Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 6 - Trần Quang Việt

Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier 
Lecture-6 
3.3. Chuỗi Fourier và tính chất 
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất 
3.3.1. Chuỗi Fourier 
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier 
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.1. Chuỗi Fourier 
 Xét tập tín hiệu: 0jnω te ; n=0, ±1, ±2,....
 Ta có: 
1 0
0 0 0 0
1
t T
jnω t jmω t jnω t jmω t
t
(e , e )= e e dt
0
0
2
T
ω
 và 
1 0
0
1
t T
j(n m)ω t
t
= e dt
1 0
0
1
t T
j(n m)ω t
t
0
1
= e
j(n m)ω
0 1 0 0j(n m)ω t j(n m)ω T
0
1
= e [e 1]
j(n m)ω
=0
 Và: 
1 0
0 0 0 0
1
t T
jnω t jnω t jnω t jnω t
0 n
t
(e , e )= e e dt T E
 Vậy tập tín hiệu trên là không gian tín hiệu trực giao. 
 Dùng kết quả phần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t) 
 trong khoảng t1<t<t1+T0 
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
1 0
0
1
t +T
-jnω t
n
t
0
1
D = f(t)e dt
T
với 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.1. Chuỗi Fourier 
 Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn: 
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
1 0
0
1
t +T
jnω t
n
t
0
1
D = f(t)e dt
T
với Ta có: 
 chỉ đúng trong khoảng t1<t<t1+T0. Trên toàn trục thời gian: 
0jnω t
n
n=
(t)= D e 0 0jnω (t+T )
0 n
n=
(t+T )= D e (t)
Suy ra chuỗi Fourier biểu diễn cho tín hiệu tuần hoàn. Tóm lại, 
nếu f(t) tuần hoàn với chu kỳ T0 sẽ được biểu diễn bởi chuỗi 
Fourier như sau: 
0jnω t
n
n=
f(t)= D e 0
0
jnω t
n
T
0
1
D = f(t)e dt
T 0 0
2
ω
T
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.1. Chuỗi Fourier 
 Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hoàn như hình vẽ 
1
1
T
1
0
-T
2T1 1
D = dt
T T 3
1 
1 1
0 0
11
T T
jnω t jnω t
n
T-T
0
1 1
D = e dt e
T jnω T
0 1 0 1jnω T jnω T
1
(e e )
j2n
0 1
1
sin(nω T )
n
1 n
sin
n 3
1 n
sinc
3 3
0jnω t
n=
1 n
f(t)= sinc e
3 3
1
T
T
6
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.1. Chuỗi Fourier 
 Chuỗi Fourier lượng giác: trong trường hợp f(t) là tín hiệu thực 
*f(t)=f (t) 0jnω t
n
n=
f(t)= D e 0
jnω t*
n
n=
D e 0
jnω t*
n
n=
D e
n nD D
*
n nD D
chuỗi Fourier được viết lại như sau: 
0 0jnω t jnω t
0 n n
n=1
f(t)=D (D e D e ) 0 0jnω t jnω t*
0 n n
n=1
=D (D e D e )
0 n 0 n
n=1
f(t)=C C cos(nω t+θ )
0 0 n n n nC =D ; C =2|D |; θ D
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.1. Chuỗi Fourier 
 Phổ của tín hiệu tuần hoàn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần 
 hoàn thành tổng các thành phần tần số. Phân bố giá trị của các 
 thành phần trên thang tần số gọi là phổ tần số (thường gọi là phổ) 
 tín hiệu. Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổ biên độ và 
 phổ pha. 
0jnω t
n=
1 n
f(t)= sinc e
3 3
Xét ví dụ trước: 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier 
 Các tín hiệu tuần hoàn có năng lượng trong 1 chu kỳ hữu hạn đều 
 có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier (Dn hữu hạn & năng lượng sai 
 số bằng 0). Thực tế f(t) & chuỗi Fourier sẽ không có sự phân biệt 
 đối với các hệ thống vật lý vì chúng đáp ứng trên cơ sở năng lượng 
 Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụ về giá trị trung bình tại 
 điểm gián đoạn 
 Điều kiện 1: Dn hữu hạn 
T
|f(t)|dt<
f(t)=1/t; 0<t 1 Không thỏa điều kiện 1 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier 
 Điều kiện 2: có số cực đại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ 
Ex: f(t)=sin(2 /t); 0<t 1 Thỏa ĐK 1 nhưng không thỏa 2 
 Điều kiện 3: có số điểm gián đoạn và giá trị gián đoạn là hữu hạn 
 trong 1 chu kỳ 
Không thỏa ĐK 3 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier 
 Hiện tượng Gibbs: phát hiện: nhà vật lý Michelson giải thích: 
 nhà toán học Gibbs 
9% 9% 9% 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier 
 Tính tuyến tính: 
1 1n
2 2n
f (t) D
f (t) D 1 1 2 2 n 1 1n 2 2n
f(t)=k f (t)+k f (t) D =k D k D
 Phép dịch thời gian: 
nf(t) D
0 0jnω t
0 nf(t t ) e D
 Phép đảo thời gian: 
nf(t) D nf( t) D
 Phép tỷ lệ thời gian: 
nf(t) D
0jnaω t
n nf(at) D ; f(at)= D
n
e
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier 
 Nhân 2 tín hiệu: 
1 1n
2 2n
f (t) D
f (t) D 1 2 n 1k 2(n-k)
k=
f(t)=f (t)f (t) D = D D
 Liên hiệp phức: 
nf(t) D
* *
nf (t) D
 Định lý Parseval : 
2 2
f n
T
n=
1
P |f(t)| dt= |D |
T
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI 
 Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung là h(t) 
và f(t) là tín hiệu tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó có thể 
biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier là tổng của các thành phần TS ejn ot 
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
0jnω t
n
n=
y(t)=f(t) h(t)= D [e h(t)]
0jnω (t τ)
n
n=
y(t)= D h(τ)e dτ 0 0jnω τ jnω t
n
n=
= D h(τ)e dτ e
0jnω t
n 0
n=
y(t)= D H(nω )e jωtH(ω)= h(t)e dt
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI 
 Nhận xét về đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu tuần hoàn 
 y(t) cũng được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier với các hệ số là 
 DnH(n 0) y(t) là tín hiệu tuần hoàn cùng tần số với f(t) 
 Các thành phần tần số khác nhau của f(t) khi qua HT LTI sẽ bị thay 
 đổi khác nhau về biên độ và pha tùy thuộc vào H( ) HT LTI 
 đóng vai trò là một bộ chọn lọc tần số; H( ): đáp ứng tần số. 
 Ví dụ: xác định chuỗi Fourier của ngỏ ra HT LTI có đáp ứng xung 
 h(t)=e-2tu(t) với ngõ vào f(t) như ví dụ phần 3.3.1 có T= 
jωt; H(ω)= h(t)e dt0jnω t
n=
1 n
f(t)= sinc e
3 3
1
2+jω
j2nt
n=
1 n
y(t)= sinc e
6(1+jn) 3