Bài giảng môn học Toán 1 - Chương 3, Phần 2: Phép tính vi phân hàm một biến - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng Toán 1
Giảng viên
Nguyễn Anh Thi
2016
Chương 3
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM
MỘT BIẾN
Bài toán tìm diện tích
Ta có tổng Rieman: Rn = f(x1)∆(x) + f(x2)∆(x) + · · ·+ f(xn)∆(x).
Khi đó ta có diện tích
A = lim
n→+∞Rn = limn→+∞[f(x1)∆(x) + f(x2)∆(x) + · · ·+ f(xn)∆(x)]
Thay vì lấy giá trị của f tại các đầu mút xi như trên, ta có thể chọn
tại điểm bất kỳ x∗i ∈ [xi−1, xi]. Ta có diện tích
A = lim
n→+∞[f(x
∗
1)∆(x) + f(x∗2)∆(x) + · · ·+ f(x∗n)∆(x)]
Định nghĩa tích phân
Định nghĩa
Cho f là hàm xác định trên đoạn [a, b], ta chia đoạn [a, b] thành n
khoảng con với độ rộng ∆(x) = (b− a)/n. Gọi
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b là các đầu mút của các khoảng
con đó. Trên mỗi khoảng con ta lấy x∗i ∈ [xi−1, xi]. Thì tích phân
(xác định) của f từ a đến b được định nghĩa là:∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆(x)
nếu nó tồn tại.
Nếu tích phân của f tồn tại ta nói f khả tích.
Các tính chất cơ bản của tích phân
Mệnh đề
Cho f, g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó:
1.
∫ b
a [f(x) + kg(x)]dx =
∫ b
a f(x)dx+ k
∫ b
a g(x)dx
2. Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng [a, c] và
[c, b], và khi đó:∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
3. Nếu f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b] thì ∫ ba f(x)dx ≥ 0. Suy ra nếu
f(x) ≥ g(x),∀x ∈ [a, b] thì∫ b
a
f(x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx
4. Hàm |f| khả tích và ∫ ba |f(x)|dx ≥ | ∫ ba f(x)dx|
Định lý
Nếu f liên tục trên [a, b] hoặc chỉ gián đoạn tại một số hữu hạn
các điểm, thì f khả tích trên [a, b].
Các tính chất cơ bản của tích phân
Định lý (Định lý cơ bản của vi tích phân 1)
Cho f liên tục trên đoạn [a, b], đặt: F(x) =
∫ x
a f(t)dt, (a ≤ x ≤ b).
Thì F liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và F′(x) = f(x).
Định lý (Định lý cơ bản của vi tích phân 2, Công thức
Newton-Leibnitz)
Cho f liên tục trên [a, b], thì:∫ b
a
f(x)dx = F(b)− F(a)
Trong đó F là một nguyên hàm bất kỳ của f, nghĩa là F′(x) = f(x).
Ví dụ
Tính
∫ pi
4
0 sin xdx.
Nguyên hàm
I F được gọi là nguyên hàm của f nếu F′ = f.
I Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân khẳng định sự tồn
tại nguyên hàm của các hàm liên tục.
I Nếu F là một nguyên hàm của f thì khi đó mọi nguyên hàm G
của f đều có dạng G(x) = F(x) + C.
I Tập các nguyên hàm của f được ký hiệu là:∫
f(x)dx
I Nguyên hàm còn được gọi là tích phân bất định.
Một số nguyên hàm
1.
∫
xadx = xa+1a+1 + C, với a 6= −1
2.
∫ dx
x = ln |x|+ C
3.
∫
exdx = ex + C
4.
∫
axdx = axln a + C
5.
∫
sin xdx = − cos x+ C
6.
∫
cos xdx = sin x+ C
7.
∫ dx
cos2 x = tan x+ C
8.
∫ dx
sin2 x = − cot x+ C
9.
∫ dx√
1−x2
= arcsin x+ C
10.
∫ dx√
a2−x2
= arcsin( xa) + C, a > 0
11.
∫ dx
1+x2 = arctan x+ C
12.
∫ dx
a2+x2 =
1
a arctan(
x
a) + C, a > 0.
Phương pháp đổi biến
Quy tắc đổi biến cho tích phân bất định
Cho u = g(x) là hàm khả vi, miền giá trị của nó là I, và f liên tục
trên I. Khi đó: ∫
f(g(x))g′(x)dx =
∫
f(u)du
Ví dụ
Tính
1.
∫
x3 cos(x4 + 2)dx
2.
∫
x5
√
1+ x2dx
Phương pháp đổi biến
Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định Giả sử g′ là hàm liên tục
trên [a, b] và f liên tục trên miền xác định của u = g(x). Khi đó∫ b
a
f(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f(u)du
Ví dụ
1.
∫ 2
1
dx
(3−5x)2
2.
∫ e
1
ln x
x dx
3.
∫ pi/3
0
etan x
cos2 xdx
Tích phân từng phần
Từ công thức đạo hàm một tích, ta có công thức tích phân từng
phần sau: ∫
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−
∫
g(x)f′(x)dx
hay ∫
udv = uv−
∫
vdu
Ví dụ
Tính
1.
∫
(2x− 1) cos(3x)dx
2.
∫
ln xdx
3.
∫
ex2 sin(3x)dx
áp dụng công thức Newton-Leipnitz ta được công thức tính tích
phân từng phần xác định:∫ b
a
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)|ba −
∫ b
a
g(x)f′(x)dx
hay ∫ b
a
udv = uv|ba −
∫ b
a
vdu
Ví dụ
1.
