Bài giảng Giải tích số - Chương 6: Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình một biến

CHƯƠNG 6. TÌM NGHIỆM THỰC GÀN ĐÚNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIÉN
1. Nghiệm - khoảng phân ly nghiệm
1.1 Nghiêm cùa phương trình:
Nếu f(a) = 0 thì a là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0
M
Ỷ nghĩa hình học của nghiệm:
- Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh.
Hình 2.1
a1z a? là nghiệm cịiạ phương trình f(x)=o
1	
- Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệm của f(x)=o là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (CẠ y=g(x) và (C2): ý=h(x)
Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức là:
f(a).f(b)<0
Thì phương trình f(x)=o có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b]
1. Nghiệm - khoảng phân ly nghiệm (tt)
1.2) Khoáng phân ly nghiêm:
(a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=o nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực.
VI du 7.7: Trên (-2, -1) phương trình x3-3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm => (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm.
Đinh lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu trên (a,b), va f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất mọt nghiệm trên (a,b).
Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình.
Ví dụ 1.2:	Xét hàm f(x) = x3-3x+1.
Ta có: f’(x) = 3x2 - 3=0
 X = -1 hoặc X = 1
Bảng xét dấu f’(x)
X
-00
-1
1
00
f'(x)
-ị-
0
0
-ị-
f’(x)>0, Vx e (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0
Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm
Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm
1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình;
Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0 —> Ước lượng khỏang phân lỵ nghiệm.
Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông —> Ước lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh)
I - Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x). Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x) —> Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm.
Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình
5x3-19x + 3 = 0
Xét f(x) = 5x3 -19x + 3
Tính f(x) = 15x2 - 19; f(x) = 0 X'=&HỈ Bảng biến thiên
X
-00
ỊĨ9
V 15
/Tộ"
V 15
+oo
f’(X)
+
0
0
f(x)
—
17,26	
-11,26
00
Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;l); (1,5;2) là các khỏang phân ly nghiệm của phương trình g^3«vlt.ier]hgt^gii2m3 _ Q
Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số < 8.
.... .	,	. , t y
2.1. Nội dung của phương pháp:
^Chọn x0 là điểm giữa [a,b] làm
nghiệm gần đúng.	a
Nếu f(xo)=O => x0 là nghiệm đúng. -> Dừng.
Nếu f(x0) 0 và sai số Ax0 Dừng.
Nếu f(x0) * 0 và sai số Ax0 > e thì xét dấu f(a).f(x0): Nếu f(a).f(x0) 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x0,b)
Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới.
Quá trình lặp lần lược cho ta các nghiệm gần đúng x0, X1	
Và kết thúc khi tìm được xn với sai số Axn< £
“ y f(x) ,
a x0 x2 / I b 'x
	11
Vi dụ 1.2:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình X3 + 4x2 -1=0 trên (0,1) theo phương pháp chia đôi với 5 lần lặp.
Đặt:	f(x) = X3 + 4x2 -1
Ta có f’(x) = 3x2+8x
f’(x) = 0 o X = 0 hoặc X = -8/3
Bảng xét dấu f’(x)
	X	- »	-8/3	0	+ »
f(x) I +	0	-	0	+
Ta thấy: f’(x) > 0 Vx G (0,1)
Và f(0)=-1; f(1 )=4 => f(0).f(1 )=-4<0
Vậy (0,1) là khoảng phân ly nghiệm.
Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phương pháp chia đôi)
•
1
a
b
Xj~(a+b) 2
íM.íUil
0
0
1
05
-0,1250
1
0
0.5
0,25
0,7344
2
025
0.5
0,375
0 2826
3
0,375
0.5
ĩ 0 J0580
4
0,4375
0.5
(0,46875 )
0 J0027
Nghiệm gần đúng tìm được là X « 0,46875
2.2. Đánh giá sai sô: Goi a là nghiệm đúng. Ta có:
Bước 0:
Bước 2:
0
Bước n:
2.3. Sư hôi tu vê nghiêm:
2"+'? _
lim x„
-a =0
,(è-ữ)] = o
Vậy dãy {xn} hội tụ về nghiệm của phương trình khi n->00.
2.4. Ưu nhươc điểm cúa phương pháp
ưu điếrrr.Đơn giản, dễ lập trình.
