Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 4: Mô hình hồi quy đa biến - Phạm Văn Minh

Chương 4
MÔ HÌNH 
HỒI QUI ĐA BIẾN
1
NỘI DUNG
1. Vì sao cần mô hình hồi qui đa biến?
2. Mô hình hồi qui tuyến tính 3 biến: dạng hàm,
các giả định, ý nghĩa hệ số hồi qui, ước
lượng OLS, phương sai của các ước lượng,
khoảng tin cậy của các tham số, R2 và R2
hiệu chỉnh (R2), kiểm định giả thiết.
3. Hồi qui k biến: Giả thiết, Ước lượng MH, Ma
trận tương quan, hiệp phương sai, Khoảng
tin cậy các hệ số hồi qui, Kiểm định giả thiết:
hệ số HQ, độ phù hợp của MH, Dự báo
khoảng: giá trị trung bình, cá biệt.
2
Mô hình hồi qui 2 biến đã học thường không thỏa
đáng vì trong thực tế ít có quan hệ kinh tế nào đơn
giản như vậy.

 Ví dụ để nghiên cứu về chi tiêu thì không chỉ một yếu tố thu
nhập mà sẽ có nhiều yếu tố khác ảnh hưởng như sự giàu có
của người dân, số nhân khẩu trong hộ gia đình, v.v.

 Một ví dụ khác là nhu cầu của một mặt hàng không chỉ phụ
thuộc vào giá cả của chính nó mà thôi, mà còn phụ thuộc
vào giá cả của những hàng hóa cạnh tranh hay bổ trợ khác.
1. Vì sao cần mô hình hồi qui đa biến?
3
Hàm hồi qui tổng thể (PRF)
1. Vì sao cần mô hình hồi qui đa biến? (tt)
4
Yi = β1 + β2 X2i + β3X3i + . . . + βkXki + Ui
β1 - Hệ số tự do, β1 cho biết giá trị trung bình của
biến phụ thuộc (Y) bằng bao nhiêu khi tất cả các
biến độc lập Xj (j = 2, 3,  k) đều bằng 0.
βj (j = 2, 3,  k) - Hệ số hồi quy riêng của biến Xj, βj
cho biết trung bình của Y sẽ tăng (giảm) bao nhiêu
đơn vị khi Xj tăng (hay giảm) 1 đơn vị.
52. MÔ HÌNH 
HỒI QUI TUYẾN TÍNH 
3 BIẾN
Phạm Văn Minh biên soạn
2. MHHQ tuyến tính 3 biến - Dạng hàm
6
Mô hình hồi quy tổng thể
Mô hình hồi quy tổng thể ngẫu nhiên: 
ui: sai số ngẫu nhiên của tổng thể
ii XXXXYE 3322132 ),/( βββ ++=
iiii uXXY +++= 33221 βββ
72. MHHQ 3 biến - Các giả thiết
1. GT trung bình/kỳ vọng của ui bằng 0: E(ui|X2i, X3i) = 0
2. Không có tương quan chuỗi  cov(ui,uj) = 0, i ≠j
3. Phương sai có điều kiện không đổi  var(ui)=σ2
4. Tích sai giữa ui và biến X bằng 0 
cov(ui, X2i) = cov(ui, X3j) = 0
5. Không có thiên lệch đặc trưng hay mô hình được xác 
định đúng
6. Không có cộng tuyến rõ ràng giữa các biến X, hay 
không có quan hệ tuyến tính rõ ràng giữa X2 và X3

 Sự phi cộng tuyến giữa các biến giải thích X có nghĩa là 
không có biến giải thích nào có thể được biểu diễn dưới 
dạng tổ hợp tuyến tính của các biến giải thích còn lại.

 Đồ thị Venn (hình a) giải thích rõ hơn về phi cộng tuyến.
8
2. MHHQ 3 biến - Các giả thiết (tt)
Y
X3
X2
1 2
(a) phi cộng tuyến
Y
X3X2
3 54
(b) cộng tuyến

 Nếu tồn tại λ2 và λ3 sao cho λ2X2i + λ3X3i = 0 thì
X2 và X3 được xem là cộng tuyến hay phụ
thuộc tuyến tính.

 Trong trường hợp có cộng tuyến thì một trong hai
biến phải bị loại bỏ khỏi mô hình.

