Bài giảng môn Xác suất thống kê - Chương 7: Lý thuyết kiểm định

Chương 7. Lý thuyết kiểm định
§1: Khái niệm chung về kiểm định
Việc dùng kết quả của mẫu để khẳng định hay bác bỏ một 
giả thiết H nào đó được gọi là kiểm định giả thiết H. Khi 
kiểm định ta có thể mắc 1 trong 2 loại sai lầm sau:
1. Sai lầm loại1: Là sai lầm mắc phải nếu ta bác bỏ H 
trong khi H đúng. Ta ký hiệu xác suất để mắc sai lầm 
loại này là và gọi là mức ý nghĩa.
2. Sai lầm loại 2: Là sai lầm mắc phải nếu ta công nhận H 
trong khi H sai. Ta ký hiệu xác suất để mắc sai lầm loại 
này là và gọi 1- là lực kiểm định.
Trong các bài toán kiểm định ta sẽ xét sau này mức ý 
nghĩa là cho trước.
Khoa Khoa Học và Máy Tính 1Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
 
Giả thiết 
(thiếu)
Giả thiết đối lập: (thừa)
(đối xứng-ta chỉ xét bài này)
§2: Kiểm định giả thiết về tỉ lệ
1. Bài toán 1 mẫu:
Bài toán: Ký hiệu tỉ lệ của 1 tổng thể là P(chưa biết). Từ 
tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có tỉ lệ mẫu f. Với mức ý 
nghĩa hãy kiểm định giả thiết:
0:  

0
0
0
 
 
 
0:  
Khoa Khoa Học và Máy Tính 2Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
3
Giải:
Bước 1: Tra
Bước 2: Tính giá trị quan sát: 
Bước 3: Kết luận:
H đúng
H sai
qs
qs
U
U
  
  
0
0
  
  
0  0
0
qs
qs
U
U
   
   
0
0 01
qs
f n
U
 
 
 
2. Bài toán 2 mẫu
Bài toán: kí hiệu tỉ lệ của tổng thể 1, 2 là (cả 2 chưa 
biết).Từ các tổng thể lấy các mẫu kích thước ,có tỉ 
lệ mẫu .Với mức ý nghĩa , hãy kiểm 
định giả thiết:
Bước 1:
Bước 2:
1 2, 
1 2,n n
1 2
1 2
1 2
,
m m
f f
n n
1 2:  
 
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
.
qs
m m
n n
U
m m m m
n n n n
Khoa Khoa Học và Máy Tính 4Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
5
• Bước 3: Kết luận:
H đúng
H sai
qs
qs
U
U
  
  
1 2
1 2
  
  
1 2
1 2
qs
qs
U
U
   
   
1 2 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
6
Ví dụ 2.1: Nếu áp dụng phương pháp I thì tỉ lệ phế phẩm là 
6%, còn nếu áp dụng phương pháp II thì trong 100 phế 
phẩm có 5 phế phẩm. Vậy có thể kết luận áp dụng 
phương pháp thứ II thì tỉ lệ phế phẩm ít hơn phương 
pháp thứ I không? Hãy kết luận với mứa ý nghĩa 0,05.
Giải: Ký hiệu là tỉ lệ phế phẩm của phương pháp I ; 
P là tỉ lệ phế phẩm của phương pháp II ( chưa biết)
Bước 1:
Bước 2:
0 0,06 
0: 0,06   
1,96, 0,05f  
 0
0 0
0,05 0,06 .10
0,42
0,06.0,941
qs
f n
U
  
 
Bước 3: .Vậy tỉ lệ phế phẩm của 
phương pháp II bằng với tỉ lệ của phương pháp I 
• Ví dụ 2.2. Thống kê số phế phẩm của 2 nhà máy cùng 
sản xuất một loại sản phẩm có bảng số liệu :
Với mức ý nghĩa 0.05 ,hãy xét xem tỷ lệ phế phẩm ở 2 nhà 
máy trên có như nhau hay không ?
0,05 01,96qsU   
Nhà máy Số sản phẩm Số phế phẩm
I 1200 20
II 1400 60
Khoa Khoa Học và Máy Tính 7Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
8
-tỷ lệ phế phẩm của nhà máy I
-tỷ lệ phế phẩm của nhà máy II
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Vậy tỷ lệ phẩm của nhà máy 1 thấp hơn nhà máy 2
20 60
1200 1400 3,855
20 60 80
1
1200.1400 2600
Uqs
1 21,96Uqs Z  
1
2


