Bài giảng Hàm số. Giới hạn hàm số

1 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN 
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. 
	Ký hiệu: 
 Đơn ánh :  x 1 , x 2 X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) 
 T oàn ánh: Với mỗi y Y,  x X: y = f(x) 
 Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh 
 Nếu f: X Y là song ánh thì f -1 : Y X là ánh xạ ngược của f 
2 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa hàm số: Với X  R, ta gọi ánh xạ f:X Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). 
	x: biến độc lập 
	y: biến phụ thuộc. 
	Tập X: miền xác định 
	Tập f(X) = {f(x): x X}: miền giá trị của f 
Ví d ụ : Tìm miền xác định, giá tr ị: y = 2x 2 - 4x + 6 
3 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa phép toán : Cho f, g cùng mxđ X: 
 f = g: f(x) = g(x),  x X 
 (f g)(x) = f(x) g(x),  x X 
 (fg)(x) = f(x)g(x),  x X 
Hàm số f/g có miền xác định X 1 = X\{x: g(x) = 0} : 
 (af)(x) = af(x),  x X 
4 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Hàm số hợp : Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó 
	f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu f o g. 
Ví dụ : Tìm g o f, g o h, f o g, h o g 
Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X Y là một song ánh thì f -1 : Y X được gọi là hàm số ngược của f. 
 Đồ thị của f, f -1 đối xứng nhau qua đường y = x. 
5 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Hàm số đơn điệu: 
 f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 (a,b): 
	x 1 f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )) 
 f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 (a,b): 
	x 1 f(x 1 ) f(x 2 )) 
 Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. 
Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X. 
6 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Hàm số tuần hoàn : Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu:  T ≠ 0: 
f(x+T) = f(x),  x X 
	Số T 0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. 
Ví dụ : Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2 . Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = . 
7 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Hàm số chẵn, lẻ : f có miền xác định X, với x, -x X. 
 f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x X 
 f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x X 
Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x 2 là Hàm số chẵn 
Hàm số lẻ 
Ghi chú : 
 Hàm số chẵn đối xứng qua Oy 
 Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 
8 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
1. Hàm số luỹ thừa : 	y = x , với R 
 N: mxđ R 
 nguyên âm: mxđ x ≠ 0. 
 có dạng 1/p, p Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ 
 là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x tại mọi x 0 nếu > 0 và tại mọi x > 0 nếu < 0. 
2 . PHÂN LOẠI HÀM SỐ 
	Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu > 0, không đi qua góc toạ độ nếu < 0. 
9 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
2. Hàm số mũ: y = a x (a > 0, a ≠ 1) 
 Hàm số mũ xác định với mọi x dương. 
 Hàm số mũ tăng khi a > 1. 
 Hàm số mũ giảm khi a < 1. 
 Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 
10 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3. Hàm số logarit: y = log a x, a > 0, a ≠ 1 
 Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. 
 Hàm số log a x tăng khi a > 1 
 Hàm số log a x giảm khi a < 1 
 Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị 
 Hàm số y = log a x là hàm số ngược của số y = a x 
11 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
 Một số tính chất của log a x: 
	Log a (x 1 x 2 ) = Log a (x 1 ) + Log a (x 2 ) 
Log a x α = αLog a x	 
12 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
4. Hàm số lượng giác: 
 y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2 
 y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2 
 y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1) /2 , hàm lẻ, chu kỳ 
 y = cotgx, mxđ  x ≠ k , k Z, hàm lẻ, chu kỳ 
13 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
5. Hàm số lượng giác ngược: 
 Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [- /2, /2] và là một hàm số tăng. 
 Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0, ] . 
 Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (- /2, /2) và là hàm số tăng. 
 Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0, ) là hàm số giảm. 
14 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa : Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản . 
Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp. 
 Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp . 