 Trường hợp các biến số có quan hệ phi tuyến,
chẳng hạn như X3i = X2i2  Không vi phạm giả
thiết ‘phi cộng tuyến’. Tuy nhiên, đây là những
trường hợp đặc biệt mà chúng ta sẽ đề cập sau.
9
2. MHHQ 3 biến - Các giả thiết (tt)
10
2. MHHQ 3 biến – Ý nghĩa hệ số hồi qui
Mô hình hồi quy tổng thể
Ý nghĩa các hệ số hồi qui:
β2: đo sự thay đổi trong giá trị kỳ vọng của Y
khi X2 thay đổi một đơn vị, giữ X3 không đổi.
β3: đo sự thay đổi trong giá trị kỳ vọng của Y
khi X3 thay đổi một đơn vị, giữ X2 không đổi.
ii XXXXYE 3322132 ),/( βββ ++=
Ước lượng các tham số của mô hình (OLS)

 Cho n quan sát của 3 đại lượng Y, X2, X3, ký
hiệu quan sát thứ i là Yi, X2i, và X3i.

 sai số của mẫu ứng với quan sát thứ i.
11
iii YYe ˆ−=
Ước lượng Hàm hồi qui tuyến tính mẫu SRF:


1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆY X Xβ β β= + +
2. MHHQ 3 biến – Ước lượng (tt)
SRF dạng ngẫu nhiên:
1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ
iY X X eβ β β= + + +
2. MHHQ 3 biến – Ước lượng (tt)
12
∑∑ →−−−== min)ˆˆˆ( 2332212 iiii XXYeQ βββ
∑ =−−−−= 0)ˆˆˆ(2
ˆ
33221
1
iii XXYd
dQ ββββ
∑ =−−−−= 0))(ˆˆˆ(2
ˆ
233221
2
iiii XXXYd
dQ ββββ
∑ =−−−−= 0))(ˆˆˆ(2
ˆ
333221
3
iiii XXXYd
dQ ββββ
Mục tiêu là tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư
Đạo hàm riêng phần để tìm cực trị (/cực tiểu):
2. MHHQ 3 biến – Ước lượng (tt)
13
Ta tính được:
2
32
2
3
2
2
323
2
32
2 )(
ˆ
∑∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
−
−
=
iiii
iiiiiii
xxxx
xxxyxxyβ
2
32
2
3
2
2
322
2
23
3 )(
ˆ
∑∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
−
−
=
iiii
iiiiiii
xxxx
xxxyxxyβ
ii XXY 33221 ˆˆˆ βββ −−=
YYy ii −=XXx ii −=
2. MHHQ tuyến tính 3 biến 
Phương sai của các ước lượng
14
2
2
32
2
3
2
2
2
3
2 )()
ˆ( δβ
∑∑ ∑
∑
−
=
iiii
i
xxxx
x
Var
2
2
32
2
3
2
2
2
2
3 )()
ˆ( δβ
∑∑ ∑
∑
−
=
iiii
i
xxxx
x
Var
2
2
32
2
3
2
2
3232
2
2
2
3
2
3
2
2
1 ))(
21()ˆ( δβ
∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
−+
+=
iiii
iiii
xxxx
xxXXxXxX
n
Var
Do δ2 là phương sai của ui chưa biết nên trong thực tế 
người ta dùng ước lượng không chệch của nó:
3
)1(
3
ˆ
222
2
−
−
=
−
=
∑∑
n
yR
n
e iiδ
15
2. MHHQ 3 biến - Khoảng tin cậy của βi
Khoảng tin cậy của tham số βi với mức ý nghĩa α
hay độ tin cậy 1- α
)ˆ;ˆ( iiiii εβεββ +−∈
( 3, / 2 )
ˆ
. ( )i n it seαε β−=
16
2. MHHQ 3 biến - Khoảng tin cậy của βi
Ví dụ 4.1: (SGK, tr.78), Cho biết Y: doanh thu, X2:
chi phí chào hàng, X3: chi phí quảng cáo 12 khu vực
bán hàng của công ty và bảng kết quả phân tích dữ
liệu sau (đơn vị: triệu đồng/năm):
A. Lập mô hình và viết phương trình ước lượng.
B. Giải thích ý nghĩa các hệ số hồi quy.
C. Xây dựng khoảng tin cậy của β2 và β3 với 
mức ý nghĩa 1% và giải thích ý nghĩa.
17
2. MHHQ 3 biến – R2 và R2 hiệu chỉnh (R2) 
Hệ số xác định R2
2 2 3 32
2
ˆ ˆ
1 i i i i
i
y x y xESS RSSR
TSS TSS y
β β+
= = − =
∑ ∑
∑
R2 là một hàm không giảm của số lượng các biến
giải thích trong mô hình hồi qui  khi số lượng
các biến này tăng thì R2 hầu như luôn tăng theo.
 không nên dùng chỉ số R2 để so sánh giữa các mô hình.
Do đó, ta cần hiệu chỉnh lại R2 có tính đến số
lượng biến X trong mô hình. Đó chính là .

