Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 2: Mô hình hồi quy hai biến

MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN 
Chương 2 
HỒI TUYẾN TÍNH 2 BIẾN 
Hàm hồi quy tuyến tính 2 biến của tổng thể 
Nếu chỉ nghiên cứu một biến phụ thuộc bị ảnh hưởng bởi một biến độc lập => Mô hình hồi quy hai biến 
Trong quan hệ hồi quy , một biến phụ thuộc có thể được giải thích bởi nhiều biến độc lập 
Nếu mối quan hệ giữa hai biến này là tuyến tính => Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến 
Hàm hồi quy tổng thể (PRF) của mô hình hồi quy hai biến 
Trong đó 
Y : Biến phụ thuộc 
Y i : Giá trị cụ thể của biến phụ thuộc 
X : Biến độc lập 
X i : Giá trị cụ thể của biến độc lập 
U i : Sai số ngẫu nhiên ứng với quan sát thứ i 
Hay: 
HỒI TUYẾN TÍNH 2 BIẾN 
Trong đó 
β 1 : 	Tung độ gốc của hàm hồi quy tổng thể, là giá trị 	trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến độc lập 	X nhận giá trị bằng 0 
β 2 : 	Độ dốc của hàm hồi quy tổng thể , là lượng thay 	đổi trung bình của Y khi X thay đổi 1 đơn vị 
β 1 , β 2 là các tham số của mô hình với ý nghĩa : 
Hàm hồi quy tổng thể (PRF) của mô hình hồi quy hai biến 
HỒI TUYẾN TÍNH 2 BIẾN 
Đồ thị minh họa 
Thu nhập X (triệu đồng/tháng) 
Y i 
PRF 
U i 
Hàm hồi quy mẫu của hồi quy 2 biến 
Trong thực tế rất khó nghiên cứu trên tổng thể nên thông thường người ta nghiên cứu xây dựng hàm hồi quy trên một mẫu => Gọi là hàm hồi quy mẫu 
HỒI TUYẾN TÍNH 2 BIẾN 
Đồ thị minh họa 
Thu nhập X (triệu đồng/tháng) 
Trong đó 
Tung độ gốc của hàm hồi quy mẫu, là ước lượng điểm của β 1 
Độ dốc của hàm hồi quy mẫu, là ước lượng điểm của β 2 
Sai số ngẫu nhiên , là ước lượng điểm của U i 
Hàm hồi quy mẫu của hồi quy 2 biến 
HỒI TUYẾN TÍNH 2 BIẾN 
Nếu bỏ qua sai số ngẫu nhiên e i , thì giá trị thực tế Y i sẽ trở thành giá trị ước lượng 
Hàm hồi quy mẫu của hồi quy 2 biến 
HỒI TUYẾN TÍNH 2 BIẾN 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
Tiêu dùng Y (tri 
e 
u 
đong 
/tháng ) 
e i 
Thu nh?p X (tri?u 
đ?ng /tháng) 
SRF 
e i 
e i 
e i 
e i 
e i 
e i 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Ước lượng các tham số của mô hình 
Giá trị thực tế 
Giá trị ước lượng 
Sai số 
Tìm 
sao cho tổng bình phương sai số là nhỏ nhất 
Tức là 
Tại sao chúng ta không tìm Σ e i nhỏ nhất ? 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Giải bài toán cực trị hàm hai biến , ta được 
Với 
là giá trị trung bình của X và 
là giá trị trung bình của Y và 
Câu hỏi 
Hàm hồi quy mẫu có luôn đi qua điểm trung bình của mẫu không? Vì sao? 
Nếu X tăng 10 lần, Y không đổi thì	 
 sẽ thay đổi như thế nào ? 
