Bài giảng Phương pháp tính - Trường đại học Hàng Hải

 BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI 
 TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI 
 BỘ MÔN: KHOA HOC̣ MÁY TÍNH 
 KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN 
BÀI GIẢNG 
Phƣơng pháp tính 
TÊN HỌC PHẦN : Phƣơng pháp tính 
MÃ HỌC PHẦN : 17201 
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY 
 DÙNG CHO SV NGÀNH : CÔNG NGHỆ THÔNG TIN 
 HẢI PHÒNG - 2008 
11.1. Tên học phần: Phương pháp tính Loại học phần: 2 
 Bộ môn phụ trách giảng dạy: Khoa học máy tính Khoa phụ trách: 
CNTT 
 Mã học phần: 17201 Tổng số TC: 3 
TS tiết Lý thuyết Thực hành/Xemina Tự học Bài tập lớn Đồ án môn học 
60 45 15 0 0 0 
Điều kiện tiên quyết: 
Sinh viên phải học xong các học phần sau mới được đăng ký học phần này: 
Đại số; Giải tích 1; Giải tích 2 
Mục tiêu của học phần: 
Trang bị cho sinh viên các kiến thức cần thiết trong việc giải số các bài toán ứng dụng 
thường gặp trong kỹ thuật và tăng cường khả năng lập trình của sinh viên cho các bài 
toán đó. 
Nội dung chủ yếu 
Trình bày các khái niệm sai số; cách tính gần đúng nghiệm của phương trình; cách tính 
gần đúng đạo hàm và tích phân; phép nội suy hàm và giải gần đúng phương trình vi 
phân thường. 
Nội dung chi tiết của học phần: 
TÊN CHƢƠNG MỤC 
PHÂN PHỐI SỐ TIẾT 
TS LT TH/Xemina BT KT 
Chƣơng 1. Sai số 10 8 2 0 
1.1. Khái niệm số gần đúng và sai số 1 
1.2. Cách viết số xấp xỉ 2 
1.3. Sự quy tròn số và sai số quy tròn 2 1 
1.4. Các quy tắc tính sai số 2 1 
1.5. Sai số phương pháp và sai số tính toán 1 1 
Chƣơng 2. Giải gần đúng phƣơng trình 15 10 4 1 
2.1. Đặt vấn đề 1 
2.2. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm 1 
2.3. Phương pháp chia đôi 2 1 
2.4. Phương pháp lặp 2 1 
2.5. Phương pháp dây cung 2 1 
2.6. Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 2 1 
Chƣơng 3. Xấp xỉ hàm 12 9 3 0 
3.1. Đa thức nội suy. Lược đồ Hoócne 2 
3.2. Đa thức nội suy Lagrange 2 1 
3.3. Đa thức nội suy Newton 2 1 
3.4. Phương pháp bình phương bé nhất 3 1 
Chƣơng 4. Đạo hàm số. Tích phân số 12 8 3 1 
4.1. Tính gần đúng đạo hàm 4 1 
4.2. Tính gần đúng tích phân xác định 4 2 
Chƣơng 5. Giải gần đúng phƣơng trình vi phân 11 7 3 1 
5.1. Đặt vấn đề 1 
5.2. Phương pháp Euler, Euler cải tiến 3 2 
5.3. Phương pháp Runger-Kutta 3 1 
TÊN CHƢƠNG MỤC 
PHÂN PHỐI SỐ TIẾT 
TS LT TH/Xemina BT KT 
Tổng số tiết: 60 42 15 3 
Nhiệm vụ của sinh viên : 
Tham dự các buổi thuyết trình của giáo viên, tự học, tự làm bài tập do giáo viên giao, 
tham dự các buổi thực hành, các bài kiểm tra định kỳ và cuối kỳ. 
Tài liệu học tập : 
- Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội, 1996. 
- Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, NXB Giáo dục Hà Nội, 2006. 
- Dương Thủy Vỹ, Giáo trình Phương pháp tính, NXB KH&KT Hà Nội, 2006. 
Hình thức và tiêu chuẩn đánh giá sinh viên: 
- Hình thức thi cuối kỳ : Thi viết. 
- Sinh viên phải đảm bảo các điều kiện theo Quy chế của Nhà trường và của Bộ 
Thang điểm: Thang điểm chữ A, B, C, D, F 
Điểm đánh giá học phần: Z = 0,3X + 0,7Y.
 1 
Chƣơng 1: Sai số 
1.1. Sai số tuyêṭ đối và sai số tƣơng đối 
1.Sai số tuyêṭ đối 
 Trong tính gần đúng ta làm viêc̣ với các giá tri ̣ gần đúng của các đaị 
lươṇg. Cho nên vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu, là vấn đề sai số. Xét đại lượng 
đúng A có giá tri ̣ gần đúng là a. Lúc đó ta nói “ a xấp xỉ A” và viết “ a A ”. Trị 
tuyêṭ đối Aa gọi là sai số tuyêṭ đối của a ( Xem là giá tri ̣ gần đúng của A). Vì 
nói chung ta không cần biết số đúng A, nên không tính đươc̣ sai số tuyêṭ đối của 
a. Do đó ta tìm cách ước lượng sai số đó bằng số dương ∆a nào đó lớn hơn hoăc̣ 
bằng Aa : 
Aa ∆a (1.1) 
Số dương ∆a này gọi là sai số tuyêṭ đối giới haṇ của a. Rõ ràng nếu ∆a là sai số 
tuyêṭ đối giới haṇ của a thì moị số ∆’ > ∆a có thể xem là sai số tuyêṭ đối giới haṇ 
của a. Vì vậy trong những điều kiện cụ thể người ta chọn ∆a số dương bé nhất 
có rhể được thoả mãn những (1.1) 
Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyêṭ đối giới haṇ là ∆a thì ta quy ước viết 
A = a ∆a (1.2) 
với nghĩa của( 1.1) tức là: 
a - ∆a A a + ∆a (1.3) 
2. Sai số tƣơng đối: 
 Tỉ số 
a
Aa 

A
Aa 
 gọi là sai số số tương đối của a (so với A). Nói 
chung tỉ số đó không tính đươc̣ vì A nói chung không biết . 