Nhươc điểm: Hội tụ về nghiệm chậm.
Ví dụ 1.3: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình X3 + 4x2 -1=0 trên (0,1) với sai số < 8 = 0,1 bằng phương pháp chia đôi.
xỡ = (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5;
Sai số: Ax0 = %*(b-a)=1/2=0,5 > 8 = 0,1
f(0).f(0,5) = -0,125 Thay b = 0,5; a=0 (không đổi)
Xì = (a+b)/2=(0+0~5)/2 =0,25;
Sai số: Ax1 = ý2 (0,5-0)=0,25 > 8 = 0,1
f(0).f(0,25) = 0,73>0 => Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi)
x2=(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375;
Sai số:Ax2=/4*(0,5-0,25)=0,125>8 = 0,1
f(0,25).f(0,375) = 0,28>0 =>Thay a=0,375;b=0,5 (không đổi)
x3=(a+b)/2=(0,375+0,5)/2 =0,4375;
Sai số: Àx3 = 1/2*(0,5-0,375)=0,0625<8 = 0,1
Do Ax3 <£ = 0,1 nên X =x3= 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm.
	16
Phương pháp dây cung
Bài toán'. Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=o. Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=o trên (a,b) với sai số<£ cho trước.
3.1} Nol dung, cua IJJJ.
■ Thay cung AB bởi dây trương cung AB
I
AB cắt trục hoành tại điểm (x1,0).
• Nếu Ix-ị-al < £, xp nghiệm gần đúng cần tìm.
- Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân ly mới (x1;b) hoặc (a, x^ tùy theo tính chât của f(x)
b
A A
3. Phương pháp dây cung
Nếu f(x.|).f(a)<0 thì (a.x-j) là khoảng phân ly nghiệm mới
Nếu f(x1).f(a)>0 thì (x^b) là khoảng phân ly nghiệm mới
Với khoảng phân ly nghiệm mới (xlfb), tính được nghiệm gần đúng x2 bằng phương pháp dây cung
■ Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng xn có sai số Axn < s
Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lòi lõm của đường cong f(x). Giả sử f’ và f” không đổi dấu trên (a,b)
20
Tn/ờng hƠỊK
J Chọn x0=a
J Ở bước thứ n, phương trình đường thẳng AnB là:
y-f(
= -
/■(£) -)
<-(x ) l
^-x:„
y = 0
\ n /
n
f(b) - f(xn) b-xn
Xn+1 là nghiệm của hệ:
(3.1)
Chọn x0= b
Phương trình đường thẳng AB0:	y - f(x0) _ X - xữ
f(a)-f(x0) a — x0
X!: là nghiệm của hệ:
J Bước n, phương trình đường thẳng ABn:
y -
f(a)-f(xn) a-xn
Nghiệm gần đúng xn+1 cần tìm là nghiệm của hệ:
=x-xn
< /(«) - f(xn) a-xn
J = o
~	/(*„)■(*„-a)
1 "
Với xo=b
J Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:
(3.3)
"+1 ” /u) - /(</)
Trong đó: d=b, Xq = a nếu f(b) cùng dấu với f"(x) (hay f'(x).f"(x)>0) d=a, Xq = b Nếu f(a) cùng dấu với f"(x) (hay f'(x).f"(x)<0)
Phương pháp dây cung
Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3-3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phương pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lượt là x0, X1, x2 và x3.
