Bài giảng môn Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên
§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu 
nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu 
hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị 
có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.
Khoa Khoa Học và Máy Tính 1Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1: () vô hạn
Chú ý:
• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác 
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng. 
Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến 
khi dừng lại
 , 1,2,3,...i ix p i k  
 ......
......
21
21
k
k
ppp
xxx
x


x

 2 1
1 2 3 ... ...
... ...k
k
p qp q p q p 
1 
i
ip
Khoa Khoa Học và Máy Tính 2Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
3
Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì 
ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng
2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu 
nhiên X là:
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm các t/c đặc trưng
2.
3.
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì 
liên tục trên toàn trục số
 xXxFxFX  )(
x

 aFbFbXa
FF
XX 
 1,0
 xFX
19182 ...
2019...321
qpqpqpqp
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
4
• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì
Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm 
không có ý nghĩa
Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như 
trên.Khi ấy
• Ví dụ 2.3:
nếu 
nếu
nếu
nếu
 
xx
iX
i
pxF
 00 ,0 xxX  
2 5 7
0,1 0,5 0,4
x


1
6,0
1,0
0
xFX
x
x
x
x
7
75
52
2
Chú ý: Hàm phân phối bên trái miền giá trị của X 
và bên phải miền giá trị của X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu 
nhiên liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu 
nhiên X liên tục là:
• Định lý 2.1:
• Tính chất:
t/c đặc trưng 
/
X X x
f x f x F x 
 0 xFX
 1 xFX
x
X XF x f t dt
1 ( ) 0
2 ( ) 1
f x
f x dx
 


(3) ( ) ( ).
b
X
a
P a X b f x dx 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 5Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Chú ý: Hàm mật độ bên ngoài miền giá trị 
của X.
• Ví dụ 2.4:
•
 0Xf x 
 
 
2cos , 0, / 2
( )
0, 0, / 2
a x x
X f x
x
/2 /2
2
0 0
/2
0
1 ?
1 ( ) cos 1 cos 2
2
sin2 4
.
2 2 2 2
a
a
f x dx a xdx x dx
a x a
x a
Khoa Khoa Học và Máy Tính 6Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
2. Hãy tìm hàm phân phối 
nếu x<0
, nếu
,nếu
3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:
 2
0
0
4 2 sin 2
cos
2
1
x x
X
x
F x f t dt tdt x
 XF x
/ 2x 
 / 4, / 4 
/4 /4
2
/4 0
/ 4 / 4 / 4 / 4
/ 4 / 4 (4 / )cos
X F F
X f x dx xdx
 
 
0
2
x
Khoa Khoa Học và Máy Tính 7Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
8
• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ 
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy 
phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt 
rổ của người thứ nhất, thứ hai là 
• Giải: Gọi là xác suất ném trượt bóng của người 1,2
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tổng số bóng của cả 2 người
1 2,q q
1, 2.p p
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 9
  1 11 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
0 1 2 . . . . . .
. . . .... . . . 
k k
k
p q p q p q q q p q p q q
X
X
 
1 1
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
1 2 . . . . . .
( ) ..... . . .k k
k
p q p q q p q p q q p q p 
Y
Y

1 1 1
1 2 1 1 2 2
2 1 2
, 1,2,...k k k k
k k
q q p q q p k 
 Z
Z

§3: Véc tơ ngẫu nhiên
I. Vectơ ngẫu nhiên
Giả sử là các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:
1 2, ,..., nX X X
1 2( , ,..., )nX X X X 
 , , 1, ; 1,i j ijx Y y p i k j h  
Khoa Khoa Học và Máy Tính 10Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
11
Y
X
y1 y2  yh Px
x1 P11 P12 P1h P1
x2 P21 P22 P2h P2
xk Pk1 Pk2 Pkh Pk
PY q1 q2 qh 1
x
y
2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
3. Điều kiện độc lập của X và Y
Định lý 3.1: X,Y độc lập
4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
ij
1
ij
1
, 1,
, 1,
h
i i
j
k
j j
i
p x p i k
q Y y p j h
   
  


, : .ij i ji j p p q  
ij
ij
( / ) , 1,
( / ) , 1,
i j
j
j i
i
p
X x Y y i k
q
p
Y y X x j h
p
 