0,05 1,96Z 
1 2:H  
§ 3.Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình
1.Bài toán 1 mẫu:
Ký hiệu trung bình của 1 tổng thể là a (chưa biết).Từ tổng 
thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình mẫu , và 
phương sai điều chỉnh mẫu . Với mức ý nghĩa
,hãy kiểm định giả thiết: 
Giải:
Trường hợp1: Đã biết phương sai tổng thể
B1:
B2:
x
0H a a 
2S
Z 0
qs
x a n
U

2
Khoa Khoa Học và Máy Tính 9Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
10
B3. H đúng:
H sai :
TH 2: Chưa biết phương sai tổng thể
B1:
B2:
B3: H đúng:
H sai: 
qs
qs
U Z
U Z
0
0
a a
a a
0
0
0
:
qs
qs
U Z a a
a a
U Z a a
2 , 30n 
Z 0
qs
x a n
U
S
qs
qs
U Z
U Z
0
0
a a
a a
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
11
.
TH3: Chưa biết phương sai tổng thể
B1.
B2:
B3:Kết luận 
0
0
0
qs
qs
U Z a a
a a
U Z a a
2 , 30n 
 1n
T 
 0
qs
x a n
T
S
1
0
1
0
 H ñuùng : a=a
 H sai : a a
n
qs
n
qs
T T
T T
1
0
0 1
0
n
qs
n
qs
T T a a
a a
T T a a
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
12
.Ví dụ 3.1. Trọng lượng (X) của một loại sản phẩm do nhà 
máy sản xuất ra là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối 
chuẩn với độ lệch chuẩn là ,trọng lượng trung 
bình là 50kg. Nghi ngờ hoạt động không bình thường 
làm thay đổi trọng lượng trung bình của sản phẩm người 
ta cân thử 100 sản phẩm và thu được kết quả sau:
Với mức ý nghĩa 0.05,hãy kết luận về nghi ngờ nói trên. 
Trọng lượng sản phẩm(kg) 48 49 50 51 52
Số lượng sản phẩm 10 60 20 5 5
1kg 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
13
. Giải.
Vì nên đây là trường hợp 1
Vậy máy đã hoat động không bình thường làm giảm trọng 
lượng trung bình của sản phẩm.
1 
 0,05
0
49,35 50 100 6,5 1,96
50
qsU Z
a a
49,35x 
Ví dụ 3.2.
.Mức hao phí xăng(X) cho một loại xe ô tô chạy trên đoạn 
đường AB là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối 
chuẩn có kỳ vọng là 50 lít. Nay do đường được tu sửa lại, 
người ta cho rằng hao phí trung bình đã giảm xuống. 
Quan sát 36 chuyến xe chạy trên đường AB ta thu được 
bảng số liệu sau :
Với mức ý nghĩa hãy cho kết luận về ý kiến trên.
Mức hao phí(lít) 48,5-49,0 49,0-49,5 49,5-500 500-505 505-510
Số chuyến xe 10 11 10 4 20in
0,05 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 14Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
mức hao phí xăng khi sửa lại đường
mức hao phí xăng khi chưa sửa lại đường
0
0,05
: 50
1,96
49,416
0,573
H a a
Z
x
S
0
a
a
 0
0
49,416 50 36
0,573
6,115 1,96
qs
x a n
U
S
Z
a a
Vậy mức hao phí xăng trung bình đã giảm .
Khoa Khoa Học và Máy Tính 15Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
16
.Ví dụ 3.3. Định mức để hoàn thành 1 sản phẩm là 14,5 
phút. Có nên thay đổi định mức không,nếu theo dõi thời 
gian hoàn thành của 25 công nhân,ta có bảng số liệu 
