Bài giảng môn Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
§1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản
1. Phân phối đều rời rạc:
2. Phân phối không – một A(p):
Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) 
Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q
3. Phân phối nhị thức B(n,p):
Định nghĩa 1.2:
Định lý1.2:
 , . . , 1,k k n knn p k C p q k n
     
 0
, , ,
1
    
 
n p X np D npq
Mod k n p
Khoa Khoa Học và Máy Tính 1Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
0 1X
P q p
1 2
...
1 1 1
...
k
X x x x
P
k k k
4. Phân phối siêu bội
Bài toán: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại 
là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (không hoàn 
lại), n không lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối 
xác suất của X là số bi trắng lấy được.
Giải:
Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối 
siêu bội H(N,M,n)
Định lý 1.3: Giả sử 
 . , 0,
k n k
M N M
n
N
C C
k k n
C
   
( , , ) ,
,
1
H N M n np
N n M
D npq p
N N
   
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 2Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức
lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội
5. Phân phối Poisson P(a),a>0:
Định nghĩa 1.4:
Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a
Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy:
P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)
(cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm )
 . , 0,1,2...
!
k
a aa k e k
k
     
 0 12 0,936204 X 
 6 12 0 12 0 5X X    
Khoa Khoa Học và Máy Tính
3Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
4
Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch 
vụ công cộng thì X tuân theo quy luật phân phối Poisson 
P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó.
Ví dụ 1.2:
Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện. 
Tính xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó.
Giải:
Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phút thì 
X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy:
4
5 54 .
4!
e   
§2: Các quy luật phân phối liên tục
1. Phân phối chuẩn
Định nghĩa 2.1:
Định lý 2.1: X có phân phối thì E(X) = a, D(X) =
Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn 
tắc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nếu: 
(hàm mật độ Gauss).
 2, , 0a   
2
22 2
1
,
2
x a
a f x e 
 
  
 2,a 
2
2 /21
2
uf u e
Khoa Khoa Học và Máy Tính 5Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
6
Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) thì
với là tích phân Laplace (hàm lẻ)
Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có:
Định lý 2.4: 
1 2 2 11 ;
2 2 .
u U u u u
U  
  
 
 2, 0,1
X a
a U

  
2 /2
0
1
0,5 0,5
2
u
t
UF u e dt U
  
 U
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
7
Định lý 2.5: Giả sử .Khi ấy ta có:
Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn 
N(165, ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao 
nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn. 
 2,a  
1
2 2.
a a
a
 
 
 



    
   
160 165
160
5
X
   
 1 0,34134 0,5   
25
Ví dụ 2.2: Cho hãy tính kỳ vọng của
Giải:
nếu m lẻ vì cận đối xứng, 
hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.
 0,1U 
mU
2 /21. 0
2
m m uU u e du
 
2 2
2 2
2 2
2 2 /2 /2
/2 /2
2 /2 /2
1 1
.
2 2
1 1
2 2
1 1
. 1
2 2
u u
u u
u u
U u e du u u e du
dv u e v e
U u e e du
 
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính 8Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
9
Tương tự:
2
2 2
4 3 /2
3 /2 2 /2 2
6 4
2
1
.
2
1 1
. 3. 3. 3.1;
2 2
5 5.3.1;
...
2 1 !!
u
u u
n
U u u e du
u e u e du U
U U
U n
 
  
  
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
10
Ví dụ 2.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy 
ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại gặp vàng thì 
dừng.Tính xác suất để lấy được 3 bi trắng, 2 bi đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên: 
2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK)
Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phân phối đều trên miền D 
nếu 
3 2
6 5
5
15
. 4
.
10
C C
P
C
1
, neáu ( , )
( , ) ( )
0 , neáu ( , )
x y D
f x y S D
x y D
Khoa Khoa Học và Máy 
Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
11
3. Phân phối mũ :
Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối 
mũ nếu hàm mật độ của X là:
Định lý 2.6 :
4. Phân phối khi bình phương:(Xem SGK)
5. Phân phối Student:(Xem SGK)
. neáu 0;
( ) > 0
0 neáu 0 ,
xe x
f x
x


1
( ) ( ) ( )X E E X X 

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
12
§3. Các định lý giới hạn ( luật số lớn).
1. Định lý Chebyshev:
• Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X là 1 đại 
lượng ngẫu nhiên.Khi đó ta có: 
• Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy đôi 
một độc lập có .Khi đó ta có:
2. Định lý Bernoulli:
• Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m là số lần thành công trong 
dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thì: 
2
( )
(| ( )| )
D X
P X E X 