Ta goị tỉ số: 
a = 
a
a ( 1.4) 
 Gọi là sai số tương đối gới hạn của a. 
 Ta suy ra: ∆a = a a ( 1.5) 
 2 
 Các công thức (1.4) và (1.5) cho liên hê ̣giữa sai số tương đối và sai số 
tuyêṭ đối . Biết ∆a thì ( 1.4) cho phép a , biết a thì ( 1.5) cho phép tính ∆a . 
 Do ( 1.5) nên ( 1.2) cũng có thể viết : 
A= a ( 1 a ) (1.6) 
Trong thưc̣ tế người ta xem ∆a là sai số tuyệt đối và lúc đó a cũng gọi là sai số 
tương đối. 
3. Chú thích 
Sai số tuyêṭ đối không nói lên đầy đủ “ Chất lươṇg” của môṭ số xấp xi,̉ thưc̣ tế “ 
Chất lươṇg” đươc̣ phản ánh qua sai số tương đối. Lấy thí du:̣ đo hai chiều dài A 
và B được a = 10 m với ∆a = 0,05 m và b = 2m Với ∆b = 0,05m. Rõ ràng phép đo 
A thưc̣ hiêṇ “ Chất lươṇg” hơn phép đo B. Điều đó không phản ánh qua sai số 
tuyêṭ đối vì chúng bằng nhau, mà qua sai số tương đối: 
a 
10
05,0
= 0,5% < b = 
2
05,0
= 2,5% 
1.2. Cách viết số xấp xỉ 
 1. Chƣ̃ có nghiã 
 Môṭ số viết ở daṇg thâp̣ phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể 
các chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải là chữ có nghĩa. 
Chẳng haṇ có 2,74 có 3 chữ số có nghĩa, số 0,0207 có ba chữ số có nghĩa. 
 2. Chƣ̃ số đáng tin 
 Mọi số thập phân đều có dạng: 
 A = 10
s
sa (1.7) 
Trong đó: as là những số nguyên từ 0 đến 9, chẳng haṇ số 65,807 viết: 
65,807 = 6.10
1 
+ 5.10
0
 + 8.10
-1
 + 0.10
-2
 + 7.10 
-3
Tức ta có daṇg ( 1.7) với: 
 1 = 6, o = 5, -1 = 8, -2 = 0, -3 = 7 
 Giả sử a là giá trị xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới haṇ ∆a . Ta chú ý 
chữ s là chữ số đứng ở hàng thứ s của a. Nếu ∆a 0,5 .10
s 
 thì nói s là chữ số 
đáng tin, nếu Nếu ∆a > 0,5 .10
s 
 thì nói s là chữ số đáng nghi. 
 3 
 Như vâỵ là ta đa ̃gắn khái niêṃ sai số tuyêṭ đối với khái niêṃ chữ số đáng tin. 
 Thí dụ: Cho a = 65,827 với ∆a thì các chữ số 6, 5, 8, 2 là đáng tin, còn 
các chữ số 7, 4 là đáng nghi. Nếu ∆a = 0,0067 thì các chữ số 6, 5, 8, là đáng 
tin còn các chữ số 2, 7, 4 là đáng nghi. 
 Rõ ràng nếu s là đáng tin thì tất cả những chữ số có nghĩa đứng ở bên 
trái nó cũng là đáng tin và nếu s là đáng nghi thì tất cả những chữ số có nghĩa 
ở bên phải nó cũng đáng nghi. 
 3. Cách viết số xấp xi ̉
 Cho số a là giá tri ̣ xấp xỉ của A với sai số tuyêṭ đối giới haṇ là ∆a. Có hai 
cách viết số xấp xỉ a. Cách thứ nhất là viết kèm theo sai số như ở công thức 
(1.2) 
hoăc̣ ( 1.6) . Cách thứ hai là viết theo quy ước: Mọi chữ số có nghĩa là đáng tin. 
Môṭ số viết theo cách thứ hai có nghiã là nó có sai số tuyêṭ đối giới haṇ không 
lớn hơn môṭ nửa đơn vi ̣ở hàng cuối cùng. Các bảng số cho sẵn như bảng lôgarít, 
v...v.. thường in các số xấp xỉ theo quy ước này. 
1.3. Sai số quy tròn 
1. Hiêṇ tƣơṇg quy tròn số và sai số quy tròn. 
Trong tính toán khi găp̣ môṭ số có quá nhiều chữ số đáng nghi người ta bỏ đi 
môṭ vài chữ số ở cuối cho goṇ, viêc̣ làm đó goị là quy tròn số. Mỗi khi quy tròn 
môṭ số người ta taọ ra môṭ sai số mới goị là sai số quy tròn nó bằng hiệu giữa số 
đa ̃quy tròn và số chưa quy tròn. Trị tuyệt đối của hiệu đó gọi là sai số quy tròn 
tuyêṭ đối càng bé càng tốt, ta choṇ quy tắc sau đây: quy tròn sao cho sai số quy 
tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tức 
là 5 đơn vi ̣ở hàng bỏ đi đầu tiên, cụ thể là, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên 5 thì 
thêm vào chữ số giữ laị cuối cùng môṭ đơn vi ̣, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 
thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. 
