Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 10 - Trần Quang Việt

Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace 
Lecture-10 
6.1. Biến đổi Laplace 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1. Biến đổi Laplace 
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận 
6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng 
6.1.3. Biến đổi Laplace một bên 
6.1.4. Các tính chất của biến đổi Laplace 
6.1.5. Biến đổi Laplace ngược 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận 
 Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các 
 thành phần tần số phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn 
 trong miền tần số. 
| f(t)|dt & |h(t)|dt
 Biến đổi Fourier là công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong 
 nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, ) 
 Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT 
 với đáp ứng xung h(t) phải ổn định. 
 Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,) và hệ 
 thống không ổn định dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát 
 của biến đổi Fourier) 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận 
 Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian tạo hàm mới (t) từ 
 f(t) sao cho tồn tại biến đổi Fourier: (t)=f(t).e- t; R 
 Biến đổi Fourier của (t) như sau: 
t jωtω [ (t)] f(t)e e dt (σ+jω)tf(t)e dt
Đặt s= +j : st( ) f(t)e dt F(s)=Φ(ω)
Hay: 
stF(s)= f(t)e dt (Biến đổi Laplace thuận) 
σt(t)=f(t)e
t
f(t)
t
F(s) f(t)]L[Ký hiệu: 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận 
 Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace: tập hợp các biến s trong 
 mặt phẳng phức có =Re{s} làm cho (t) tồn tại biến đổi Fourier 
Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau: 
at(a) f(t)=e u(t); a>0 at(b) f(t)=e u( t); a>0 (c) f(t)=u(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng 
(a) f(t)=δ(t)
-at(b) f(t)=e u(t); a>0
-at(c) f(t)=-e u(-t); a>0
( ) 1; ROC: s-planeF s
1
( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
1
( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
(d) f(t)=u(t)
1
( ) ; : Re{ } 0F s ROC s
s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.3. Biến đổi Laplace một bên 
 Kết quả phần trước cho ta các tín hiệu khác nhau có thể có biến đổi 
 Laplace giống nhau, nhưng khác ROC. Do vậy ROC phải được chỉ 
 rỏ khi cần xác định f(t) từ F(s). Ví dụ: 
1
( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
( ) ( ); 0atf t e u t a
1
( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
( ) ( ); 0atf t e u t a
 Để giảm sự phức tạp trên, ta định nghĩa biến đổi Laplace 1 bên: 
st
0
F(s)= f(t)e dt 0
- để có thể dùng khi f(t) là xung đơn vị 
0- để có thể khảo sát hệ thống có ĐKĐ ở 0- 
 Biến đổi Laplace 1 bên, chỉ có thể dùng để khảo sát tín hiệu & hệ 
 thống nhân quả. Tuy nhiên hạn chế này không ảnh hưởng nhiều 
 đến tín hiệu và hệ thống thực. 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.3. Biến đổi Laplace một bên 
 Vậy với định nghĩa biến đổi Laplace 1 bên, ta có thể xác định duy 
 nhất f(t) từ F(s) mà không quan tâm tới ROC. Ví dụ: 
 Trong chương này ta chỉ tập trung vào dùng biến đổi Laplace 1 bên 
 để phân tích hệ thống LTI. Do vậy khi nói tới biến đổi Laplace, ta 
 ngầm định rằng đó là biến đổi Laplace một bên. 
1
( )F s
s a
( ) ( )atf t e u t
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace 
 Tính chất tuyến tính: 
1 1( ) ( )f t F s
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F s a F s
2 2( ) ( )f t F s
 Dịch chuyển trong miền thời gian: 
( ) ( )f t F s 0
0( ) ( )
st
f t t F s e
2 2 1: 2 ( ) ( ) ; : Re{ } 1
1 2
t tEx e u t e u t ROC s
s s
3 54 1: ( 3) ( 5)
2
s stVD rect u t u t e e
s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace 
 Dịch chuyển trong miền tần số: 
( ) ( )f t F s 0
0( ) ( )
s t
f t e F s s
2 2
: cos ( )
s
VD bt u t
s b 2 2
cos ( )
( )
at s ae bt u t
s a b
 Đạo hàm trong miền thời gian: 
( ) ( )f t F s
1 2 (1) ( 1)( ) ( ) (0 ) (0 ) ... (0 )
n
n n n n
n
d f t
s F s s f s f f
dt
(1) ( )t s( ) 1t ( ) ( )n nt s
4
( )
2
t
f t rect
2
2
( )
?
