Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 18 - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-18
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng tần số và bộ lọc tương tự

 Đáp ứng tần số của hệ thống LTIC

 Biểu đồ Bode

 Thiết kế bộ lọc tương tự

 Bộ lọc Butterworth

 Bộ lọc Chebyshev

 Các phép biến đổi tần số
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Butterworth
Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+an-1sn-1++a1s+1
n 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Butterworth
Butterworth Polynominal in Factorized Form
n ( )nB s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Butterworth
Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth:
 Bước 1: Xác định
 Bước 2: Xác định ωc:
/10/10log (10 1) /(10 1)
2 log ( / )
ps GG
s p
n
ω ω
−
− 
− − ≥
/10 1 / 2(10 1)p
p
c G n
ω
ω
−
≥
−
/10 1/ 2(10 1)s
s
c G n
ω
ω
−
≤
−
và
 Bước 3: Xác định H(s): dùng n (bước 1) tra bảng (hoặc tính) 
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / cs s ω← ( )H s
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
0.5 dB ripple
0.5r dB=
1 dB ripple
1r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
2 dB ripple
2r dB=
3 dB ripple
3r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev:
 Bước 1: Xác định: 
 Bước 2: Chọn ε:
( )
1 / 2/10
1
/101
1 10 1
cosh
10 1cosh /
sG
r
s p
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
/ 10
/ 10
1
10 1 10 1
cosh [ cosh ( / )]
sG
r
s pn
ε
ω ω
−
−
− ≤ ≤ −
Nếu ε sao cho r=0.5dB, 1dB, 2dB hoặc 3dB  tra bảng C’n(s); 
nếu không thỏa  tính C’n(s):
( )
( 2 1) ( 2 1)
2 2
11 1
'
1 2
sin sinh cos cosh
1, 2, 3, ..., ; sinh
( ) ( )( )...( )
k k
k n n
n
n n
s x j x
k n x
C s s s s s s s
pi pi
ε
− −
−
= − +
= =
= − − −
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
 Bước 3: Xác định H(s):
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / ps s ω← ( )H s
'
( ) ( )
n
n
K
s
C s
=H
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
ε+

= 

Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev:
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số

 Bộ lọc thông cao (High-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-bandHigh-pass Filter
p ( )sH
( )s T s← ( )HPH s ( )
pT s
s
ω
=
Ví dụ 1: Thiết kế bộ lọc thông cao Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (ω≥200) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≤100) 
Gs≤ -20dB?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
 Thiết kế bộ lọc thông thấp chebyshev mẫu có:
1ppω = ; 2r dB≤ ; / 200/100 2sp p sω ω ω= = = ; 20sG dB≤ −
( )
1 / 2/10
1
/101
1 10 1
cosh
10 1cosh /
sG
r
sp pp
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
( )
1/ 22
1
1 0.2
1 10 1
cosh
cosh 2 10 1
n
−
−
 −
⇒ ≥  
− 
2.473= 3n⇒ =
/ 10
/1 0
1
1 0 1 1 0 1
co sh [ co sh ( / )]
sG
r
sp p pn
ε
ω ω
−
−
− ≤ ≤ −
 chọn ε=0.764  (r)design=2dB0 .382 0 .764ε⇔ ≤ ≤
Tra bảng: ' 3 2( ) 0.7378 1.0222 0.3269
n
C s s s s= + + +
0 0.3269nK a⇒ = =
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
' 3 2
0.3269( ) ( ) 0 .7378 1.0222 0.3269
n
n
K
s
C s s s s
⇒ = =
+ + +
H
1
cp ppω ω= =Có:
3 2
0.3269( ) ( )
0 .7378 1.0222 0.3269p
s s
s s s
⇒ = =
+ + +
H H
 Xác định hàm truyền của bộ lọc thông cao chebyshev:
( ) [ ( )]; ( ) / 200 /HP p pH s T s T s s sω= = =H
( ) ( ) ( )3 2200 200 200
0.3269( )
0.7378 1.0222 0.3269H P s s s
H s =
+ + +
3
3 2 6( ) 625.39 90728.37 12.24.10H P
sH s
s s s
=
+ + +
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số

