Bài giảng Kiến trúc máy tính và hợp ngữ - Chương 2: Biểu diễn số nguyên

KIẾN TRÚC MÁY TÍNH & 
HỢP NGỮ
02 – Biểu diễn số nguyên
1
Hệ cơ số q tổng quát
2
 Tổng quát số nguyên có n chữ số thuộc hệ cơ số q bất kỳ được biểu diễn:
(mỗi chữ số xi lấy từ tập X có q phần tử)
 Ví dụ: 
 Hệ cơ số 10: A = 123 = 100 + 20 + 3 = 1.102 + 2.101 + 3.100
 q = 2, X = {0, 1}: hệ nhị phân (binary)
 q = 8, X = {0, 1, 2,, 7}: hệ bát phân (octal)
 q = 10, X = {0, 1, 2,, 9}: hệ thập phân (decimal)
 q = 16, X = {0, 1, 2,,9, A, B,, F}: hệ thập lục phân (hexadecimal)
 Chuyển đổi: A = 123 d = 01111011 b = 173 o = 7B h
 Hệ cơ số thường được biển diễn trong máy tính là hệ cơ số 2
0
0
1
1
1
1011 ......... qxqxqxxxx
n
nn 
Chuyển đổi giữa các hệ cơ số
3
 Đặc điểm
 Con người sử dụng hệ thập phân
 Máy tính sử dụng hệ nhị phân, bát phân, thập lục phân
 Nhu cầu
 Chuyển đổi qua lại giữa các hệ đếm ?
 Hệ khác sang hệ thập phân (... dec)
 Hệ thập phân sang hệ khác (dec ...)
 Hệ nhị phân sang hệ khác và ngược lại (bin  )
 
Chuyển đổi giữa các hệ cơ số
[1] Decimal (10) Binary (2)
4
 Lấy số cơ số 10 chia cho 2
 Số dư đưa vào kết quả
 Số nguyên đem chia tiếp cho 2
 Quá trình lặp lại cho đến khi số nguyên = 0
 Ví dụ: A = 123
 123 : 2 = 61 dư 1
 61 : 2 = 30 dư 1
 30 : 2 = 15 dư 0
 15 : 2 = 7 dư 1
 7 : 2 = 3 dư 1
 3 : 2 = 1 dư 1
 1 : 2 = 0 dư 1
Kết quả: 1111011, vì 123 là số dương, 
thêm 1 bit hiển dấu vào đầu là 0 vào
 Kết quả cuối cùng: 01111011
Chuyển đổi giữa các hệ cơ số
[2] Decimal (10) Hexadecimal (16)
5
 Lấy số cơ số 10 chia cho 16
 Số dư đưa vào kết quả
 Số nguyên đem chia tiếp cho 16
 Quá trình lặp lại cho đến khi số nguyên = 0
 Ví dụ: A = 123
 123 : 16 = 7 dư 12 (B)
 7 : 16 = 0 dư 7
 Kết quả cuối cùng: 7B
Chuyển đổi giữa các hệ cơ số
[3] Binary (2) Decimal (10)
6
 Khai triển biểu diễn và tính giá trị biểu thức
 Ví dụ: 
 10112 = 1.2
3 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 1110
0
0
1
1
1
1011 2.2....2.... xxxxxx
n
nn 
Chuyển đổi giữa các hệ cơ số
[4] Binary (2) Hexadecimal (16)
7
 Nhóm từng bộ 4 bit trong biểu diễn nhị phân rồi chuyển
sang ký số tương ứng trong hệ thập lục phân (0000 
0,, 1111 F)
 Ví dụ
 10010112 = 0100 1011 = 4B16
HEX BIN HEX BIN HEX BIN HEX BIN
0 0000 4 0100 8 1000 C` 1100
1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
3 0011 7 0111 B 1011 F 1111
Chuyển đổi giữa các hệ cơ số
[5] Hexadecimal (16) Binary (2)
8
 Sử dụng bảng dưới đây để chuyển đổi:
 Ví dụ:
 4B16 = 10010112
HEX BIN HEX BIN HEX BIN HEX BIN
0 0000 4 0100 8 1000 C` 1100
1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
3 0011 7 0111 B 1011 F 1111
Chuyển đổi giữa các hệ cơ số
[6] Hexadecimal (16) Decimal (10)
9
 Khai triển biểu diễn và tính giá trị biểu thức
 Ví dụ: 
 7B16 = 7.16
1 + 12 (B).160 = 12310
0
0
1
1
1
1011 16.16....16.... xxxxxx
n
nn 
Hệ nhị phân
10
 Được dùng nhiều trong máy tính để biểu diện các giá trị lưu trong
các thanh ghi hoặc trong các ô nhớ. Thanh ghi hoặc ô nhớ có kích
thước 1 byte (8 bit) hoặc 1 word (16 bit).
 n được gọi là chiều dài bit của số đó
 Bit trái nhất xn-1 là bit có giá trị (nặng) nhất MSB (Most Significant 
Bit)
 Bit phải nhất x0 là bit ít giá trị (nhẹ) nhất LSB (Less Significant Bit)
0
0
1
1
1
1011 2.2....2.... xxxxxx
n
nn 
Ý tưởng nhị phân
11
 Số nhị phân có thể dùng để biểu diễn bất kỳ việc gì mà bạn muốn!
