Bài giảng môn học Toán 1 - Chương 1: Số phức. Ma trận - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
Bài giảng môn học Toán 1
Nguyễn Anh Thi
2016
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
Chương 1
SỐ PHỨC, MA TRẬN
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
Nội dung
1 Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Số phức
• Định nghĩa tập số phức
• Dạng đại số của số phức
• Dạng lượng giác của số phức
• Căn của số phức
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định nghĩa
Đặt C là tập hợp gồm các cặp số
C = {(a, b)|a, b ∈ R}
Trên C ta định nghĩa hai phép toán (+) và nhân (.) như sau:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);
(a, b).(c, d) = (ac− bd, ad + bc).
Mỗi cặp (a, b) được gọi là một số phức, và tập C với hai phép
toán trên được gọi là tập số phức.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng đại số của số phức
Định nghĩa
Mọi số phức z = (a, b) đều viết được dưới dạng đại số
z = a + ib
với a, b ∈ R và i = (0, 1). Trong đó a được gọi là phần thực
(ký hiệu là Re(z)), và b được gọi là phần ảo (ký hiệu là Im(z)).
Ví dụ
Cho z = (2, 3). Ta có z = 2 + i3; Re(z) = 2; Im(z) = 3.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng đại số của số phức
Tính chất
1. Dạng đại số của một số phức là duy nhất, nghĩa là
a + ib = c + id ↔ a = c, b = d(a, b, c, d ∈ R)
Đặc biệt a + ib = 0 ↔ a = b = 0.
2. Với dạng đại số, các phép tính về số thực được thực hiện
như các phép tính thông thường trong R với i2 = −1.
3. Những hằng đẳng thức thực cũng còn đúng trong trường
hợp phức.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng đại số của số phức
Định nghĩa
Cho số phức z = a + ib. Ta gọi module hay giá trị tuyệt đối
của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = √a2 + b2.
Ví dụ
Cho các số phức z = 3− 4i; z′ = −6 + 8i. Hãy tìm module của
z; z′; z + z′; z− z′; zz′; z/z′; z4 và z′−3.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Về mặt tập hợp ta thấy C trùng với R2. Do đó ta có thể biểu
diễn số phức z = a + ib bởi điểm M(a, b) trong mặt phẳng R2
với hệ trục x0y.
Ta thấy 0M = |z|. Ta gọi ϕ = (−→0x,−→0M) là argument của z, ký
hiệu ϕ = arg(z). Nếu z 6= 0 thì arg(z) được xác định duy nhất
sai kém một bội nguyên của 2pi. Với z = 0 ta có thể xem
arg(z) là tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Với một số phức z = a + ib 6= 0 và r = |z| = √a2 + b2. Khi đó
ta có
cosϕ = ar ; sinϕ =
b
r .
Định lý
Mọi số phức z 6= 0 đều viết được dưới dạng lượng giác
z = r(cosϕ+ i sinϕ)
trong đó r = |z| và ϕ = arg(z).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Ví dụ
1 = cos 0 + i sin 0;
i = cos pi2 + i sin
pi
2 ;
1 + i
√
3 = 2(12 + i
√
3
2 ) = 2(cos
pi
3 + i sin
pi
3 );
1− i
√
3 = 2(12 − i
√
3
2 ) = 2[cos(−
pi
3 ) + i sin(−
pi
3 )].
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Định lý
Cho các số thực z, z′ 6= 0. Khi đó
1 arg(zz′) = arg(z) + arg(z′);
2 arg(z/z′) = arg(z)− arg(z′).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Hệ quả
Cho các số phức z, z′ 6= 0 dưới dạng lượng giác
z = r(cosϕ+ i sinϕ), z′ = r′(cosϕ′ + i sinϕ′).
Khi đó
i. zz′ = rr′[cos(ϕ+ ϕ′) + i sin(ϕ+ ϕ′)];
ii. zz′ =
r
r′ [cos(ϕ− ϕ′) + i sin(ϕ− ϕ′)].
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Ví dụ
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
z1 = (1− i)(
√
3− i); z2 = 1− i√3− i .
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Định lý (Công thức Moivre)
Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cosϕ+ i sinϕ).
Khi đó với mọi số nguyên n ta có
zn = rn(cosnϕ+ i sinnϕ).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Dạng lượng giác của số phức
Ví dụ
Tính (1− i)1945
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Căn của số phức
Định nghĩa
Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa mãn zn = u.
Định lý
Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi
zk = n
√
r(cos ϕ+ k2pin + i sin
ϕ+ k2pi
n ),
với k ∈ 0,n− 1, trong đó r = |u|, ϕ = arg(u).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Căn của số phức
Ví dụ
• Tìm căn bậc 5 của 1.
• Tìm căn bậc 3 của 1 + i.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Căn của số phức
Định lý
Phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0,
luôn luôn có các nghiệm định bỡi
z = −b±
√
∆
2a ,
trong đó ∆ = b2 − 4ac, với quy ước √∆ là một trong hai căn
bậc hai của số phức ∆.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Căn của số phức
Ví dụ
Giải phương trình phức
144z2 + 192z + 73 = 0
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định nghĩa
Định nghĩa
Một ma trận loại m× n trên R là một bảng chữ nhật gồm m
dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn

Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R.
aij là hệ số ở dòng i, cột j của ma trận A (hệ số này còn được
ký hiệu là Aij).
Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận loại m× n
trên R.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định nghĩa
Ví dụ
A =
(
1 2 3
0 1 2
)
∈ M2×3(R); B =
1 20 1
2 3
 ∈ M3×2(R).
Định nghĩa
Ma trận có các hệ số bằng 0, được gọi là ma trận không, ký
hiệu 0m×n (hay 0).
Ví dụ
03×4 =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n× n, (số dòng bằng
số cột). Ký hiệu Mn(R) là tập hợp các ma trận vuông cấp n.
Ví dụ
A ∈ M3(R) =
1 2 34 5 6
7 8 9
, 03×3 =
0 0 00 0 0
0 0 0

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Nếu A = (aij) ∈ Mn(R) thì đường chứa các phần tử
a11, a22, ..., ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo
của A.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann

Ví dụ
A =
1 2 34 5 6
7 8 9

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Một ma trận chéo cấp n là một ma trận vuông cấp n mà tất cả
các hệ số nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Nếu A là
một ma trận chéo cấp n, ta ký hiệu A = diag(a11, a22, ..., ann).
Ví dụ
A = diag(1, 5, 9) =
1 0 00 5 0
0 0 9

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In hay I, là ma trận chéo cấp n
mà tất cả các hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1.
Ví dụ
I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các dạng đặc biệt của ma trận
Định nghĩa
Ma trận tam giác trên (tương ứng ma trận tam giác dưới) là
một ma trận vuông mà tất cả các hệ số nằm phía dưới (tương
ứng phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Nhận xét
Ma trận vuông A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi A vừa
là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới.
Ví dụ
A =
1 2 30 5 6
0 0 9
, B =
1 0 04 5 0
7 8 9

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (so sánh hai ma trận)
Cho hai ma trận cùng loại A = (aij)m×n và B = (bij)m×n. Ta
nói A bằng B, ký hiệu A = B, nếu aij = bij,∀i ∈ 1,m, j ∈ 1,n.
Ví dụ
Tìm x, y, z, t để(
x + 1 t
2x− 1 z
)
=
(
3y− 4 t + z
y− 1 2z + 2
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (phép lấy chuyển vị)
Cho A = (aij) là một ma trận loại m× n. Ta gọi ma trận
chuyển vị của A, ký hiệu AT, là ma trận loại n×m, có được từ
A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng,
nghĩa là nếu A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
 thì
AT =

a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
. . . . . . . . . . . .
a1n a2n . . . amn
.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa
Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Nếu A> = −A
thì nói A là ma trận phản xứng.
Tính chất
Cho A,B ∈ Mm×n(R). Khi đó
• (A>)> = A;
• A> = B> ⇔ A = B.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Ví dụ
Với A =
 1 −1 4 56 −8 0 1
0 4 −3 6
 ta có A> =

1 6 0
−1 −8 4
4 0 −3
5 1 6

B =
 1 2 −22 4 5
−2 5 6
 là ma trận đối xứng.
C =
 0 −2 12 0 −3
−1 3 0
 là ma trận phản xứng.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Các phép toán về ma trận
Định nghĩa (Phép nhân vô hướng với  ... luận
nghiệm. Cụ thể :
• Trường hợp 1. Ma trận R có 1 dòng là(
0 0 . . . 0 6= 0 )
Kết luận hệ phương trình vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
• Trường hợp 2. Ma trận R có dạng
c11 c12 . . . c1n α1
0 c22 . . . c2n α2
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . cnn αn
0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0

Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Việc tính
nghiệm được thực hiện từ dưới lên trên.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
• Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số
nghiệm, và
• Ẩn tương ứng với các cột không chứa phần tử cơ sở của
dòng nào sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý).
• Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở sẽ được tính từ dưới
lên trên và theo các ẩn tự do.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình sau:
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7;
x2 + 2x1 + 2x3 + 3x4 = 6;
3x1 + 2x2 + 2x4 + x3 = 7;
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18.
Ma trận mở rộng A˜ = (A|B) =