Thí dụ: Số 62,8274 quy tròn đến chữ số lẻ thâp̣ phân thứ ba (tức là giữ laị các 
chữ số từ đầu đến chữ số lẻ thâp̣ phân thứ b) sẽ thành số 62,827; cũng số đó quy 
tròn đến chữ số lẻ thập phân thứ hai sẽ thành 62,83; và cũng số đó quy tròn đến 
ba chữ số có nghiã (tức là chỉ giữ laị ba chữ số có nghiã) sẽ thành 62,8. 
2. Sai số của số đã quy tròn. 
 4 
Gải sử a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối giới hạn là ∆a . Giả sử ta 
quy tròn a thành a’ thì aa ' 
 là sai số quy tròn tuyêṭ đối. Số lươṇg ốa thoả mãn: 
 aa ' ốa’ ( 1.8) 
Gọi là sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn, cũng gọi là sai số quy tròn tuyệt đối 
cho goṇ. 
Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn ∆a’ của a’. Ta có: 
a’ - A = a’ - a + a - A 
Do đó: 
 Aa ' aa ' + Aa ốa’ + ∆a 
Vâỵ ta có thể lấy 
 ∆a’ = ∆a + ốa’ (1.9) 
Rõ ràng ∆a’ > ∆a tức là viêc̣ quy tròn số làm tăng sai số tuyêṭ đối giới haṇ. 
 3. ảnh hƣởng của sai số quy tròn 
 Thí dụ: Xét đại lượng A = ( 2 - 1 )10 . áp dụng công thức nhị thức niutơn 
(Newton) ta có công thức đúng: 
 ( 2 - 1)
10 
 = 3363 - 2378 2 ( 1.10) 
 Với: 2 = 1,41421356.... 
Bây giờ ta tính hai vế của (1.10) bằng cách thay 2 bởi cá số quy tròn 
 (xem bảng 1.1): 
 Bảng 1.1 
ơ 
2 Vế trái Vế phải 
 1,4 0,0001048576 33,8 
 1,41 0,00013422659 10,02 
 1,414 0,00014791200 0,508 
 1,41421 0,00014866399 0,00862 
 1,414213563 0,00014867678 0,0001472 
 Sư ̣khác biêṭ giữa các giá tri ̣ tính ra của hai vế chứng tỏ rằng sai số quy 
tròn có thể có những tác dụng rát đáng ngại trong các quá trình tính toán. Ta nói 
quá trình tính A bằng vế trái của (1.10) là quá trình tính ổn định, quá trình tính 
A bằng vế phải của (1.10) là quá trình tính không ổn định. 
 5 
1.4. Các quy tắc tính sai số 
1. Mở đầu. 
Xét hàm số u của hai biến số x và y : 
u = f( x,y) (1.11) 
Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u. 
Để tránh nhầm lâñ trước hết ta nhắc laị ý nghiã của các ký hiêụ: 
∆x, ∆y, ∆u chỉ các số gia của x, y, u 
Dx, dy, du chỉ các vi phân của x, y, u 
 ∆x, ∆y, ∆u lại là các sai số tuyệt đối của x, y, u. Theo điṇh nghiã (1.1) ta 
luôn có: 
x ∆x ; y ∆y (1.12) 
Ta phải tìm: ∆u để có u ∆u 
2. Sai số của tổng u = x + y 
Ta có: ∆u = ∆x + ∆y 
Ta suy ra: u x + y 
Do đó theo ( 1.12) ta có: 
u ∆x + ∆y 
Ta choṇ: 
∆x+y = ∆x + ∆y (1.13) 
Để có: u ∆u . Vâỵ có quy tắc: 
Sai số tuyêṭ đối ( Giới haṇ) của một tổng bằng tổng các sai số tuyêṭ đối (Giới 
hạn) của các số hạng. 
Chú thích. Xét trường hợp u = x- y với x và y cùng dấu . 
Lúc đó: 
u =
u
u = 
yx
yx
Cho nên nếu yx rất bé thì sai số tương đối giới haṇ rất lớn. Do đó trong tính 
toán người ta tìm cách tránh phải trừ các số gần nhau. 
 6 
3. Sai số của tích u = xy 
Ta có: ∆u du = ydx + xdy y∆x + x∆y 
 u y x + x y y ∆x + x ∆y 
 Ta suy ra: ∆u = y ∆x + x ∆y 
 Do đó: u = 
u
u = 
xy
xy
yx 
= 
x
x
y
y 
Tức là có: 
 xy = x + y ( 1.14) 
Vâỵ có quy tắc: Sai số tương đối (Giới haṇ) của một tích bằng tổng các sai số 
tương đối (Giới haṇ) của các số hạng của tích. Đặc biệt ta có: 
 (x
n
) = nx ; n nguyên dương ∆ (1.15) 
4. Sai số của thƣơng x/y y ≠ o 
Tương tư ̣như trường hơp̣ tích ta có quy tắc: 
Sai số tương đối của môṭ thương bằng tổng các sai số tương đối của các haṇg 
số haṇg : 
 x/y = x +y ( 1.16) 
5. Công thƣ́c tổng quát: 
Cho : u = f( x1, x2, ...,xn) 
Ta có sai số tuyêṭ đối : ∆u = 
xi
n
n
f



 1
∆xi ( 1.17) 
Và từ đó ta suy ra sai số tương đối u theo điṇh nghiã (1.4) 
Thí dụ: Tính sai số tuyệt đối (giới haṇ) và sai số tương đối (giới haṇ) của thể tích 
cầu: 
 V= 
6
1
đd3 
Nếu đường kính d = 3,7 0,05 cm và đ = 3,14. 