sau:
Hãy kết luận với mức ý nghĩa 0.05 biết rằng thời gian hoàn 
thành một sản phẩm (X) là một đại lượng ngẫu nhiên có 
phân phối chuẩn.
Thời gian sản xuất
một sản
phẩm(phút)
10-12 12-14 14-16 1-18 18-20
Số công nhân 
tương ứng
2 6 10 4 3
 in
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
17
. Giải
là định mức cũ ,a là năng suất trung bình mới
Vậy không nên thay đổi định mức. 
(24)
0.05 2,064T 
0:H a a 
0 14,5a 
0
15 14,5 25
1,118 2.046
2,226
qsT a a
2. Bài toán 2 mẫu:
Kí hiệu trung bình của tổng thể 1,2 là ( cả hai chưa
Biết).Từ các tổng thể lấy các mẫu kích thước có
trung bình mẫu và phương sai hiệu chỉnh mẫu 
Với mức ý nghĩa ,hãy kiểm định giả thiết:
Trường hợp1. Đã biết phương sai tổng thể
B1:
B2:
1 2,a a
1 2,n n
1 2,x x
1 2:H a a 
2 2
1 2,S S
2 2
1 2, 
1 2
2 2
1 2
1 2
qs
Z
x x
U
n n
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 18Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
19
. B3. Kết luận
H đúng:
H sai :
TH2: Chưa biết
B1:
B2:
1 2
1 2
qs
qs
qs
qs
U Z
U Z
U Z a a
U Z a a
1 2
1 2
a a
a a
2 2
1 2 1 2, , và 30  n n
1 2
2 2
1 2
1 2
qs
Z
x x
U
S S
n n
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
20
TH3: Chưa biết
B1.
B2.
H đúng
H sai 
Quy ước: Vì giới hạn của bảng tra cho trong SGK nên nếu
1 2
1 2
a a
a a
2 2
1 2 1 2
, , hoaëc 30n n  
1 2
2 2
1 2
1 2
qs
qs
qs
x x
T
S S
n n
T T
T T
 1 2 2n nT 
1 2
1 2
qs
qs
T T a a
T T a a
 1 2 2
1 2 22 30
n n
n n T Z 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
21
Ví dụ 3.4: Ngườì ta thí nghiệm 2 phương pháp chăn nuôi gà 
khác nhau, sau 1 tháng kết quả tăng trọng như sau:
Với mức ý nghĩa 0.05 có thể kết luận phương pháp II hiệu 
quả hơn phương pháp I không?
Phương pháp Số gà được 
theo dõi
Mức tăng trọng 
trung bình (kg)
Độ lệch tiêu chuẩn
I 100 1,2 0,2
II 150 1,3 0.3
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
22
Giải:
- Mức tăng trong trung bình của phương pháp I
-Mức tăng trọng trung bình của phương pháp II
Vậy phương pháp 2 hiệu quả hơn phương pháp 1
1
2
a
a
1 2
1,2 1,3
3,16
0,04 0,09
100 150
qsU Z a a 
1 2:
1,96
H a a
Z 
1 2 1 2 1 2100, 150, 0,2, 0,3, 1,2, 1,3n n x x  
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
23
Ví dụ 3.5: Tương tự ví dụ trên nhưng thay bảng số liệu sau
Vậy hai phương pháp hiệu quả như nhau.
1 2 1 2
1 2
10, 15, 0,2, 0,3
1,2, 1,3
n n S S
x x
 23
0,05
2 2
1 2
1,2 1,3
1 2,069
0,2 0,3
10 15
qsT T
a a
§4. Kiểm định giả thiết về phương sai
Bài toán: kí hiệu phương sai cuả tổng thể là ,từ tổng thể 
lấy 1 mẫu kích thước n có phương sai hiệu chỉnh mẫu 
, với mức ý nghĩa ,hãy kiểm định giả thiết:
B1:
B2:
B3: Kết luận:
2
2S 2 2
0:H   
2 2
1
2 2
2
2
2
0
( 1) ( 1)
1 .
qs
n n
n S
  


2 2 2 2 2
0
1
2 2
2 2 2 2
0
1
2
2 2 2 2
0
2
( 1) ( 1)
( 1)
( 1)
qs
qs
qs
n n
n
n
   
  
   