 Một số ví dụ:
 Giá trị logic: 0 False; 1 True
 Ký tự: 
 26 ký tự (A Z): 5 bits (25 = 32)
 Tính cả trường hợp viết hoa/thường + ký tự lạ 7 bits (ASCII)
 Tất cả các ký tự ngôn ngữ trên thế giới 8, 16, 32 bits (Unicode)
 Màu sắc: Red (00), Green (01), Blue (11)
 Vị trí / Địa chỉ: (0, 0, 1)
 Bộ nhớ: N bits Lưu được tối đa 2N đối tượng
Số nguyên không dấu
12
 Đặc điểm
 Biểu diễn các đại lương luôn dương
 Ví dụ: chiều cao, cân nặng, mã ASCII
 Tất cả bit đều được sử dụng để biểu diễn giá trị (không quan tâm đến
dấu âm, dương)
 Số nguyên không dấu 1 byte lớn nhất là 1111 11112 = 28 – 1 = 25510
 Số nguyên không dấu 1 word lớn nhất là 1111 1111 1111 11112 = 216 –
1 = 6553510
 Tùy nhu cầu có thể sử dụng số 2, 3 word.
 LSB = 1 thì số đó là số đó là số lẻ
Số nguyên có dấu
13
 Lưu các số dương hoặc âm (số có dấu)
 Có 4 cách phổ biến:
 [1] Dấu lượng
 [2] Bù 1
 [3] Bù 2
 [4] Số quá (thừa) K
 Số có dấu trong máy tính được biểu diễn ở dạng số bù 2
Số nguyên có dấu
[1] Dấu lượng
14
 Bit trái nhất (MSB): bit đánh dấu âm / dương
 0: số dương
 1: số âm
 Các bit còn lại: biểu diễn độ lớn của số (hay giá trị tuyệt 
đối của số)
 Ví dụ:
 Một byte 8 bit: sẽ có 7 bit (trừ đi bit dấu) dùng để biểu diễn 
giá trị tuyệt đối cho các số có giá trị từ 0000000 (010) đến 
1111111 (12710)
 Ta có thể biểu diễn các số từ −12710 đến +12710
 -N và N chỉ khác giá trị bit MSB (bit dấu), phần độ lớn (giá
trị tuyệt đối) hoàn toàn giống nhau
Số nguyên có dấu
[2] Bù 1
15
 Tương tự như phương pháp [1], bit MSB dùng làm bit dấu
 0: Số dương
 1: Số âm
 Các bit còn lại (*) dùng làm độ lớn
 Số âm: Thực hiện phép đảo bit tất cả các bit của (*)
 Ví dụ:
 Dạng bù 1 của 00101011 (43) là 11010100 (−43)
 Một byte 8 bit: biểu diễn từ −12710 đến +12710
 Bù 1 có hai dạng biểu diễn cho số 0, bao gồm: 00000000 (+0) và 
11111111 (−0) (mẫu 8 bit, giống phương pháp [1])
 Khi thực hiện phép cộng, cũng thực hiện theo quy tắc cộng nhị phân thông 
thường, tuy nhiên, nếu còn phát sinh bit nhớ thì phải tiếp tục cộng bit nhớ 
này vào kết quả vừa thu được
Số nguyên có dấu
[3] Bù 2
16
 Biểu diễn giống như số bù 1 + ta phải cộng thêm số 1 vào kết
quả (dạng nhị phân)
 Số bù 2 ra đời khi người ta gặp vấn đề với hai phương pháp 
dấu lượng [1] và bù 1 [2], đó là:
 Có hai cách biểu diễn cho số 0 (+0 và -0) không đồng nhất
 Bit nhớ phát sinh sau khi đã thực hiện phép tính phải được cộng 
tiếp vào kết quả dễ gây nhầm lẫn
 Phương pháp số bù 2 khắc phục hoàn toàn 2 vấn đề đó
 Ví dụ:
 Một byte 8 bit: biểu diễn từ −12810 đến +12710 (được lợi 1 
số vì chỉ có 1 cách biểu diễn số 0)
Số bù 1 và Số bù 2
0 0 0 0 0 1 0 1Số 5 (8 bit)
1 1 1 1 1 0 1 0Số bù 1 của 5
1 1 1 1 1 0 1 1Số bù 2 của 5
1+
0 0 0 0 0 1 0 1+ Số 5
0 0 0 0 0 0 0 01Kết quả
17
Nhận xét số bù 2
18
 (Số bù 2 của x) + x = một dãy toàn bit 0 (không tính bit 1 cao nhất
do vượt quá phạm vi lưu trữ)
 Do đó số bù 2 của x chính là giá trị âm của x hay – x (Còn gọi là
phép lấy đối)
 Đổi số thập phân âm –5 sang nhị phân?