15 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3 . GIỚI HẠN HÀM SỐ 
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số: 
Định nghĩa lân cận: 
 x thuộc lân cận của x 0  > 0:  x-x 0  <  
 x thuộc lân cận của +  A: x > A 
 x thuộc lân cận của -  B: x < B 
Mở rộng thêm: 
 x thuộc lân cận của x 0 và x ≠ x 0  > 0: 0 <  x-x 0  <  
 x thuộc lân cận phải của x 0 và x > x 0 x 0 < x < x 0 +  
 x thuộc lân cận trái của x 0 và x < x 0 x 0 -  < x < x 0 
16 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa gi ới hạn : Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa x 0 (riêng tại x 0 , f(x) có thể không tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x x 0 , nếu  > 0 cho trước,  > 0: 
0 <  x – x 0  <   f(x) – L  <  . Ký hi ệu: 
Ví dụ , Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng 
17 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa gi ới hạn một bên : 
 Gi ới h ạ n bên phải:  > 0,  > 0: x 0 < x < x 0 +   f(x) – L  <  
 Gi ới h ạ n bên trái:  > 0,  > 0: x 0 -  < x < x 0  f(x) – L  <  
Định lý: 
Ví dụ , Tim giới hạn f(x) khi x 0 
18 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x 0 thì: 
. 
Định nghĩa giới hạn lân cận : 
n ếu  > 0,  N > 0 đủ lớn : x > N  f(x) - L  <  
n ếu  > 0,  N < 0 đủ nhỏ : x < N  f(x) - L  <  
Ví dụ , ch ứ ng minh r ằ ng 
19 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
2. Giới hạn vô hạn của hàm số : 
 N > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 N 
 N 0: 0 <  x – x 0  <  f(x) < N 
Ví dụ : chứng minh 
20 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3. Các tính chất của giới hạn hàm số: 
Định lý : nếu lim f(x) = L 1 và lim g(x) = L 2 thì 
 Lim [f(x) ± g(x)] = L 1 ± L 2	 
 Lim [f(x)g(x)] = L 1 L 2 
 Lim [f(x)/g(x)] = L 1 /L 2 (L 2 ≠ 0) 
 Lim [f(x)] m = L 1 m (L 1 m R) 
 Lim C = C 
 Lim [Cf(x)] = CL 1 	 
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0. , - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng. 
21 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Ví dụ : Tìm 
22 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý: Giả sử g(x) f(x) h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x 0 . Nếu 
Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] 
Ví dụ: Tìm 
23 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
4. Một số giới hạn đặc biệt: 	 
24 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Ví dụ: Chứng minh: 
Ví dụ: Tìm: 
4. So sánh vô cùng bé 
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0 
25 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình: 
 Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) 
 Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) 
 Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc 
 Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) 
 Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được 
26 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f 1 (x), g(x)~g 1 (x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f 1 (x)/g 1 (x)] 
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì 
f(x) + g(x) ~ f(x) 
Ví dụ: Chứng minh 
Khi x 0 
27 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
7. So sánh vô cùng lớn: 
Định nghĩa : Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) = 
 Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL 
 Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB 
28 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình: 
 Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x) 
 Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x) 
 Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc. 
 Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu F(x)~G(x) 
29 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F 1 (x) , G(x)~G 1 (x) thì 
	lim[F(x)/G(x)] = lim[F 1 (x)/G 1 (x)] 
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x) 
Ví dụ: Tìm 
30 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3 . HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x 0 nếu: 
Nếu chỉ có hoặc 
thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x 0 
31 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục tại x 0 . Vậy x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: 
- Hoặc f(x) không xác định tại x 0 
- Hoặc f(x) xác định tại x 0 nhưng lim f(x) ≠ f(x 0 ) khi x x 0 
- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x x 0 
32 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x 0 = 0 	 
Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, 
 f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b. 
33 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x 0 : kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x 0 )≠0). 
Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u 0 và f liên tục tại u 0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u 0 ) 
Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì  x 0 (a,b): f(x 0 ) = 0. 
Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]