3. Nếu X tăng 10 lần, Y tăng 100 lần thì sẽ thay đổi như thế nào ? 
Ví dụ áp dụng 
Quan sát về thu nhập (X – triệu đồng/năm) và chi tiêu (Y – triệu đồng/năm) của 10 người, ta được các số liệu sau : 
Xây dựng hàm hồi quy mẫu 
X 
100 
80 
98 
95 
75 
79 
78 
69 
81 
88 
Y 
90 
75 
78 
88 
62 
69 
65 
55 
60 
70 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Các giả thiết của OLS 
Giả thiết 1 : Quan hệ giữa Y và X là tuyến tính 
	Các giá trị X i cho trước và không ngẫu nhiên 
Giả thiết 2 : Các sai số U i là đại lượng ngẫu nhiên có giá trị trung bình bằng 0 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Các giả thiết của OLS 
Giả thiết 4 : Không có sự tương quan giữa các U i 
Giả thiết 5 : Không có sự tương quan giữa U i và X i 
Giả thiết 3 : Các sai số U i là đại lượng ngẫu nhiên có phương sai không thay đổi 
Định lý Guass – Markov : 
Khi các giả thiết này được đảm bảo thì các ước lượng tính được bằng phương pháp OLS là các ước lượng tuyến tính không chệch , hiệu quả nhất của hàm hồi quy tổng thể 
ước lượng OLS là BLUE 
( B est L inear U nbias E stimator ) 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Các giả thiết của OLS 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Các giả thiết của OLS 
Giả thiết 6 : các sai số U i có phân phối chuẩn 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Hệ số xác định của mô hình 
Tổng bình phương toàn phần TSS (Total Sum of Squares) 
Tổng bình phương hồi quy ESS (Explained Sum of Squares) 
Tổng bình phương phần dư RSS (Residual Sum of Squares) 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Hệ số xác định của mô hình 
O 
SRF 
RSS 
TSS 
ESS 
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 
Hệ số xác định của mô hình 
Hệ số xác định 
0 ≤ R 2 ≤ 1 
R 2 = 1 : mô hình phù hợp hoàn toàn với mẫu nghiên cứu 
R 2 = 0 : mô hình hoàn toàn không phù hợp với mẫu nghiên cứu 
(Tại sao? -> Bài tập) 
Ví dụ áp dụng 
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu tính hệ số xác định của mô hình 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các đại lượng ngẫu nhiên 
Ui ~	 N(0, σ 2 ) 
Theo giả thiết của phương pháp OLS, U i là đại lượng ngẫu nhiên có giá trị trung bình bằng 0 và phương sai không thay đổi 
Khi đó σ 2 được gọi là phương sai của tổng thể , được ước lượng bằng phương sai mẫu 
Đại lượng ngẫu nhiên U i 
Vì sao chia n-2 ? => Bài tập 
Vì 	U i ~	 N(0 , σ 2 ) 
Nên 	Y i ~	 N( β 1 + β 2 X i , σ 2 ) 
Ta có 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các đại lượng ngẫu nhiên 
Đại lượng ngẫu nhiên U i 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các đại lượng ngẫu nhiên 
Đại lượng ngẫu nhiên 
Vì sao 	 là các đại lượng ngẫu nhiên ? 
Trong đó 
là phương sai của 
là phương sai của 
Vì sao 	 có phân phối chuẩn ? => Bài tập 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các đại lượng ngẫu nhiên 
Với 
 sai số chuẩn của 
Sai số chuẩn của 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các đại lượng ngẫu nhiên 
Vì : 
Nên : 
Nhưng do ước lượng bằng dẫn đến 
Với T(n-2) là phân phối T-Student với bậc tự do (n-2) 
Vì sao lại là phân phối t-Student? 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các khoảng tin cậy 
Khoảng tin cậy của β 2 
Giả sử ta muốn xây dựng một khoảng giá trị của β 2 với độ tin cậy (1- α ) . 