Giải:
Công thức nghiệm tổng quát:
Bảng xét dấu:
X
-1
0
1
f
+
0
-
0
+
f'
-
0
+
Phương pháp dây cung
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:
f’(x)>0 và f”(x)>0 Vxg(1,5; 2) và f(1,5)=-1,1250
Vậy, chọn x0 = 1,5; d = 2 Áp dụng công thức tính nghiệm:
Ta tính được:
/(x0)(x0-2)
/(x0)-/(2)
, = r _ /(^X^-2) = 9
2 -Tọ „	„	 •
/ơ2)-/(2)
3.3) Đánh giá sai số
Để đánh giá sai số của phương pháp dây cung, ta sử dụng thêm định lý Lagrange
Định lý Lagrange:
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại một số c e(a,b) sao cho:
f(b)-f(a) = f’(c)(b-a)
Ý nghĩa hình hoc:
Tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại Điểm (c,f(c)) song song với AB
3.3) Đánh giá sai sô của phương pháp dây cung
Áp dụng:
X ĩl ' f\c)
/77
A =
m
Gọi a là nghiệm đúng. f(x) liên tục trên [xn, a] (hoặc [a, xn ] nếu f (x).f”(x)<0) và f(x) có đạo hàm trên (xn, a) (hoặc (a, xn) nếu f (x).f”(x)<0). Theo định lý Lagrange, 3ce(xn, a) sao cho:
Vậy có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn cho xn là:
Hơn nữa, nêu sô M,m thoả 0< m < f'(x), Vxe[a,b] thì sai số cũng có thể chon là: I T7 TT
 efrhattLingvcom 'll Ar.
m
Ví du. Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3-x2-x-1=0 trên đoạn [0,5; 1,5] với sai số không quá 0,02.
Giải: Đặt f(x) = 5x3-x2-x-1
f’(x)=15x2-2x-1; f’(x)=o x1 =-1/5; x2 =1/3
f”(x)=30x-2
Xét dấu f’ va f”:
ox=1/15
X
-00	-1/5
1/5
1/3
-00
f
+	0
-
0
f”
-
0
+
□ Ta thấy: f(x) liên tục
f(x)>0; f”(x)>0 Vx e [0.5,1.5]
f(Ò,5) =-1.1250 ; f(1.5) = 12.125>0
=> (0.5,1.5) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình. Công thức tính nghiệm:
|f(x)| >|f’(0.5)1=1.75 Vx e(0.5,1.5)
Vậy có thể chọn biểu thức dánh giá sai số:
Axn=|f(xn)|/1.75
X
f(x)
Sai số
0,5
-1,125
0,642857
0,584906
-0,9265
0,529426
0,649866
-0,69992
0,399952
0,696262
-0,49337
0,281926
0,727688
-0,33056
0,18889
0,748184
-0,21387
0,122214
0,761215
-0,13524
0,077278
0,769365
-0,08427
0,048153
0J74407
-0,05203
0,02973
f 0,777508
-0,03194
0,018251 <0.02
x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số không quá 0.02
I □ Sư hôi tu về nghiêm: Giả sử a là nghiệm đúng. Dãy các nghiệm gần I đúng
Trong trường hơp 1:
a=x0™x"=a
Dãy {xn} tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi ot, nên:	= a
J Trong trường hơp 2:
a< a <xn<xn.1<...<x1<x0=b
Dãy {xn} giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi oc, nên:
□ Ưu nhươc điểm cùa phương pháp dây cung:
I	■ Ưu điểm: Biết xn, chỉ cần tính một giá trị của f(xn) để tính xn+1
I	■ Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm
Giải thuật của phương pháp dây cung (1)
Giải thuật của phương pháp dây cung (2)
Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton)
Bà/ toán: Giả sử với f(a)*f(b)<0, và f’(x), f”(x) không đổi dấu trên (a,b). Tìm 1 nghiệm gần đúng của f(x)=o trên (a,b) với sai số<£ cho trước.
4.1 Nôi dung của PP'.
/^(T)
- Thay đường cong f(x) trên
B /
[a,b] bởi tiếp tuyến (T) với
f(x) /
đường cong tại điểm A hoặc
a	«0 b	►
B, hoành độ giao điểm X-I
’/X1
của (T) với trục hoành xem
như nghiệm gần đúng của phương trình
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến:
a) Trường hơp 1: f’(x).f”(x)>0
f'(x)<0,f"(x)<0
\ f(a)>0, f(b)<0
\ \ X1
I\\/
f'(x)>0,f"(x)>0
f(a)0 /—(To)
f(x) J
a	\//1	
I^^Xi/xo=b
a
V xo=b
36
1 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
/
\	Bo = y /
f\/7
az/ 1
ỵ 2 /X1	Xo=b
/(TO / (To)
Cho x0 = b
Phương trình tiếp tuyến (To) tại B0(x0,f(x0)):
y-f(x0) = f’(x0)(x-x0)
(To) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ X-I là nghiệm của hệ:
p-/ơo) = /'(xo)(xi-xo
s = o
X.| xem như nghiệm gần đúng của phương trình, nếu cần chính xác hơn, ta thay x0 bởi X1, lặp lại tính toán trên để tính x2 (chính xác hơn xj .Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.
