Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 7 - Trần Quang Việt

Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier 
Lecture-7 
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier 
4.1.1. Biến đổi Fourier 
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier 
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1.1. Biến đổi Fourier 
 Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có 
 chu kỳ dài vô hạn 
Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn: 
Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau: 
0
0
T
T
f(t)= lim f (t)
và fT0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với 
chu kỳ T0: 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
0 nT D 2sin S
0
0
2
n n
T
0 02 /T
0n
0 nT D 2sin S
0
0
2
n n
T
0 02 /T
0n
4.1.1. Biến đổi Fourier 
 Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier 
0
0 0
0
0
T /2 S
-jnω t -jnω t 0
n T
-T /2 -S
0 0 0 0
sinnω S1 1 2
D = f (t)e dt= e dt=
T T T nω
 Gấp đôi T0: 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
0 nT D 2sin S
0
0
2
n n
T
0 02 /T
0n
4.1.1. Biến đổi Fourier 
 Tiếp tục tăng T0 
0
0
0
00 0
T /2
-jnω t -jωt
0 n T
-T /2 -T T
lim T .D = lim f (t)e dt = f(t)e dt=F(ω)
 Khi T0 , T0Dn hàm liên tục 
 Phổ của tín hiệu không tuần hoàn: 
0 0
0
n
T T Δω 0
0
F(nω ) 1
D(ω)= lim [D ] lim F(ω) lim [Δω]
T 2
0
 Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có tính chất phân bố 
 Hàm mật độ phổ tín hiệu, F( ), được xem là phổ tín hiệu 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1.1. Biến đổi Fourier 
 Tích phân Fourier 
0
0
T
T
f(t) lim f (t) jn ωt
0
n
1
lim F(n ω)e ω
2
0
0
jnω t
n
T
n
lim D e
jωt1f(t) F(ω)e dω
2π
 Tóm lại ta có kết quả: f(t) F(ω)
jωtF(ω)= f(t)e dt
Phương trình phân tích – Biến 
đổi Fourier thuận 
jωt1f(t)= F(ω)e dω
2π
Phương trình tổng hợp – Biến 
đổi Fourier ngược 
Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ các thành 
phần tần số, ej t 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier 
 Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F( ) hữu hạn và 
 năng lượng sai số bằng 0. 
 Điều kiện Dirichlet: 
 Điều kiện 1: 
T
|f(t)|dt<
 Điều kiện 2: f(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng thời 
 gian hữu hạn 
 Điều kiện 3: f(t) có hữu hạn số gián đoạn trong khoảng thời gian 
 hữu hạn và gián đoạn phải có độ lớn là hữu hạn 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản 
 f(t)= (t): 
-jωtF(ω)= δ(t)e dt= δ(t)dt=1 δ(t) 1
( )t
t
0 0
1
 f(t)=e-atu(t); a>0: 
at jωt (a+jω)t (a+jω)t
0
0
1 1
F(ω)= e u(t)e dt= e dt= e =
a+jω a+jω
at 1e u(t); a>0
a+jω
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản 
2 2
1
( )F
a
1( ) tan ( / )F a
( )F
1/a
/ 2
/ 2
( )F
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản 
 f(t)=u(t): 
0
0
1
( ) ( ) ?j t j t j tF u t e dt e dt e
j
( )ate u t
( )u t
t
0
1
2 20 0 0
1
( ) lim ( ) lim limat j t
a a a
a j
F e u t e dt
a j a
0
( ) lim ( )at
a
u t e u t
2 20
1
( ) lim
a
a
F
a j Diện tích bằng 
1
( ) ( )F
j
( ) ( ) 1/u t j
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản 
 f(t) xung cổng đơn vị: 
e tr ct
0 / 2
1 / 2
t
t
/ 2 / 2 / 2
/ 2
/ 2
/ 2
1
( ) ( )
j j
j t j t j tt
e e
F rect e dt e dt e
j j
2 2
2
2
2sin sin
( ) sin
j
F c
j 2
( ) sintrect c
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Tính chất tuyến tính: 
1 1 2 2f (t) F (ω); f (t) F (ω) 1 1 2 2 1 1 2 2a f (t)+a f (t) a F (ω)+a F (ω)
 Phép dịch thời gian: 
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt
0
0( ) ( )
j t
f t t F e Linear phase shift 
jωt
1 0 1 0f (t)=f(t t ) F (ω)= f(t t )e dt
0jω( +t )= f( )e d 0jωt=F(ω)e
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
Ví dụ: 
/ 2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Phép dịch tần số (điều chế): 
0jω t
0f(t)e F(ω ω )
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt
0 0jω t jω t jωt
1 1f (t)=f(t)e F (ω)= f(t)e e dt
0j(ω ω )t
0= f(t)e dt F(ω ω )
Ví dụ: 0 0 0
1 1
f(t)cosω t F(ω ) F(ω+ )
2 2
0 0 0
1 1
f(t)sinω t F(ω ) F(ω+ )