∫ 2
0 arctan
x
2dx
2.
∫ 1
0 (x
2 + 1)e−xdx
Một số ví dụ
Ví dụ
1.
∫
sin5 x cos2 xdx
2.
∫ √9−x2
x2 dx
3.
∫ dx
x2
√
x2−9
, với x > 3.
4.
∫ 3
2
x3+x
x−1 dx
5.
∫ x+5
x2+x−2dx
6.
∫ 4x2−3x+2
4x2−4x+3dx
7.
∫ e2x
e2x+3ex+2dx
8.
∫ x+arcsin x√
1−x2
dx
9.
∫ pi
0 e
cos t sin(2t)dt
Tích phân suy rộng loại 1
Định nghĩa
1. Nếu
∫ t
a f(x)dx tồn tại với mọi t ≥ a thì:∫ +∞
a
f(x)dx = lim
t→+∞
∫ t
a
f(x)dx
trong trường hợp giới hạn tồn tại (hữu hạn).
2. Nếu
∫ b
t tồn tại với mọi t ≤ b thì:∫ b
−∞
f(x)dx = lim
t→−∞
∫ b
t
f(x)dx
trong trường hợp giới hạn tồn tại (hữu hạn).
Các tích phân suy rộng
∫ +∞
a f(x)dx,
∫ b
−∞ f(x)dx được gọi là hội tụ
nếu giới hạn nói trên tồn tại và hữu hạn. Ngược lại, ta nói nó phân
kỳ.
Định nghĩa
Nếu các tích phân
∫ +∞
a f(x)dx,
∫ a
−∞ f(x)dx đều hội tụ, ta định
nghĩa: ∫ +∞
−∞
f(x)dx =
∫ a
−∞
f(x)dx+
∫ +∞
a
f(x)dx
Ví dụ
Tính các tích phân sau:
1.
∫ +∞
1
1
x2 dx
2.
∫ +∞
1
1
xdx
3.
∫ 0
−∞ xe
xdx
4.
∫ +∞
0
2x+1
e3x dx
5.
∫ +∞
1
ln x
x3 dx
6.
∫ +∞
−∞
ex
1+2ex dx
7.
∫ 0
−∞
dx
x2+x+1
Mệnh đề∫ +∞
1
1
xp dx hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ nếu p ≤ 1.
Tích phân suy rộng loại 2
Định nghĩa
1. Nếu f liên tục trên [a, b) và lim
x→b
f(x) = ±∞ thì:
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx
trong trường hợp giới hạn tồn tại.
2. Nếu f liên tục trên (a, b] và lim
x→a f(x) = ±∞ thì:∫ b
a
f(x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx
trong trường hợp giới hạn tồn tại.
3. Nếu lim
x→c f(x) = ±∞, a < c < b, và cả hai tích phân
∫ c
a f(x)dx,∫ b
c f(x)dx đều hội tụ, ta định nghĩa:∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Các tích phân suy rộng nói trên được gọi là hội tụ nếu giới hạn tồn
tại và hữu hạn. Ngược lại, ta nói nó phân kỳ.
Ví dụ
Tính các tích phân
1.
∫ 5
2
1√
x−2dx;
2.
∫ pi
2
0
dx
cos x ;
3.
∫ 1
0 ln xdx.
4.
∫ 3
0
dx
x−1
5. Với giá trị nào của p thì tích phân sau hội tụ?∫ 1
0
1
xp dx∫ 1
0
1
xp dx hội tụ nếu p < 1 và phân kỳ nếu p ≥ 1.
Các tiêu chuẩn hội tụ
Mệnh đề (Tiêu chuẩn trị tuyệt đối)
1. Cho f khả tích trên mọi khoảng [a, x], x > a. Nếu
∫ +∞
a |f(x)|dx
hội tụ thì
∫ +∞
a f(x)dx hội tụ.
2. Cho f khả tích trên mọi khoảng [a, x], x > a. Nếu
∫ b
a |f(x)|dx hội
tụ thì
∫ b
a f(x)dx hội tụ.
Mệnh đề (Tiêu chuẩn so sánh 1)
Cho f, g là các hàm số dương thỏa f(x) ≤ g(x)
1. Nếu
∫ +∞
a g(x)dx hội tụ thì
∫ +∞
a f(x)dx hội tụ. Nếu
∫ +∞
a f(x)dx
phân kỳ thì
∫ +∞
a g(x)dx phân kỳ.
2. Nếu
∫ b
a g(x)dx hội tụ thì
∫ b
a f(x)dx hội tụ. Nếu
∫ b
a f(x)dx phân
kỳ thì
∫ b
a g(x)dx phân kỳ.
Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau:
1.
∫ +∞
1 e
−x2dx
2.
∫ +∞
1
sin(x
√
x)
x
√
x+1 dx
3.
∫ 1
0
1√
x+sin2 xdx
4.
∫ pi
2
0
1
x sin xdx
Mệnh đề
Cho f và g là các hàm số dương.
1. Nếu lim
x→+∞
f(x)
g(x) = α ∈ (0,+∞), thì
∫ +∞
a f(x)dx và
∫ +∞
a g(x)dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
2. Nếu lim
x→b
f(x)
g(x) = α ∈ (0,+∞), thì
∫ b
a f(x)dx và
∫ b
a g(x)dx cùng
hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau:
1.
∫ +∞
1
x2+ln x+1
x5+3x2+3dx
2.
∫ +∞
1
x3+2x−1
x4+x3+
√
x+2dx
3.
∫ 1
0
1
3
√
(1−x)2(2+x)dx
4.
∫ 1
0
sin x
x
√
xdx