Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 3: Mở rộng mô hình hồi quy hai biến - Phạm Văn Minh

Chương 3
MỞ RỘNG MÔ HÌNH 
HỒI QUI HAI BIẾN
1
Phạm Văn Minh biên soạn
NỘI DUNG
1. Hồi qui qua gốc tọa độ
2. Tỷ lệ và đơn vị đo
3. Mô hình tuyến tính lôgarít
4. Các mô hình bán lôgarít (semilog)
5. Mô hình nghịch đảo
6. Hệ số góc và hệ số co giãn của các
dạng hàm
2
Trường hợp hàm hồi quy tổng thể PRF hai biến
có dạng:
Nghĩa là tung độ gốc bằng 0, ta nói đây là mô
hình hồi quy qua gốc tọa độ.
Khi đó hàm hồi quy mẫu có dạng:
1. Hồi qui qua gốc tọa độ
3
2i i iY X Uβ= +


2i i iY X eβ= +
Áp dụng phương pháp OLS, ta có:
1. Hồi qui qua gốc tọa độ (tt)

 1
2
2
1
n
i i
i
n
i
i
X Y
X
β =
=
=
∑
∑


2
2
2
1
( )
n
i
i
Var
X
σβ
=
=
∑
; 
trong đó σ2 được ước lượng bởi:


2
2 1
1
n
i
i
e
n
σ ==
−
∑
LƯU Ý. Đối với mô hình hồi quy qua gốc tọa độ thì
có thể khác 0 và R2 có thể bằng 0, thậm chí
âm. Nếu âm thì không có ý nghĩa, do đó người ta
đưa ra một hệ số mới để thay thế R2 (qui ước) mà
vẫn thỏa mãn tính chất là giá trị của nó luôn nằm
trong khoảng [0; 1].
Hệ số mới đó là:
1. Hồi qui qua gốc tọa độ (tt)
2
1
n
i
i
e
=
∑
( )22
2 2
« =
.
i i
i i
X Y
R th
X Y
∑
∑ ∑
VÍ DỤ. X biểu thị cho suất sinh lợi của thị trường, Y biểu
thị cho suất sinh lợi của cổ phiếu Texaco, tất cả được tính
theo tháng trong giai đoạn từ tháng 1 năm 1978 đến
tháng 12 năm 1987, ta có hai kết quả hồi quy sau đây:
1. Hồi qui qua gốc tọa độ (tt)
Mô hình (I) = + +
=
=
= =
2
0,00681 0,7581
(0,02596) (0,27009)
(0,26229) (2,807)
(0,7984) (0,0186) ; 0,4406
i i iY X U
se
t
p R
Mô hình (II)
= +
=
=
= =
2
0,76214
(0,265799)
(2,95408)
(0,0131) ; 0,43684
i i iY X U
se
t
p Rthô
Nên 
chọn 
mô hình 
nào? Không nên so 
sánh trực 
tiếp R2 và 
R2thô
Phạm Văn Minh biên soạn
2. Tỷ lệ và đơn vị đo (Phần đọc thêm)
7

 Khi ta thay đổi tỷ lệ hay đơn vị đo của các
biến X, Y (hoặc cả hai) trong mô hình thì các
hệ số hồi qui và sai số chuẩn của chúng sẽ
thay đổi theo, tuy nhiên những tính chất của
các ước lượng OLS vẫn được đảm bảo.

