Bài giảng Kỹ thuật lập trình - Bài 3: Giải thuật - Trịnh Thành Trung

Trịnh Thành Trung (ThS)
trungtt@soict.hust.edu.vn
Bài 3
GIẢI THUẬT
Các bài toán thực 
tế thường rất 
phức tạp
Phải xác định được
o Các dữ liệu liên quan 
đến bài toán 
o Các thao tác cần thiết 
để giải quyết bài toán
Ví dụ
Bài toán Quản lý 
nhân viên của một 
cơ quan
Cần quản lý những thông 
tin nào? 
 Thông tin về nhân viên: 
tên, ngày sinh, số bảo 
hiểm xã hội, phòng ban 
làm việc,
Cần thực hiện những thao 
tác quản lý nào?
 Tạo ra hồ sơ cho nhân 
viên mới vào làm
 Cập nhật một số thông 
tin trong hồ sơ
 Tìm kiếm thông tin về 1 
nhân viên... 
Ai được phép thực hiện 
thao tác nào?
Giải
thuật
Các đặc trưng của giải 
thuật
 Đầu vào (Input)
 Đầu ra (Output)
 Độ chính xác 
(Precision)
 Hữu hạn (Finiteness)
 Đơn trị (Uniqueness)
 Tổng quát (Generality)
là một tập các chỉ lệnh để 
thực hiện một tác vụ nhất 
định
Nội dung
1. Tìm kiếm
2. Sắp xếp
3. Đệ quy
1.
Tìm kiếm
Search
Tìm kiếm
Search
Input
▪ Một tập các phần tử dữ liệu có cấu trúc
▪ Một khóa cần tìm
Process
▪ Tìm phần tử có chứa khóa trùng với khóa cần tìm
Output
▪ Vị trí của phần tử có chứa khóa (nếu có)
Phần tử dữ liệu có
cấu trúc và khóa
▪ Phần tử dữ liệu có cấu trúc: 
▫ Dữ liệu khóa
▫ Các dữ liệu thành phần khác
▪ Khóa: 
▫ So sánh được
▸Có thể là giá trị của phần tử
▸Có thể là dữ liệu thành phần của phần tử
▫ Thường là số
▪ Trích khóa từ các phần tử dữ liệu có cấu trúc: 
▫ So sánh các dữ liệu thành phần
Các giải thuật 
tìm kiếm
Tìm kiếm tuần tự
▪ Các phần tử trong tập 
đầu vào không được sắp 
xếp theo khóa tìm kiếm
▪ Quá trình xử lý
1. Duyệt tập đầu vào
2. So sánh với khóa cần
tìm tới khi tìm thấy
khóa hoặc duyệt qua 
hết tập đầu vào mà 
chưa tìm thấy
Tìm kiếm nhị phân
▪ Các phần tử trong tập 
đầu vào được sắp xếp
theo khóa tìm kiếm
▪ Quá trình xử lý
1. So sánh khóa cần tìm
với phần tử giữa.
2. Nếu nó nhỏ hơn thì tìm
bên trái tập đầu vào.
3. Ngược lại tìm bên phải
tập đầu vào.
4. Lặp lại động tác này.
2.
Sắp xếp
Sort
Sắp xếp
Sort
▪ Sắp thứ tự
▫ Đầu vào: tập các phần tử dữ liệu
▫ Đầu ra: danh sách có thứ tự tăng (hoặc giảm) theo khóa
▪ Phân loại
▫ Sắp thứ tự theo khóa ngoài (external sort): tập tin
▫ Sắp thứ tự theo khóa chính (internal sort): bộ nhớ
▪ Giả thiết
▫ Sắp thứ tự theo khóa chính
▫ Sắp tăng dần
Một số giải thuật
sắp xếp
▪ Insertion sort
▪ Selection sort
▪ Bubble sort
▪ Merge sort
▪ Heap sort
▪ Quick sort
Một số giải thuật
sắp xếp
▪ Internal sorts
▫ Insertion sort, selection sort, bubblesort, shaker sort.
▫ Quicksort, mergesort, heapsort, samplesort, shellsort.
▫ Solitaire sort, red-black sort, splaysort, Dobosiewicz sort, psort,...
