Bài giảng môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Chương 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
VÀ PHÂN PHỐI XÁC
SUẤTI – Khái niệm về đại lượng
ngẫu nhiên
Các thí dụ:
 Kiểm tra 3 sản phẩm và quan
tâm đến số sản phẩm đạt tiêu
chuẩn có trong 3 sản phẩm kiểm
tra.
 Khảo sát điểm thi môn toán cao
cấp của một sinh viên hệ chính qui
và quan tâm đến điểm thi của sinh
viên này.
 Khảo sát doanh thu của một
siêu thị trong một ngày và quan
tâm đến doanh thu (triệu đồng) của
siêu thị.
 Số sản phẩm
đạt tiêu chuẩn.
 Điểm thi môn
toán cao cấp
của sinh viên.
 Doanh thu
của siêu thị.
Đạïi
lượng
ngẫu
nhiên
Khi thực hiện một phép thử, bằng
một qui tắc hay một hàm ta có thể
gán các giá trị bằng số cho những
kết quả của một phép thử.
Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng
nhận các giá trị khác nhau tuỳ
thuộc vào kết quả của một phép
thử.
Khi thực hiện phép thử, đại lượng
ngẫu nhiên sẽ nhận một (và chỉ
một) giá trị trong tập hợp các giá
trị mà nó có thể nhận. Đại lượng
ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể
là biến cố.
Các đại lượng ngẫu nhiên thường
được ký hiệu là: X, Y, Z, . . .
X1, X2, . . . , Xn ; Y1, Y2, . . . , Ym;
. . . .
Các giá trị ĐLNN có thể nhận được
ký hiệu là:
x1, x2, . . ., xn; y1, y2, . . . , ym; . . .
Có thể định nghĩa ĐLNN như sau:
Cho phép thử  có không gian mẫu
. Một ánh xạ từ  vào R
được gọi là một đại lượng ngẫu
nhiên (hay biến ngẫu nhiên)
Kiểm tra 3 sản phẩm và gọi X là số
sản phẩm đạt tiêu chuẩn có trong 3
sản phẩm kiểm tra.
Thí dụ:
111
000
001
010
100 110
101
011
X = 0
X = 1 X = 2
X = 3

Đại lượng ngẫu nhiên có thể là
rời rạc hoặc liên tục.
Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là
rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà
nó có thể nhận là một tập hợp hữu
hạn hoặc vô hạn đếm được.
II – Phân loại ĐLNN
Đối với ĐLNN rời rạc, ta có thể
liệt kê được các giá trị của nó.
ĐLNN được gọi là liên tục nếu các
giá trị mà nó có thể nhận có thể lấp
kín một khoảng trên trục số.
Đối với ĐLNN liên tục, ta không
thể liệt kê tất cả các giá trị của nó.
Thí dụ: Số sinh viên vắng mặt
trong mỗi buổi học ; số máy hỏng
trong từng ngày của một phân
xưởng, . . . là các đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc.
Nếu gọi X là trọng lượng của một
loại sản phẩm do một nhà máy
sản xuất; Y là thu nhập của những
người làm việc trong một ngành; .
. . . thì X, Y là những đại lượng
ngẫu nhiên liên tục.
1- Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất dùng để
thiết lập phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc.
III – Phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có
thể nhận một trong các giá trị: x1,
x2, . . . ., xn
với các xác suất tương ứng là:
p1, p2, . . . ., pn
pi = P(X = xi)
(i = 1, 2, . . . , n)
Đối với bảng phân phối xác suất, 
ta luôn có: 
= 1
n
1i
ip
Bảng phân phối xác suất của X có 
dạng: 
X x1 x2 . . . xn
P p1 p2 . . . pn
Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm
(trong đó có 6 sản phẩm loại I).
Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ
hộp ra 2 sản phẩm. Lập bảng
phân phối xác suất của số sản
phẩm loại I có trong 2 sản phẩm
lấy ra.
