Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Phần 1: Lý thuyết xác suất - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Bài giảng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ THỐNG KÊ TOÁN
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN
KHOA TOÁN KINH TẾ
BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
1
www.mfe.edu.vn
8 / 2017
Thông tin học phần
▪ Tiếng Anh: Probability and Mathematical Statistics
▪ Số tín chỉ: 3 Thời lượng: 45 tiết
▪ Đánh giá: 
• Điểm do giảng viên đánh giá: 10%
• Điểm kiểm tra giữa kỳ / bài tập lớn: 20%
• Điểm kiểm tra cuối kỳ (90 phút): 70%
▪ Không tham gia quá 20% số tiết không được thi
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 2
Thông tin học phần
▪ Thông tin chi tiết về Giảng dạy và học tập học phần:
▪ www.mfe.edu.vn Văn bản quan trọng  “Hướng
dẫn giảng dạy học tập học phần Lý thuyết xác suất
và Thống kê toán”
• Đề cương chi tiết
• Hướng dẫn thực hành Excel
• Bảng số và công thức cơ bản
• Một số bài tập bổ sung
• Nội dung giảng dạy học tập cụ thể
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 3
Thông tin giảng viên
▪ Học vị. Họ tên giảng viên
▪ Giảng viên Bộ môn Toán kinh tế - Khoa Toán kinh tế
- ĐH Kinh tế quốc dân
▪ Email: (giangvien)@neu.edu.vn
▪ Trang web: www.mfe.edu.vn/(họ tên GV) 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 4
Tài liệu
▪ [1] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ
(2015), Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê
toán, NXB ĐHKTQD.
▪ [2] Bùi Dương Hải (2016), Tài liệu hướng dẫn thực
hành Excel, Lưu hành hội bộ.
▪ [3] Paul Newbold, William L. Carlson, Betty Thorne 
(2010), Statistics for Business and Economics, 7th
edition, Pearson.
▪ Website: www.mfe.edu.vn
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – Bui Duong Hai – NEU –
www.mfe.edu.vn/buiduonghai
5
Các nhà khoa học
▪ Thế kỉ 16: Galilei O Galile (Italia)
▪ Thế kỉ 17: Blaise Pascal, Piere de Fermat (Pháp), 
Christian Huygens (Hà Lan), Jakob Bernoulli (Thụy Sĩ)
▪ Thế kỉ 18: Nicolaus Bernoulli (Thụy Sĩ), Thomas 
Bayes (Anh), Pierre Simon Laplace (Pháp) 
▪ Thế kỉ 19: Carl Friedrich Gauss (Đức), Simeon Denis 
Poisson (Pháp), Pafuni Chebyshev (Nga), Francis 
Galton, Karl Pearson (Anh)
▪ Thế kỉ 20: Charles Spearman, Royal Aylmer Fisher 
(Anh), Andrei Kolmogorov (Nga)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 6
NỘI DUNG
Phần 1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
▪ Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
▪ Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
▪ Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
▪ Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều
▪ Chương 5. Các định lý giới hạn
Phần 2. THỐNG KÊ TOÁN
▪ Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu
▪ Chương 7. Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên
▪ Chương 8. Kiểm định giả thuyết thống kê
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 7
Phần 1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
▪ Là môn toán học xác lập những quy luật tất nhiên sau
những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên; từ đó cho phép
dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên sẽ xảy ra thế nào
Gồm 5 chương:
▪ Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
▪ Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
▪ Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
▪ Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều
▪ Chương 5. Các định lý giới hạn
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 8
Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN & XÁC SUẤT
▪ Giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác
suất: phép thử, biến cố, kết cục
▪ Khái niệm về xác suất và một số cách tính xác suất
theo cách cổ điển, theo thống kê
▪ Cách phân chia các biến cố phức tạp thành các biến
cố đơn giản hơn và tổng hợp thông tin để tính xác
suất biến cố phức tạp
▪ Một số định lý, công thức và áp dụng trong các bài
toán
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 9
Chương 1
NỘI DUNG CHƯƠNG 1
▪ 1.1. Phép thử và các loại biến cố
▪ 1.2. Xác suất của biến cố
▪ 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất
▪ 1.4. Định nghĩa thống kê về xác suất
▪ 1.5. Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ
▪ 1.6. Định lý nhân xác suất
▪ 1.7. Định lý cộng xác suất
▪ 1.8. Công thức Bernoulli
▪ 1.9. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 10
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
1.1. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ
▪ Định nghĩa 1.1. Thực hiện một nhóm các điều kiện
cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có thể xảy
ra hay không gọi là một phép thử (experiment)
▪ Hiện tượng có thể xảy ra biến cố (event)
▪ Phân loại:
• Biến cố chắc chắn (certain): kí hiệu U hay 
• Biến cố không thể có (impossible): kí hiệu V hay 
• Biến cố ngẫu nhiên (random): kí hiệu A, B, hay 
A1, A2,
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 11
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.1
1.2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
▪ Định nghĩa 1.2. Xác suất (probability) của một
biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách
quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện một phép
thử.