▪ External sorts
▫ Poly-phase mergesort, cascade-merge, oscillating sort.
▪ Radix sorts
▫ Distribution, MSD, LSD.
▫ 3-way radix quicksort.
▪ Parallel sorts
▫ Bitonic sort, Batcher even-odd sort.
▫ Smooth sort, cube sort, column sort.
▫ GPUsort.
3.
Đệ quy
Recursive
Mô tả đệ quy
Recursive
Mô tả theo cách phân tích 
đối tượng thành nhiều 
thành phần mà trong số 
các thành phần có thành 
phần mang tính chất của 
chính đối tượng được mô 
tả
Mô tả đối tượng 
thông qua chính nó
Ví dụ Mô tả đệ quy tập số tự nhiên N 
 Số 1 là số tự nhiên (1-N).
 Số tự nhiên bằng số tự nhiên cộng 1.
Mô tả đệ quy cấu trúc danh sách kiểu T
 Cấu trúc rỗng là một danh sách kiểu T.
 Ghép nối một thành phần kiểu T (nút kiểu
T) với một danh sách kiểu T ta có một
danh sách kiểu T.
Mô tả đệ quy cây gia phả
 Gia phả của một người bao gồm người đó
và gia phả của cha và gia phả của mẹ
Ví dụ Tính giai thừa của n
 Định nghĩa không đệ quy n!
n! = n * (n-1) *  * 1
 Định nghĩa đệ quy:
n! = 1 nếu n=0
n * (n-1)! nếu n>0
Mã C++
int factorial(int n) {
if (n==0) return 1;
else 
return (n * factorial(n - 1));
}
n=2
2*factorial(1)
factorial (2)
n=1
1*factorial(0)
factorial (1)
n=0
return 1;
factorial (0)
1
1
6
2
n=3
3*factorial(2)
factorial (3)
Thực hiện tính 
giai thừa
Trạng thái hệ thống 
khi tính giai thừa
factorial(3) factorial(3)
factorial(2)
factorial(3)
factorial(2)
factorial(1)
factorial(3)
factorial(2)
factorial(1)
factorial(0)
factorial(3)
factorial(2)
factorial(1)
factorial(3)
factorial(2)
factorial(3)
t
Gọi hàm
factorial(3)
Gọi hàm
factorial(2)
Gọi hàm
factorial(1)
Gọi hàm
factorial(0)
Trả về từ 
hàm
factorial(0
)
Trả về từ 
hàm
factorial(1
)
Trả về từ 
hàm
factorial(2
)
Trả về từ 
hàm
factorial(3
)
Stack hệ thống
Thời gian hệ thống
t
Thành phần của 
mô tả đệ quy
▪ Phần neo: trường hợp suy biến của đối tượng
▫ Ví dụ: 1 là số tự nhiên, cấu trúc rỗng là danh sách kiểu T, 0!=1, 
SM (a[x:x]) là thao tác rỗng.
▪ Phần qui nạp: mô tả đối tượng (giải thuật) thông qua chính
đối tượng (giải thuật) đó một cách trực tiếp hoặc gián tiếp.
Ví dụ:
▫ n! = n * (n –1)!
▫ SM (a[m:n]) ≡Merge (SM (a[m:( m+n) div 2] , SM (a[(m+n) div 2 
+1 : n]) )
Phân loại
đệ quy
Đệ quy trực tiếp
▸Đệ quy tuyến tính
▸Đê qui nhị phân
▸Đệ quy phi tuyến
Đệ quy gián tiếp
▸Đệ quy hỗ tương
Đệ quy
tuyến tính
▪ Là đệ quy có dạng
P( ) { 
If (B) thực hiện S;
else { thực hiện S* ; gọi P }
} 
Với S , S* là các thao tác không đệ quy. 
▪ VD: Hàm FAC(n) tính số hạng n của dãy n!
int FAC( int n ) 
{
if ( n == 0 ) return 1 ; 
else return ( n * FAC(n-1 )) ; 
} 
KieuDuLieu TenHam(Thamso)
{
if(Dieu Kien Dung)
{
...;
return Gia tri tra ve;
}
...;
TenHam(Thamso)
...;
}
Ví dụ Tính 
S(n) = 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/( n*(n+1) )
S(n) = 1/2 khi n==1
= S(n-1)+1/(n*(n+1))
float S(int n) {
if ( n==1) return 0.5;
else return S(n-1)+1.0/(n*(n+1));
}
Đệ quy
nhị phân
▪ Là đệ quy có dạng
P ( ) { 
If (B) thực hiện S;
else { 
thực hiện S*; 
gọi P ; gọi P;
}
} 
Với S , S* là các thao tác không đệ quy. 