Giải: Gọi X là số sản phẩm loại I
có trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp
thì X là ĐLNN rời rạc có thể nhận
các giá trị : 0, 1, 2 với các xác suất
tương ứng:
15
2
C
C
)0X(Pp
2
10
2
4
1 
15
8
C
C.C
)1X(Pp
2
10
1
4
1
6
2
15
5
C
C
)2X(Pp
2
10
2
6
3 
Vậy phân phối xác suất của X là:
X 0 1 2
P 2/15 8/15 5/15
Vì sao đối với bảng phân phối xác
suất, ta luôn có:

n
1i
i
p = 1
2- Hàm mật độ xác suất 
Hàm mật độ xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu là
f(x), thỏa mãn các điều kiện sau:
ª f(x) 0 (x)
ª P(a < X < b) = 
b
a
dx)x(f
1dx)x(f 
ª
f(x)
x0 a b
P(a< X < b)
3- Hàm phân phối xác suất 
Hàm phân phối xác suất có thể
thiết lập cho cả đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu
nhiên liên tục.
F(x) = P(X < x) 
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời 
rạc thì hàm F(x) có dạng: 
a- Định nghĩa:

xx
i
i
)xX(P)x(F
x
dx)x(f)x(F
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên 
tục thì hàm F(x) có dạng: 
Thí dụ: Cho đại lượng ngẫu nhiên
rời rạc X có bảng phân phối xác
suất:
X 1 2 3
P 0,25 0,5 0,25
Hàm phân phối xác suất của X:
F(x) =
0 x 1
0,25 1< x 2
0,75 2< x 3
1 x > 3
Đồ thị hàm phân phối xác suất
b- Tính chất:
ª Tính chất 1: Hàm phân phối xác 
suất luôn luôn nhận giá trị trong
khoảng [0, 1], tức: 
0 ≤ F(x) ≤ 1
ª Tính chất 2: Hàm phân phối xác
suất là hàm không giảm. Tức là:
Nếu x2 > x1 thì:
F(x2) ≥ F(x1)
ª Hệ quả 1:
P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)
ª Hệ quả 2: Xác suất để ĐLNN liên
tục nhận một giá trị xác định cho
trước luôn bằng 0.
ª Hệ quả 3: Nếu X là ĐLNN liên tục
thì:
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b)
= P(a ≤ X < b)
= P(a < X < b)
ª Tính chất 3:
LimF(x) = 1; LimF(x) = 0
X - X
Tính chất này có thể viết như sau:
F(+ ) = 1; F(- ) = 0
c- Ý nghĩa của hàm phân phối xác 
suất: 
Hàm F(x) phản ánh mức độ tập
trung xác suất về phía bên trái
của điểm x. Giá trị của hàm F(x)
cho biết có bao nhiêu phần của
một đơn vị xác suất phân phối
trong khoảng ( - , x).
1- Kỳ vọng toán:
a- Định nghĩa:
IV – Các tham số đặc trưng
của đại lượng ngẫu nhiên
X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
có thể nhận các giá trị: x1, x2, . . . ,
xn với các xác suất tương ứng:
p1, p2, . . . , pn
Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu
nhiên X ký hiệu là E(X):

n
1i
iipxE(X) =
b- Các tính chất:
 E(C) = C (với C là hằng số)
 E(CX) = CE(X) (C - hằng số)
 E(X1 + X2 + . . . + Xn) =
E(X1) + E(X2) + . . . + E(Xn)
 E(X1X2 . . . Xn) = 
E(X1)E(X2) . . . E(Xn)
Nếu X1, X2, . . . , Xn độc lập.
Khái niệm 2 ĐLNN độc lập
X và Y là hai ĐLNN độc lập nếu
phân phối xác suất của X thay đổi
không làm thay đổi phân phối xác
suất của Y và ngược lại.
Nếu X, Y không thỏa điều kiện nêu
trên thì X, Y là hai ĐLNN phụ
thuộc.
c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng
toán
Thí dụ: Một lớp có 50 sinh viên,
trong kỳ thi môn toán có kết quả
cho ở bảng sau:
Điểm 3 4 5 6 7 8 9
Số s/v 3 7 15 10 5 6 4
Nếu gọi X là điểm thi môn toán
của một s/v chọn ngẫu nhiên từ
lớp này thì X là ĐLNN có phân
phối xác suất như sau:
X 3 4 5 6 7 8 9
P 0,06 0,14 0,3 0,2 0,1 0,12 0,08
82,5
50
49.....7433
)X(E
Hay
E(X) = 5,82 chính là điểm thi
trung bình môn toán của một sinh
viên trong lớp.