1 2, ,..., ,...  n
0 : ( ) ,
k
C D X C k 
1 1
1 1
l im ( ) 1
n n
k kn
k k
P X E X
n n

 
3. Các định lý giới hạn trung tâm.
Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử đôi một độc 
lập và
Khi ấy ta có:
khi n đủ lớn
1 2, ,..., n  
3
1
3/2
1
( )
lim 0
n
k k
k
n n
k
k
E X E X
D
 


 1 1
1
1 1
0,1
1
n n
i i
i i
n
i
i
E
n n
U N
D x
n
 
 

 30n 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 13Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
l im 1
n
m
P p
n

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
14
Hệ quả 3.1:Giả sử thêm vào đó ta có
khi n đủ lớn
Hệ quả 3.2: khi n đủ lớn
2( ) , ( ) , 1,i iE X a D X i n 
1
1
( . ).
(0,1)
n
i
i
X a n
n
U N


( ).
(0,1)
(1 )
m
p n
nU N
p p
Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến 
ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối: với 
phương sai:
Xác định n sao cho với xác suất không bé hơn 0,9973 :
a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt quá 0,01
b) Trị tuyệt đối của X-E(X) không vượt quá 0,005.
Bài giải:
1 2, ..., n  
 5 1,2,..kD k n 
1
2
1
, ( ) ;
5 5 
   
 

n
i i
i
i
E a E X a
n
D
Khoa Khoa Học và Máy Tính 15Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
..
2
) 0,01 0,9973
0,01
0,9973
5
0,01
0,5 0,9973
5
0,01
0,4973 2,785
5
0,01 2,875. 5
2,785
0,015
a E
a n n
U
n
n
n
n

   
  
  
  
   
Khoa Khoa Học và Máy Tính 16Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
..
2
)
( 0,005) 0,9973
| ( ) | 0,005.
(| | ) 0,9973
5
0,005
2. 0,9973
5
0,005 0,9973
3
25
0,005 3 5
3
0,0055
b
E
X E X n n
P U
n
n
n
n


   
  
   
Khoa Khoa Học và Máy Tính 17Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
$4.Các công thức tính gần đúng
1. Công thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức.
Định lý 4.1:Khi n<N nhiều thì
nghĩa là:
Ví dụ 4.1: Giả sử cho 1 hộp có N=1000 bi trong đó có 
M=600 bi trắng còn lại là bi đen. Rút ngẫu nhiên ra 20 
bi,tính xác suất để lấy được đúng 12 bi trắng.
 , , , ,
M
H N M n B n p p
N
.
. .
k n k
k k n kM N M
nn
N
C C
X k C p q
C
  
12 8
12 12 8600 400
2020
1000
.
12 .0,6 .0,4
C C
X C
C
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 18Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
19
2. Nhị thức và Poisson:
Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé với 
a=np ,
nghĩa là:
Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho. 
Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm 
xác suất để khi vận chuyển:
a) Có đúng sáu chai bị vỡ
b) Có không quá 12 chai bị vỡ.
 ,B n p a 
 . . . , ,
!
k
k k n k a
n
a
X k C p q e k o n
k
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
20
. Giải: Gọi X là số chai bị vỡ thì X có phân phối B(n,p)
Chú ý: Khi p rất lớn thì q rất bé vậy ta có thể coi q là p mới 
( tức là đổi p thành q,q thành p).
6
6 6 8000 6 8
8000
8000, 0,001 8
8
1) 6 . . . 0,122138
6!
2) 0 12 0,936204
  
  
n p a np
C p q e
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010 
21
3. Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn
Định lý: Khi n đủ lớn,p không quá bé và cũng không quá lớn 
thì B(n,p) N(np,npq), nghĩa là:
 2 11 2
1
.
k np
k f
npq npq
k np k np
k k
npq npq
  
    
Ví dụ 4.3:Xác suất trúng đích của một viên đạn là 0,2. Tìm 
xác suất để khi bắn 400 viên thì có tất cả:
a)70 viên trúng
b)Từ 60 đến 100 viên trúng.
Giải: Gọi X là là số đạn bắn trúng thì X có phân phối nhị 
thức với n=400 và p=0,2 nên np=80,npq=64.Khi ấy
70 70 330
400
1 70 80 1
) 70 . . . 1,25
8 8 8
100 80 60 80
) 60 100 2. 2,5
8 8
a C p q f f
b
  
     
Khoa Khoa Học và Máy Tính 22Xác Suất Thống Kê. Chương 4 
@Copyright 2010