18
Hệ số xác định hiệu chỉnh
Với k là tham số của mô hình, kể cả hệ số tự do
2
2 2
2
( 1)( )1 1 (1 ) ( )
( 1)
i
i
e
nn kR R
y n k
n
−−
= − = − −
−
−
∑
∑
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
Khi k > 1  , điều này có nghĩa là khi
số lượng biến X tăng thì R2 hiệu chỉnh ít tăng hơn
R2 thông thường.
có thể âm và trong trường hợp đó nó được gán
giá trị 0.
2 2 1R R< <
2R
19
Sử dụng để làm gì?
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
Người ta dùng để xem xét việc đưa thêm một
biến vào mô hình. Biến mới đưa vào mô hình
phải thỏa 2 điều kiện:
- Làm tăng.
- Khi kiểm định giả thiết hệ số hồi qui của biến
này trong mô hình thì phải bác bỏ giả thiết H0,
tức là hệ số phải có ý nghĩa.
2R
2R
2R
- Nếu > thì chọn mô hình (1), tức là
không cần đưa thêm biến X3 vào mô hình.
Ngược lại, ta chọn mô hình (2).
Cách sử dụng để quyết định đưa thêm 
biến vào mô hình:
20
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
Mô hình 2 biến
(1)
Mô hình 3 biến
(2)
i221i XˆˆYˆ ββ += i33i221i XˆXˆˆYˆ βββ ++=
2
1R
2
1R
2
1R
2
2R
2
2R
2
2R
2R
21
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
Xét lại Ví dụ 4.1: (SGK, tr.78), với:
Y: doanh thu,
X2: chi phí chào hàng,
X3: chi phí quảng cáo
tại 12 khu vực bán hàng của công ty
Hãy so sánh R2 hiệu chỉnh của các mô
hình để xem xét việc đưa thêm biến có
hợp lý không
(1) Y = β1 + β2.X2 + ui
(2) Y = β1 + β2.X3 + ui
(3) Y = β1 + β2.X2 + β3.X3 + ui
22
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
(1) Y = β1 + β2.X2 + ui
23
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
(2) Y = β1 + β2.X3 + ui
24
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
(3) Y = β1 + β2.X2 + β3.X3 + ui
25
2. MHHQ 3 biến – R2 và (R2) (tt) 
So sánh R2 giữa các mô hình:

 Cùng n.

 Cùng số biến độc lập (không cùng số 
biến độc lập thì dùng hệ số xác định 
hiệu chỉnh).