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 12Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)
Định nghĩa 3.1:
Tính chất:
(1) là một hàm không giảm theo từng biến
(2)
(3)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ 
mặt phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như 
trên, khi ấy ta có:
 , ,F x y X x Y y  
 ,F x y
( , ) 0, ( , ) 1F F 
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a X b c Y d F a c F b d F a d F b c 
ij( , )
i
j
x x
y y
F x y p
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 13Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:
Y 
X 
3 5
0 0,1 0,2 0,3
2 0,3 0,4 0,7
0,4 0.6 1Y
X
Khoa Khoa Học và Máy Tính 14Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
x
y
.(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
là phụ thuộc 
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
(4)Tìm hàm phân phối:
0 2
0,3 0,7X
X
P
0,
0.1,
, 0.1 0.2,
0.1 0.3,
1,
F x y
0 3
0 2,3 5
0 2,5
2 ,3 5
2 ,5
x y
x y
x y
x y
x y
  
0,1 0,3.0,4 ,X Y 
/ 5
0 2
0.2 0.4
0.6 0.6
X Y
X
P 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 15Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
16
III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:
Định lý 3.2:
 2 ,
,
F x y
f x y
x y

 
 , , dud
xy
x y
D
F x y f u v v
.
HINH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính 17Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
18
Tính chất:
(3)
3. Các hàm mật độ xác suất lề.
2
(1) , 0
(2) ( , ) 1
R
f x y
TCDTf x y dxdy
 
 

 , ,
D
x y D f x y dxdy 
,
,
X
Y
f x f x y dy
f y f x y dx
.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:
4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:
 , .X Yf x y f x f y 
,
,
X
Y
F x F x
F y F y
 , .X YF x y F x F y 
 0
0
/
0
,
( )X Y y
Y
f x y
f x
f y
 0
0
/
0
,
( )Y X x
X
f x y
f y
f x
Khoa Khoa Học và Máy Tính 19Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
20
Ví dụ 3.2: Cho
,nếu 
,nếu trái lại
(1) Xác định tham số a.
.
,
0
x ya e
f x y
0 x y <+

2
0
2
0
1 ,
2
2
x y
x
R
x
f x y dxdy a dx e dy
a
a e dx a
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
21
(2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề.
2
,
0 , neáu 0 ;
 ( 3.2)
2 2 , neáu 0
X
x y x
x
f x f x y dy
x
hình
e dy e x
HÌNH 3.2
Khoa Khoa Học và Máy Tính 22Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
HÌNH 3.3
Khoa Khoa Học và Máy Tính 23Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
24
, nếu y<0
3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
Vậy ta có: phụ thuộc
 2
0
0
( 3.3)
2 2 , 0
yY x y y y
f y hình
e dx e e y 
 , . ,X Yf x y f x f y X Y 
4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2(HÌNH 3.4)
Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3(HÌNH 
3.5)
nếu y<3
nếu y 3
2
/ 2
2 4
0, 0 2
,2
2( )
,0 22
2
x
X Y
Y
x x
f x
ef x
xf
e e
  
3
/ 3
6
0
3,
( ) 2
3
2
y
Y X
X
f y
f y e
f
e
Khoa Khoa Học và Máy Tính 25Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
HÌNH 3.4
Khoa Khoa Học và Máy Tính 26Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
HÌNH 3.5
Khoa Khoa Học và Máy Tính 27Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)(HÌNH 
3.6-3.8)
,nếu x<0 hoặc y<0
,nếu
,nếu
2 dud
xy
u v
D
e v 

0
0
0
2
2
y y
u v
u
x y
u v
u
du e dv
du e dv
0 y x 
0 x y 
 , , dud
x y
F x y f u v v
Khoa Khoa Học và Máy Tính 28Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
HÌNH 3.6
Khoa Khoa Học và Máy Tính 29Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
HÌNH 3.7
Khoa Khoa Học và Máy Tính 30Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
• .
HÌNH 3.8
Khoa Khoa Học và Máy Tính 31Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Ví dụ 3.3: P(AB)=P(-2<X<1,-2<Y<2) =
,D1: -2<x<1 , -2<y<2
. 
,D2:-2<Y<2
.P(-2<X<1 / -2<Y<2)=
.P(-2<X<1 / Y=2)=
2
2 2 ,
D
Y f x y dxdy   
AB
A