Ví dụ (1- α ) = 95% hay 0,95 
-4 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
t 
f(t) 
a/2 
a/2 
-t 
a/2 
t 
a/2 
Đồ thị phân phối của thống kê t 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các khoảng tin cậy 
Khoảng tin cậy của β 2 
Nên khoảng tin cậy của β 2 với độ tin cậy 1- α là 
Với có được khi tra bảng t-Student với bậc tự do (n-2), mức ý nghĩa α /2 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các khoảng tin cậy 
Khoảng tin cậy của β 1 
Lập luận tương tự, khoảng tin cậy của β 1 với độ tin cậy 1- α là 
Giải thích ý nghĩa của độ tin cậy (1- α ), ví dụ (1- α ) =95%? 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các khoảng tin cậy 
Khoảng tin cậy của σ 2 
Nên khoảng tin cậy của σ 2 với độ tin cậy 1- α là 
Với có được khi tra bảng χ 2 với bậc tự do (n-2), mức ý nghĩa α /2 
Vì là ước lượng của và người ta chứng minh được rằng 
Ví dụ áp dụng 
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu tính khoảng tin cậy của β 1 , β 2 và σ 2 với độ tin cậy 95% 
Nhắc lại về giả thiết H 0 
Trong thống kê, giả thiết phát biểu cần được kiểm định được gọi là giả thiết không ( ký hiệu : H 0 ). Giả thiết đối được ký hiệu là giả thiết H 1 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Báo bỏ H 0 
Chấp nhận H 0 
H 0 sai 
Đúng 
Sai lầm loại II 
H 0 đúng 
Sai lầm loại I 
Đúng 
Người ta thường đặt giả thiết H 0 sao cho sai lầm loại I là nghiêm trọng ( nguy hiểm) hơn sai lầm loại II 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Đặt α là khả năng mắc sai lầm loại I 
 α là mức ý nghĩa của kiểm định 
 1- α là độ tin cậy của kiểm định 
Chú ý 
Khi nói “chấp nhận giả thiết H 0 ”, không có nghĩa H 0 đúng. 
Lựa chọn mức ý nghĩa : có thể tùy chọn, thường người ta chọn mức 1%, 5%, hoặc 10%. 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Các giả thiết cần kiểm định gồm 
Các giả thiết về hệ số hồi quy 
Các giả thiết về phương sai của U i 
Các giả thiết về sự phù hợp của mô hình 
Các loại giả thiết 
Giả thiết 2 phía , giả thiết phía trái và giả thiết phía phải 
Các cách kiểm định cơ bản : 
Phương pháp khoảng tin cậy 
Phương pháp giá trị tới hạn 
Phương pháp p-value ( dùng máy vi tính) 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy 
Kiểm định giả thiết về β 2 
Giả thiết 2 phía 
H o : β 2 = β o 
H 1 : β 2 ≠ β o 
độ tin cậy là 1- α 
Giả thiết phía trái 
H o : β 2 = β o 
H 1 : β 2 < β o 
Giả thiết phía phải 
H o : β 2 = β o 
H 1 : β 2 > β o 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy 
Phương pháp khoảng tin cậy 
Bước 1 : Lập khoảng tin cậy của β 2 
Bước 2 : Nếu β 0 thuộc khoảng tin cậy thì chấp nhận H 0 . Nếu β 0 không thuộc khoảng tin cậy thì bác bỏ H 0 
Kiểm định giả thiết về β 2 
Kiểm định phía phải 
Miền chấp nhận 
Miền bác bỏ 
Kiểm định phía trái 
Miền bác bỏ 
Miền chấp nhận 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy 
Kiểm định hai phía 
Miền chấp nhận 
Miền bác bỏ 
Miền bác bỏ 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy 
Kiểm định giả thiết về β 2 
Phương pháp giá trị tới hạn (kiểm định t) 
Bước 1 : tính giá trị tới hạn 
Bước 2 : tra bảng t-Student với bậc tự do (n-2) tìm t α /2 
Bước 3 : 
 	Nếu -t α /2 ≤ t ≤ t α /2 : chấp nhận giả thiết H 0 
	Nếu t t α /2 : bác bỏ giả thiết H 0 
SV tự suy luận điều kiện cho kiểm định phía trái và phải 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy 
Kiểm định giả thiết về β 2 
Phương pháp p-value 
Bước 1 : tính giá trị tới hạn 
Bước 2 : Tính p_value = P(|t| > |t α /2 |) 
 (tức là khả năng giả thiết H 0 bị bác bỏ) 
Bước 3 : 
 	Nếu p_value ≥ α : chấp nhận giả thiết H 0 
	Nếu p_value < α : bác bỏ giả thiết H 0 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy 
Kiểm định giả thiết về β 1 
Tương tự kiểm định giả thiết về β 2 nhưng giá trị tới hạn lúc này là 
H o : β 1 = β o 
H 1 : β 1 ≠ β o 
Với độ tin cậy là 1- α 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy 
Kiểm định giả thiết về σ 2 
Bước 1 : Lập khoảng tin cậy của σ 2 
Bước 2 : 
 Nếu σ 0 2 thuộc khoảng tin cậy thì chấp nhận H 0 . 