 Đổi 5 sang nhị phân rồi lấy số bù 2 của nó
 Thực hiện phép toán a – b?
 a – b = a + (–b) Cộng với số bù 2 của b.
Số nguyên có dấu
[4] Số quá (thừa) K
19
 Còn gọi là biểu diễn số dịch (biased representation)
 Chọn một số nguyên dương K cho trước làm giá trị dịch
 Biểu diễn số N:
 +N (dương): có được bằng cách lấy K + N, với K được chọn sao cho tổng của K và một số 
âm bất kỳ trong miền giá trị luôn luôn dương
 -N (âm): có được bằng cáck lấy K - N (hay lấy bù hai của số vừa xác định) 
 Ví dụ: 
 Dùng 1 Byte (8 bit): biểu diễn từ -12810 đến +12710
 Trong hệ 8 bit, biểu diễn N = 25, chọn số thừa k = 128, :
 +2510 = 100110012
 -2510 = 011001112
 Chỉ có một giá trị 0: +0 = 100000002, -0 = 100000002
Nhận xét
20
 Số bù 2 [3] lưu trữ số có dấu và các phép tính của chúng trên
máy tính (thường dùng nhất)
 Không cần thuật toán đặc biệt nào cho các phép tính cộng và tính trừ
 Giúp phát hiện dễ dàng các trường hợp bị tràn.
 Dấu lượng [1] / số bù 1 [2] dùng các thuật toán phức tạp và 
bất lợi vì luôn có hai cách biểu diễn của số 0 (+0 và -0)
 Dấu lượng [1] phép nhân của số có dấu chấm động
 Số thừa K [4] dùng cho số mũ của các số có dấu chấm động
Biểu diễn số âm (số bù 2)
21
-2n-1 2n-2    23 22 21 20
0
0
1
1
2
2
1
1011 2.2....2.)2.(... xxxxxxx
n
n
n
nn 
N bits
Phạm vi lưu trữ: [-2n-1, 2n-1 - 1]
 Ví dụ:
 1101 01102 = -2
7 + 26 + 24 + 23 + 22 + 21
= -128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 
= -4210
Ví dụ (số bù 2)
22
Tính giá trị không dấu và có dấu
23
 Tính giá trị không dấu và có dấu của 1 số?
 Ví dụ số word (16 bit): 1100 1100 1111 0000
 Số nguyên không dấu ?
 Tất cả 16 bit lưu giá trị giá trị là 52464
 Số nguyên có dấu ?
 Bit MSB = 1 do đó số này là số âm
 Áp dụng công thức giá trị là –13072
Tính giá trị không dấu và có dấu
24
 Nhận xét
 Bit MSB = 0 thì giá trị có dấu bằng giá trị không dấu.
 Bit MSB = 1 thì giá trị có dấu bằng giá trị không dấu trừ đi 256 
(28 nếu tính theo byte) hay 65536 (216 nếu tính theo word).
 Tính giá trị không dấu và có dấu của 1 số?