 Biến phụ thuộc cùng dạng.
2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đối với βi 
Kiểm đinh t
26
 Giả thuyết không: 
 Giả thuyết đối:
CÁCH 1
 Bước 1: Tính giá trị
 Bước 2: Tra bảng t-student tìm 
 Bước 3: Quy tắc ra quyết định
 Nếu bác bỏ H0
 Nếu chấp nhận H0
*
0
*
1
:
:
ii
i i
H
H
β β
β β
=
≠
*
ˆ
ˆ( )
i i
i
i
t
s e
β β
β
−
=
( 3, /2)i nt t α−>
( 3, /2)nt α−
( 3, /2)i nt t α−≤
2. MHHQ 3 biến - Kiểm định giả thiết đối với βi 
Kiểm đinh bằng khoảng tin cậy
27
CÁCH 2: Phương pháp khoảng tin cậy
Giả sử ta tìm được khoảng tin cậy của βi là:
,
với mức ý nghĩa α trùng với mức ý nghĩa của giả 
thiết H0
Quy tắc quyết định
- Nếu “chấp nhận” H0
- Nếu bác bỏ H0
)ˆ;ˆ( iiiii εβεββ +−∈ )ˆ()2/,3( ini Set βε α−=
)ˆ;ˆ(* iiiii εβεββ +−∈
)ˆ;ˆ(* iiiii εβεββ +−∉
2. MHHQ 3 biến - Kiểm định giả thiết đối với βi 
Kiểm đinh bằng P-value
28
CÁCH 3: Phương pháp P-value
Tính 
Quy tắc quyết định
- Nếu p ≤ α : Bác bỏ H0
- Nếu p > α : “chấp nhận” H0
(Phương pháp này thường dùng khi tiến hành 
trên máy vi tính)
)ˆ(
ˆ *
i
ii
i Se
t β
ββ −
=
ptTP i => )(
29
2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đồng thời 
bằng không (tính phù hợp của mô hình)
H0: β2 = β3 = 0 (mô hình không phù hợp)
H1: ít nhất 1 trong 2 tham số khác 0 (MH phù hợp)
CÁCH 1: Dùng kiểm định F
Qui tắc quyết định:
- F > Fα(2, n-3): Bác bỏ H0: Mô hình phù hợp
- F ≤ Fα(2, n-3): Chấp nhận H0: Mô hình không phù
hợp
( )
2
2
( 3 )
(1 ) 3 1
R nF
R
−
=
− −
30
2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đồng thời 
bằng không (tính phù hợp của mô hình)
H0: β2 = β3 = 0 (mô hình không phù hợp)
H1: ít nhất 1 trong 2 tham số khác 0 (MH phù hợp)
CÁCH 2: Dùng p- value của F
Quy tắc quyết định
- Nếu p ≤ α : Bác bỏ H0
- Nếu p > α: Chấp nhận H0
(Phương pháp này thường dùng dựa trên kết quả 
Eviews)
31
Ví dụ kiểm định: (SGK, tr.78), Cho biết Y: doanh thu, X2: chi
phí chào hàng, X3: chi phí quảng cáo 12 khu vực bán hàng
của công ty và bảng kết quả phân tích dữ liệu sau (đơn vị:
triệu đồng/năm): D. Chi phí chào hàng và chi phí quảng cáo
có ảnh hưởng đến doanh thu không với
mức ý nghĩa 1%?
E. Với mức ý nghĩ 10%, mô hình có phản
ảnh tốt dữ liệu thực tế không?
2. MHHQ 3 biến – Kiểm định giả thiết đồng thời 
bằng không (tính phù hợp của mô hình) (tt)
3. MÔ HÌNH 
HỒI QUI TUYẾN TÍNH 
K BIẾN
32
3. MHHQ tuyến tính k biến - Dạng hàm
33
Mô hình hồi qui tuyến tính k biến (PRF):
E(Y/X2i,,Xki) = β1+ β2X2i ++ βkXki
Yi = β1+ β2X2i ++ βkXki + Ui
Trong đó:
Y - biến phụ thuộc
X2, , Xk - các biến độc lập
β1 là hệ số tự do
βj là các hệ số hồi qui riêng, cho biết khi Xj tăng
1 đơn vị thì trung bình của Y sẽ thay đổi βj đơn
vị với điều kiện các yếu tố khác không đổi
(j=2,,k).
3. MHHQ tuyến tính k biến - Dạng hàm (tt)
34
Trình bày dưới dạng ma trận: (tr.88, SGK)
Y1 β1 U1 
Y2 β2 U2
Y =  ; β=  ; U =  
Yn βk Un1 X21 X31 ... Xk1
1 X22 X32  Xk2
    ... 
1 X2n X3n  Xkn
X=
Y = βX+ U
35
3. MHHQ tuyến tính k biến - Các giả thiết
 Giả thiết 1: Các biến độc lập phi ngẫu 
nhiên, giá trị được xác định trước.
 Giả thiết 2: E(Ui) = 0 ∀i
 Giả thiết 3: Var(Ui) =σ2 ∀i
 Giả thiết 4: Cov(Ui, Uj) = 0 i ≠j
 Giả thiết 5: Cov(Xi, Ui) = 0 ∀i
 Giả thiết 6: Ui ~ N (0, σ2) ∀i
 Giả thiết 7: Không có hiện tượng cộng 
tuyến giữa các biến độc lập.
36
3. MHHQ tuyến tính k biến - Ước lượng
Yi = β1+ β2X2i +  + βkXki+Ui (PRF)
(i = 1,, n)
Hàm hồi qui mẫu (SRF):
Theo phương pháp OLS, (j= 1,2,,k) 
phải thoả mãn:
jˆβ
∑ →mine2i
ikikiiii eXXeYY ++++=+= βββ ˆ...ˆˆˆ 221
⇔








