Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 20 - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-20
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Lấy mẫu (Sampling)

 Lý thuyết lấy mẫu

 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

 Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
( ) ( ) j tF f t e dtωω ∞ −
−∞
= ∫
1( ) ( )
2
j tf t F e dωω ω
pi
∞
−∞
= ∫
0
0
1
0
N
jr k
r k
k
F f e
−
− Ω
=
= ∑
0
0
1
0 0
1 N jr k
k r
r
f F e
N
−
Ω
=
= ∑0 0 /N T T=
( )kf Tf kT=
0 02 / NpiΩ =
N0 mẫu N0 mẫu
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
Giảm khối lượng tính toán: 20 0 0logN N N→
0
0
1
0
N
jr k
r k
k
F f e
−
− Ω
=
= ∑
0
0
1
0 0
1 N jr k
k r
r
f F e
N
−
Ω
=
= ∑ Nhân: N0
Cộng: N0-1
Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng
Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2

 Đặt: ( )0 0
0
2 /j N j
NW e e
pi−
− Ω
= =

 Các biểu thức DFT được viết lại: 
0
0
1
0
N
kr
r k N
k
F f W
−
=
= ∑
0
0
1
0 0
1 N kr
k r N
r
f F W
N
−
−
=
= ∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

 Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:
0 0
k k
0 4 6 2 1 3 5 1
 g h
, , ,..., , , ,...,N N
sequence sequence
f f f f f f f f
− −



0 0
2 2
0 0
1 1 (2 1)2
2 2 1
0 0
N N
k rkr
r k N k N
k k
F f W f W
− −
+
+
= =
= +∑ ∑
Biểu thức DFT được viết lại:
0 0
2 2
0 0
02 2
1 1
2 2 1
0 0
N N
N N
kr r kr
r k N k
k k
F f W W f W
− −
+
= =
⇒ = +∑ ∑
Ta có: 0
02
2
N NW W=
0
r
r N rG W H= +
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

 Do Gr và Hr là DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn:
0 0
2 2
 &N Nr rr rG G H H+ += =
Mặt khác: 0 02 2
00 0
N N
r r
NN NW W W
+
=
0 0
j r r
N Ne W W
pi−
= = −
0 0
2 2
0 0
02 2
1 1
2 2 1
0 0
N N
N N
kr r kr
r k N k
k k
F f W W f W
− −
+
= =
⇒ = +∑ ∑ 0
r
r r N rF G W H= +
0
2
0 0 0
2 2 20
N
N N N
r
r r rNF G W H
+
+ + +⇒ = + 0 02N
r
r N rrF G W H+ = −
⇒
⇒
0(0 1)r N≤ ≤ −
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
 Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT: 
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
 Số phép toán nhân: 0 2 0log2
N N
 Số phép toán cộng: 0 2 0logN N
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bài tập
Bài 1. Tín hiệu f(t)=sinc(200pit) được lấy mẫu bởi chuỗi xung đơn vị
tuần hoàn với các tốc độ lần lượt như sau: (a) 150Hz, (b) 200Hz, (c) 
300Hz. Vẽ phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu tương ứng với các
trường hợp trên? Có thể khôi phục lại tín hiệu gốc f(t) từ tín hiệu
được lấy mẫu không, giải thích? Cho tín hiệu đã được lấy mẫu đi
qua bộ lọc thông thấp lý tưởng có băng thông 100Hz, vẽ phổ của tín
hiệu ngõ ra bộ lọc?
Bài 2. Tín hiệu f(t)=sinc(200pit) được lấy mẫu bởi tín hiệu xung tuần
hoàn pT(t) như hình vẽ. Hãy tìm và vẽ phổ của tín hiệu đã được lấy
mẫu? Cho tín hiệu đã được lấy mẫu đi qua bộ lọc thông thấp lý tưởng
có băng thông bằng 100Hz, hãy xác định tín hiệu ngõ ra của bộ lọc? 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bài tập
Bài 3. Tín hiệu f(t)=5sinc2(5pit) được lấy mẫu (tốc độ lớn hơn tốc độ
Nyquist) như hình vẽ:
Hãy xác định và vẽ phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu? Từ đó giải
thích có thể khôi phục tín hiệu gốc từ tín hiệu này hay không?
T/4
T