  
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 24Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
25
Ví dụ 4.1.
Chọn ngẫu nhiên 27 vòng bi cùng loại thì thấy độ lệch 
trung bình S=0.003. Theo số liệu quy định thì độ lệch 
chuẩn cho phép không vượt quá 0.0025. Với mức ý 
nghĩa 0.05, hãy cho kết luận?
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
26
.Giải :
Vậy lô vòng bi này chưa vượt mức cho phép về độ phân 
tán
 2 20.975 0.025
2
2
2
2 2 2
0
27, (26) 13,84, 26 41,92,
26.0,003
37,44
0,0025
13,84 41,92
 

  
qs
qs
n
§5. Kiểm định giả thiết về quy luật phân phối.
Bài toán: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên gốc X của tổng thể 
chưa rõ phân phối. Từ tổng thể lấy một mẫu kích thước 
n. Với mức ý nghĩa hãy kiểm định giả thiết :
H: có X có phân phối F(x)
I.F(x) là phân phối rời rạc
Giả sử bảng phân phối tần số mẫu có dạng
...
1x 2x kx
in 1n 2n k
n
X
Khoa Khoa Học và Máy Tính 27Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
B1:Ký hiệu r là số tham số chưa biết của phân phối F(x),ta 
thay các tham số đó bằng các ước lượng hợp lý tối đa . 
B2: Tra
B3: Tính
B4: Tính giá trị quan sát
B5: Kết luận:
H đúng: X có phân phối F(X)
H sai : X không có phân phối F(X)
2 1
, , 1,2,....i i
k r
p X x X F x i k
  
  
2
2
1
k
i i
qs
i i
n np
np

 
 2 2 1qs k r   
 2 2 1qs k r   
Khoa Khoa Học và Máy Tính 28Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
1. Kiểm định giả thiết về phân phối đều rời rạc
H:X có phân phối đều rời rạc
B1. r = 0 (do phân phối đều không có tham số chưa biết)
B2.
B3.
B4.
B5. Theo bài toán chung như trên
2
2
22
1 1
1
1
, 1,
1
.
i
ik k
qs i
i i
k
p i k
k
n
n
k
n k n
n nk
k
 

 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 29Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Ví dụ 5.1. Tung 1 con xúc xắc ta được bảng điểm sau đây:
Số điểm 1 2 3 4 5 6
Số lần 3 7 6 5 6 4
Với mức ý nghĩa 0.05 ,hãy kết luận con xúc sắc trên có đều 
hay không?
Giải:
Vậy con xúc xắc đều
2 2 2 2 22
2
0.05
1
3.6 31 7.6 31 6.6 31 .2 5.6 31 4.6 31
31.6
2,1 (5) 11,4
qs

  
Khoa Khoa Học và Máy Tính 30Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
2. Kiểm định giả thiết về phân phối Poison.
.
X 0 1 2 k-1
B1.r =1 (có 1 tham số chưa biết là a),
B2.
B3.
B4.
B5. Như b5 ở bài trên
 :H a 
2n0n 1n 1kn 
2
2
1
2
0
2
, 0, 1
!
i
a
i
k
i i
qs
i i
k
a
p p i e i k
i
n np
np
 

  
 
a x 
in
Khoa Khoa Học và Máy Tính 31Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
32
Ví dụ 5.2:
Để kiểm tra công việc của 200 công nhân,người ta chọn 
ngẫu nhiên 1000 sản phẩm của mỗi người đem đi thử 
nghiệm để tìm ra phế phẩm. Kết quả như sau:
Với mức ý nghĩa 0.01, có thể coi mẫu trên phù hợp với 
phân phối Poisson hay không ?
Số phế phẩm trên1000 sản phẩm 0 1 2 3 4
Số công nhân 109 65 22 3 1
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
33
Giải:
i
0
1
2
3
4
109
65
22
3
1
108,67
66,29
20,21
4,111
0,627
0,61
0,61
0,61
200. . , 0,4
!
i
i
a x
np e i
i
in inp
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
34
.
Vậy mẫu trên phù hợp với phân phối Poison.
2 2 2
2
2 2
2
0.01
109 108,67 65 66,29 22 20,21
108,67 66,29 20,21
3 4,11 1 0,637
0,72 11,34
4,11 0,637
qs