1 2 3 4 7
2 1 2 3 6
3 2 1 2 7
4 3 2 1 18

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng A˜ là
1 2 3 4 7
0 1 4 5 6
0 0 1 1 2
0 0 0 2 −6

Suy ra nghiệm của hệ là

x1 = 2;
x2 = 1;
x3 = 5;
x4 = −3.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình sau
x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1;
x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1;
3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5;
2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =

1 2 −3 5 1
1 3 −13 22 −1
3 5 1 −2 5
2 3 4 −7 4

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng:
1 2 −3 5 1
0 1 −10 17 −2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Hệ có nghiệm:

x3 = t ∈ R
x4 = s ∈ R
x2 = −2 + 10t− 17s
x1 = 5− 17t + 29s
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss
Giải hệ phương trình sau
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2;
3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = −3;
−2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 5;
3x1 + 3x3 − 10x4 = 8.
Ma trận mở rộng

1 −2 3 −4 2
3 3 −5 1 −3
−2 1 2 −3 5
3 0 3 −10 8
. Dạng bậc
thang R của ma trận mở rộng:

1 −2 3 −4 2
0 −3 8 −11 9
0 0 10 −20 18
0 0 0 0 2
.
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss-Jordan
Bước 1. Lập ma trận mở rộng A˜ = (A|B).
Bước 2. Đưa ma trận A˜ về dạng bậc thang rút gọn RA.
Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta
kết luận nghiệm. Cụ thể :
• Trường hợp 1.Ma trận RA có một dòng(
0 0 . . . 0 6= 0 ). Kết luận hệ phương trình vô
nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss-Jordan
• Trường hợp 2.Ma trận RA có dạng
1 0 . . . 0 α1
0 1 . . . 0 α2
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 αn
0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0

Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
x1 = α1, x2 = α2, ..., xn = αn
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Phương pháp Gauss-Jordan
• Trường hợp 3. Khác hai trường hợp trên, khi đó hệ có vô
số nghiệm, và
• Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở của dòng
nào sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý).
• Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở 1 sẽ được tính theo
các ẩn tự do.
Số ẩn tự do được gọi là bậc tự do của hệ phương trình.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Định lý
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n
phương trình. Đặt ∆ = detA;∆i = detAi, i ∈ 1,n trong đó Ai là
ma trận có được từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi đó
i. Nếu ∆ 6= 0 thì hệ (∗) có một nghiệm duy nhất là:
xi =
∆i
∆
, i ∈ 1,n
ii. Nếu ∆ = 0 và ∆i 6= 0 với một i nào đó thì hệ (∗) vô
nghiệm.
iii. Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0,∀i ∈ 1,n thì hệ vô nghiệm hoặc vô
số nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình
x − y − 2z = −3;
2x − y + z = 1;
x + y + z = 4.
(1)
Ta có ∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −2
2 −1 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = −7;
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
−3 −1 −2
1 −1 1
4 1 1
∣∣∣∣∣∣ = −7;
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 −3 −2
2 1 1
1 4 1
∣∣∣∣∣∣ = −14;
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −3
2 −1 1
1 1 4
∣∣∣∣∣∣ = −7;
Vì ∆ 6= 0, nên hệ có nghiệm duy nhất x = ∆1∆ = 1;
y = ∆2∆ = 2; z =
∆3
∆ = 1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình

x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
5x + 7y + 4z = 5.
Ta có ∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
2 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
3 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = −45.
Vậy hệ vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình

x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
5x + 7y + 4z = 10.
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
2 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0; ∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
3 3 3
10 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 4 −2
2 3 3
5 10 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 4
2 3 3
5 7 10
∣∣∣∣∣∣ = 0. Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0
nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng
Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
x1 + 2x2 + 2x3 = 0;
−2x1 + (m− 2)x2 + (m− 5)x3 = 2;
mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2.
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 2
−2 m− 2 m− 5
m 1 m + 1
∣∣∣∣∣∣ = (m− 1)(m− 3);
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
0 2 2
2 m− 2 m− 5
−2 1 m + 1
∣∣∣∣∣∣ = −4m + 12;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 0 2
−2 2 m− 5
m 2 m + 1
∣∣∣∣∣∣ = 0;
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 0
−2 m− 2 2
m 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = 2m− 6;
• ∆ 6= 0 ⇔
{
m 6= 1
m 6= 3. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là
(x1, x2, x3) = ( −4m−1 , 0,
2
m−1)
• ∆ = 0 ⇔
[
m = 1
m = 3
• m=1, ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm.
• m = 3, ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình
là
 1 2 2 0−2 1 −2 2
3 1 4 −2