 Bộ lọc thông dãi (Band-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-pass 
Filter
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
min ;p p s s p ps
s p p s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2
1 2
2 1
( ) ( )
p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
+
=
−
p ( )sH
( )s T s←
( )BPH s
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 2: Thiết kế bộ lọc thông dãi Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≤ 1dB; độ lợi dãi chắn
(ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
 Thiết kế bộ lọc thông thấp chebyshev mẫu có:
2 66 2
3 3 3 3
4000 2.102.10 (450)
; min ;
450(2.10 10 ) 4000(2.10 10 )sω
 −−
=  
− − 
{ }min 3.99;3.5 3.5sω⇔ = =
1pω =
; 1r dB≤ ; 20sG dB≤ −
1 / 22
1
1 0.1
1 10 1
cosh 1.904
cosh (3.5) 10 1n
−
−
 −≥ = 
− 
2n⇒ =
/ 10
/ 10
1
1 0 1 1 0 1
co sh [ co sh ( / )]
sG
r
s pn
ε
ω ω
−
−
− ≤ ≤ −
2
0.1
1
10 1 10 1 0.4233 0.5088
cosh[2 cosh (3.5)] ε ε−
−
⇔ ≤ ≤ − ⇔ ≤ ≤
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
' 2 1.0977 1.1025
n
C s s= + +Chọn: ;Tra bảng:0.5088 1r dBε = → =
n=2  0
2 2
1.1025 0.9826
1 1 0.5088
n
aK
ε
= = =
+ +
' 2
0.9826( )
1.0977 1.1025
n
n
K
s
C s s
⇒ = =
+ +
H
2
0.9826( )
1 .0977 1.1025p
s
s s
⇒ =
+ +
H
 Hàm truyền của bộ lọc thông dãi chebyshev
2 6 2 6
3 3
2 .1 0 2 .1 0( ) (2 .1 0 1 0 ) 1 0 0 0
s sT s
s s
+ +
= =
−
5 2
4 3 6 2 9 12
9.826.10( )
1097.7 5.1025.10 2.195.10 4.10BP
sH s
s s s s
⇒ =
+ + + +
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 3: Thiết kế bộ lọc thông dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≥ -2.4dB; độ lợi dãi
chắn (ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
 Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth mẫu có:
2 66 2
3 3 3 3
4000 2.102.10 (450)
; min ;
450(2.10 10 ) 4000(2.10 10 )sω
 −−
=  
− − 
{ }min 3.99;3.5 3.5sω⇔ = =
1pω =
; 20sG dB≤ −; 2.4pG dB≥ −
2
0.24
1 10 1log 1 .955
2 log(3.5) 10 1n
 −≥ = 
− 
0.24 1 / 4 2 1 / 4
1 3 .5
(10 1) (10 1)cω≤ ≤− −
1 .078 1 .109cω⇔ ≤ ≤ 1.109cω⇒ =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
 Hàm truyền của bộ lọc thông dãi Butterworth:
Tra bảng có:
2
1( )
2 1
s
s s
=
+ +
H
( ) ( )2 21.109 1.109
1 1 .23( )
1 .569 1.232 1p s s
s
s s
⇒ = =
+ ++ +
H
2 6 2 6
3 3
2 .1 0 2 .1 0( ) (2 .1 0 1 0 ) 1 0 0 0
s sT s
s s
+ +
= =
−
6 2
4 3 6 2 9 12
1.12312 10( )
1569 5.2312 10 3.1384 10 4.10BP
sH s
s s s s
×
⇒ =
+ + × + × +
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số