Giải . Xem đ và d là đối số của hàm V, theo (1.14) và (1.15) ta có: 
v = đ + 3d 
 7 
 đ = 0,0016/314 = 0,0005 
d = 0,05/3,7 =0,0135 
Suy ra: V = 0,0005 + 3.0,0135 = 0,04 
Măṭ khác: V= 
6
1
đd3 = 26,5 cm3 
Vâỵ có: ∆V = 26,5 .0,04 = 1,06 1,1cm
3 
 V= 26,5 1,1 cm3 
1.5. sai số tính toán và sai số phƣơng pháp 
1. Mở đầu 
 Khi giải gần đúng môṭ bài toán phức tap̣ ta phải thay bài toán đa ̃cho bằng 
môṭ bài toán đơn giản hơn có thể giải đươc̣ thông qua viêc̣ thưc̣ hiêṇ các phép 
tính thông thường bằng tay hoặc máy tính điện tử. Phương pháp thay bài toán 
phức tap̣ bằng bài toán đơn giản như thế goị là phương pháp gần đúng. Sai số 
do phương pháp gần đúng taọ ra goị là sai số phương pháp. Để giải bài toán đơn 
giản ta phải thực hiện các phép tính thông thường, ta luôn luôn phải quy tròn các 
kết quả trung gian. Sai số taọ ra bởi tất cả các lần quy tròn như vâỵ goị là sai số 
tính toán. Sai số cuối cùng là tổng hơp̣ của hai loaị sai số phương pháp và tính 
toán nói trên. 
2.Thí dụ 
a) Hãy tính tổng: 
A = 
31
1
-
32
1
+
33
1
-
34
1
+
35
1
-
36
1
 Giải. A là tổng của 6 phân số. Ta có thể tính trưc̣ tiếp A mà không phải thay 
nó bằng một tổng đơn giản hơn . Vì vậy ở đây không có sai số phương pháp. Để 
tính A ta hãy thực hiện các phép chia dến ba chữ số lẻ thập phân và đánh giá các 
sai số quy tròn tương ưng: 
31
1
 = 
1
1
 = 1,000 với 1 = 0 
32
1
=
8
1
 = 0,125 với 2 = 0 
 8 
33
1
=
27
1
 = 0,037 với 3 = 4.
410 
34
1
=
64
1
 = 0,016 với 4 = 4.
410 
35
1
=
125
1
 = 0,008 với 5 = 0 
36
1
 = 
216
1
 = 0,005 với 6 = 4.
410 
 Vâỵ A a =1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899 
aA = 
 1
1
1
3
 - 
 125,0
2
1
3
 + 
 037,0
3
1
3
 - 
 016,0
4
1
3
 + 
 008,0
5
1
3
 - 
 005,0
6
1
3
 aA 1
1
1
3
 + 125,0
2
1
3
+ 037,0
3
1
3
 + 016,0
4
1
3
 + 008,0
5
1
3
+ 005,0
6
1
3
 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 9.
410 
Do đó 
a = 0,899 là giá trị gần đúng của A với sai số tính toán 9. 410 : 
Ta viết A = 0,899 9. 410 ( 1.18 ) 
b) Hãy tính đại lượng` 
B = 
31
1
 - 
32
1
 +
33
1
 -  + 11 n
3
1
n
 +  
Với sai số tuyêṭ đối không vươṭ quá 5. 310 
Giải . Vế phải của B là hơp̣ lý. Nhưng vế phải lá môṭ “ tổng vô haṇ số haṇg”, ta 
không thể côṇg hết số này đến số khác maĩ đươc̣. Do đó để tính B ta phải sử 
dụng một phương pháp gần đúng, cụ thể là thay B bằng tổng của n số hạng đầu: 
 9 
 nB = 31
1
 - 
32
1
 +  + 11 n
3
1
n
Bài toán tính nB đơn giản hơn bài toán tính B. Lúc đó nBB là sai số phương 
pháp, và số n phải được chọn sao cho sai số phương pháp ấy cộng với sai số tính 
toán vẫn còn nhỏ hơn 5.10-3. Ta có : 
nBB = 333 1
1
...
2
1
1
1
 nnn
(theo lí thuyết về chuỗi số đan dấu), với n = 6 ta thấy : 
 3
36
10.3
334
1
7
1 BB 
Ta chú ý rằng 6B = A đa ̃tính ở trên (xem 1.18): 
 6B = A = 0,899 
410.9 
Vâỵ có thể lấy B .899,0 Để xét sai số ta có : 
B - 0,889 = B - 6B + A - 0,899 
899,0899,0 6 ABBB 
343 10.410.910.3899,0 B 
Vâỵ ta đa ̃tính đươc̣ B ,0 899 với sai số tuyêṭ đối không vươṭ quá 4.
310 
Chú ý rằng : trong sai số tổng hơp̣ cuối cùng có phần của sai số phương pháp và 
có phần của sai số ... 2x1 + x2 = 1 
 4x2 = 1 
Hê ̣này có daṇg tam giác. Giải nó từ dưới lên ta được 
x2 = 0,25 
x1 = (1 - x2)/2 = 0,375 
Ta thấy rằng cách giải bài toán cũng khá đơn giản. Nhưng nếu hê ̣có nhiều 
phương trình nhiều ẩn thì vấn đề trở nên phức tap̣ hơn nhiều. 
Để trình bày phương pháp gaoxơ cho dê ̃hiểu ta chỉ xét hê ̣gồm 3 phương 
trình 3 ẩn để suy ra các thức tính, các công thức này suy rộng được cho trường 
hơp̣ n phương trình n ẩn 
Xét hệ: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 (3.6a) 
a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24 (3.6b) 
a31x1 + a32x2 + a33x3 = a34 (3.6c) 
Hê ̣tam giác mà ta mong muốn có daṇg 
x1 + b12x2 + b13x3 = b14 
 x2 + b23x3 = b24 
 x3 = b34 
(3.7) 
 41 
Các số hạng ở vế phải ta viết là ai4 và bi4 là cốt để viết các công thức sau 
này tiện lợi. 
