Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 14 - Trần Quang Việt

Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
Ch-7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự 
Lecture-14 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
7.5. Các phép biến đổi tần số 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.2. Bộ lọc Butterworth 
Trên thực tế người ta tìm được các phép biến đổi để thiết 
kế bộ lọc thông cao, thông dãi, chắn dãi dựa vào bộ lọc 
thông thấp Tập trung khảo sát thiết kế bộ lọc thông 
thấp (xem như bộ lọc mẫu – Prototype Filter) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Butterworth bậc n: 
c
2n
ω
ω
1
|H(jω)|=
1+
 Tại tần số c, đáp ứng biên độ bằng 1/(2)
1/2 hoặc -3dB công 
 suất suy giảm ½ : gọi là tần số cắt, tần số 3dB hoặc tần số ½ 
 công suất 
 Yêu cầu thiết kế: 
 Chỉ rỏ p 
 Chỉ rỏ G( p) Gp 
 Chỉ rỏ G( s) Gs 
 Chỉ rỏ s 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
 Xác định bậc n của bộ lọc và c theo các yêu cầu thiết kế: 
 Độ lợi (dB) tại tần số x: 
x
c
2n
ω
x 10 ωG(ω ) 10log 1+
 Độ lợi (dB) tại tần số p: 
p
c
2n
ω
p 10 pωG(ω )= 10log 1+ G
 Độ lợi (dB) tại tần số s: 
s
c
2n
ω
s 10 sωG(ω ) 10log 1+ G
2
/10
10 1s s
c
n
G
2
/10
10 1p p
c
n
G
/102
/10
10 1
10 1
s
s
p p
Gn
G
/10/10
log (10 1) /(10 1)
2log( / )
ps
GG
s p
n
/10 /10 1/ 21/ 2 (10 1)(10 1)p s
p s
cG G nn
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
 Xác định hàm truyền H(s) bậc n: 
 Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa ( c=1) như sau: 
2
1
| ( ) |
1 n
jH
 Suy ra H(s) khi biết hàm truyền của đáp ứng chuẩn hóa: 
( )sH
/ cs s
( )H s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
 Xác định hàm truyền bậc n của bộ lọc chuẩn hóa: 
 Xác định các poles của bộ lọc chuẩn hóa: 
s j
Các poles của H(s)H(-s) phải thỏa: 2 2( )n ns j
(2 1)1 j ke
/ 2jj e
2 (2 1)n j k ns e
2
1
( ) ( )
1 n
j jH H
2
1
( ) ( )
1 ( / ) n
s s
s j
H H
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
Re
Im
-1
1
j
-j
(2 1)
2 ; 1,2,3,...,2
j
k n
n
ks e k n
 Kết luận: n poles của H(s): 
 Vậy các poles của H(s)H(-s) là: 
(2 1)
2 ; 1,2,3,...,
j
k n
n
ks e k n
Re
Im
-1
1
j
-j
n
2n
H(-s) H(s) H(-s) H(s) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
 Hàm truyền H(s) có dạng: 
(2 1)
2 ; 1,2,3,...,
j
k n
n
ks e k n
1 2 3
1
( )
( )( )( )...( )n
s
s s s s s s s s
H
 Ví dụ: xét trường hợp n=4 
5 /8
1 0.3827 0.9239
js e j
7 /8
2 0.9239 0.3827
js e j
9 /8
3 0.9239 0.3827
js e j
11 /8
4 0.3827 0.9239
js e j
Re
Im
-1
j
-j
s
1
s
2
s
3
s
4
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
1
( )
( 0.3827 0.9239)( 0.3827 0.9239)( 0.9239 0.3827)( 0.9239 0.3827)
s
s j s j s j s j
H
2 2
1
( )
( 0.7654 1)( 1.8478 1)
s
s s s s
H
4 3 2
1
( )
2.6131 3.4142 2.6131 1
s
s s s s
H
 Làm tương tự ta có thể tính được cho trường hợp bậc n bất kỳ: 
1
1 1
1 1
( )
( ) ... 1n nn n
s
B s s a s a s
H