 Nếu σ 0 2 không thuộc khoảng tin cậy thì bác bỏ H 0 
H o : σ 2 = σ 0 2 
H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2 
Với độ tin cậy là 1- α 
Ví dụ áp dụng 
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu kiểm định các giả thiết sau 
H o : β 2 = 0 
H 1 : β 2 ≠ 0 
Với độ tin cậy là 95% 
H o : β 1 = 0 
H 1 : β 1 ≠ 0 
Với độ tin cậy là 95% 
H o : σ 2 =16 
H 1 : σ 2 ≠ 16 
Với độ tin cậy là 95% 
a) 
b) 
c) 
KiỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY 
Kiểm định sự phù hợp của mô hình 
H o : R 2 = 0 
H 1 : R 2 ≠ 0 
Với độ tin cậy là 1- α 
Kịểm định giả thiết 
Bước 2 : Tra bảng tìm F(1,n-2), mức ý nghĩa là α 
Bước 3 : Nếu F>F(1,n-2) , bác bỏ H 0 
 Nếu F≤F(1,n-2) , chấp nhận H 0 
Bước 1 : tính 
Phương pháp kiểm định F 
H o : β 2 = 0 
H 1 : β 2 ≠ 0 
độ tin cậy là (1- α ) 
Việc kiểm định giả thiết 
có ý nghĩa như thế nào? 
Câu hỏi 
H o :R 2 = 0 
H 1 : R 2 ≠ 0 
độ tin cậy là (1- α ) 
Việc kiểm định giả thiết 
có ý nghĩa như thế nào? 
Ví dụ áp dụng 
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu kiểm định sự phù hợp của mô hình với độ tin cậy 95% 
Dấu của các hệ số hồi qui ước lượng được phù hợp với lý thuyết hay tiên nghiệm không. 
Các hệ số hồi qui ước lượng được có ý nghĩa về mặt thống kê hay không ? 
Mức độ phù hợp của mô hình (R 2 ) và mô hình có thực sự phù hợp? 
Kiểm tra xem mô hình có thỏa mãn các giả thiết của mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển hay không. 
Đánh giá kết quả hồi quy 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH HỒI QUY 
Trình bày kết quả hồi quy 
Kết quả hồi quy được trình bày như sau : 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH HỒI QUY 
Trình bày kết quả hồi quy 
Kết quả hồi quy trong ví dụ trước : 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH HỒI QUY 
Vấn đề đổi đơn vị tính trong hàm hồi quy 
Trong hàm hồi quy hai biến , nếu đơn vị tính của X và Y thay đổi thì ta không cần hồi quy lại mà chỉ cần áp dụng công thức đổi đơn vị tính 
Hàm hồi quy theo đơn vị tính cũ 
Hàm hồi quy theo đơn vị tính mới 
Trong đó : 
Khi đó 
Ngoài ra : 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH HỒI QUY 
Vấn đề đổi đơn vị tính trong hàm hồi quy 
Tuy nhiên, việc thay đổi đơn vị tính của các biến không làm thay đổi tính BLUE của mô hình 
Ví dụ áp dụng 
Cho hàm hồi quy giữa lượng tiêu thụ cà phê (Y – ly/ngày ) với giá bán cà phê ( X – ngàn đồng/kg ) như sau 
Viết lại hàm hồi quy nếu đơn vị tính của Y là ly/tuần 
Ví dụ áp dụng 
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập , yêu cầu viết lại hàm hồi quy với đơn vị tính như sau 
 Y – triệu đồng/tháng ; X – triệu đồng/năm 
 Y – triệu đồng/ tháng ; X – triệu đồng / tháng 
 Y – ngàn đồng/tháng ; X – ngàn đồng /tháng 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH HỒI QUY 
Vấn đề dự báo 
Giả sử 
Khi X=X 0 thì ước lượng trung bình của Y 0 sẽ là 
là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 
Vì sao là đại lượng nhẫu nhiên ? 
Tại sao có phân phối chuẩn ? 