d f t
dt
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace 
 Tích phân miền thời gian: 
( ) ( )f t F s
0
( )
( )
t F s
f d
s
0
( ) ( )
( )
t f d F s
f d
s s
 Tỷ lệ thời gian: 
( ) ( )f t F s
1
( ) ; 0
s
f at F a
a a
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace 
 Tích chập miền thời gian: 
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F s f t F s 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s
 Tích chập miền tần số: 
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F s f t F s
1
21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )jf t f t F s F s
 Đạo hàm trong miền tần số: 
( ) ( )f t F s
( )
( )
dF s
tf t
ds
1
( )
1
te u t
s 2
1
( )
1
tte u t
s
2 ( ) ?t u t
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
 Tín hiệu f(t) được tổng hợp như sau: ( ) ( ).
tf t t e
1 1
2( ) [ ( )]. ( ) .
t j t tf t e F s e d e
1
2( ) ( )
j
st
j
j
f t F s e ds (Biến đổi Laplace ngược) 
 Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!! 
 Mô tả F(s) về các hàm đơn giản mà đã có kết quả trong bảng các cặp 
 biến đổi Laplace. Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!! 
 Zero của F(s): các giá trị của s để F(s)=0 
 Pole của F(s): các giá trị của s để F(s) 
 Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm 
 của Q(s)=0 là các pole 
Ký hiệu: 
-1f(t) ( )F sL
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
Dùng bảng 
Dùng ? 
 Ví dụ: 
2
3 2
2 1 1 1
3 2 1 2
s
s s s s s s
2
-1 -1 2
3 2
2 1 1 1
1 ( )
3 2 1 2
t ts e e u t
s s s s s s
L L
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
start 
m<n 
m n 
Polynomical 
dividing; 
in case m=n 
F(s)/s 
Expend 
 the proper. 
The result 
depends on 
n unknown 
coefficients 
(k1, k2,) 
Find unknown 
coefficients 
by using: 
[1] Clearing func 
[2] Heaviside 
[3] Mixing boths 
 Xét hàm hữu tỷ sau: 
1
1 1 0
1
1 1 0
... ( )
( )
... ( )
m m
m m
n n
n
b s b s b s b P s
F s
s a s a s a Q s
 m n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!! 
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
( ) ( ) / ( )F s P s Q s
 Xác định zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau 
 Khai triển các hàm proper: 
 Giả sử các pole là: s= 1, 2, 3, 
 Khai triển F(s) dùng quy luật sau: 
• Các pole không lặp lại: 
31 2
1 2 3
( ) ...
( ) ( ) ( )
kk k
F s
s s s
• Các pole lặp lại, giả sử 2 lặp lại r lần 
1
2 31
01 2 3
( ) ...
( ) ( ) ( )
r
j
r j
j
k kk
F s
s s s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
 Phương pháp hàm tường minh xác định các hệ số: 
• Nhân 2 vế với Q(s); sau đó cân bằng thu được hệ phương trình 
 theo các hệ số cần tìm 
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!! 
• Giải hệ phương trình tìm các hệ số 
2
31 2
3 2
2
3 2 1 2
kk ks
s s s s s s
2
1 2 32 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)s k s s k s s k s s
• ví dụ: 
1 2 3
1 2 3
1
1
3 2 0
2 2
k k k
k k k
k
1
2
3
1
1
1
k
k
k
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
 Phương Heaviside xác định các hệ số: 
• Các pole không lặp lại: ( ) ( )
i
i i s
k s F s
• Các pole lặp lại: 
0 ( ) ( )
1
( ) ( ) ; 0
!
i
i
r
i i s
j
r
ij ij s
k s F s
d
k s F s j
j ds
3
8 10
( )
( 1)( 2)
s
F s
s s
• Ví dụ: 201 21 22
3 2( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
kk k k
s s s s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
 Phương hổn hợp: phương pháp thường dùng 
3
8 10
( )
( 1)( 2)
s
F s
s s
• Ví dụ: 201 21 22
3 2( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
kk k k
s s s s
1 22 220 2k k k( ); :sF s s
0:s
20 21 22
1
5
8 4 2 4
k k k
k
1 3
1
8 10
2
2
s
s
k
s
20
2
8 10
6
1
s
s
k
s
1 20 22
21
10 8 4
2
k k k
k
21
10 16 6 8
2
2
k
Signals & Systems – FEEE, HCMUT 
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 
 Ví dụ: tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau: 
2
7 - 6
( ) F(s)=
6
s
a
s s
2
2
2 5
( ) F(s)=
3 2
s
b
s s
2
6( 34)
( ) F(s)=
( 10 34)
s
c
s s s