 Bn(s): Gọi là đa thức Butterworth!!! 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=s
n+an-1s
n-1++a1s+1 
n
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
Butterworth Polynominal in Factorized Form 
n ( )nB s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth: 
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa mãn các yêu cầu 
sau: Độ lợi dãi thông (0 <10) không nhỏ hơn -2dB; độ lợi dãi 
chắn ( 20) không vượt quá -20dB 
 Bước 1: Xác định 
 Bước 2: Xác định c: 
/10/10
log (10 1) /(10 1)
2log( / )
ps
GG
s p
n
/10 /10 1/ 21/ 2 (10 1)(10 1)p s
p s
cG G nn
 Bước 3: Xác định H(s): dùng n (bước 1) tra bảng (hoặc tính) 
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH
/ cs s
( )H s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.3. Bộ lọc Butterworth 
 Bước 1: 
 Bước 2: 
2 0.2log (10 1) /(10 1)
3.701
2log 2
n
0.2 1/8
10
10.694
(10 1)
c
 Bước 3: 
 Bước 4: 
 chọn n=4 
2 1/8
20
11.26
(10 1)
c
 chọn c=11 
8
10
10 11
( ) 10log 1 1.66 2pG dB dB
8
20
10 11
( ) 10log 1 20.8 20sG dB dB
2 2
1
( )
( 0.76536686 1)( 1.84775907 1)
s
s s s s
H
2 2
11 11 11 11
1
( )
[ 0.76536686 1][ 1.84775907 1]s s s s
H s
2 2
14641
( )
( 8.41903546 121)( 20.32534977 121)
H s
s s s s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Chebyshev: 
2 2
1
| ( ) |
1 ( )
cn
H j
C
 Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa ( c=1): 
2 2
1
| ( ) |
1 ( )n
j
C
H
 Vậy khi có H(s) H(s) bằng cách: 
( )sH
/ cs s
( )H s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Xét đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp chuẩn hóa Chebyshev : 
2 2
1
| ( ) |
1 ( )n
j
C
H
1( ) cos cosnC n ;| | 1
1( ) cosh coshnC n ;| | 1
Cn( ) là một đa thức thỏa tính chất sau: 
1 2( ) 2 ( ) ( ); 2n n nC C C n
0( ) 1CCó: và 1( )C
2
2 ( ) 2 1C
Một cách tương tự ta có thể tính được bảng Cn( )!!! 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
n ( )nC
Chebyshev Polyminals 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Đáp ứng biên độ bộ lọc Chebyshev: 
2 2
1
| ( ) |
1 ( )n
j
C
H
2
1010log (1 )r
-r Gp (Butterworth) 
p c
 Độ gợn r (Độ lơi max/Độ lơi min) trong dãi thông: 
(dB) 
(dB) 
Pass-band Pass-band 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Xác định và bậc(n) của bộ lọc Chebyshev thỏa yêu cầu thiết kế: 
 Độ lợi tại tần số : 2 21010log [1 ( )]pnG C
 Độ lợi tại tần số s: 
2 2
1010log [1 ( )]
s
pn
C
1/ 2
/10
1
/10
10 1
cosh cosh
10 1
s
s
p
G
r
n
1/ 2
/10
1
/101
1 10 1
cosh
10 1cosh /
sG
r
s p
n
2
1010log (1 )designr r Xác định : 
sG
/1010 1r
/10
1
10 1
cosh[ cosh ( / )]
sG
s pn
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
1
(2 1) (2 1)
sin sinh cos cosh
2 2
1,2,3,...,
1 1
sinh
k
k k
s x j x
n n
k n
x
n
 Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc: 
 Người ta tính được các poles của H(s) như sau: 
600
600
600
600
Re
Im
sinh ; cosha x b x
H(s) H(-s) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
' 1
1 1 0
( )
( ) ...