 Ví dụ số word (16 bit): 1100 1100 1111 0000
 Giá trị không dấu = 52464
 Giá trị có dấu: vì bit MSB = 1 nên giá trị có dấu = 52464 –
65536 = –13072
Phép dịch bit và phép xoay
25
 Shift left (SHL): 1100 1010 1001 0100
 Chuyển tất cả các bit sang trái, bỏ bit trái nhất, thêm 0 ở bit phải nhất
 Shift right (SHR): 1001 0101 0100 1010
 Chuyển tất cả các bit sang phải, bỏ bit phải nhất, thêm 0 ở bit trái nhất
 Rotate left (ROL): 1100 1010 1001 0101
 Chuyển tất cả các bit sang trái, bit trái nhất thành bit phải nhất
 Rotate right (ROR): 1001 0101 1100 1010
 Chuyển tất cả các bit sang phải, bit phải nhất thành bit trái nhất
Phép toán Logic
AND, OR, NOT, XOR
26
AND 0 1
0 0 0
1 0 1
OR 0 1
0 0 1
1 1 1
XOR 0 1
0 0 1
1 1 0
NOT 0 1
1 0
“Phép nhân” “Phép cộng” “Phép so sánh khác”
“Phép phủ định”
Ví dụ
27
 X = 0000 1000b = 8d
 X shl 2 = 0010 0000b = 32d = 8 . 22
 (X shl 2) or X = 0010 1000b = 40d = 32 + 8
 Y = 0100 1010b = 74d
 ((Y and 0Fh) shl 4) = 1010 0000
OR OR
 ((Y and F0h) shr 4) = 0000 0100
= 1010 0100 = 164d (không dấu) 
= (164 – 28) = -92d (có dấu)
Một số nhận xét
28
 Đối với số nguyên không dấu
 x SHL y = x . 2y
 x SHR y = x / 2y
 Đối với số nguyên bất kỳ
 AND dùng để tắt bit (AND với 0 luôn = 0)
 OR dùng để bật bit (OR với 1 luôn = 1)
 XOR, NOT dùng để đảo bit (XOR với 1 = đảo bit đó)
 x AND 0 = 0
 x XOR x = 0
 Mở rộng:
 Lấy giá trị tại bit thứ i của x: (x SHR i) AND 1
 Gán giá trị 1 tại bit thứ i của x: (1 SHL i) OR x 
 Gán giá trị 0 tại bit thứ i của x: NOT(1 SHL i) AND x
 Đảo bit thứ i của x: (1 SHL i) XOR x
Các phép toán tử
29
 Phép Cộng (+) 
 Phép Trừ (-)
 Phép Nhân (*)
 Phép Chia (/)
Phép cộng
30
 Nguyên tắc cơ bản:
 Ví dụ:
0 1
0
1
0 1
1 10
1 1 1 0
1 0 0 0
1
1110
1
1
01
Phép cộng
31
Phép trừ
32
 Nguyên tắc cơ bản: Đưa về phép cộng
A – B = A + (-B) = A + (số bù 2 của B)
 Ví dụ: 11101 – 10011 = 11101 + 01101
1 1 1 0
1 0 0 0
1
1010
1
1
01
0 1 1
Phép trừ
33
Phép nhân
34
 Nguyên tắc cơ bản:
0 1
0
1
0 0
0 1
Phép nhân
35
0 1
1 0
011
1
1 0 0
0 00 0 0
0 11 0 0
0 11 0 0
0011
Phép nhân
36
Thuật toán nhân
37
 Giả sử ta muốn thực hiện phép nhân M x Q với
 Q có n bit
 Ta định nghĩa các biến: 
 C (1 bit): đóng vai trò bit nhớ
 A (n bit): đóng vai trò 1 phần kết quả nhân ([C, A, Q]: kết quả nhân)
 [C, A] (n + 1 bit) ; [C, A, Q] (2n + 1 bit): coi như các thanh ghi ghép
 Thuật toán:
Khởi tạo: [C, A] = 0; k = n
Lặp khi k > 0
{
Nếu bit cuối của Q = 1 thì
Lấy (A + M) [C, A] 
Shift right [C, A, Q]
k = k – 1
}
38
Thuật toán nhân cải tiến (số không/có dấu)
39
Khởi tạo: A = 0; k = n; Q-1 = 0 (thêm 1 bit = 0 vào cuối Q)
Lặp khi k > 0
{
Nếu 2 bit cuối của Q0Q-1
{
= 10 thì A – M A
= 01 thì A + M A
= 00, 11 thì A không thay đổi
}
Shift right [A, Q, Q-1]
k = k – 1
}
Kết quả: [A, Q]
Ví dụ
M = 7, Q = -3, n = 4
40
Phép chia
41
 Giả sử ta muốn thực hiện Q / M với
Khởi tạo: A = n bit 0 nếu Q > 0; A = n bit 1 nếu Q < 0; k = n 
Lặp khi k > 0
{
Shift left (SHL) [A, Q]
A – M A
# Nếu A < 0: Q0 = 0 và A + M A
# Ngược lại: Q0 = 1
k = k – 1
}
Kết quả: Q là thương, A là số dư
Ví dụ phép chia
42
Prefix in byte (Chuẩn IEC)
43
 International Electrotechnical Commission 
(IEC)
Prefix in byte (Chuẩn SI)
44
 International System of Units (SI)
 Chú ý: khi nói “kilobyte” chúng ta nghĩ là 1024 byte nhưng thực ra
nó là 1000 bytes theo chuẩn SI, 1024 bytes là kibibyte (IEC)
 Hiện nay chỉ có các nhà sản xuất đĩa cứng và viễn thông mới dùng
chuẩn SI
 30 GB 30 * 109 ~ 28 * 230 bytes
 1 Mbit/s 106 b/s
Homework
45
 Đọc chương 9, sách của W.Stalling
 Đọc trước slide bài giảng số thực