1
/ 2
2
X Yf x dx 
1
2 x y
D
e dxdy 

1
,
D
f x y dxdy 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 32Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
$4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên
1. Trường hợp rời rạc.
Giả sử: 
Ví dụ 4.1 : Cho
-2 -1 0 1 2
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Suy ra:
0 1 4
0,1 0,2+0,2 0,5
 Y X 
 i j
i i j i
x y
x x p Y y p
  
X

2Y X 

Khoa Khoa Học và Máy Tính 33Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Ví dụ 4.2: Cho
1 2  k 
p pq... ... 
• Hãy lập bảng phân phối xác suất của hàm
-1 1
1kpq 
X

osY c X 
 0p 01 p 
osY c X 
 20 2
0
os 1 2 1, 0,1,2,..
1 1
.
1 1
n
n
c X X k n n
p p q p
q q

Khoa Khoa Học và Máy Tính 34Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
35
2. Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục
Bước 1. Tìm miền giá trị của
Bước 2.
Bước 3.
 , , ?X X Y YX f x F x F y f y 
 Y X 
Y
X
x y
F y Y y X y
f x dx
   
( )
Y
Y
dF y
f y
dy
Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối 
đều trên đoạn kí hiệu X~U ,nếu 
Chú ý : Nếu X có phân phối đều thì cũng có 
phân phối đều, với là các hằng số. 
 ,a b  ,a b
 
 
1
, ,
0, ,
X
x a b
b af x
x a b
0,
,
1,
X
x a
x a
F x a x b
b a
b x
Y X  
, 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 36Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Ví dụ 4.3 : Cho X có phân phối đều trên đoạn [0,1] .
(1) Tìm hàm mật độ của Y= - lnX
(2)Tìm hàm mật độ của Z= - 3X+2
Bài giải: B1: Y= - lnX > 0
B2:
Vì X có phân phối đều trên đoạn [0,1] nên
 )()ln()()( yY eXPyXPyYPyF
 1 1 ,y yXP X e F x x e 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 37Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
0, 0
,0 1
1, 1
X
x
F x x x
x
• B3:
• Z có phân phối đều trên đoạn [-1,2] nên
0, 0
, 0
Y y
y
f y
e y 
0, 1 2
( )
1/ 3, 1 2
Z
z z
f z
z
  
0, 0
( )
1 , 0
Y y
y
F y
e y 
0 1 1
0 0 1
y
X
y y
X
y x e F x
y x e F x x e
Khoa Khoa Học và Máy Tính 38Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
$4. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên
1. Trường hợp rời rạc.
Giả sử:
Ví dụ 4.1: Cho X,Y có bảng
Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y và X.Y
( , )Z X Y 
ij ij
,
( , )
i j k
i j k
x y z
X x Y y p Z z p
  
Y
X 
3 5
0 0,1 0,2
2 0,3 0,4
Khoa Khoa Học và Máy Tính 39Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
.Giải: 
X+Y 3 5 7
0,1 0,2+0,3 0,4
XY 0 6 10
P 0,1+0,2 0,3 0,4
2.Trường hợp liên tục:
Bước 1: Tìm miền giá trị của

 ,Z X Y 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 40Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
.Bước 2
Bước 3.
Ví dụ 4.2:
,nếu
,nếu trái lại.
Tìm hàm phân phối của Z=X+Y
 : ,
,
,
z
Z
D x y z
F z Z z X Y z
f x y dxdy
   
( )
( ) ZZ
dF z
f z
dz
1
( , )
0
f x y
0 , 1x y

Khoa Khoa Học và Máy Tính 41Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Giải:
Bước 1:
Bước 2:
= diện tích 
0 2Z X Y 
::
2
2
, 1
0, 0
/ 2,0 1( 4.1)
2
1 ,1 2( 4.2)
2
1, 2
z z
Z
D x y z D
z
F z Z z X Y z
f x y dxdy dxdy
z
z z hình
D z
z hình
z
 
   
 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 42
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010
43
• HÌNH 4.1 • HÌNH 4.2