=
∂
∂
=
∂
∂
∑
∑
0
ˆ
e
0
ˆ
e
k
2
i
1
2
i
β
β
⋮






=−−−−−
=−−−−−
∑
∑
0))(ˆ...ˆˆ(2
0)1)(ˆ...ˆˆ(2
221
221
kikikii
kikii
XXXY
XXY
βββ
βββ
⋮
Viết hệ dưới dạng ma trận: ( ) YXˆXX TT =β
( ) ( )YXXX TT 1ˆ −=⇒ β
3. MHHQ tuyến tính k biến - Ước lượng (tt)














=
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
2
kii3kii2kiki
kii2i3i2
2
i2i2
kii3i2
T
X...XXXXX
XX...XXXX
X...XXn
XX
⋮⋮














=
k
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
β
β
β
β
⋮














=
∑
∑
∑
iki
ii2
i
T
YX
YX
Y
YX
⋮
3. MHHQ tuyến tính k biến - Ước lượng (tt)
( ) ( )YXXX TT 1ˆ −=β
Xét mô hình:
Gọi rtj là hệ số tương quan tuyến tính giữa biến thứ
t và thứ j. Trong đó Y được xem là biến thứ 1.
Ma trận tương quan tuyến tính có dạng:
kiki221i Xˆ...XˆˆYˆ βββ +++=












1...rr
......
r...1r
r...r1
2k1k
k221
k112
3. MHHQTT k biến - Ma trận tương quan (tt)
Y X2 X3
Y 1
X2 0.8968 1
X3 0.7843 0.4788 1
Ví dụ 4.1: (SGK, tr.78)
Để tính ma trận hiệp phương sai của các hệ 
số, áp dụng công thức:














=
)ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(
......
)ˆ,ˆcov(...)ˆvar()ˆ,ˆcov(
)ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar(
)ˆcov(
k2k1k
k2212
k1211
βββββ
βββββ
βββββ
β
21T )XX()ˆcov( σβ −=
3. MHHQTT k biến - Ma trận hiệp phương sai
Khoảng tin cậy của các hệ số hồi qui
Khoảng tin cậy của βj (j =1,2, , k) là :
Trong đó, k là số tham số trong mô hình.
)()ˆ(ˆ 2/ kntse jj −± αββ
3. MHHQTT k biến – Khoảng tin cậy
a. Kiểm định đối với hệ số hồi qui
Giả thiết H0 : βj = a (=const) 
( j = 1, 2, , k)
Cách kiểm định hoàn toàn tương tự như ở mô hình
hồi qui hai biến (dùng trị thống kê t, khoảng tin cậy,
mức ý nghĩa chính xác, tức p-value), chỉ khác duy
nhất ở bậc tự do của thống kê t là (n-k).
3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết
Nếu p(F* > F) ≤ α
Nếu F > Fα(k-1, n-k) 
)kn/()R1(
)1k/(R
F
2
2
−−
−
=
b. Kiểm định giả thiết đồng thời
H0: β2 = β3 == βk = 0 ⇔ H0 : R2 = 0
H1: ∃ βj ≠ 0 (2 ≤ j ≤ k) ⇔ H1 : R2 ≠ 0
Cách kiểm định:
-Tính
⇒ bác bỏ H0
Nghĩa là tất cả hệ số hồi qui không đồng thời bằng 
không hay hàm hồi qui phù hợp.
3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt)
Xét mô hình (U) sau đây:
Yi = β1+ β2X2i + β3X3i+ β4X4i+ β5X5i+Ui 
(U) được xem là mô hình không hạn chế.
Ví dụ 1: Với mô hình (U), cần kiểm định
H0 : β2= β5= 0
Áp đặt giả thiết H0 lên mô hình (U), ta có mô 
hình hạn chế (R) như sau:
Yi = β1+ β3X3i + β4X4i+Ui (R)
Để kiểm định H0, ta dùng kiểm định Wald.
c. Kiểm định Wald (tham khảo)
3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt)
Các bước kiểm định Wald:
- Hồi qui mô hình (U)  thu được RSSU.
- Hồi qui mô hình (R)  thu được RSSR.
- Tính 
dfU: bậc tự do của (U)
dfR: bậc tự do của (R)
- Nếu p (F* > F) ≤ α
Nếu F > Fα(dfR- dfU, dfU) ⇒ bác bỏ H0
UU
URuR
dfRSS
dfdfRSSRSSF
/
)/()( −−
=
c. Kiểm định Wald (tham khảo) (tt)
3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt)
Ví dụ 2: Với mô hình (U), kiểm định
H0 : β2= β3= β4=0
Áp đặt H0 lên (U), ta có mô hình (R):
Yi = β1+ β2X2i + β2X3i+ β2X4i+ β5X5i+Ui
hay
Yi = β1+ β2(X2i+X3i+X4i) + β5X5i+Ui
Đến đây, áp dụng các bước kiểm định Wald 
cho giả thiết H0.
c. Kiểm định Wald (tham khảo) (tt)
3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt)
Ví dụ 3: Với mô hình (U), kiểm định
H0 : β2+ β3= 1
Thực hiện tương tự như các ví dụ trên, bằng các
áp đặt H0 lên (U), ta có mô hình hạn chế (R):
Yi= β1+ β2X2i+(1- β2)X3i+ β4X4i+ β5X5i+Ui
(Yi - X3i) = β1+ β2(X2i -X3i)+ β4X4i+ β5X5i+Ui
* Chú ý: Trong Eviews, thủ tục kiểm định Wald
được viết sẵn, bạn chỉ cần gõ vào giả thiết bạn
muốn kiểm định rồi đọc kết quả.
c. Kiểm định Wald (tham khảo) (tt)
3. MHHQTT k biến – Kiểm định giả thiết (tt)
a. Dự báo giá trị trung bình
Cho X20, X30, , Xk0. Dự báo E(Y).
 Dự báo điểm của E(Y):
 Dự báo khoảng của E(Y):
0
kk
0
2210 Xˆ...XˆˆYˆ βββ +++=
)]()ˆ(ˆ;)()ˆ(ˆ[ 2/002/00 kntYseYkntYseY −+−− αα
3. MHHQTT k biến – Dự báo
Trong đó:
Var( ) = X0T(XTX)-1X0 σ2 với












