Bài giảng môn Xác suất thống kê - Chương 6: Lý thuyết ước lượng

Chương 6. Lý thuyết ước lượng
§1. Khái niệm chung về ước lượng.
-Ký hiệu là a,p, hoặc
-Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số nào 
đó của tổng thể dược gọi là ước lượng
1.Ước lượng điểm:
Chọn G=G(W),sau đó lấy
1.Không chệch:
2.Vững:
3.Hiệu quả:
4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn 
nhất-xem SGK)

2

G 

( )E G  
lim
n
G 
( ) minD G 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 1Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
2
Kết quả: có đủ 4 tính chất trên. 
có đủ 4 tính chất trên.
Không chệch
Hợp lý tối đa
2.Ước lượng khoảng:
Định nghĩa: khoảng được gọi là khoảng ước lượng
của tham số với độ tin cậy nếu: 
-độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy.
:a x 
2 2
2 2
:
:
:
p f
S
S



 1 2, 
 1 
 1 2 1    
2 1I   
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
3
Sơ đồ giải: Chọn sao cho G có quy luật phân 
phối xác suất đã biết, tìm 2 số sao cho
 W,G 
1 2,g g
1 2
1 2
1 2
1
,
g G g
g g w g

  
 
§2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p.
Bài toán: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ lệ mẫu f. 
Với độ tin cậy ,hãy tìm khoảng tin cậy của p.
Giải: Chọn
Xét

 
0,1 neáu n ñuû lôùn
1
f p n
G U
f f
1 2
1 1 2 2
2 1
1 2 1 2
1
2 1 2
2 2
, 0 :
1
1
1 1
. .
u U u
f p n
Z u u Z
f f
f f f f
f Z p f Z
n n
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính 4Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
5
(Ước lượng đối xứng)
(Độ dài khoảng tin cậy) 
1 2 2
1
1) , 0 . 
(öôùc löôïng tyû leä toái ña)
f f
p f Z
n
1 2 2
1
2) 0, . 
(öôùc löôïng tyû leä toái thieåu)
f f
f Z p
n
 
1 2
1
3) . - ñoä chính xaùc
2
f f
Z
n
f p f  
2I  
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
6
.
Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng đối 
xứng.
Ví dụ 2.1:
Để diều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300 
con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400 
con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với 
độ tin cậy bằng 0.95.
 2
2
1
. 1
f f
n Z 

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
7
Giải: Gọi N là số cá trong hồ
P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ :
300
N
 
0,05
400, 60 0,15
.(1 ) 0,15.0,85
. .1,96
400
300
? ?

 
  
n m f
f f
Z
n
f f N
N
Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bao 
nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là 0,2 ;độ dài khoảng 
tin cây đối xứng là 0,02 và độ tin cây là 0.95.
Bài giải: 
2
2
0,95, 0,02, 0,2
0,02 0,01
0,2.0,8
. 1,96 1
0,01
I f n
I
n


Khoa Khoa Học và Máy Tính 8Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
§3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a
Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình 
mẫu và phương sai điều chỉnh mẫu . Với độ tin cậy 
,hãy tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a.
Bài giải.Ta xét 3 trường hợp:
TH1. Đã biết phương sai tổng thể
Chọn
Xét
x 2S

2
 0,1
x a n
G U N

Khoa Khoa Học và Máy Tính 9Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
1 21,2 1 2 2 2
0;
x a n
Z Z 

.(Ước lượng trung bình tối đa)
(Ước lượng trung bình tối thiểu)
1 2 21. , 0 .a x Z
n

1 2 22. 0, , .x Z a
n

 
  
1 2
3. . -ñoä chính xaùc
2
Z
n
 (öôùc löôïng ñoái xöùng)x a x  
2 - ñoä daøi khoaûng öôùc löôïng ñoái xöùngI  
Khoa Khoa Học và Máy Tính 10Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
11
TH2. Chưa biết phương sai tổng thể 
Chọn:
Kết quả tương tự TH1: thay bằng S
TH3.Chưa biết phương sai tổng thể
2 , 30 n
2 11,2 1 2 2 2
0,1
0; . .
x a n
G U N
S
S S
x Z a x Z
n n

2 , 30n 
2
. 1, 


n Z
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
12
.
Kết quả tương tự TH2 : Thay bằng
1 2
1 2
2 1
1
1 1
2 2
1 1
2 2
1
.
n n
n n
t T t
x a n
T T
S
S S
x T a x T
n n
  
2Z 
 1
2
n
T 
1,2 1 2
 1
Xeùt 0;
x a n
Choïn G T T n
S
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
13
Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1 đại
lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí độ lệch chuẩn 
Người ta sản xuất thử 36 sản phẩm và thu được 
bảng số liệu:
Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí nguyên liệu 
trung bình cho 1 sản phẩm nói trên.
TH1.
0,010,03, 19,91111, 0,01 2,575
0,03
.2,575 0,012875
36
x Z
x a x
 

 
Mức hao phí
nguyên liệu(gam)
19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3
Số sản phẩm 6 8 18 4
0,03. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
14
Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại 
xe ô tô chạy trên đoạn đương từ A đến B ,chạy thử 49 
lần trên đoạn đường này ta có bảng số liệu:
Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho mức hao phí 
xăng trung bình của loại xe nói trên.
Lượng xăng hao
phí(lit)
9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-
10,2
10,2-
10,4
10,4-
10,6
Số lần 4 8 25 8 4
Giải
.
0,05
2 : 49, 0,95
10,1, 0,2
1,96
1,96.0,2
0,056
7
10,044 10,156
TH n
x S
Z
a


Khoa Khoa Học và Máy Tính 15Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
§4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể
Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương 
sai hiệu chỉnh mẫu . Với độ tin cậy hãy tìm 
khoảng ước lượng của phương sai tổng thể
Bài giải
Chọn
Quy ước lấy (nếu không cho ) 
2
2 
2
1 2
2 1
2
2 2
1,2 1 22
2 2 2
2 2
2
2 2
1
( 1), 0 :
( 1) ( 1) 1
1 1
( 1) ( 1)
n
G n
S
n n
n S n S
n n

  
   

 
  
1 2
2
1 2, 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 16Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
17
Ví dụ 3.1: Để định mức gia công 1 chi tiết máy,người ta 
theo dõi quá trình gia công 25 chi tiết máy,và thu được 
bảng số liệu sau:
a)Với độ tin cậy 0,95,hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian 
gia công trung bình 1 chi tiết máy.
b)Với độ tin cậy 0,95,hãy tìm khoảng tin cậy cho phương
sai.
Thời gian gia
công (phút)
15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27
Số chi tiết máy 1 3 4 12 3 2
Giải
a)TH3
b)
(24)
0,05
25, 0,95, 21,52, 2,4
2,064
2,064.2,4
1,2672
5
20,2528 22,7872


n x S
T
a
2 2
0,975 0,025
2 2
2
(24) 12,40, (24) 39,36
24.2,4 24.2,4
39,36 12,40
 

Khoa Khoa Học và Máy Tính 18Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010