 Bộ lọc chắn dãi (Band-stop Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-stop 
Filter
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
min ;s p p s p ps
p p s s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2 1
2
1 2
( )( ) p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
−
=
+p ( )sH
( )s T s←
( )BSH s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 4: Thiết kế bộ lọc chắn dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi chắn (100≤ω≤150) ≤ -20dB; độ lợi dãi thông
(ω≤60 hoặc ω≥260) ≥ -2.2dB?
 Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth mẫu có:
4 2
100(260 60) 150(260 60)
; min ;
60 260 10 150 60 260s
ω
− − 
=  
× − − × 
1pω =
{ }min 3.57;4.347 3.57sω⇒ = = ; 20sG dB≤ − ; 2.2pG dB≤ −
2
0.22
1 10 1log 1.9689
2 log(3.57) 10 1n
 −≥ = 
− 
2n⇒ =
0.22 1/ 4 2 1/ 4
1 3.57 1.1096 1.1317(10 1) (10 1)c cω ω≤ ≤ ⇔ ≤ ≤− −
1.1096cω⇒ =
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
Tra bảng có:
2
1( )
2 1
s
s s
=
+ +
H
( ) ( )2 21.1096 1.1096
1 1.2312( )
1 .5692 1.23122 1p s s
s
s s
⇒ = =
+ ++ +
H
 Hàm truyền của bộ lọc chắn dãi Butterworth:
2 1
2 2
1 2
( ) 200( )
15600
p p
p p
s sT s
s s
ω ω
ω ω
−
= =
+ +
2
2 2
1.2312( )
200 2001.5692 1.2312
15600 15600
BS s
s s
s s
⇒ =
   + +   + +   
H
( )22
4 3 2 8
15600( )
254.9 63690.9 2.433 10BS
s
s
s s s
+
⇒ =
+ + + ×
H
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
Mạch điện theo mô hình Sallen-Key:
3 4
1 2 1 2 3 4
( ) ( )
Z ZH s
Z Z Z Z Z Z
⇒ =
+ + +
2
2 2( ) 2
n
n n
H s
s s
ω
ζω ω⇒ = + +
1 2 1 21/n R R C Cω = 1 2 2
1 2 1 2
( )
;
2
R R C
R R C C
ζ +=
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
Ví dụ: thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth dùng Op-amp thỏa
mãn các yêu cầu sau: 
3 32 10 ( / ); 2 1.8 10 ( / )p srad s rad sω pi ω pi= × = × ×
3 ; 20p sG dB G dB≥ − ≤ −
Thiết kế:
2
0.3
1 10 1log 3.91
2log(1.8) 10 1n
 −≥ = 
− 
4n⇒ =
( ) ( )
3 3
1/8 1/80.3 2
2 10 2 1.8 10
10 1 10 1
c
pi pi
ω
× × ×≤ ≤
− −
6286.9 6367.9cω⇔ ≤ ≤ 6300cω⇒ =
2 2
1( ) ( 0.76536 1)( 1.8477 1)s s s s s⇒ = + + + +H
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
2 2
1( ) ( 0.76536 1)( 1.8477 1)s s s s s⇒ = + + + +H
( ) ( ) ( ) ( )2 26300 6300 6300 6300
1( )
[ 0.76536 1][ 1.8477 1]s s s s
H s⇒ =
+ + + +
2 2
2 2 2 2
6300 6300( ) ( 4821.39 6300 )( 11640.51 6300 )H s s s s s
×
⇔ =
+ + + +
1 2( ) ( ) ( )H s H s H s⇔ =
2
1 2 2
6300( ) ( 4821.39 6300 )H s s s= + +
2
2 2 2
6300( ) ( 11640.51 6300 )H s s s= + +
13
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
2
1 2 2
6300( ) ( 4821.39 6300 )H s s s= + +
6300
n
ω =
4821.39
; 0.3826
2 6300
ζ = =
×
1 2 1 21/ 6300n R R C Cω = =
1 2 2
1 2 1 2
( ) 0.3826
2
R R C
R R C C
ζ += = 1 2 2 2 0.3826( ) 6300R R C
×
⇒ + =
4
1 2 2( ) 1.2146 10R R C −⇔ + = × 2; 10C nF= 31 2 12.146 10R R⇒ + = ×
1 25.6 6.5R k R k= Ω ⇒ = Ω
( )6 8 2 81 1/ 5.6 6.5 10 10 6300 6.9 10 69C nF− −⇒ = × × × × = × =
1 2
1 2 2
1
( )n
C
R R Cω
⇒ =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
6300
n
ω =
11640.51
; 0 .9238
2 6300
ζ = =
×
1 2 1 21/ 6300n R R C Cω = =
1 2 2
1 2 1 2
( ) 0.9238
2
R R C
R R C C
ζ += = 1 2 2 2 0.9238( ) 6300R R C
×
⇒ + =
4
1 2 2( ) 2.9328 10R R C −⇔ + = × 2; 10C nF= 31 2 29.328 10R R⇒ + = ×
1 220 9.3R k R k= Ω ⇒ = Ω
( )6 8 2 81 1/ 20 9.3 10 10 6300 1.35 10 13.5C nF− −⇒ = × × × × = × =
1 2
1 2 2
1
( )n
C
R R Cω
⇒ =
2
2 2 2
6300( ) ( 11640.51 6300 )H s s s= + +
14
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
Mạch thực hiện H(s)=H1(s)H2(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
(1 , 2 . 9 2 )k H z d B−
(1 . 8 , 2 0 . 4 2 )k H z d B−
Kết quả mô phỏng bằng Electronics Workbench
15
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
Kết quả mô phỏng bằng Electronics Workbench
Red: output
Black: input
Red: output
Black: input
Red: output
Black: input
1KHz wave
1KHz wave
1KHz wave
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
Kết quả mô phỏng bằng Electronics Workbench
Filter1kHz, sine-wave H-W-R
16
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
Kết quả mô phỏng bằng Electronics Workbench
comp
Filter
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
2
2 2( ) 2 n n
sH s
s sζω ω⇒ = + +
1 2 1 21/n R R C Cω = 1 2 1
1 2 1 2
( )
;
2
C C R
R R C C
ζ +=
Ví dụ: thiết kế mạch lọc thông cao Butterworth dùng Op-amp thỏa
mãn các yêu cầu sau: 
3 32 10 ( / ); 2 1.8 10 ( / )s prad s rad sω pi ω pi= × = × ×
3 ; 20p sG dB G dB≥ − ≤ −
17
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
1; 1.8pp spω ω= = ; 3 ; 20p sG dB G dB≥ − ≤ −
2
0.3
1 10 1log 3.91
2log(1.8) 10 1n
 −≥ = 
− 
4n⇒ =
( ) ( )1/8 1/80.3 2
1 1.8
10 1 10 1
cω≤ ≤
− −
1cω⇒ =
2 2
1( ) ( 0.76536 1)( 1.8477 1)s s s s s⇒ = + + + +H
1 1.01cω⇔ ≤ ≤
2 2
1( ) ( 0.76536 1)( 1.8477 1)p s s s s s⇒ = + + + +H
( ) ( ) ( ) ( )2 211309.7 11309.7 11309.7 11309.7
1( )
[ 0.76536 1][ 1.8477 1]HP s s s s
H s⇒ =
+ + + +
2 2
2 2 2 2( ) ( 0.76536 11309.7 11309.7 )( 1.8477 11309.7 11309.7 )HP
s sH s
s s s s
×
⇔ =
+ × + + × +
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
2 2
2 2 2 2( ) ( 0.76536 11309.7 11309.7 )( 1.8477 11309.7 11309.7 )HP
s sH s
s s s s
×
⇔ =
+ × + + × +
1 2( ) ( ) ( )HPH s H s H s⇔ =
2
1 2 2( ) ( 0.76536 11309.7 11309.7 )
sH s
s s
=
+ × +
2
2 2 2( ) ( 1.8477 11309.7 11309.7 )
sH s
s s
=
+ × +
2
1 2 2( ) ( 0.76536 11309.7 11309.7 )
sH s
s s
=
+ × +
Thực hiện H1(s):
1 2 1 21 / 11309.7n R R C Cω = = 2 2
1 1 2
1
( )n
R
R C Cω
⇒ =
1 2 1
1 2 1 2
( ) 0 .3826
2
C C R
R R C C
ζ += = 51 2 1 2 0.3826( ) 6.77 1011309.7C C R
−
×
⇒ + = = ×
18
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
1; 10R k= Ω 91 2 6.77 10C C −⇒ + = ×
1 3.3C nF= 2 3.4C nF⇒ =
( )4 18 22 1/ 10 3.3 3.4 10 11309.7 69.7R k−⇒ = × × × × = Ω
Thực hiện H2(s):
1 2 1 21 / 11309.7n R R C Cω = =
1 2 1
1 2 1 2
( ) 1 .8477
22
C C R
R R C C
ζ += =
2
2 2 2( ) ( 1.8477 11309.7 11309.7 )
sH s
s s
=
+ × +
1 10R k= Ω
5
1 2 1
2 0.3826( ) 6.77 10
11309.7
C C R −×⇒ + = = ×
2 2
1 1 2
1
( )n
R
R C Cω
⇒ =
4
1 2 1
1.8477( ) 1.63 10
11309.7
C C R −⇒ + = = ×
9
1 2 16.3 10C C
−⇒ + = × 1; 10C nF= 2 6.3C nF⇒ =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Mạch lọc dùng Op-amp
( )4 18 22 1/ 10 10 6.3 10 11309.7 12.4R k−⇒ = × × × × = Ω
(1 . 8 , 2 . 9 6 )k H z d B−
(1 , 2 0 . 4 2 )k H z d B−
Kết quả mô phỏng bằng Electronics Workbench