 Hệ số xác định (R2) độc lập với những thay
đổi này, tức R2 như nhau trong các mô hình
mà X, Y thay đổi đơn vị. (Xem tr.61, SGK)
Phạm Văn Minh biên soạn
3. Mô hình tuyến tính lôgarít (log-log)
8
Xét hàm hồi qui mũ
Lấy ln 2 vế được mô hình tuyến tính lôgarít:
Với
Đặt: ta có:
Mô hình log-log đặc biệt hữu dụng trong việc tính 
β2 hay hệ số độ co giãn của Y so với X (thay 
đổi % của Y theo thay đổi % của X).
2
1
iu
i iY X e
ββ=
iii uXY ++= lnlnln 21 ββ
α β= + +2ln lni i iY X u1lnα β=
ln ; lni i i iY Y X X
∗ ∗
= = α β∗ ∗= + +2i i iY X u
93. Mô hình tuyến tính lôgarít (tt)
2 2(ln ) dYd Y Y
dX X dX X
β β
= ⇔ =
D
dQ
QE dP
P
=
Theo lí thuyết kinh tế vi mô, độ co giãn của cầu theo giá
được tính:
α β= + +2ln lni i iY X u
D
dY
YE dX
X
=
Với hàm:
Đạo hàm 2 vế theo X, ta có:
2
dY
Y
dX
X
β =
Năm Y (số tách
/người/ngày)
X (USD
/tách)
1970 2,57 0,77
1971 2,5 0,74
1972 2,35 0,72
1973 2,3 0,73
1974 2,25 0,76
1975 2,2 0,75
1976 2,11 1,08
1977 1,94 1,81
1978 1,97 1,39
1979 2,06 1,2
1980 2,02 1,17
10
Ví dụ 2. Khảo sát nhu cầu tiêu thụ cà phê ở Mỹ trong giai
đoạn từ năm 1970 đến 1980, ta có bảng số liệu sau:
Bảng 3.19 (tr.64). Số liệu về tiêu dùng cà phê và giá cà phê của Mỹ, 1970-1980.
(Nguồn: Summary of National CoffeDrinking Study, Nielsen Food Index, 1981, D.N.Gujarati).
3. Mô hình tuyến tính lôgarít (tt)
R2 = 0.663
Y = 2.69 - 0.48*X
(Eviews)
Rồi chạy hồi qui: y x c
11
Ví dụ 2. Bảng số liệu khi lấy Lôgarít của Y và X:
3. Mô hình tuyến tính lôgarít (tt)
Năm Y X Ln(Y) Ln(X)
1970 2.57 0.77 0.944 -0.261
1971 2.5 0.74 0.916 -0.301
1972 2.35 0.72 0.854 -0.329
1973 2.3 0.73 0.833 -0.315
1974 2.25 0.76 0.811 -0.274
1975 2.2 0.75 0.788 -0.288
1976 2.11 1.08 0.747 0.077
1977 1.94 1.81 0.663 0.593
1978 1.97 1.39 0.678 0.329
1979 2.06 1.2 0.723 0.182
1980 2.02 1.17 0.703 0.157
(Eviews)
TẠO BIẾN MỚI : 
genr logarity=log(y); 
genr logaritx=log(x)
Rồi chạy hồi qui:
logarity logaritx c
R2 = 0.745
ln(Y) = 0.777 - 0.253*ln(X)
Hệ số co giãn của cầu theo giá là -0,253, nghĩa là khi giá
cà phê tăng 1% thì cầu về cà phê trung bình giảm 0,253%.
KẾT LUẬN: Cầu cà phê không co giãn đối với giá.
12
3. Mô hình tuyến tính lôgarít (tt)
Trong lý thuyết tiền tệ, ta có công thức tính lãi suất gộp
nổi tiếng:
Với r là tốc độ tăng trưởng gộp theo thời gian (lãi suất). 
Lấy logarit tự nhiên 2 vế, ta được:
(1)
4. Mô hình bán lôgarit (semilog)
A. Mô hình log - lin
13
0(1 )
t
tY Y r= +
0ln ln ln(1 )tY Y t r= + +
Đặt β1=lnY0, β2=ln(1+r), thì (1) trở thành:
1 2ln tY tβ β= +
Đưa thêm yếu tố ngẫu nhiên vào:
(2)β β= + +1 2ln t tY t u
(2) là mô hình log-lin.
4. Mô hình bán lôgarit (semilog)
A. Mô hình log - lin (tt)
14
β β= + +1 2ln t tY t uTrong mô hình log-lin:
β2 = Thay đổi tương đối của biến phụ thuộc YThay đổi tuyệt đối của biến độc lập t

 Nếu nhân thay đổi tương đối của Y với 100 sẽ cho ta thay
đổi phần trăm, hay tốc độ tăng trưởng (β2>0)/ tốc độ
giảm sút (β2<0) (%), của Y đối với thay đổi tuyệt đối của t.

