Bài giảng môn Toán rời rạc

LOGO
TOÁN RỜI RẠC
Nội dung: gồm 4 phần
- Cơ sở logic
- Phép đếm
- Quan hệ
- Hàm Bool
Cơ sở Logic
Chương I: Cơ sở logic
- Mệnh đề
- Dạng mệnh đề
- Qui tắc suy diễn
- Vị từ, lượng từ
Cơ sở Logic
- Quy nạp toán học
I. Mệnh đề
Cơ sở Logic
1. Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định có giá trị chân lý
xác định, đúng hoặc sai.
Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh không là mệnh đề.
Ví dụ: 
- mặt trời quay quanh trái đất
- 1+1 =2
- Hôm nay trời đẹp quá ! (ko là mệnh đề)
- Học bài đi ! (ko là mệnh đề)
- 3 là số chẵn phải không? (ko là mệnh đề)
I. Mệnh đề
Ký hiệu: người ta dùng các ký hiệu P, Q, R để chỉ mệnh đề.
Chân trị của mệnh đề: 
Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể
đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng ta 
nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân
trị sai. 
Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần 
lượt là 1(hay Đ,T) và 0(hay S,F)
Cơ sở Logic
I. Mệnh đề
Cơ sở Logic
Kiểm tra các khẳng định sau có phải là mệnh đề không?
- Paris là thành phố của Mỹ
- n là số tự nhiên
- con nhà ai mà xinh thế!
- 3 là số nguyên tố.
- Toán rời rạc là môn bắt buộc của ngành Tin học
- Bạn có khỏe không?
- luôn dương.2 1x 
I. Mệnh đề
Cơ sở Logic
2. Phân loại: gồm 2 loại
a. Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây dựng từ các
mệnh đề khác nhờ liên kết bằng các liên từ (và, hay, khi
và chỉ khi,) hoặc trạng từ “không”
b. Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề không thể
xây dựng từ các mệnh đề khác thông qua liên từ hoặc
trạng từ “không”
Ví dụ:
- 2 không là số nguyên tố
- 2 là số nguyên tố
- Nếu 3>4 thì trời mưa
- An đang xem phim hay An đang học bài
- Hôm nay trời đẹp và 1 +1 =3
(MĐ sơ cấp)
I. Mệnh đề
2. Các phép toán: có 5 phép toán
a. Phép phủ định: phủ định của mệnh đề P được ký
hiệu là P hay (đọc là “không” P hay “phủ định
của” P. 
Bảng chân trị : 
Cơ sở Logic
P P
1 0
0 1Ví dụ :
- 2 là số nguyên tố
Phủ định: 2 không là số nguyên tố
- 1 >2 
Phủ định : 1≤ 2
P
I. Mệnh đề
b. Phép hội (nối liền , giao): của hai mệnh đề P, Q được kí
hiệu bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định 
bởi : P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng.
Bảng chân trị
Cơ sở Logic
p q pq
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Ví dụ:
- 3>4 và Trần Hưng Đạo là vị tướng (S)
- 2 là số nguyên tố và là số chẵn (Đ)
- An đang hát và uống nước (S)
I. Mệnh đề
c. Phép tuyển (nối rời , hợp): của hai mệnh đề P, Q được 
kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được 
định bởi : P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai.
Bảng chân trị
Cơ sở Logic
P Q PP
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Ví dụ:
- >4 hay >5 (S)
- 2 là số nguyên tố hay là số chẵn (Đ)
I. Mệnh đề
Ví dụ
- “Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén”
- “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông minh ”
- “Ba đang đọc báo hay xem phim”
Cơ sở Logic
I. Mệnh đề
d. Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề
P và Q, kí hiệu bởi P Q (đọc là “P kéo theo Q” hay 
“Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là 
điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi: 
P Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai.
Bảng chân trị
Cơ sở Logic
P Q P Q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
I. Mệnh đề
Cơ sở Logic
Ví dụ: 
- Nếu 1 = 2 thì Lenin là người Việt Nam (Đ)
- Nếu trái đất quay quanh mặt trời thì 1 +3 =5 (S)
- >4 kéo theo 5>6 (Đ)
- < 4 thì trời mưa
- Nếu 2+1=0 thì tôi là chủ tịch nước (Đ)
I. Mệnh đề
e. Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo Q và 
ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P  Q 
(đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay 
“P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề xác định 
bởi:
P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị
Bảng chân trị
Cơ sở Logic
P Q PQ
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
I. Mệnh đề
Cơ sở Logic
Ví dụ: 
- 2=4 khi và chỉ khi 2+1=0 (Đ)
- 6 chia hết cho 3 khi và chi khi 6 chia hết cho 2 (Đ)
- London là thành phố nước Anh nếu và chỉ nếu thành phố
HCM là thủ đô của VN (S)
- >4 là điều kiện cần và đủ của 5 >6 (Đ)
- Mệnh đề
- Dạng mệnh đề
- Qui tắc suy diễn
- Vị từ, lượng từ
- Quy nạp toán học
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
1. Định nghĩa: là một biểu thức được cấu tạo từ:
- Các mệnh đề (các hằng mệnh đề)
- Các biến mệnh đề p, q, r, , tức là các biến lấy giá trị là
các mệnh đề nào đó
- Các phép toán , , , ,  và dấu đóng mở ngoặc ().
Ví dụ:
E(p,q) = (p q)
F(p,q,r) = (p q)  (q r) 
Cơ sở Logic
Bảng chân trị của dạng mệnh đề E(p,q,r):
Ví dụ:
E(p,q,r) =(p q) r . Ta có bảng chân trị sau
 là bảng ghi tất cả
các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề
E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, 
bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề.
Cơ sở Logic
Cơ sở Logic
Bài tập: Lập bảng chân trị của những dạng mệnh đề sau
E(p,q,r) = p (q r)  q
F(p,q) = (p q) p
Cơ sở Logic
2. Tương đương logic: Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là
tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị.
Ký hiệu E F. 
Ví dụ (p  q) p   q
Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá trị 1
Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn nếu nó luôn lấy
giá trị 0.
Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương với nhau khi
và chỉ khi EF là hằng đúng.
Cơ sở Logic
Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E nếu E F là
hằng đúng.
Ký hiệu E=>F
Ví dụ: (p  q) =>  p
Cơ sở Logic
Các qui tắc thay thế
Qui tắc thay thế 2 Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r) là một
hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi 
một F(p’,q’,r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến 
q,r,p’,q’,r’, vẫn còn là một hằng đúng.
Qui tắc thay thế 1. Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế
biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì
dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E.
Cơ sở Logic
2. Qui tắc De Morgan
 (p  q)  p   q
 (p  q)  p   q
3. Luật giao hoán p  q q  p
p  q q  p
4. Luật kết hợp (p  q)  r p  (q  r)
(p  q)  r p  (q  r)
Các qui tắc
1.Phủ định của phủ định
  p p
Cơ sở Logic
5. Luật phân phối
p  (q  r) (p  q)  (p  r)
p  (q  r) (p  q)  (p  r)
6. Luật lũy đẳng p  p p
p  p p
7. Luật trung hòa p  0 p
p  1 p 
Cơ sở Logic
8. Luật về phần tử bù
p   p 0 
p   p 
9. Luật thống trị p  0 0 
p  1 1
10. Luật hấp thu p  (p  q) p
p  p  q) p 
Cơ sở Logic
11. Luật về phép kéo theo:
p q p  q
 q  p
Ví dụ: Nếu trời mưa thì đường trơn nếu đường
không trơn thì trời không mưa
Bài tập: 
Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh rằng:
(p r)  (q r) (p q) r 
II. Dạng mệnh đề
Cơ sở Logic
(p r)  (q r) 
 ( p  r )  ( q  r)
 ( p  q )  r
 ( p  q )  r
 ( p q )  r
 ( p q ) r
III. qui tắc suy diễn
Cơ sở Logic
Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số
khẳng định đúng p, q, r(tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy 
diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết 
luận.
Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh:
(pqr ) có hệ quả logic là h 
- Mệnh đề
- Dạng mệnh đề
- Qui tắc suy diễn
- Vị từ, lượng từ
- Quy nạp toán học
III. Qui tắc suy diễn
 p q p q  
Cơ sở Logic
p q
p
q