▪ Ví dụ: Hàm FIBO(n) tính số hạng n của dãy FIBONACCI
int F(int n) { 
if ( n < 2 ) return 1; 
else 
return (F(n -1) + F(n -2)); 
} 
KieuDuLieu TenHam(Thamso)
{
if(Dieu Kien Dung)
{
...;
return Gia tri tra ve;
}
...;
TenHam(Thamso);
...;
TenHam(Thamso);
...;
}
Ví dụ Tính tổng các giá trị của dãy số H(n), biết
H(n) = n khi n<3
= 2*H(n-1)*H(n-2) khi n>2
long H(int n) {
if (n<3) return n;
else return 2*H(n-1)*H(n-2);
}
long Tong(int n) {
long tg=0;
for( int i=1; i<=n;i++) 
tg+=H(i);
return tg;
}
Đệ quy
phi tuyến
▪ Là đệ quy mà lời gọi đệ quy được thực hiện bên trong vòng
lặp.
P ( ) {
for ( to ) {
thực hiện S ;
if (điều kiện dừng) then thực hiện S*;
else gọi P;
} 
}
Với S , S* là các thao tác không đệ quy. 
KieuDuLieu TenHam(Thamso)
{
if(Dieu Kien Dung)
{
...;
return Gia tri tra ve;
}
...;
vonglap(dieu kien lap)
{
...TenHam(Thamso)...;
}
return Gia tri tra ve;
}
Đệ quy
phi tuyến
▪ Ví dụ: Cho dãy { An } xác định theo công thức truy hồi :
A0= 1 ; 
An = n
2A0+(n-1)
2A1+ . . . + 2
2An-2+ 1
2An-1
int A( int n ) {
if (n==0) return 1 ; 
else { 
int tg = 0 ; 
for (int i=0; i<n; i++) 
tg = tg + sqr(n-i) *A(i); 
return tg; 
} 
}
Đệ quy
tương hỗ
▪ Là một loại đệ quy gián 
tiếp
▪ Trong đệ quy tương hỗ 
có 2 hàm, và trong thân 
của hàm này có lời gọi 
của hàm kia, điều kiện 
dừng và giá tri trả về 
của cả hai hàm có thể 
giống nhau hoặc khác 
nhau
KieuDuLieu TenHamX(Thamso)
{
if(Dieu Kien Dung)
{
...;
return Gia tri tra ve;
}
...;
return TenHamX(Thamso) <Lien
ket hai ham> TenHamY(Thamso);
}
KieuDuLieu TenHamY(Thamso)
{
if(Dieu Kien Dung)
{
...;
return Gia tri tra ve;
}
...;
return TenHamY(Thamso)<Lien 
ket hai ham>TenHamX(Thamso);
}
Ví dụ X(n) = 1,2,3,5,11,41Y(n) = 1,1,2,6,30,330 ..
void main() {
int n;
printf("\n Nhap n = ");
scanf("%d",&n);
printf( "\n X = %d " ,X(n));
printf( "\n Y = %d " , Y(n));
getch();
}
long Y(int n); //prototype cua ham y
long X(int n) {
if(n==0) 
return 1;
else
return X(n-1) + Y(n-1);
}
long Y(int n) {
if(n==0)
return 1;
else
return X(n-1)*Y(n-1);
}
Tìm giải thuật
đệ quy
1. Thông số hóa bài toán .
▫ Tổng quát hóa bài toán cụ thể cần giải thành bài toán tổng
quát (một họ các bài toán chứa bài toán cần giải )
▫ Tìm ra các thông số cho bài toán tổng quát
▸ các thông số điều khiển: các thông số mà độ lớn của chúng đặc
trưng cho độ phức tạp của bài toán , và giảm đi qua mỗi lần gọi đệ 
quy.