SỬ DỤNG MÔ HÌNH HỒI QUY 
Vấn đề dự báo 
Với 
Khoảng tin cậy giá trị trung bình của Y 0 với độ tin cậy (1- α ) l à 
Ví dụ áp dụng 
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu dự báo khoảng giá trị của Y khi X 0 = 60 (triệu đồng/năm) với độ tin cậy 95% 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Hồi quy qua gốc tọa độ 
Khi tung độ gốc bằng 0 thì mô hình trở thành mô hình hồi quy qua gốc tọa độ , khi đó hàm hồi quy như sau 
Với 
Và 
σ 2 được ước lượng bằng 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Hồi quy qua gốc tọa độ 
* Lưu ý : 
 R 2 có thể âm đối với mô hình này, nên không dùng R 2 mà thay bởi R 2 thô : 
 Không thể so sánh R 2 với R 2 thô 
Trên thực tế ít khi dùng đến mô hình hồi quy qua gốc tọa độ 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Mô hình tuyến tính logarit 
Hay còn gọi là mô hình log-log hay mô hình log kép 
Mô hình không tuyến tính theo các biến nhưng có thể chuyển về dạng tuyến tính bằng cách đặt : 
Khi đó 
Đây là dạng hồi quy tuyến tính đã biết 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Mô hình tuyến tính logarit 
Ý nghĩa của hệ số β 2 : khi X thay đổi 1% thì Y thay đổi β 2 % (Đây chính là hệ số co giãn của Y đối với X) 
Lấy đạo hàm 2 vế của hàm hồi quy log-log, ta được 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Mô hình log-lin 
Mô hình không tuyến tính theo các biến nhưng có thể chuyển về dạng tuyến tính bằng cách đặt : 
Khi đó 
Biến phụ thuộc xuất hiện dưới dạng log và biến độc lập xuất hiện dưới dạng tuyến tính (linear) nên mô hình có tên gọi là log-lin 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Mô hình log-lin 
Ý nghĩa của hệ số β 2 : khi X thay đổi 1đơn vị thì Y thay đổi (100. β 2 ) % 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Mô hình lin-log 
Mô hình không tuyến tính theo các biến nhưng có thể chuyển về dạng tuyến tính bằng cách đặt : 
Khi đó 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Mô hình lin-log 
Ý nghĩa của hệ số β 2 : khi X thay đổi 1 % thì Y thay đổi ( β 2 /100) đơn vị 
MỞ RỘNG MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BiẾN 
Mô hình nghịch đảo 
Mô hình không tuyến tính theo các biến nhưng có thể chuyển về dạng tuyến tính bằng cách đặt : 
Khi đó 
Ví dụ áp dụng 
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu ước lượng hàm hồi quy 	 
X i 
Y i 
X i * =lnX i 
Y i * =lnY i 
X i * Y i * 
X i *2 
31 
29 
3.4340 
3.3673 
11.5633 
11.7923 
50 
42 
3.9120 
3.7377 
14.6218 
15.3039 
47 
38 
3.8501 
3.6376 
14.0052 
14.8236 
45 
30 
3.8067 
3.4012 
12.9472 
14.4907 
39 
29 
3.6636 
3.3673 
12.3363 
13.4217 
50 
41 
3.9120 
3.7136 
14.5276 
15.3039 
35 
23 
3.5553 
3.1355 
11.1478 
12.6405 
40 
36 
3.6889 
3.5835 
13.2192 
13.6078 
45 
42 
3.8067 
3.7377 
14.2280 
14.4907 
50 
48 
3.9120 
3.8712 
15.1442 
15.3039 
 tổng 
cộng  
37.5413 
35.5525 
133.7406 
141.1791 
 trung 
bình  
3.7541 
3.5553 
Kết quả hồi quy: 
Ví dụ áp dụng 
 Nêu ý nghĩa kinh tế của các hệ số hồi quy 
 Xét xem giá bán có ảnh hưởng đến doanh số bán không ?(với mức ý nghĩa 1%) 
 Nếu giá bán là 8,5 ngàn đồng /kg thì doanh số bán trung bình là bao nhiêu? 
 Hãy viết lại SRF ở trên nếu đơn vị tính của Y là triệu đồng/năm 
 Kiểm định giả thiết H 0 :β 2 = -1; H1 : β 2 ≠ -1; với mức ý nghĩa α=1% 
Tính hệ số co giãn của Y theo X tại điểm 
Cho kết quả hồi quy giữa Y – doanh số bán (trđ/tấn) và X - giá bán ( ngàn đồng/kg) như sau :