▪ Nhận xét:
• Khả năng khách quan, không phải chủ quan
• Là con số xác định
• Cần xây dựng các định nghĩa và định lý để tính
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 12
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2
1.3. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT
▪ (Classical definition of Probability)
▪ Ví dụ: Gieo con xúc sắc đối xứng đồng chất, quan
tâm biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn
▪ Định nghĩa 1.3. Xác suất xuất hiện biến cố A trong
một phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A 
và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có
thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 13
 ( )A
m
P
n
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3
Tính chất của xác suất
▪ Xác suất của biến cố bất kỳ nằm trong đoạn [0, 1]
0 P(Biến cố) 1
▪ Xác suất của biến cố chắc chắn: P(U) = 1
▪ Xác suất của biến cố không thể có: P(V) = 0
▪ Xác suất của biến cố ngẫu nhiên A: 0 < P(A) < 1
▪ Còn ký hiệu biến cố chắc chắn là , biến cố không
thể có là 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 14
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Các ví dụ
▪ Ví dụ 1.1: Lớp có 40 sinh viên nữ, 20 sinh viên nam. 
Chọn ngẫu nhiên một người, tính xác suất được nữ.
▪ Ví dụ 1.2: Giả sử xác suất sinh con gái và trai là như
nhau. Tìm xác suất gia đình có 3 con thì
• (a) có đúng 2 con gái
• (b) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là gái
• (c) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là trai
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 15
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Các ví dụ
▪ Ví dụ 1.3: Cơ quan có 50 người, trong đó 25 người
học đại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10 
người học cả hai, còn lại không ai học đại học.
▪ Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đó
• (a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành
• (b) Học ĐH ít nhất 1 ngành
• (c) Học 2 ngành nếu người đó có học đại học
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 16
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Các ví dụ
▪ Ví dụ 1.4: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 
chính phẩm và 4 phế phẩm. 
▪ (a) Tính m và n và xác suất để lấy 2 sản phẩm thì
được 2 chính phẩm, theo 3 cách sau:
• Lần lượt có hoàn lại
• Lần lượt không hoàn lại
• Cùng một lúc
▪ (b) Nếu lấy cùng lúc 3 sản phẩm, tính xác suất được
2 chính phẩm và 1 phế phẩm
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 17
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Ưu nhược điểm của định nghĩa cổ điển
▪ Ưu điểm: 
• Không cần tiến hành phép thử
• Cho phép tính chính xác giá trị của xác suất
▪ Nhược điểm:
• Số cục duy nhất đồng khả năng có thể vô hạn
• Kết quả phép thử không phải các kết cục duy
nhất đồng khả năng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 18
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất
1.4. ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT
▪ (Statistical definition)
▪ Định nghĩa 1.4. Tần suất (relative frequency) xuất
hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép
thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử
được thực hiện
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 19
 ( )A
k
f
n
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4
Định nghĩa
▪ Định nghĩa 1.5: Xác suất xuất hiện biến cố A trong
một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f
xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động
rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn
▪ Ví dụ 1.5:
• Số liệu của 10000 công nhân công nghiệp thấy có
1200 người có bệnh về phổi. Tần suất là 0,12 và
xác suất được coi là xấp xỉ 0,12
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 20
 ( ) ( )A Ap P f
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4. Định nghĩa thống kê
Ưu nhược điểm của định nghĩa thống kê
▪ Ưu điểm:
• Không đòi hỏi những điều kiện như ĐN cổ điển
• Dựa trên các quan sát thực tế
▪ Nhược điểm:
• Chỉ áp dụng với hiện tượng ngẫu nhiên mà tần
suất ổn định
• Phải thực hiện một số đủ lớn các phép thử
▪ Có thể khắc phục bằng cách mô phỏng kết quả
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 21
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4. Định nghĩa thống kê
1.5. NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NHỎ
▪ “Nguyên lý thực tế chắc chắn xảy ra của các biến cố
có xác suất lớn”: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất
gần bằng 1 thì thực tế có thể biến cố đó sẽ xảy ra
trong một phép thử.
