ω)e dω
2π
N0 mẫu 
N0 mẫu 
 Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian 
 với các mẫu trong miền tần số 
0 0 s s 0N =T / T ω / ω
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT 
 Biến đổi DFT thuận: 
0N 1_
s s
k=0
f (t)= f(kT )δ(t kT )
0
s
N 1_
jωkT
s
k=0
F(ω)= f(kT )e
 Mặt khác trong đoạn - s/2 đến s/2 (tương ứng với N0 mẫu): 
_
s
F(ω)
F(ω)
T
0
0 s
N 1_
jrω kT
0 s 0 s s
k=0
F(rω )=T F(rω )=T f(kT )e
 Đặt 0= 0Ts=2 /N0; Fr=F(r 0): mẫu thứ r của F( ); fk=Tsf(kTs): 
 mẫu thứ k của f(t); ta có: 
 Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T0 (tương ứng với N0 mẫu): 
0
0
N 1
jrΩ k
r k
k=0
F = f e (Biến đổi DFT thuận) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT 
 Biến đổi DFT ngược: 
0 0 0
0 0 0
N 1 N 1 N 1
jm r jrΩ k jm r
r k
r=0 r=0 k=0
F e = f e e
nhân DFT thuận với sau đó lấy tổng: 
0jmΩ re
0 0 0
0 0
N 1 N 1 N 1
jm r j(m k)Ω r
r k
r=0 k=0 r=0
F e = f e
0 0
0 0
N 1 N 1
jm r jm r
r r
0 k 0 mr=0 r=0
0; k m
F e = F e =
N f N f ;k m
0
0
N 1
jrΩ k
k r
0 r=0
1
f = F e
N
(Biến đổi DFT ngược) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT 
Giảm khối lượng tính toán: 20 0 0logN N N
0
0
1
0
N
jr k
r k
k
F f e
0
0
1
0 0
1
N
jr k
k r
r
f F e
N
Nhân: N0 
Cộng: N0-1 
Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng 
Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2 
 Đặt: 0 0
0
2 /j N j
NW e e
 Các biểu thức DFT được viết lại: 
0
0
1
0
N
kr
r k N
k
F f W
0
0
1
0 0
1
N
kr
k r N
r
f F W
N
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT 
 Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự: 
0 0
k k
0 4 6 2 1 3 5 1
 g h
, , ,..., , , ,...,N N
sequence sequence
f f f f f f f f
0 0
2 2
0 0
1 1
(2 1)2
2 2 1
0 0
N N
k rkr
r k N k N
k k
F f W f W
 Biểu thức DFT được viết lại: 
0 0
2 2
0 0
02 2
1 1
2 2 1
0 0
N N
N N
kr r kr
r k N k
k k
F f W W f W
 Ta có: 0
02
2
N NW W
0
r
r N rG W H
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT 
 Do Gr và Hr là DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn: 
0 0
2 2
 &N Nr rr rG G H H
Mặt khác: 
0 0
2 2
00 0
N N
r r
NN N
W W W
0 0
j r r
N Ne W W
0 0
2 2
0 0
02 2
1 1
2 2 1
0 0
N N
N N
kr r kr
r k N k
k k
F f W W f W
0
r
r r N rF G W H
0
2
0 0 0
2 2 20
N
N N N
r
r r rN
F G W H
0
02
N
r
r N rrF G W H
0(0 1)r N
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r
 Áp dụng tính DFT N0=8 điểm: 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT 
 Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT: 
 Số phép toán nhân: 0
2 0log
2
N
N
 Số phép toán cộng: 0 2 0logN N
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r