j2 j2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Tính đối ngẫu: 
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt
jωt1f(t)= F(ω)e dω
2
jωt1f( t)= F(ω)e dω
2
jωt1f( ω)= F(t)e dt
2π
jωt2πf( ω)= F(t)e dt
F(t) 2πf( ω)
Ví dụ: δ(t) 1 1 2πδ( ω)=2πδ(ω)
t ωτ
rect τsinc
τ 2 0
0 0
π ω
sinc ω t rect
ω 2ω
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Phép tỷ lệ thời gian: 
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt jωt1 1f (t)=f(at) F (ω)= f(at)e dt
ω
j τ
a
1
1
0 : F (ω)= f(τ)e dτ
a
a
1 ω
= F
a a
ω
j τ
a
1
1
0 : F (ω)= f(τ)e dτ
a
a
1 ω
= F
a a
1 ω
f(at) F
|a| a
 Phép đảo thời gian: 
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt f( t) F( ω)
Ví dụ: 
a|t|
2 2
1 1 2
e
a
a j a j a
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
1 1 2 2f (t) F (ω); f (t) F (ω)
jωt
1 2 1 2f(t)=f (t) f (t) F(ω)= f (t) f (t)e dt
+
jωt
1 2
- -
= f (τ) f (t τ)e dt dτ jωτ
1 2f (τ)F (ω)e dτ
jωτ
2 1 1 2F (ω) f (τ)e dτ F (ω)F (ω)
1 2 1 2f (t) f (t) F (ω)F (ω)
2 22t 2t t ωTT T
T T 2 T 4 4
rect( ) rect( )= sinc
2t ωTT
T 2 4
rect( ) sinc
2t ωTT
T 2 4
sinc
Ví dụ: 
jωt
1 2F(ω)= f (τ)f (t τ)dτ e dt
Có: 
 Tích chập trong miền thời gian: 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Tích chập trong miền tần số: 
1 1 2 2f (t) F (ω); f (t) F (ω)
jωt
1 2
1
f(t)= [F (ω) F (ω)]e dω
2π
jωt
1 2
1
[ F (τ)F (ω-τ)dτ]e dω
2π
jωt
1 2
1
F (τ)[ F (ω-τ)e dω]dτ
2π
jτt jxt
1 2
1
F (τ)e [ F (x)e dx]dτ
2π
jτt
2 1f (t) F (τ)e dτ 1 22πf (t)f (t)
1 2 1 22πf (t)f (t) F (ω) F (ω)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Đạo hàm trong miền thời gian: 
jωt1
2πf(t) F(ω)e dω
n
n
n
d f(t)
(jω) F(ω)
dt
f(t) F(ω)
jωt1
2π
df(t)
jωF(ω)e dω
dt
df(t)
jωF(ω)
dt
 Đạo hàm trong miền tần số: 
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt jωt
dF(ω)
= -jtf(t)e dt
dω
dF(ω)
tf(t) j
dω
n
n
n
d F(ω)
t f(t) j
dω
n
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Tích phân trong miền thời gian: 
f(t) u(t) f(τ)u(t τ)d f(τ)dτ
t
f(t) u(t) F(ω)[πδ(ω)+1/jω] = πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
f(τ)dτ πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
t
Ví dụ: Xác định biến đổi Fourier của các tín hiệu sau: 
t
1
-1 1
-1
1f (t)
t
1
2
2f (t)
-1
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Liên hiệp phức và tính đối xứng liên hiệp phức: 
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt
jωt1
2πf(t) F(ω)e dω
* jωt * * jωt1 1
2π 2πf (t) [ F(ω)e dω] F (ω)e dω
* jωt1
2π F ( ω)e dω
* *f (t) F ( ω) *F( ω)=F (ω) f(t):Real
|F(ω)| : even function of ω
F(ω) : odd function of ω
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
 Định lý Parseval: 
2
fE |f(t)| dt
*f(t)f (t)dt
jωt1
2
f(t)[ F(ω)e dω] dt
* -jωt1
2π F (ω)[ f(t)e dt]dω
*1
2π F (ω)F(ω)dω
21
f 2π
E |F(ω)| dω
2|F(ω)| Mật độ phổ năng lượng 
Định lý Parseval 
ω
2
f(t)=sinc(t) F(ω)=2πrect( )Ví dụ: 
2 2 ω1
f 2π 2E 4π rect ( )dω
1
1
2π dω 4π
Tín hiệu vật lý là tín hiệu thực và có phổ trãi dài vô hạn trên thang 
tần số tuy nhiên chỉ có một khoảng tần số là chứa phần năng lượng 
quan trọng của tín hiệu khái niệm về băng thông tín hiệu. 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 
M khi đó được gọi là băng thông tín hiệu 
Ví dụ: Xác định băng thông của tín hiệu: e-atu(t); a>0 
atf(t)=e u(t) F(ω)=1/(a+jω) f 2 2
1 1 1
E dω
2π a ω 2a
M
M
ω
1 M
f 2 2ω
ω0.95 1 1 1
0.95E dω tan
2a 2π a ω πa a
Mω =12.706a (rad/s)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn 
 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier: 
0jnω t
n
n=
f(t)= D e 0
0
jnω t 0 0
n
T
0 0
F (nω )1
D = f(t)e dt
T T
với: 
 Biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn: 
n 0
n=
f(t) F(ω)= 2πD δ(ω nω )
n
1 nπ
D = sinc( )
2 2
 Ví dụ 1: 
0
n=
nπ
F(ω)= πsinc( )δ(ω nω )
2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn 
F(ω)
0ω0ω
22
ω
 Ví dụ 2: xác định phổ của hàm phân bố lược 
k=
f(t)= δ(t kT)
f(t)
1
t
0 T 2T-T-2T
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn 
n
1
D =
T n=
2π 2nπ
F(ω)= δ(ω )
T T
F(ω)
2π
T
4π
T
4π
T
2π
T
0
2π
T
ω