n n
n n
n n
K K
s
C s s a s a s a
H
1 2
( )
( )( )...( )
n
n
K
s
s s s s s s
H
 Kn được lựa chọn để bảo đảm độ lợi DC: 
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
Để việc thiết kế được đơn giản, người ta thành lập bảng C’n(s) 
hoặc giá trị của các poles với một số độ gợn r thường gặp 
Tra bảng!!! 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
0.5 dB ripple
0.5r dB
1 dB ripple
1r dB
 Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal 
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n nC s a s a s a s a
n
0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
2 dB ripple
2r dB
3 dB ripple
3r dB
 Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal 
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n nC s a s a s a s a
n
0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB 1r dB 2r dB 3r dB
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB 1r dB 2r dB 3r dB
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev: 
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu 
sau: r trong dãi thông (0 10) 2dB; độ lợi dãi chắn ( 20) 
Gs -20dB 
 Bước 1: Xác định: 
 Bước 2: Chọn : 
1/ 2
/10
1
/101
1 10 1
cosh
10 1cosh /
sG
r
s p
n
/10
/10
1
10 1
10 1
cosh[ cosh ( / )]
sG
r
s pn
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Bước 3: Xác định H(s): 
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH
/ ps s
( )H s
'
( )
( )
n
n
K
s
C s
H
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
Nếu sao cho r=0.5dB, 1dB, 2dB hoặc 3dB tra bảng C’n(s); 
nếu không thỏa tính C’n(s): 
(2 1) (2 1)
2 2
11 1
'
1 2
sin sinh cos cosh
1,2,3,..., ; sinh
( ) ( )( )...( )
k k
k n n
n
n n
s x j x
k n x
C s s s s s s s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.4. Bộ lọc Chebyshev 
 Bước 1: 
 Bước 2: 
1/ 2
2
1
1 0.2
1 10 1
cosh 2.473
cosh (2) 10 1
n
 Bước 3: 
 Bước 4: 
 chọn n=3 
 chọn =0.764 (r)design=2dB 
2
0.2
1
10 1
10 1
cosh[3cosh (2)]
0.382 0.764
Tra bảng: ' 3 2( ) 0.7378 1.0222 0.3269nC s s s s
0 0.3269nn odd K a
3 2
0.3269
( )
0.7378 1.0222 0.3269
s
s s s
H
3 2
10 10 10
0.3269
( )
0.7378 1.0222 0.3269s s s
H s
3 2
326.9
( )
7.378 102.22 326.9
H s
s s s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.5. Các phép biến đổi tần số 
 Bộ lọc thông cao (High-pass Filter): 
Prototype Filter High-pass Filter 
p ( )sH
( )s T s
( )H s ( )
p
T s
s
Ví dụ 1: Thiết kế bộ lọc thông cao Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu 
sau: r trong dãi thông ( 200) 2dB; độ lợi dãi chắn ( 100) 
Gs -20dB? 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.5. Các phép biến đổi tần số 
 Bộ lọc thông dãi (Band-pass Filter): 
Prototype Filter 
Band-pass 
Filter 
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
min ;
p p s s p p
s
s p p s p p
2
1 2
2 1
( )
( )
p p
p p
s
T s
sp
( )sH
( )s T s
( )H s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.5. Các phép biến đổi tần số 
Ví dụ 2: Thiết kế bộ lọc thông dãi Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu 
sau: r trong dãi thông (1000 2000) 1dB; độ lợi dãi chắn 
( 450 hoặc 4000) Gs -20dB? 
Ví dụ 3: Thiết kế bộ lọc thông dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu 
sau: Độ lợi trong dãi thông (1000 2000) -1dB; độ lợi dãi chắn 
( 450 hoặc 4000) Gs -20dB? 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.5. Các phép biến đổi tần số 
 Bộ lọc chắn dãi (Band-stop Filter): 
Prototype Filter 
Band-stop 
Filter 
1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
min ;
s p p s p p
s
p p s s p p
2 1
2
1 2
( )
( )
p p
p p
s
T s
sp ( )sH
( )s T s
( )H s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
7.5. Các phép biến đổi tần số 
Ví dụ 4: Thiết kế bộ lọc chắn dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu 
sau: Độ lợi trong dãi chắn (100 150) -20dB; độ lợi dãi thông 
( 60 hoặc 260) -2.2dB?