Quá trình khử để đưa hệ (3.6) về daṇg (3.7) gọi là quá trình xuôi ; quá trình 
giải hệ (3.7) gọi là quá trình ngược. 
2. Quá trình xuôi. 
Bước 1: Khử x1. Giả sử a11 ở (3.6a) 0 ta goị nó là tru ̣thứ nhất và chia 
phương triǹh (3.6a) cho a11, ta đươc̣ 
 (3.9) 
Ta dùng (3.8) để khử x1 khỏi các phương trình (3.6b) và (3.6c). Để khử x1 
khỏi (3.6b), ta nhân (3.8) với a21 (hê ̣số của x1 ở 3.6b): 
a21x1 + a21 
Rồi lấy phương trình (3.6b) trừ phương trình này ta đươc̣: 
Để khử x1 khỏi (3.6c) ta cũng làm tương tư:̣ 
Nhân (3.8) với a31 (hê ̣số của x1 ở 3.6c)). 
Rồi lấy (3.6c) trừ phương trình này: 
Đến đây hai phương trình (3.10) và (3.12) không chứa x1 nữa. 
 42 
Chúng tạo thành một hệ gồm hai phương trình hai ẩn x2 và x3, tức là có số 
ít đi một so với số ẩn của hệ ban đầu. Ta lăp̣ laị viêc̣ làm trên để khử x2 khỏi 
(3.12). 
Bước 2: Khử x2. Giả sử ở (3.10) 0, ta goị nó là tru ̣thứ hai và chia 
(3.10) cho . 
Nhân (3.14) với ở (3.12) (hê ̣số của x2 ở (3.12)). 
Lấy (3.12) trừ phương trình này: 
 (3.16) 
 (3.17) 
Phương trình (3.16) không có x2 nữ 
Bước 3: (bước cuối cùng đối với hê ̣3 ẩn) 
Giả sử ở (3.16) 0. Ta chia (3.16) cho 
 (3.18) 
 (3.19) 
Bây giờ ta ghép các phương trình (3.8) (3.14) và (3.18 lại ta sẽ được hệ tam 
giác dạng (3.7) 
 (3.20a) 
 (3.20b) 
 (3.20c) 
3. Quá trình ngƣợc. 
Giải hệ tam giác. 
 43 
Từ (3.20c) ta có x3, thay x3 ấy vào (3.20b) ta có x2, rồi thay x3, x2 ấy vào 
(3.20a) ta có x1: 
Vâỵ là hê ̣(3.6) đa ̃giải xong mà không phải tính môṭ điṇh thức nào. 
4. Thí dụ: 
Xét hệ : 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4 (3.22a) 
 3x1 + x2 - 2x3 = - 2 (3.22b). 
 4x1 + 11X2 + 7x3 = 7 (3.22c) 
a) Quá trình xuôi : 
Bước 1: Khử x1. Chia (3.22a) cho a11 = 2 (hê ̣số 0 của x1 ở (3.22a)): 
x1 + 2x2 + 1,53 = 2 (3.23) 
Nhân (3.23) với 3 (hê ̣số của x1 ở (3.22b)) rồi trừ khỏi (3.22b). 
- 5x2 - 6,5x3 = - 8 (3.24) 
Nhân (3.23) với 4 (hê ̣số của x1 ở (3.22c)) rồi trừ khỏi (3.22c) 
3x2 + x3 = 1 (3.25) 
Ta đươc̣ hê ̣2 phương trình 2 ẩn x2, x3 : (3.24) (3.25). 
Bước 2: Khử x2 khỏi (3.25). chia (3.24 cho -5 (hê ̣số 0) của x2 ở 3.24): 
x2 + 1,3x3 = 1,6 (3.26). 
Nhân (3.26) với 3 hê ̣số của x2 ở (3.25)) rồi trừ khỏi (3.25): 
 - 2,9x3 = - 5,8 (3.27). 
Bước 3: (bước cuối cùng của quá trình xuôi): 
Chia (3.27) cho (-2,9) (hê ̣số của x3 ở đó): 
 x3 = 2 (3.28). 
Ghép các phương trình (3.23) (3.26) (3.28) lại: 
x1 + 2x2 + 1,5x3 = 2 
 44 
 x2 + 1,3x3 = 1,6 
 x3 = 2 
Vâỵ xong quá trình xuôi. 
b) Quá trình ngược : Giải hệ tam giác (3.23) (3.26) (3.28) từ dưới: 
x3 = 2 
x2 = 1,6 - 1,3x3 = - 1 
x1 = 2 - 2x2 + 1,5x3 = 1 
Vâỵ nghiêṃ của hê ̣là 
x1 = 1 ; x2 = -1 ; x3 = 2. 
Quá trình tính toán ở trên có thể ghi tóm tắt vào bảng 3.1. 