▪ “Nguyên lý thực tế không thể có của các biến cố có
xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ
thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến
cố đó sẽ không xảy ra.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 22
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.5. 
1.6. ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT
▪ Định nghĩa 1.6. Biến cố C là tích (intersection) của
hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả hai
biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra.
• Ký hiệu C = A.B
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 23
A B
Ω
A.B
▪ Ví dụ 1.6. Hộp 6 chính
phẩm 4 phế phẩm, lấy lần
lượt 2 sản phẩm.
• A = “lần 1 được CF”
• B = “lần 2 được CF”
• A.B = ?
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. 
Xác suất có điều kiện
▪ Định nghĩa 1.7. Xác suất của biến cố A được tính với
điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều
kiện của A, hay xác suất của A trong điều kiện B
• Ký hiệu: P(A | B)
▪ Ví dụ 1.7: Hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, lấy lần
lượt 2 sản phẩm. A, B là lần 1, 2 được chính phẩm.
▪ Xác định P(B | A) khi:
• Lấy lần lượt có hoàn lại
• Lấy lần lượt không hoàn lại
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 24
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Tính độc lập
▪ Định nghĩa 1.8. Hai biến cố A và B được gọi là độc
lập (independent) với nhau nếu việc xảy ra hay 
không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác
suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại. 
▪ Hai biến cố không độc lập với nhau còn gọi là phụ
thuộc (dependent).
▪ Nếu A và B độc lập thì
P(A | B) = P(A)
và P(B | A) = P(B)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 25
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Định lý nhân xác suất
▪ Định lý: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng
tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác
suất có điều kiện của biến cố còn lại
P(A.B) = P(A).P(B | A)
= P(B).P(A | B)
▪ Định lý: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng
tích của các xác suất thành phần
P(A.B) = P(A ).P(B)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 26
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Hệ quả
▪ Hệ quả: Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với
điều kiện biến cố B đã xảy ra bằng:
▪ Hệ quả: Nếu A và B độc lập thì:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 27
A.B
A | B
B
P
P
P
( )
( )
( )
A.B A.B
A B
B A
P P
P P
P P
( ) ( )
( ) & ( )
( ) ( )
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Ví dụ 1.8
▪ Hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, lấy lần lượt 2 sản
phẩm từ hộp. 
▪ Tính xác suất “được hai chính phẩm” và xác suất
“lần 1 là chính phẩm trong điều kiện lần 2 là chính
phẩm” khi:
• (a) Lấy lần lượt không hoàn lại
• (b) Lấy lần lượt có hoàn lại
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 28
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Biến cố xung khắc
▪ Định nghĩa 1.9. Hai biến cố A và B gọi là xung khắc
(mutually exclusive) với nhau nếu chúng không thể
đồng thời xảy ra trong một phép thử. 
▪ Ngược lại, hai biến cố gọi là không xung khắc.
▪ Nếu A, B xung khắc thì: P(A.B) = 0
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 29
A B
Ω
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.10. Biến cố A được gọi là tích của n
biến cố A1, A2,, An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n
biến cố đó cùng đồng thời xảy ra.
• Ký hiệu: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 30
  i1A A
n
i
A1
A2
Ω
A1A2A3
A3
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.11. Các biến cố A1, A2,, An gọi là độc
lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến
cố đó độc lập nhau.
▪ Định nghĩa 1.12. Các biến cố A1, A2,, An gọi là độc
lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc lập với mọi tổ
hợp bất kỳ của các biến cố còn lại.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 31
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Hệ quả: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn
phần bằng tích các xác suất biến cố thành phần
▪ Hệ quả: Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc:
P(A1.A2An) = P(A1).P(A2 | A1)P(An | A1A2An–1)
▪ Ví dụ 1.9: Từ hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, tính
xác suất lấy 4 sản phẩm lần lượt đều là chính phẩm, 
khi có hoàn lại và không hoàn lại.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 32
 
1 1
( )
i i
A A
n n
i i
P P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.13. Nhóm n biến cố A1, A2,, An được
gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố
nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau.