□ Công thức tính nghiêm tổng quát: Giả sử ở bước thứ n, xác định được nghiệm gần đúng xn.
- Phương trình tiếp tuyến (Tn) với đường cong f(x) tại Bn(xn,f(xn)) là:
y-f(xn) = f’(xn)(x-xn)
- Hoành độ giao điểm (xn+1) của tiếp tuyến Tn với trục hoành là nghiệm của hệ:
y~f(xn) = f (xn )(xn+ỉ - xn )
v /(*„)
b = 0
"+1" " ỹ'ũ)
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến( 1 1):
b) Trường /7OP fỴx).f Ỵx)<0:
f'(x)>0, f"(x)<0
f'(x)0
f(a)0
f(a)>0, f(b)<0
a
|\^b
/	b
a
40
□ Xét f’(x)>0, f”(x)0 tương tự)
Lấy x0= a, phương trình tiếp tuyến (T0)với f(x) tại A0(x0, f(x0)):
y-f(x0) = f’(x0).(x-x0)
Nghiệm gần đúng X-I là nghiệm của hẹ:
□ Tong guat Giả sử tìm được nghiệm gần đúng xn, xây dựng công thức tính xn+1:
- Phương trình tiếp tuyến (Tn) của f(x) tại An(xn, f(xn)) là:
Nghiệm gần đúng xn+1 là nghiệm của hệ:
□ Kêt luân: Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gàn đúng xn+1 theo xn là:
V =Y /(ạ)
•/V
" /'(*„)
□ Với:
xo = a nếu f”(a) cùng dấu với f(a)
xo = b nếu f”(b) cùng dấu với f(b)
4.3 Sự hội tụ đến nghiệm của pp tiếp tuyến
Giả sử a nghiệm đúng của phương trình trên (a,b)
Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là:
Dãy giảm và bị chặn dưới bởi oc (trường hợp 1)
a < a <xn <xn_1 <...<x0<b
Dãy tăng và bị chặn trên bởi oc (trường hợp 2)
a < x0 <X1 <...<xn< a <b
Nên:
lim xn - a
ft—>4-00
	44
4.4 Đánh giá sai sô của pp tiêp tuyên
■ Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình, m-i, m2 là các số thỏa điều kiện 0<m1<|f’(x)| và |f”(x)|<m2 <+°°. Ta có:
(xem cách tính sai số trong pp dây cung}
Hơn nữa, khai triển Taỵ/or của f(xn) tại xn.p Ta được
/7-1
n n-\
|/”(cXx.-x._1)2
. m2	2
<	— x„ ! )
2 \ n	/7-1 /
< m2 X n a — tt^7/wl
ỏ?^hattư^rpỡ|n)	^xn
45
Giải thuật của pp tuyêp tuyên (1)
Input: a,b,e, m
t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
f t ,f a >0
X = X -f(x)/f'(x) Ax = |f(x)|/m
A >£
46
t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
Input: a,b,e
f(t).f(a)<0
Giải thuật của pp tuyêp tuyên (2)
^Trong thực hành thường chọn sai số của xn:
output: x± err
X| = Xq -f(x)/f'(x) err = IXi-Xol
47
Phương pháp lặp đơn
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=o trên (a,b).