Hê ̣số của x1 Hê ̣số của x2 Hê ̣số của x3 Vế phải Phương trình 
2 
3 
4 
4 
1 
11 
3 
-2 
7 
4 
-2 
7 
(3.22a) 
(3.22b) 
(3.22c) 
1 2 
-5 
3 
1,5 
-6,5 
1 
2 
-8 
1 
(3.23) 
(3.24) 
(3.25) 
1,3 
-2,9 
1,6 
-5,8 
(2.26) 
(3.27) 
 1 2 2 
-1 
1 
(3.28) 
5. Chọn trụ tối đa 
 Trong quá trình xuôi của phương pháp gaoxơ ta đa ̃phải giả thiết a11 0, 
 0, 0. Nếu môṭ trong các hê ̣số đố bằng không thì quá trình tính 
không tiếp tuc̣ đươc̣. Lúc đó ta phải thay đổi cách tính. Giả sử khi khử x1 ở các 
phương trình ở dưới, ta nhìn các hê ̣số a21, a31, của x1 ở các phương trình ở dưới, 
 45 
nếu có cái nào khác không ta có thể lấy nó thay cho vai trò của a11bằng cách 
hoán vị hai phương trình. Nếu cả ba hê ̣số a11, a21, a31 đề bằng không thì hệ đã 
cho suy biến. Ta chú ý thêm rằng khi chia cho môṭ số thì sai số tính toán càng bé 
khi số chia có tri ̣ tuyêṭ đối càng lớn. Vì vậy để hạn chế bớt sai sối tính toán ta 
chọn trong các số a11, a21, a31 số có tri ̣ tuyêṭ đối lớn nhất làm tru ̣thứ nhất goị là 
trụ tối đại thứ nhất để khử x1. Khi khử x2 và x3 ta cũng làm tương tư.̣ Sau đây ta 
tính theo cách làm đó trên thì dụ đã xét ở trên (xem bảng 3.2) 
Bảng 3.2 
Hê ̣số của x1 Hê ̣số của x2 Hê ̣số của x3 Vế phải 
2 
3 
4 
4 
1 
11 
3 
-2 
7 
4 
-2 
7 
4 
3 
2 
11 
1 
4 
7 
-2 
3 
7 
-2 
4 
1 2,75 
-7,25 
- 1,5 
1,75 
-7,25 
-0,5 
1,75 
-7,25 
0,5 
 1 1 1 
1 
1 
1 2 
-1 
1 
Chú ý là khi khử x1 vì 4 = max {|2|, |3|, |4|} nên ta đa ̃hoán vi ̣ dòng thứ nhất 
với dòng thứ ba ở bảng trên trước khi làm các đôṇg tác để khử x1. 
6. Chú ý: 
Cách nhớ các công thức tính . Xét các công thức (3.11) và (3.9). Chúng 
cho phép tính theo aij. Đaṭ aij = các công thức đó cho: 
 46 
Môṭ cách tương tư,̣ các công thức (3.13) và (3.9) cho: 
Hai công thức này có thể viết chung thành môṭ : 
Vị trí của các phần tử ở vế trái sắp xếp thành một hình chữ nhật 
Hình chữ nhật này có đỉnh trên bên trái là (trụ thứ nhất) đỉnh dưới bên 
phải là (đó là phần tử cần biến đổi thành 
Sau khi đa ̃xác điṇh đươc̣ hình chữ nhâṭ trên thì công thức tính đa ̃viết 
ở trên phát biểu thành lời như sau: 
aij (mới) bằng aij (cũ), trừ tích của ai1(cũ) nhân với a1j (cũ) chia cho a11(cũ); 
hay là phần tử (mới) nằm ở góc dưới bên phải bằng phần tử (cũ) nằm ở góc dưới 
bên phải trừ tích của phần tử (cũ) nằm ở góc dưới bên trái nhân với phần tử (cũ) 
nằm ở góc trên bên phải chia cho phân tử (cũ) nằm ở góc trên bên trái (tức là 
phần tử tru ̣cũ). 
Quy tắc này goị là quy tắc hình chữ nhâṭ. Nó giúp ta dễ nhớ cách tính . 
Cách tính dưạ vào (3.17) và (3.15) thông qua cũng có thể nhớ theo 
quy tắc tương tư ̣ 
 47 
Quy tắc hình chữ nhâṭ có thể giúp ta dê ̃nhớ cách tính theo như sau: 
7. Khối lƣơṇg tính và công thƣ́c tính đối với môṭ hê ̣n ẩn. 
Phương pháp Gaoxơ có thể áp duṇg cho môṭ hê ̣đaị số tuyến tính gồm n 
phương trình n ẩn. 
Số các phép tính + , - , x, : phải làm để giải một hệ n phương trình n ẩn là : 
Với n = 15 thì NG(15) = 2570. Số này ít hơn rất nhiều so với NC(15) (xem 
mục 3 (3.1)). 
Các công thức tính cho một hệ n phương trình n ẩn phức tạp, ta chỉ nhắc 
rằng chúng vâñ ở daṇg (3.8) (3.10) (3.12) v.v... nhưng giá tri ̣ cuối cùng của j ở 
(3.9) (3.11) (3.13) v.v... phải là n + 1. 
8. Sơ đồ tóm tắt phương pháp Gaoxơ. 
Xét hệ n phương trình n ẩn. 
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 
.............................................. 
.............................................. 
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn 
Khi áp duṇg thường người ta sử dụng phương pháp Gaoxơ có chọn trụ tối 
đaị. Cho nên sau đây se ̃trình bầy sơ đồ tóm tắt phương pháp Gaoxơ có choṇ tru ̣
tối đaị. 
 48 
Quá trình xuôi: 
Với k lần lươṭ là 1, 2, ..., n - 1. 
Tìm r để: 
. 
Nếu = 0 thì dừng quá trình tính và thông báo: hê ̣suy biến nếu 
 thì đổi chỗ với , j = k, ..., n 
 với 
Tính : 
i = k + 1 , k + 2, ..., n 
j = k + 1, k + 2, ..., n 
Sau quá trình xuôi ta đươc̣ hê ̣tam giác phát triển: 
 ... 
mà ta viết lại gọn hơn bằng cách bỏ các chỉ số trên thành 
l11x1 + l12x2 + .... + l1nxn = c1 
l22x2 + .... + l2nxn = c2 
................................... 
lnnxn = cn 
với 
Do đó ta có 
Quá trình ngược: 
Nếu lnn = 0 thì dừng quá trình tính và thông báo: hê ̣suy biến. 