 Mô hình log-lin rất hữu ích khi t là biến thời gian.
2
(ln ) (1 )d Y Y dY dY Y
dt dt dt
β = = =
15
Ví dụ. Bảng 3.24 (tr.65), đặt Y=ln(RGDP), ta có:
Giải thích: trong giai đoạn 1972-1991, GDP thực của Hoa Kỳ
tăng với tốc độ 2,47%/năm.
LnY0 = 8,0139, nếu lấy đối lôgarít của 8,0139 ta tìm được
tức vào đầu năm 1972, GDP thực ước lượng
vào khoảng 3023 tỉ USD.
tYi .0247,00139,8ˆ +=
se = (0,0114) (0,00955) R2 = 0,9738 
t = (700,542) (25,8643) 
p = (0,0000)* (0,0000)* *: biểu thị một giá trị rất nhỏ.
4. Mô hình bán lôgarit (semilog)
A. Mô hình log - lin (tt)
7,3022ˆ0 =Y
4. Mô hình bán lôgarit
Mô hình xu hướng tuyến tính
16
Mô hình: Yt =β1 + β2.t + ut
Tức hồi quy Y theo thời gian, được gọi là mô hình xu
hướng tuyến tính và t được gọi là biến xu hướng.
Với số liệu ở Bảng 3.24 (tr.65), đặt Y=RGDP, ta có:
Giải thích: trong giai đoạn 1972-1991, trung bình GDP thực
của Mỹ tăng với tốc độ tuyệt đối 97,68 tỷ USD/năm.
tYi .6806,97054,2933ˆ +=
se = (50,5913) (4,2233) R2 = 0,9674 
t = (57,975) (23,1293) 
p = (0,0000)* (0,0000)* *: biểu thị một giá trị rất nhỏ.
Ý nghĩa: Mô hình lin-log cho biết sự thay đổi tuyệt đối của Y
khi X thay đổi 1%. Hệ số độ dốc β2 được tính như sau:
4. Mô hình bán lôgarit (semilog)
B. Mô hình lin - log
17
1 2 lni i iY X Uβ β= + +
2
dY
dX
X
β = = Thay đổi của Y
Thay đổi của lnX
=
Thay đổi của Y
Thay đổi tương đối của X
Ví dụ: Y là GNP và X là lượng cung tiền tính theo bảng ở
dưới (tr.68)
se = (696,6) (94,04) R2 = 0,9831 
t = (-23,44) (27,486) 
p = (0,000)* (0,000)* 
*: biểu thị một 
giá trị rất nhỏ.
ˆ 16329,21 2584,785lni tY X=− +
4. Mô hình bán lôgarit (semilog)
B. Mô hình lin - log
Bảng 3.28
(tr.68).
ˆ 16329,21 2584,785lni tY X=− +
β2= 2584,785 có nghĩa
là trong khoảng thời
gian 1970-84, lượng
cung tiền tăng lên 1%,
sẽ kéo theo sự gia tăng
bình quân của GNP là
25,85 tỷ USD.
5. Mô hình nghịch đảo
ii uX
Y ++= 121 ββ
 Khi X tiến gần đến vô cùng, số hạng β2(1/X) tiến gần đến 0 với β2 không đổi.
 Do vậy, mô hình này cho biết giá trị tiệm cận hay giới hạn mà biến phụ thuộc
sẽ nhận được (là β1) khi X tiến dần đến vô cùng (xem ví dụ trang 70).
Quan hệ giữa AFC và Q Đường cong Philips Đường chi tiêu Engel
Y
X
Y
X X
Yβ2 > 0β1 > 0
0
β2 > 0β1 < 0
β2 < 0
β1
β1
-β2/β1
6. Heä soá goùc vaø heä soá co giaõn cuûa caùc daïng haøm
Moâ hình Phöông trình Heä soá goùc Heä soá co 
giaõn
Tuyeán tính Y= β1 + β2X β2 β2(X/Y)
Tuyeán tính lnY=β1+β2lnX β2(Y/X) β2
log
Log - lin lnY= β1+β2X β2Y β2X
Lin-log Y = β1+β2lnX β2(1/X) β2(1/Y)
Nghòch ñaûo Y= β1+β2(1/X) -β2(1/X2) -β2(1/XY)