Các qui tắc suy diễn
1. Qui tắc khẳng định (Modus Ponens)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
Ví dụ
Cơ sở Logic
• Nếu An học chăm thì An học tốt.
• Mà An học chăm
Suy ra An học tốt.
• Trời mưa thì đường ướt.
• Mà chiều nay trời mưa.
Suy ra Chiều nay đường ướt.
 p q q r p r  
Cơ sở Logic
p q
q r
p r
 
2. Qui tắc tam đoạn luận rời rạc
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
Ví dụ
Cơ sở Logic
• Nếu trời mưa thì đường ướt.
• Nếu đường ướt thì đường trơn
Suy ra nếu trời mưa thì đường trơn.
• Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm
• Cái gì hiếm thì đắt
Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt ()
 p q q p   
Cơ sở Logic
p q
q
p


3. Phương pháp phủ định
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
Ví dụ
Cơ sở Logic
Nếu An đi học đầy đủ thì An đậu toán rời rạc.
An không đậu toán rời rạc.
Suy ra: An không đi học đầy đủ
 p q q p  
Cơ sở Logic
4. Qui tắc tam đoạn luận rời rạc
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
p q
q
p



Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, 
chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường
hợp còn lại sẽ đúng.
Ví dụ
Cơ sở Logic
Chủ nhật, An thường lên thư viện hoặc về quê
Chủ nhật này, An không về quê
Suy ra: An lên thư viện
Cơ sở Logic
5. Qui tắc mâu thuẫn (chứng minh bằng phản chứng)
Ta có tương đương logic
Để chứng minh vế trái g là một hằng đúng ta chứng minh nếu
thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn. 
 1 2 1 2... ... 0n np p p q p p p q       
Cho a, b, c là 3 đường thẳng phân biệt và a//c và b//c
chứng minh a//b.
III. Qui tắc suy diễn
Cơ sở Logic
Hãy chứng minh: Cm bằng phản chứng.
p r
p q
q s
r s
 
 
0
p r
p q
q s
r
s
 



 p r q r p q r   
Cơ sở Logic
6. Qui tắc chứng minh theo trường hợp
Dựa trên hằng đúng:
Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có
thể suy ra r.
1 2 ... np p p q   
Cơ sở Logic
7. Phản ví dụ
Để chứng minh một phép suy luận là sai hay
không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra
một phản ví dụ.
Suy luận sau có đúng ko?
Company Logo
Ông Minh nói rằng nếu không
được tăng lương thì ông ta
sẽ nghỉ việc. Mặt khác, nếu
ông ấy nghỉ việc và vợ ông
ấy bị mất việc thì phải bán
xe.Biết rằng nếu vợ ông
Minh hay đi làm trễ thì
trước sau gì cũng sẽ bị mất
việc và cuối cùng ông Minh
đã được tăng lương.
Suy ra nếu ông Minh không
bán xe thì vợ ông ta đã
không đi làm trễ
p: ông Minh được tăng
lương.
q: ông Minh nghỉ việc.
r: vợ ông Minh mất việc.
s: gia đình phải bán xe.
t: vợ ông hay đi làm trể.
p q
q r s
t r
p
s t
 
 
 