 49 
Nếu lnn 0 thì tính 
xn = cn/lnn 
xn-1 = (cn-1 n xn)/ln - 1 n-1 
... 
x1 = (c1 - l12x2 - ... - l1n-1xn-1)/l11 
9. Chú thích: 
Phương pháp Gaoxơ cũng cho phép tính điṇh thức, chẳng haṇ, với điṇh 
thức cấp 3, ta có theo muc̣ 2 (3.2). 
Cụ thể, theo thí du ̣ở 4 (3.2). 
Phương pháp Gaoxơ cũng cho pohép tính ma trâṇ nghic̣h đoả, nhưng chúng 
ta không trình bày ở đây. 
 50 
3.3. phƣơng pháp lăp̣ đơn 
1. Mô tả phƣơng pháp 
Phương pháp Gaoxơ thuôc̣ loaị phương pháp đúng, thức là nếu các phép 
tính sơ cấp làm đúng hoàn toàn thì cuối cùng ta đươc̣ nghiêṃ đúng của hê.̣ 
Người ta còn nói nó thuôc̣ loaị phương pháp trưc̣ tiếp. Ngoài ra còn một loại 
phương pháp khác goị là phương pháp lăp̣. ở đây ta chỉ nói sơ về phương pháp 
lăp̣ đơn. 
Xét hệ (3.1) đa ̃viết ở daṇg vectơ (xem công thức 3.4): 
Ax = f (3.29) 
Ta chuyển hê ̣này về môṭ hê ̣tương đương có daṇg 
 x = Bx + g (3.30) 
Trong đó ma trâṇ B và vectơ g suy từ A và f cách nào đó, giả sử: 
Sau đó ta xây dưṇg công thức tính lăp̣ 
x
(m)
 = Bx
(m-1)
 + g
(3.31) 
x
(0)
 cho trước (3.32)_ 
Ta chú ý rằng 
Phương pháp tính x
(m)
 theo (3.31) (3.32) gọi là phương pháp lặp đơn. Ma 
trâṇ B goị là ma trâṇ lăp̣. 
2. Sƣ ̣hôị tu ̣ 
Điṇh nghiã 3.1. Giả sử = ( 1, 2, ..., n)
T
 là nghiệm của hệ (3.30) (tức là 
của hệ (3.29)). Nếu 
 51 
i khi m ∞, i = 1, 2 , ..., n thì ta nói phương pháp lăp̣ (3.31) 
(3.32) hôị tu.̣ 
Điṇh nghiã 3.2 - Cho vectơ 
Z = (Z1, Z2, ..., Zn)
T
thì mỗi đại lượng sau: 
||Z||0 : = max {|Zi|} 
||Z||1 : = |Z1| + |Z2| + ... + |Zn| 
||Z||2 : = ( 
1/2
Gọi là một độ dài mở rộng của vectơ Z, người ta còn goị nó là chuẩn của Z. 
Chúng có tính chất giống như độ dài thông thường của một vectơ, hay tri ̣ 
tuyêṭ đối của môṭ số thưc̣: 
Với p = 0 hay 1 hay 2 ta đều có 
1) ||z||p 0, ||z||p = 0 z = vectơ không 
2) ||z||p = || ||z||p ,  là một số thực. 
3) ||u + v||p ||u||p + ||v||p 
Hê ̣quả - Phương pháp lăp̣ (3.31) hôị tu ̣khi và chỉ khi: 
||x
(m)
 - ||p 0 khi m ∞ (3.34). 
Đối với ma trận vuông B = (bij) ta điṇh nghiã chuẩn của ma trâṇ B: 
, p = 0,1, thỏa mãn ba tính chất giống ba tính chất của chuẩn của 
vectơ. 
 1) ||B||p 0, ||B||p = 0 B là ma trâṇ không; 
2) ||kB||p = |k| ||B||p , k là môṭ số thưc̣. 
 52 
3) ||B + C||p ||B||p + ||C||p , C là ma trâṇ cùng cấp với B. 
Ngoài ra còn tính chất thứ tư: 
4) ||BZ||p ||B||p ||Z||p , Z là vectơ có số chiều bằng cấp của B. 
Điṇh lý 3.2 - nếu 
||B||p < 1 (3.35) 
thì phương pháp lặp (3.31) (3.32) hôị tu ̣với bất kỳ xấp xỉ đầu x
(0)
 nào, đồng 
thời sai số có đánh giá 
 (3.36) 
 (3.37) 
Trong đó: 
p = 0 nếu < 1 
p = 1 nếu < 1 
Chứng minh: Vì là nghiệm của hệ (3.29) tức là hê ̣(3.30) nên 
 = B + g 
Lấy (3.31) trừ đẳng thức này vế với vế ta đươc̣: 
x
(m) 
- = B(x(m-1) - ). 
Do đó: 
Vâỵ có: (3.38) 
Tương tư:̣ 
..... 
..... 
 53 
Nhân các bất đẳng thức này vế với vế và giản ước các thành phần giống 
nhau ở hai bên ta đươc̣ : 
Cho m thì 0 < 1 theo giả thiết nên 0. 
Do đó: 
Đó chính là (3.34). Vâỵ phương pháp lăp̣ (3.31) và (3.32) hôị tu.̣ 
Bây giờ xét các đánh giá sai số. Ta có: 
Ta suy ra: 
Do bất đẳng thức (3.38) cho: 
Vâỵ có 
Vì theo giả thiết của định lý nên 1 - > 0. 
Ta suy ra: 
Đó là đánh giá (3.36) 
Bây giờ từ (3.31) ta có 
Trừ hai đẳng thức này vế với vế ta đươc̣ 
 54 
Do đó: 
Vâỵ : 
Ta suy dần ra: 
Thay vào vế trái của (3.36) ta đươc̣ (3.37). 