E(X)=3 0,06+ 4 0,14 +. . .9 0,08
Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu
nhiên chính là giá trị trung bình
của đại lượng ngẫu nhiên.
2- Phương sai:
a- Định nghĩa: 
Phương sai của đại lượng ngẫu
nhiên X, ký hiệu là Var(X).
Var(X) = E X- E(X)2
Trong thực tế thường tính phương
sai bằng công thức:
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
Thí dụ: Cho ĐLNN X có luật phân
phối xác suất như sau:
X 1 3 4
P 0,1 0,5 0,4
Tìm var(X).
Giải: Theo định nghĩa của E(X) ta
có:
E(X)=1×0,1+3×0,5+ 4×0,4 = 3,2
E(X2) =12×0,1+32×0,5+42×0,4 = 11
Vậy:
Var(X) = 11 – (3,2)2 = 0,76
b- Các tính chất của phương sai:
ª Var(C) = 0 (C - const)
ª Var(CX) = C2 Var(X) 
(C - const)
ª Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu 
nhiên độc lập thì:
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y)
Trường hợp tổng quát, nếu X1, X2,
. . . , Xn là n đại lượng ngẫu nhiên
độc lập thì:
Var(X1 + X2 + . . . + Xn) = Var(X1)
+ Var(X2) + . . . + Var(Xn)
Hệ quả 2:
• Var(C + X) = Var(X)
• (với C là hằng số )
•Hệ quả 1:
• Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)
•Nếu X, Y độc lập
3- Độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu
nhiên X ký hiệu là (X) là căn
bậc 2 của phương sai:
(X) = )X(Var
Đôä lệch chuẩn có cùng đơn vị đo
với đại lượng ngẫu nhiên.
Đơn vị đo của phương sai bằng
bình phương đơn vị đo của đại
lượng ngẫu nhiên.
4- Giá trị tin chắc nhất
a- Định nghĩa:
Giá trị tin chắc nhất của đ.l.n.n X
ký hiệu là Mod(X)
Nếu X là đ.l.n.n rời rạc thì Mod(X)
là giá trị của X ứng với xác suất
lớn nhất trong bảng phân phối xác
suất của X.
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên
tục thì Mod(X) là giá trị của X tại
đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại.
b- Thí dụ 1:
X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng
phân phối xác suất như sau:
X 7 8 9 10 11 12 14
P 0,1 0,14 0,3 0,24 0,11 0,06 0,05 
Mod(X) = 9
c - Thí dụ 2:
X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm
mật độ xác suất như sau:
Mod(X) = 4,6
4,6 x
f(x)
0
Mod(X) chính là giá trị có khả
năng xảy ra nhiều nhất trong các
giá trị mà đ.l.n.n X có thể nhận.
Nếu X là chiều cao của s/v trong
một trường, thì Mod(X) là chiều
cao mà nhiều s/v đạt được nhất;
Nếu Y là thu nhập của công nhân
trong một nhà máy thì Mod(Y) là
thu nhập mà số công nhân có mức
thu nhập này ở nhà máy là nhiều
nhất . . .
* Chú ý: Mod(X) có thể nhận
nhiều giá trị khác nhau.
Thí dụ: X là đ.l.n.n có bảng phân
phối xác suất như sau:
X 1 2 3 4 5 6 7
P 0,1 0,15 0,3 0,3 0,08 0,05 0,02 
Mod(X) = 3 hoặc Mod(X) = 4.
TỔNG KẾT CHƯƠNG 2
ĐLNN
PP xác suất
của ĐLNN
Các tham số
đặc trưng
của ĐLNN
rời
rạc
liên
tục
Bảng
PP
XS
hàm
PP
XS
hàm
mật
độ xS
Kỳ
vọng
toán
Phg
sai
độ
lệch
chuẩn
ĐN, các t/cĐịnh nghĩa ĐN, cách tính, các t/c
Bài tập:
• 2.5; 2.6; 2.9; 2.20;
• 2.25; 2.28.
Hết chương 2