Phương pháp dây cung và tiếp tuyến là trường hợp đặt biệt của pp lặp
□ Nôi dung của pp: Biến đổi f(x) = 0 về dạng X = cp(x) với ọ(x) liên tục trên (a,b)
Lấy X = x0 € [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu
Tính X1 = cp(x0)
Tính x2 = ^(xj
- Tính xn = ^(Xn.J
Nếu xn hội tụ về a khi n -> +00 thì a là nghiệm đúng của phương trình. Các Xj là các nghiệm gan đúng
Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
5x3-x2-x-1=0 (*) trên (0.5; 1.5)
Ta có:
Hoặc
Hoặc
(*) o X = 5x3 - X2 - 1
(a)
(b)
(c)
Giả sử chọn công thức (c). Các nghiệm gần đúng tìm được:
•
1
«1
<P(Xi)
0
0.5
0.70473
1
0.704729873
0.760749
2
0.760748808
0.776337
3
0.776336929
0.780687
4
0.780687095
0.781902
5
0.781901937
0.782241
6
0.782241261
0.782336
7
0.782336044
0.782363
8
0.78236252
0.78237
• • •
• • •

Dãy các giá trị Xj tính được từ phương trình:
5x3-x2-x-l = 0 (*) bằng cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:
□ Sư hôi tu về nghiêm cùa phương pháp
Đinh lý:
Giả sử (a,b) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình f(x)=O;
f(x)=o -o x= (p(x)
Và (p(x) và <p’(x) là các hàm số tiên tục trên [a,b].
Nếu |cp’(x)| < q < 1 X/XG[a,b], XQơ[a,b] thi day {Xp}, n—0,1,2,... nhận được từ: xn = (píXn^) hội tụ đến nghiệm a của phương trình f(x)=o.
□ Chứng minh:
Giả sử ot là nghiệm đúng
Ta có: a = (p(a)
X, = <p(x0)
=> X1 - a = (p(x0) - (p(a)
Theo định lý Lagrange, 3c.|G(x0, a) nếu x0<a hoặc 3 C-! e(a, x0) nếu a < x0 sao cho: (p(x0) - (p(a) =(p’(c1).(x0- a) |xr a|=|<p’(c).(x0- a)| <q.|x0-a|
Hơn nữa:
Và
□ Tương tự:
lim qn x0 -a - 0
«—>+00
Nên xn hội tụ về nghiệm a khi n -ì
Ví dụ 1.5.2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
5x3 - 20x + 3 = 0 trên [0,1]
Ta có: (0, 1) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình.
Phương trình đã cho tương đương với:
X = (px (x) = 5x3 -19x + 3
X = ý?2 (x) = Ự(20x-3)/5
'i(x) = 15x2-19 = 9,4>1
Khi X =0.8
ộ?3 00
Khi X = 0.5
Vx G [0; 1]
□ Vậy có thể chọn phép biến đổi tương đương:
5x3 - 20x + 3 = 0 o X = cp3(x) = (5x3+3)/20
Với |<p’3(x)| =|3x2/4| < 0,75=q<1 trên [0; 1 ]
Ta có công thức lặp:
xn = (5x3^+3)/2Q
Các nghiệm gần đúng tìm được sau 5 lần lặp
x=o,150859 là nghiệm gần đúng
Xn
	0.5
0,18125
0,151489
0,15085%! jj50858p ttp://www.Ienhattung.com
0,150869
0,18125
0,151489
0,150869
0,150859
□ Đánh giá sai sô:
Hoặc có thể dùng công thức:
Giải thuật cho phương pháp lặp
ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3-19x+3 =0
trên [0;l] với sai số không quá 0,01 bằng phương pháp lặp.
Giải: PhựổóặWnh(tương).đương với: X = (p(x)=(5x3+3)/20
I <p'(x) I = 13/4x21 < q = 0,75<l. vậy dãy xn+1 = (5xn3+3)/20 hội tụ về nghiệm của phương trình.
Chọn Xq = 0; V =ơ(0) = Ặ = 0,15
1	20
x2 = ^(0,15) = 5 X (°,1 •>)_+_ 3 = OJ 5086

A ,, = .	10,15086 - 0,15| = 0,00258 < 0,01
2 1-0,751	1
Với x2 = 0,15086 thì sai số Ax2 < £ = 0,01. vậy x2 là nghiệm gần đúng cần tìm.
Bài tập chương
I 1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình-x3+5x+2=0 trên (2,3)
I với sai số không quá 0,03
Bằng phương pháp chia đôi.
Bằng phương pháp d
Bằng phương pháp tiếp tuyến.
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx - X +1/2=0 với sai số không quá 0.02:
Bằng phương pháp dây cung.
Bằng phương pháp tiếp tuyến.
Bài tập chương
Tìm các nghiệm gần đúng x1,x2,x3 của phương trình sau bằng phương pháp lặp:
x3 + x- 1000=0