Nghiệm của hệ là (x1, x2, x3) = (3t− 2, t, 1− 52 t) với t tự do.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Quy tắc Cramer
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
(m− 7)x + 12y − 6z = m;
−10x + (m + 19)y − 10z = 2m;
−12x + 24y + (m− 13)z = 0.
∆ =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 12 −6
−10 m + 9 −10
−12 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = (m− 1)2(m + 1)
∆1 =
∣∣∣∣∣∣
m 12 −6
2m m + 9 −10
0 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = m(m− 1)(m− 17)
∆2 =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 m −6
−10 2m −10
−12 0 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = 2m(m− 1)(m− 14)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 12 m
−10 m + 9 2m
−12 24 0
∣∣∣∣∣∣ = 36m(m− 1)
Biện luận
• Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= 1,−1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
là

x = ∆1∆ =
m(m2−18m+17)
(m−1)(m2−1) =
m(m−17)
m2−1 ;
y = ∆2∆ =
m(m2−15m+14)
(m−1)(m2−1) =
m(m−14)
m2−1 ;
z = ∆3∆ =
−36m(m−1)
(m−1)(m2−1) =
−36m
m2−1 .
• Nếu ∆ = 0 ⇔
[
m = −1
m = 1
• m = −1, ∆1 = −36 6= 0, hệ vô nghiệm.
• m = 1, ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Ta có hệ −6x + 12y − 6z = 1;−10x + 20y − 10z = 2;−12x + 24y − 12z = 0.
Hệ vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý (Kronecker-Capelli)
Nếu A˜ = (A|B) là ma trận mở rộng của hệ gồm n ẩn dạng
AX = B thì r(A˜) = r(A) hoặc r(A˜) = r(A) + 1. Hơn nữa,
• nếu r(A˜) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm;
• nếu r(A˜) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất;
• nếu r(A˜) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do
là n− r(A).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
m. 
3x1 + 5x2 + 3x3 − 4x4 = 1;
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0;
5x1 + 9x2 + 6x3 − 15x4 = 2;
13x1 + 22x2 + 13x3 − 22x4 = 2m.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =

3 5 3 −4 1
2 3 1 1 0
5 9 6 −15 2
13 22 13 −22 2m

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng
1 2 2 −5 1
0 −1 −3 11 −2
0 0 −1 −1 −1
0 0 0 0 2m− 4

Biện luận
• Với 2m− 4 6= 0 ⇔ m 6= 2. Khi đó hệ vô nghiệm.
• Với m = 2, hệ tương đương với hệ sau :
x1 + 2x2 + 2x3 − 5x4 = 1
− x2 − 3x3 + 11x4 = −2
− x3 − x4 = −1
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Chọn x4 = t ta tính được
x3 = 1− x4 = 1− t;
x2 = 2− 3x3 + 11x4 = −1 + 14t;
x1 = 1− 2x2 − 2x3 + 5x4 = 1− 21t
Vậy khi m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do
(x1, x2, x3, x4) = (1− 21t,−1 + 14t, 1− t, t)
với t ∈ R tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Ví dụ
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
m. 
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2;
x1 − x2 + 4x3 − x4 = m;
4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m2 − 6m + 4.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =

1 1 −1 2 1
1 2 −3 4 2
1 −1 4 −1 m
4 3 −1 m m2 − 6m + 4

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Dạng bậc thang của ma trận mở rộng
1 1 −1 2 1
0 1 −2 2 1
0 0 1 1 m + 1
0 0 0 m− 7 m2 − 7m

Biện luận
• Với m− 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm
x4 = m ;
x3 = m + 1− x4 = 1;
x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3− 2m;
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1
Bài giảng môn
học Toán 1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: SỐ
PHỨC, MA
TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Nội dung
Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN
1. Số phức.
2. Ma trận.
Định lý Kronecker-Capelli
Vậy khi m 6= 7 hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là:
(x1, x2, x3, x4) = (−1, 3− 2m, 1,m).
• Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau:
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;
x2 − 2x3 + 2x4 = 1;
x3 + x4 = 8.
Chọn x4 = t ta tính được
x3 = 8− x4 = 8− t;
x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17− 4t;
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −8 + t.
Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do
(x1, x2, x3, x4) = (−8 + t, 17− 4t, 8− t, t)
với t ∈ R tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán 1