▪ Ví dụ 1.10: Tổ có 3 sinh viên, chỉ ra nhóm biến cố
xung khắc từng đôi trong số sau:
A1 = “có đúng 1 nam”, A2 = “có đúng 2 nam”
A3 = “tất cả là nam”, A4 = “có ít nhất 1 nam” 
A5 = “có cả nam và nữ”
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 33
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
1.7. ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT
▪ Định nghĩa 1.14. Biến cố C được gọi là tổng (union) 
của hai biến cố A và B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất
một trong hai biến cố A và B xảy ra.
▪ Ký hiệu C = A + B
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 34
A B
ΩA + B
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. 
Định lý cộng xác suất
▪ Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng xác
suất hai biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
▪ Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc
bằng tổng xác suất của các biến cố đó
P(A + B) = P(A) + P(B)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 35
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.15. Biến cố A được gọi là tổng của n
biến cố A1, A2,, An nếu A xảy ra khi có ít nhất một
trong n biến cố ấy xảy ra.
• Ký hiệu:
▪ Hệ quả: Xác suất của tổng các biến cố xung khắc
từng đôi A1, A2,, An bằng tổng xác suất của các biến
cố đó:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 36
  i
1
A A
n
i
 
1 1
( )A A
n n
i i
i i
P P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.11
▪ Một dự án cần qua hai vòng thẩm định độc lập nhau, 
xác suất dự án bị trượt ở hai vòng lần lượt là 0,3 và
0,4. Dự án bị loại nếu có vòng đánh trượt. 
▪ (a) Tính xác suất dự án bị loại
▪ (b) Xác suất dự án được thông qua bằng bao nhiêu?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 37
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Nhóm đầy đủ
▪ Định nghĩa 1.16. Các biến cố A1, A2,, An được gọi
là một nhóm đầy đủ (universal set, partitions) các
biến cố nếu trong kết quả phép thử sẽ xảy ra một và
chỉ một trong các biến cố đó
▪ Hệ quả: Nếu các biến cố A1, A2,, An tạo nên một
nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúng
bằng 1
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 38
 
1
( ) 1
i
A
n
i
P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Biến cố đối lập
▪ Định nghĩa 1.17. Hai biến cố A và Ā gọi là đối lập
(complement) nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ
các biến cố
▪ Hệ quả: Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau
bằng 1: 
P(A) + P(Ā) = 1
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 39
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.12
▪ Một người đi bán hàng ở hai nơi độc lập nhau. Xác
suất bán được hàng lần lượt là 0,6 và 0,8.
▪ Đặt A1 và A2 tương ứng với biến cố bán được hàng ở 
nơi 1 và 2. 
▪ Viết biến cố và tính xác suất người đó
• (a) Bán được hàng ở cả hai nơi
• (b) Bán được hàng ở ít nhất một nơi
• (c) Bán được hàng ở đúng một nơi
• (d) Không bán được hàng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 40
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.12 (tiếp)
▪ Bảng xác suất của các biến cố
▪ P(A1 + A2) = 0,6 + 0,8 – 0,48
cũng = 0,32 + 0,48 + 0,12
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 41
A2 Ā2 
A1 P(A1A2) = 0,48 P(A1Ā2) = 0,12 P(A1) = 0,6
Ā1 P(Ā1A2) = 0,32 P(Ā1Ā2) = 0,08 P(Ā1) = 0,4
 P(A2) = 0,8 P(Ā2) = 0,2 1
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.13
▪ Một người đấu thầu hai dự án. Xác suất trúng thầu
dự án thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,5 và 0,4; xác
suất trúng thầu cả hai là 0,1.