=
0
k
0
20
X
X
1
X
⋮0
Yˆ
b. Dự báo giá trị cá biệt của Y khi X=X0.
Trong đó:
)]()ˆ(ˆ;)()ˆ(ˆ[ 2/0002/000 kntYYseYkntYYseY −−+−−− αα
2
000 )Yˆ(Var)YˆY(Var σ+=−
3. MHHQTT k biến – Dự báo
 Hàm sản xuất Cobb – Douglas
trong đó: Y là sản lượng
X2 là lượng lao động
X3 là lượng vốn
Ui là sai số ngẫu nhiên. 
Từ công thức đó ta thấy quan hệ giữa biến phụ
thuộc và các biến độc lập không phải là quan
hệ tuyến tính.
3. MHHQTT k biến – Một số dạng hàm
32
1 2 3
iU
i i i
Y X X e
βββ=
 Hàm sản xuất Cobb – Douglas (tt)
Nếu lấy logarit hai vế, ta được
Khi đó ta có mô hình hồi quy tuyến tính logarit.

 β2 là độ co giãn riêng của sản lượng đối với lao động, nó
cho biết sản lượng tăng (hay giảm) bao nhiêu phần trăm
khi lượng lao động tăng (hay giảm) 1% mà lượng vốn
không thay đổi.

 Tương tự, β3 là độ co giãn riêng của sản lượng đối với
lượng vốn khi lượng lao động không thay đổi.
3. MHHQTT k biến – Một số dạng hàm (tt)
32
1 2 3
iU
i i i
Y X X e
βββ=
β β β
β β β
= + + +
= + + +
1 2 2 3 3
0 2 2 3 3
ln ln ln ln
ln ln
i i i i
i i i
Y X X U
X X U
 Các mô hình hồi qui đa thức
Hàm hồi quy đa thức bậc k là hàm có dạng:
Trong hàm hồi quy này ta thấy chỉ có một biến
độc lập X ở vế phải nhưng nó xuất hiện với
những lũy thừa khác nhau nên mô hình trở thành
hồi quy bội tuyến tính đối với các tham số.
2
0 1 2 ...
k
i i i k i iY X X X Uβ β β β= + + + + +
3. MHHQTT k biến – Một số dạng hàm (tt)