▸Vídụ
▸n trong hàm FAC(n) ; 
▸ a , b trong hàm USCLN(a,b) .
Tìm giải thuật
đệ quy
2. Tìm các trường hợp neo cùng giải thuật giải tương ứng
▫ trường hợp suy biến của bài toán tổng quát
▫ các trường hợp tương ứng với các gía trị biên của các biến điều
khiển
▫ VD: FAC(1) =1
USCLN(a,0) = a
3. Tìm giải thuật giải trong trường hợp tổng quát bằng phân
rã bài toán theo kiểu đệ quy
Tìm giải thuật
đệ quy
▪ Phân rã bài toán tổng quát theo phương thức đệ quy
▫ Tìm phương án (giải thuật ) giải bài toán trong trường hợp 
tổng quát phân chia nó thành các thành phần
▸ giải thuật không đệ quy
▸bài toán trên nhưng có kích thước nhỏ hơn.
▫ Vídụ
FAC(n) = n * FAC(n -1) .
Tmax(a[1:n]) = max(Tmax(a[1:(n-1)]) , a[n] ) 
Bài toán 
Tháp Hà Nội
▪ Luật:
▫ Di chuyển mỗi lần một đĩa
▫ Không được đặt đĩa lớn lên trên đĩa nhỏ
Với chồng gồm n đĩa cần 2
n
-1 lần chuyển
–Giả sử thời gian để chuyển 1 đĩa là t giây thì thời gian để
chuyển xong chồng 64 đĩa sẽ là:
–T = ( 2^64-1) * t = 1.84 * 10^19 t
–Với t = 1/100 s thì T = 5.8*10^9 năm = 5.8 tỷ năm .
▪ Hàm đệ quy: Chuyển n đĩa từ A sang C qua trung gian B
▫ Chuyển n-1 đĩa trên đỉnh của cột A sang cột B
▫ Chuyển 1 đĩa (cuối cùng) của cột A sang cột C
▫ Chuyển n-1 đĩa từ cột B sang C qua tg A
magic
Bài toán 
Tháp Hà Nội
▪ Thông số hóa bài toán
▫ Xét bài toán ở mức tổng quát nhất: chuyển n (n>=0) đĩa từ cột A 
sang cột C lấy cột B làm trung gian .
▫ THN(n,A,B,C) -> với 64 đĩa gọi THN(64,A,B,C)
▫ n sẽ là thông số quyết định bài toán –n là tham số điều khiển
▪ Trường hợp suy biến và cách giải
▫ Với n =1 : THN (1,A,B,C) 
Giải thuật giải bt THN (1,A,B,C) là thực hiện chỉ 1 thao tác cơ bản: Chuyển
1 đĩa từ A sang C (ký hiệu là Move (A , C))
▸THN(1,A,B,C) ≡ { Move( A, C ) } 
▸THN(0,A,B,C) ≡ { φ} 
Bài toán 
Tháp Hà Nội
▪ Bài toán THN (k,A,B,C): chuyển k đĩa từ cột A sang cột C lấy
cột B làm trung gian
1. Chuyển (k -1) đĩa từ cột A sang cột B lấy cột C làm trung gian
THN (k -1,A,C,B) (bài toán THN với n = k-1,A= A , B = C , C = B )
2. Chuyển 1 đĩa từ cột A sang cột C : Move ( A, C ) (thao tác cơ
bản ). 
3. Chuyển (k - 1 ) đĩa từ cột B sang cột C lấy cột A làm trung gian
THN( k -1,B,A,C) ( bài toán THN với n = k-1 , A = B , B = A , C = C ) 
Bài toán 
Tháp Hà Nội
Giải thuật 
tổng quát
Với n>1
THN(n,A,B,C) ≡
{
THN (n -1,A,C,B) ; 
Move ( A, C ) ; 
THN (n -1,B,A,C) ; 
}
Code
void move(int n, int A, int B, int C) {
if (n > 0) {
move(n − 1, A, C, B);
printf("\n Move disk % d from %c to % c ",
n, A,C );
move(n − 1, B, A, C);
}
}
▪ Có 100 phần thưởng đem chia cho 12 học sinh giỏi đã
được xếp hạng. Có bao nhiêu cách khác nhau để thực hiện
cách chia?