s=0
t=1
p=1
q=0
r=1
Cơ sở Logic
( )p q r
p s
t p
s
r t

 
Kiểm tra suy luận sau:
Ví dụ
Cơ sở Logic
Ví dụ
46
47
48
Ví dụ
49
à50
- Mệnh đề
- Dạng mệnh đề
- Qui tắc suy diễn
- Vị từ, lượng từ
- Quy nạp toán học
IV. Vị từ và lượng từ
Cơ sở Logic
1. Định nghĩa: 
Vị từ là một khẳng định p(x,y,..), trong đó x,y...là các biến
thuộc tập hợp A, B,.. cho trước sao cho:
- Bản thân p(x,y,..) không phải là mệnh đề
- Nếu thay x,y,.. thành giá trị cụ thể thì p(x,y,..) là mệnh đề.
Ví dụ:
- p(n) = “n +1 là số nguyên tố”
- q(x,y) = “x2 + y = 1”
- r(x,y,z) = “x2 + y2 >z”
Cơ sở Logic
2. Các phép toán trên vị từ
Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x A. Khi ấy, ta
cũng cá các phép toán tương ứng như trên mệnh đề: 
- Phủ định: p(x)
- Phép nối liền (hội, giao): p(x)  q(x)
- Phép nối rời (tuyển, hợp): p(x)  q(x)
- Phép kéo theo: p(x) q(x)
- Phép kéo theo hai chiều: p(x)q(x)
Cơ sở Logic
Khi xét một mệnh đề p(x) với x A. Ta có các trường hợp
sau
- TH1. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) đúng.
- TH2. Với một số giá trị a A, ta có p(a) đúng.
- TH3. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) sai.
Ví dụ. Cho vị từ p(x) với x R
- p(x) = “x2 +1 >0”
- p(x) = “x2 -2x+1=0”
- p(x) = “x2 -2x+3=0”
Định nghĩa:
Cơ sở Logic
Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A. Các
mệnh đề lượng từ hóa của p(x) được định nghĩa như sau:
- Mệnh đề “Với mọi x thuộc A, p(x) ”, kí hiệu: 
“x A, p(x)”
là mệnh đề đúng khi và chỉ khi p(a) luôn đúng với mọi
giá trị a A.
- Mệnh đề “Tồn tại (có ít nhất một) x thuộc A, p(x)” kí hiệu
“x A, p(x)”
là mệnh đề đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x= a0 A
nào đó sao cho mệnh đề p(a0) đúng.
 : được gọi là lượng từ phổ dụng
 : được gọi là lượng từ tồn tại
Cơ sở Logic
Ví dụ. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
- “x R, x2 + 3x + 1 0”
- “x R, x2 + 3x + 1 0”
- “x R, x2 + 1 2x”
- “x R, x2 + 1 < 0”
Đ
Đ
S
S
Cơ sở Logic
Định nghĩa. 
Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên A B. Ta 
định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x, y) như sau:
“x A,y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))”
“x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))”
“x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))”
“x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))”
IV. Vị từ và lượng từ
Cơ sở Logic
Ví dụ. 
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
sai
vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1 R mà x0 + 2y0 1.
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
đúng
vì với mỗi x = a R, tồn tại ya R như
ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.
Cơ sở Logic
Ví dụ. 
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? 
sai
vì không thể có x = a R để bất đẳng thức a + 2y < 1 
được thỏa với mọi y R (chẳng hạn, y = –a/2 + 2 không thể
thỏa bất đẳng thức này).
Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
đúng
vì tồn tại x0 = 0, y0 = 0 R chẳng hạn thỏa 
x0 + 2y0 < 1.
Cơ sở Logic
Định lý. Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định 
trên A B. Khi đó:
1) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)”
2) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)”
3) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)”
Lưu ý: Chiều đảo của 3) nói chung không đúng.
Cơ sở Logic
Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa vị từ p(x,y,..) 
có được bằng cách: 
thay  thành , 
thay  thành ,
và thay vị từ p(x,y,..) thành  p(x,y,..). 
Cơ sở Logic
Với vị từ theo 2 biến. 
 , , , , , ,x A y B p x y x A y B p x y    
 , , , , , ,x A y B p x y x A y B p x y    
 , , , , , ,x A y B p x y x A y B p x y    
 , , , , , ,x A y B p x y x A y B p x y    
Với vị từ theo 1 biến ta có : 
 , ,x A p x x A p x  
 , ,x A p x x A p x  
Cơ sở Logic
Ví dụ phủ định các mệnh đề sau
a) “x A, 2x + 1 0”
b) “ > 0,  > 0, x R,  x – a <  f(x) – f(a) < ”.
Giải
a) “x A, 2x + 1 > 0”
b) “ > 0,  > 0, x R,  x – a <   (f(x) – f(a) )”.
- Mệnh đề
- Dạng mệnh đề
- Qui tắc suy diễn
- Vị từ, lượng từ
- Quy nạp toán học
VII. Quy Nạp