3. Thí dụ 
Xét hệ: 
Giải: Hê ̣này có daṇg (3.29). Ta phải đưa nó về daṇg (3.30) sao cho điều 
kiêṇ hôị tu ̣(3.35) đươc̣ thỏa mañ. Từ ba phương trình của hê,̣ bằng cách giải 
phương trình thứ nhất đối với x1, phương trình thứ hai đối với x2, phương trình 
thứ ba đối với x3: 
Vâỵ có x = Bx + g 
Với 
Để kiểm tra điều kiêṇ (3.35) ta tính 
 55 
Do đó ||B||o = max{0,08 ; 0,08 ; 0,0} = 0,08 < 1 
Vâỵ theo điṇh lý 3.2 phương pháp lăp̣ đơn 
Hôị tu ̣với x(0) chọn trước. Ta choṇ x(0)= (0,0,0)T. Kết quả tính ghi thành 
bằng 3.3 
Bảng 3.3 
m 0 1 2 3 4 
0 2 1,92 1,9094 1,90923 
0 3 3,19 3,1944 3,19495 
0 5 5,04 5,0446 5,04485 
Để đánh giá sai số ta tính: 
= max {0,00017 ; 0,00055; 0,00025} 
= 0,00055 
áp dụng công thức (3.36) với p = 0 ta thu đươc̣ 
Vâỵ có: 1 = 1,90923 0,00005 
 2 = 3,19495 0,00005 
 3 = 5,04485 0,00005. 
4. Sơ đồ tóm tắt phƣơng pháp lăp̣ đơn 
1) Cho hê ̣phương trình tuyến tính Ax = b. 
 56 
2) ấn định sai số cho phép ,  > 0 
3) Đưa hê ̣Ax = b về hê ̣tương đương. 
 x = Bx + g. 
Sao cho điều kiêṇ (3.35) thỏa mãn. 
4) Chọn x(0) (tuỳ ý. 
5. Tính 
m = 0, 1, 2, ... 
Cho tới khi 
Thì dừng quá trình tính. 
Kết quả: 
x
(m) . 
Với sai số 
 
 57 
3.4. Phụ lục 2 
Về môṭ hê ̣đaị số tuyến tính không ổn điṇh 
Bây giờ ta nêu môṭ hiêṇ tươṇg đăc̣ biêṭ đáng chú ý khi giải gần đúng môṭ 
hê ̣phương trình đaị số tuyến tính. 
Xét hai hệ cụ thể: 
x + 2y = 2 (3.39) 
2x + 3,9y = 2 
x + 2y = 2 (3.40) 
2x + 4,1y = 2 
Nghiêṃ của hê ̣(3.39) là x = -38, y = 20 
Nghiêṃ của hê ̣(3.40) là = 42, = - 20 
Ta thấy rằng hai hê ̣(3.39) và (3.40) chỉ khác nhau ở một hệ số 3,9 và 4,1 
với |4,1 - 3,9| = 0,2, nhưng nghiêṃ của chúng khác nhau khá xa. 
| - x| = |42 - (-38)| = 80 
| - y| = |-20 - 20| = 40 
Hiêṇ tươṇg “sai môṭ li đi môṭ dăṃ” này là môṭ hiêṇ tươṇg không ổn điṇh 
trong tính toán. Người làm tính cần phai biết để đề phòng. 
Bài tập 
1. Dùng phương pháp Gaoxơ giải hệ 
tính tới ba chữ số lẻ thập phân. 
2. Dùng phương pháp Gaoxơ giải các hệ 
a) 
 58 
b) 1,5x1 - 0,2x2 + 0,1x3 = 0,4 
 - 0,1x1 + 1,5x2 - 0,1x3 = 0,8 
 - 0,3x1 + 0,2x2 - 0,5x3 = 0,2 
Các phép tính lấy đến 5 chữ số lẻ thâp̣ phân. 
3. Giải hệ sau đây bằng phương pháp lặp đơn, tính lặp ba lần và cho biết sai số: 
1,02x1 - 0,05x2 - 0,10x3 = 0,795 
 - 0,11x1 + 1,03x2 - 0,05x3 = 0,849 
 - 0,11x1 - 0,12x2 + 1,04x3 = 1,398 
4. Giải hệ: 
Bằng phương pháp lăp̣ đơn cho tới khi 
Và đánh giá sai số. 
Trả lời: 
1. x1 = 1,642 ; x2 = - 2,789 ; x3 = 12,672 
2. a) x1 = 0,5 ; x2 = 1,3 ; x3 = 2,5 
 b) x1 = 0,980 ; x2 = 0,53053 ; x3 = - 0,40649 
3. x1 = 0,980 ; x2 = 1,004 ; x3 = 1,563 
Với sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1,1.10-3 nếu choṇ xấp xỉ đầu : 
x
(0)
 = (0,80 ; 0,85; 1,40) 
4. x1 = 0,9444 ; x2 = 1,1743 ; x3 = 1,1775. 
Với sai số theo chuẩn || . ||0 bé hơn 0,5 . 10
-4
 . 
 59 
Tài liêụ tham khảo: 
- [1] Lê Đình Thiṇh, Phương pháp tính, NXB KH&KT Hà Nôị, 1995. 
- [2] Phạm Kỳ Anh, Giải tớch số, NXB ĐHQG Hà Nôị, 1996. 
- [3] Dƣơng Thủy Vỹ , Giỏo trỡnh Phương pháp tính , NXB KH &KT 
Hà Nôị, 2006. 
- [4] Cao Quyết Thắng, Phương pháp tính, Khoa Sau Đaị hoc̣, Đaị hoc̣ 
Hàng hải, 1994.