▪ Tìm giải thuật giải bài toán bằng phương pháp đệ quy. 
Bài toán 
chia phần thưởng
Bài toán
chia phần thưởng
▪ Nhìn góc độ bài toán tổng quát: Tìm số cách chia m vật
(phần thưởng) cho n đối tượng (học sinh ) có thứ tự. 
▫ PART(m ,n)
▫ N đối tượng đã được sắp xếp 1,2,,n
▫ Si là số phần thưởng mà i nhận được
Si>= 0 
S1>= S2>=  >= Sn. 
S1+ S2+ ...+ Sn = m 
▫ Ví dụ:
Với m = 5 , n = 3 ta có 5 cách chia sau :
5 0 0 ,4 1 0, 3 2 0 ,3 1 1 ,2 2 1 
Tức là PART(5,3) = 5
Bài toán
chia phần thưởng
▪ Các trường hợp suy biến
▫ m = 0 : mọi học sinh đều nhận được 0 phần thưởng .
PART(0 , n ) = 1 với mọi n
▫ n = 0 , m 0 : không có cách chia
PART(m , 0 ) = 0 với mọi m 0 .
Bài toán
chia phần thưởng
▪ Phân rã bài toán trong trường hợp tổng quát
▫ m < n : n -m học sinh xếp cuối sẽ luôn không nhận được gì cả
trong mọi cách chia .
Vậy: n > m thìPART(m , n ) = PART(m , m )
▫ m>=n: là tổng
▸Học sinh cuối cùng không có phần thưởng
▸ PART(m , n -1 ) 
▸Học sinh cuối cùng có ít nhất 1
▸ PART(m -n , n ) 
▸ Vậy: m > n => PART(m , n ) = PART(m , n -1 ) + PART(m -n , n )
Bài toán
chia phần thưởng
▪ Dạng hàm PART trong C++
int PART(int m, int n) 
{ 
if ((m == 0) || (n == 0) ) return 1 ; 
else if(m < n) return (PART(m, m)); 
else 
return (PART(m, n -1) + PART(m -n, n));
} 
▪ Kết quả sai?
Khử
đệ quy
Đệ quy
o Ưu điểm: gọn gàng, dễ 
hiểu, dễ viết code
o Nhược điểm: tốn không 
gian nhớ và thời gian xử 
lý
Thay thế bằng giải 
thuật không đệ quy
Khử 
đệ quy
▪ Sơ đồ để xây dựng chương trình cho một bài toán khó khi ta 
không tìm được giải thuật không đệ quy thường là:
▫ Dùng quan niệm đệ quy để tìm giải thuật cho bài toán .
▫ Mã hóa giải thuật đệ quy.
▫ Khử đệ quy để có được một chương trình không đệ quy .
▪ Tuy nhiên, khử đệ quy không phải bao giờ cũng dễ => trong
nhiều trường hợp ta cũng phải chấp nhận sử dụng chương
trình đệ quy
Khử đệ quy bằng
vòng lặp
▪ Giải thuật hồi qui thường gặp
f(n) = C khi n = no (C là một hằng)
= g(n,f(n -1)) khi n > no
▪ Ví dụ:
▫ Hàm giai thừa FAC (n) = n! = 1 khi n=0
= n*FAC(n -1) khi n>0
▫ Tổng n số đầu tiên của dãy đan dấu sau :
Sn = 1 -3 + 5 -7 .. + (-1)^(n+1) * (2n-1) 
S(k) = 1 khi k =1 
= S(k-1) + (-1)^(k+1)*(2*k-1) với k > 1
Khử đệ quy bằng
vòng lặp
▪ Giải thuật đệ quy tính giá trị f(n) 
f(n) ≡ if(n == no) return C; 
else return (g(n,f(n -1)); 
▪ Giải thuật lặp tính giá trị f(n)
K = no; F:= C; 
{ F = f(no) } 
While( k < n ){
k += 1; 
F = g(k,F); 
}
return F;
▪ Khử đệ quy với hàm tính giai thừa
int FAC ( int n ) { 
int k = 0; 
int F = 1; 
while ( k < n ) F = ++k * F; 
return (F); 
}
▪ Khử đệ quy với hàm tính S(n)
int S ( int n ) {
int k = 1 , tg = 1 ; 
while ( k < n ) { 
k ++ ; 
if (k%2 == 1) tg + = 2 * k -1; 
else tg -= 2 * k + 1 ; 
}
return ( tg ) ; 
}
Đệ quy dạng
đệ quy đuôi
▪ Xét thủ tục P dạng
P(X) ≡ if B(X) then D(X) 
else { 
A(X) ; 
P(f(X)) ; 
} 
▪ Trong đó: 
▫ X là tập biến (một hoặc một bộ nhiều biến)
▫ P(X) là thủ tục đệ quy phụ thuộc X
▫ A(X); D(X) là các thao tác không đệ quy
▫ f(X) là hàm biến đổi X
▪ Xét quá trình thi hành P(X) :
▫ gọi Po là lần gọi P thứ 0 (đầu tiên) P(X)
▫ P1 là lần gọi P thứ 1 (lần 2) P(f(X))
▫ Pi là lần gọi P thứ i (lần i + 1) P(f(f(...f(X)...)
▫ ( P(fi(X)) hợp i lần hàm f )
▪ Gọi Pi nếu B(fi(X))
▫ (false) { A và gọi Pi+1 } 
▫ (true) { D }
▪ Giả sử P được gọi đúng n +1 lần . Khi đó ở trong lần gọi cuối
cùng (thứ n ) Pn thì B(fn(X)) = true, lệnh D được thi hành và
chấm dứt thao tác gọi thủ tục P 
Đệ quy dạng
đệ quy đuôi
Đệ quy dạng
đệ quy đuôi
▪Sơ đồ thực hiện giải thuật trên
bằng vòng lặp
While (!B(X)) 
{
A(X); 
X = f(X); 
}
D(X); 
Ví dụ
Tìm ước chung lớn nhất
Giải thuật đệ quy
int USCLN(int m, int n) {
if (n == 0) return m;
else USCLN(n, m % n);
}
▪X là( m , n )
▪P(X) là USCLN(m ,n)
▪B(X) là n == 0
▪D(X) là lệnh return m
▪A(X) là lệnh rỗng
▪f(X ) là f(m,n) = ( n , m mod n ) 
Khử đệ quy
int USCLN(int m , int n ) 
{
while(n != 0 ) { 
int sd = m % n ; 
m = n ; 
n = sd ; 
} 
return (m) ; 
} 
Khử đệ quy bằng 
stack
▪ Trạng thái của tiến trình xử lý một giải thuật: nội dung các biến
và lệnh cần thực hiện kế tiếp.
▪ Với tiến trình xử lý một giải thuật đệ quy ở từng thời điểm thực
hiện, cần lưu trữ cả các trạng thái xử lý đang còn dang dở
▪ Xét giải thuật giai thừa
FAC ( n ) ≡ if(n = 0 ) then return 1; 
else return ( n * FAC (n –1));
▪ Sơ đồ thực hiện
Thủ tục đệ quy tháp Hà Nội THN (n , A , B , C) 
THN (n : integer ; A ,B , C : char) ≡ {
if (n > 0 ) then { THN(n-1,A ,C ,B); 
Move(A, C); THN(n-1,B,A,C);} }
Sơ đồ thực hiện THN(3,A,B,C)
▪ Lời gọi đệ quy sinh ra lời gọi đệ quy mới cho đến khi gặp trường 
hợp suy biến (neo) 
▪ Ở mỗi lần gọi, phải lưu trữ thông tin trạng thái con dang dở của
tiến trình xử lý ở thời điểm gọi. Số trạng thái này bằng số lần gọi
chưa được hoàn tất.
▪ Khi thực hiện xong (hoàn tất) một lần gọi, cần khôi phục lại toàn
bộ thông tin trạng thái trước khi gọi .
▪ Lệnh gọi cuối cùng (ứng với trương hợp neo) sẽ được hoàn tất
đầu tiên
▪ Cấu trúc dữ liệu cho phép lưu trữ dãy thông tin thỏa 3 yêu cầu
trên là cấu trúc lưu trữ thỏa mãn LIFO (Last In First Out ~ Cấu trúc
stack)
Khử đệ quy bằng 
stack
Chủ động tạo cấu trúc 
stack chuyên dụng
Đệ quy chỉ có một
lệnh gọi trực tiếp
▪ Đệ quy có dạng sau:
P(X) ≡ if C(X) then D(X) 
else begin 
A(X) ; 
P(f(X)) ; 
B(X) ; 
end; 
▫ X là một biến đơn hoặc biến véc tơ.
▫ C(X) là một biểu thức boolean của X .
▫ A(X) , B(X) , D(X): không đệ quy
▫ f(X) là hàm của X 
▪ Giải thuật thực hiện P(X) với việc sử dụng Stack có dạng
P(X) ≡ { 
Create_Stack (S); ( tạo stack S )
While(not(C(X)) do begin 
A(X); 
Push(S,X); ( cất gía trị X vào stack S )
X := f(X); 
end; 
D(X); 
While(not(EmptyS(S))) do begin 
POP(S,X); ( lấy dữ liệu từ S )
B(X); 
end; 
} 
Đệ quy chỉ có một
lệnh gọi trực tiếp
Ví dụ
Chuyển từ cơ số thập phân sang nhị phân
Đệ quy
Binary(m) ≡ if ( m > 0 ) 
then begin 
Binary( m / 2 ) ; 
write( m % 2 ) ; 
end; 
Trong đó
▫X là m .
▫P(X) là Binary(m) .
▫A(X) ; D(X) là lệnh rỗng .
▫B(X) là lệnh Write(m % 2 ) ;
▫C(X) là ( m <= 0 ) .
▫f(X) = f(m) = m / 2 
Khử đệ quy
Binary (m) ≡ {
Create_Stack(S); 
While ( m > 0 ) do begin 
sdu = m % 2 ; 
Push(S,sdu) ; 
m = m / 2 ; 
end; 
While(not(EmptyS(S)) do begin 
POP(S,sdu) ; 
Write(sdu) ; 
end; 
} 
Đệ quy với
2 lần gọi đệ quy
▪ Đệ quy có dạng sau
P(X) ≡ if C(X) then D(X) 
else begin 
A(X); P(f(X)); 
B(X); P(g(X)); 
end; 
Đệ quy với
2 lần gọi đệ quy
▪ Thuật toán khử đệ quy tương ứng với thủ tục đệ quy
P(X) ≡ { 
Create_Stack (S) : 
Push (S, (X,1)) ; 
Repeat 
While ( not C(X) ) do begin 
A(X) ; 
Push (S, (X,2)) ; 
X := f(X) ; 
end; 
D(X) ; 
POP (S, (X,k)) ; 
if ( k 1) then begin 
B(X) ; 
X := g(X) ; 
end; 
until ( k = 1 ) ; 
}
Ví dụ
Bài toán Tháp Hà Nội
Đệ quy
THN(n,X,Y,Z) ≡ if(n > 0)
{ 
THN (n - 1, X, Z, Y); 
Move (X, Z ); 
THN (n - 1, Y, X, Z);
}
Trong đó
▫Biến X là bộ (n,X,Y,Z)
▫C(X) là n<=0
▫D(X), A(X) là rỗng
▫B(X) = B(n,X,Y,Z) là move(X, Z)
▫f(X) = f(n,X,Y,Z) = (n-1,X,Z,Y)
▫g(X) = g(n,X,Y,Z) = (n-1,Y,X,Z)
Khử đệ quy
THN {
Create_Stack (S) ; 
Push (S ,(n,X,Y,Z,1)) ; 
Repeat 
While (n > 0) do begin 
Push (S ,(n,X,Y,Z,2)) ; 
n = n - 1; 
Swap (Y,Z) ; 
end ; 
Pop (S,(n,X,Y,Z,k)) ; 
if ( k 1 ) then begin 
Move (X ,Z ) ; 
n = n - 1 ; 
Swap (X,Y) ; 
end ; 
until ( k == 1 ) ; 
}
Ví dụ Cho dãy số1,2,3,7,14,27,55,110,219....
Viết hàm đệ quy tính số hạng thứ n của dãy số
(n > 2 nhập từ bàn phím), rồi tính tổng các số
hạng của dãy
Sau đó, khử đệ quy chương trình trên
Thanks!
Any questions?
Email me at trungtt@soict.hust.edu.vn
Presentation template by SlidesCarnival