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
35
II. Trường hợp F(x) liên tục:
Giả sử bảng phân phối tần số mẫu có dạng:
B1. r là số tham số chưa biết.Thay các tham số đó bằng
các ước lượng hợp lý tối đa của chúng.
B2.Tra
B3. Tính 
Chú ý:
 :H F x
X 0, 1a a 1,k ka a 1 2,a a
in 1n 2n kn
 2 1k r  
1 1
2 1 2
1 2 1
1
,
,..., ( )
k k k
k k
p a
p a a X F x
p a a
p a
   
   
   
   
1i
i
p 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
36
B4.
B5. Giống trường hợp F(x) rời rạc.
Kiểm định về phân phối chuẩn.
B1:
2 2
2
1 1
1
.
k k
i i i
qs
i ii i
n np n
n
np p n

 
 2: ,H N a 
 0 1,a a 1,k ka a 
in 2n1n k
n
 1 2,a a
2, ,r a x S x n  
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
37
B2.
B3.
 2 3k  
1
1
2 1
2
1 2
1
1
0,5
,...,
0,5
k k
k
k
k
a x
p
a x a x
p
a x a x
p
a x
p

 
 

  
   
   
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
38
B4.
B5. Kết luận như b5 bài toán chung
Ví dụ 5.3 : Bảng điểm của 1 lớp học như sau
Với hãy kết luận bảng này có phù hợp với phân 
phối chuẩn hay không?
Số điểm 0-3 3-5 5-7 7-8 8-10
Số học sinh 6 24 43 16 11
2 2
2
1 1
1
.
k k
i i i
qs
i ii i
n np n
n
np p n

 
0,05 
5,82, 1,8688x x n  
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
39
Bài giải:
.
1
2
3
4
3 5,82
0,5 1,51 0,5 0,43448 0,5 0,06552
1,8688
5 5,82
0,43448 0,44 0,43448
1,8688
0,17003 0,43448 0,26445
7 5,82
0,17003 0,03 0,17003 0,40568
1,8688
8 5,82
1,8688
p
p
p
p
   
   
   
  
 5
2 2 2 2 2
2
2
0.05
0,23565 1,17 0,23565 0,14335
0,5 1,17 0,12
6 24 43 16 11
:100 100
0,06552 0,26445 0,40568 0,14335 0,121
0,707 (2) 6
qs
p


  
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
40
§6.Bảng phân phối tần số mẫu đồng thời hay bảng 
tương quan mẫu
Giả sử X,Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên gốc của cùng 1 tổng 
thể. Bảng phân phối tần số mẫu đồng thời của X,Y là:
X 
n
Y 1y 2y hy in
1x
2x
kx
...
...
jm
11n 12n 1n1hn
21n 22n 2hn 2n
1kn 2kn khn kn
1m 2m hm
...
...
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
41
ix iy ijn
1x
1x
kx
...
1y
2y
hy
11n
12n
khn
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
42
§7. Kiểm định độc lập.
Giả sử X,Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên của cùng 1 tổng
thể,từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n. Với mức ý nghĩa 
hãy kiểm định giả thiết : H:X,Y độc lập
B1.
B2.
B3. độc lập
phụ thuộc
2
ij2
ij
i,j ij
2
2
,
2 2
2 2
1 1
.
, 5
1 .
.
() ,
() ,
ij i j
qs
ij
qs
i j i j
qs
qs
k h
n n m
n
n
n
n m
Y
Y


 


 
 
 
 


Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 7
@Copyright 2010
43
Ví dụ.7.1: Nghiên cứu ảnh hưởng của hoàn cảnh gia đình 
đối với tình trạng phạm tội của trẻ em có kết quả:
Vậy hoàn cảnh gia đình không ảnh hưởng tới tính trạng 
phạm tội
2 2 2
2 2
0,05
20 25 18
... 1 .148 0,32 (2) 6
58.49 58.68 90.31
qs 
Tình trạng phạm tội Bố mẹ
đã mất
Bố mẹ
ly hôn
Còn cả
bố mẹ
Không phạm tội 20 25 13 58
Có phạm tội 29 43 18 90
49 68 31 148
in
jm