▪ Viết biến cố, lập bảng, và tính xác suất:
• (a) Trúng thầu ở ít nhất một dự án
• (b) Trúng thầu ở đúng một dự án
• (c) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng trúng
thầu dự án thứ nhất
• (d) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng không
trúng thầu ở dự án thứ nhất
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 42
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.14
▪ Một người làm hai bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng
bài thứ nhất là 0,6. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì
khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,9 nhưng nếu làm
sai bài thứ nhất thì khả năng đúng bài thứ hai còn
0,3. Tính xác suất:
• (a) Làm đúng ít nhất một bài
• (b) Làm đúng chỉ 1 bài
• (c) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2
• (d) Làm đúng cả hai, biết rằng có làm đúng ít
nhất một bài
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 43
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
1.8. CÔNG THỨC BERNOULLI
▪ Ví dụ 1.15: Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập, 
xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8. Tính xác
suất người đó:
▪ (a) Bán được ở đúng 1 nơi
▪ (b) Bán được ở đúng 2 nơi
▪ (c) Bán được ở ít nhất 1 nơi
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 44
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.8. 
Công thức Bernoulli
▪ Thực hiện n phép thử độc lập; trong mỗi phép thử
biến cố A hoặc Ā xảy ra với xác suất tương ứng là p
và 1 – p, được lược đồ (trial) Bernoulli. 
▪ Kí hiệu B(n, p)
▪ Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng
x lần, kí hiệu: Pn(x) hay P(x | n, p)
▪ Công thức
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 45
 x x n xnP x n p C p p( | , ) (1 )
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.8. Công thức Bernoulli 
1.9. CÔNG THỨC XS ĐẦY ĐỦ - BAYES
▪ Ví dụ 1.16: Có hai hộp giống nhau: Hộp loại I chứa 6 
chính phẩm và 4 phế phẩm; hộp loại II chứa 8 chính
phẩm và 2 phế phẩm.
▪ (a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó chọn 1 sản
phẩm. Tính xác suất để đó là chính phẩm
▪ (b) Nếu chọn được chính phẩm, xác suất để hộp
được chọn là hộp I bằng bao nhiêu?
▪ (c) Nếu có 5 hộp, 2 hộp loại I và 3 hộp loại II, thì các
câu (a), (b) kết quả bao nhiêu?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 46
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. 
Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes
▪ Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các
biến cố H1, H2,, Hn. Nhóm H1, H2,, Hn là nhóm đầy
đủ các biến cố. Khi đó xác suất đầy đủ:
▪ Công thức Bayes
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 47
 
1
( ) ( ). ( )
i i
A H A | H
n
i
P P P

1
( ). ( )
( | )
( ). ( )
i i
i
i i
H A | H
H A
H A | H
n
i
P P
P
P P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. Công thức XS đầy đủ - Bayes
Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes 
▪ Giải ví dụ 1.16 bằng lập bảng
▪ Tiếp ví dụ 1.16: Nếu có hai hộp loại I (6 Chính
phẩm 4 phế phẩm), ba hộp loại II (8 chính phẩm 2 
phế phẩm) và năm hộp loại III (5 chính phẩm 5 phế
phẩm) thì kết quả thế nào?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 48
P(Hi) P(A | Hi) P(A.Hi) P(Hi | A)
H1 0,5 0,6 0,5×0,6 = 0,3 0,3 / 0,7
H2 0,5 0,8 0,5×0,8 = 0,4 0,4 / 0,7
 1 0,7 1
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. Công thức XS đầy đủ - Bayes
TÓM TẮT CHƯƠNG 1
▪ Phép thử, biến cố ngẫu nhiên, xác suất P(A)
▪ Định nghĩa cổ điển: phương pháp liệt kê, sơ đồ, đại
số tổ hợp
▪ Định nghĩa thống kê
▪ Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ
▪ Các quan hệ: tổng, tích, xung khắc, độc lập, nhóm
đầy đủ, đối lập, có điều kiện
▪ Các định lý: xác suất tổng, tích, đối lập, có điều kiện
▪ Công thức Bernoulli, xác suất đầy đủ, Bayes
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 49
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Bài tập cơ bản trong Giáo trình
▪ Trang 14: 1.3, 1.5, 1.15
▪ Trang 20: 1.20, 1.21
▪ Trang 23: 1.24, 1.26, 1.28, 1.30a
▪ Trang 47: 1.37, 1.42, 1.46, 1.47, 1.51
▪ Trang 53: 1.58, 1.60, 1.61
▪ Trang 59: 1.62, 1.63, 1.68, 1.70
▪ Trang 67: 1.74, .175, 1.79, 1.84
▪ Trang 69: 1.93, 1.94, 1.97, 1.100, 1.102, 1.105a
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 50
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất