Bài giảng Giải tích số - Chương 4: Tính đạo hàm và tích phân gần đúng

CHƯƠNG 4. TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH
PHÂN GẦN ĐỦNG
*
4P
*
Ề
9
1
1
Giảng viên: ThS. Lê Nhật Tùng
Đặt vấn đề
Trong toán học, đã có phương pháp tính đạo hàm và tính phân xác định
Thực tế, thường gặp các trường hợp :
Hàm y=f(x) chỉ được cho ở dạng bảng, công thức tường minh của y là chưa biết.
Hàm f(x) đã biết, nhưng phức tạp
Hoặc viết chương trình máy tính để tính tích phân xác định.
- Chọn giải pháp: “Tỉnh gần đúng”
I Bài toán: Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b]. Hãy
■ tính f’(c) với c thuộc [a,b].
Giải pháp:
B1: Tìm giá trị của hàm f(x) tại một số mốc nội suy trên [a,bf
B2: Nội suy hàm f(x) bởi đa thức nội suy P(x) trên [a,b]. Khi đó ta có:
I	f’(c) ~ P’(c)
Ví dụ: Cho hàm số y=f(x) xác định bởi bảng các mốc nội suy sau. Hãy lập bảng tỷ sai phân tương ứng với các giá trị {Xj.yJ đó.
X 2	5	6	8	12
y 5	26	37	65	145
Tính đạo hàm gần đúng của 10.
Bảng tỷ hiệu
y
TSPC1
TSPC2
TSPC3
TSPC4
2
5
5
26
7.00
6
37
11.00
1.00
8
65
14.00
1.00	0.00
12
145
20.00
1.00	0.00
0.00
p(x)= 5+7(x-2)+l(x-2)(x-5)
P(x)=xA2 +1
=> P'(x) = 2x => P'(10)=20
lenhattung.com -tungit07@gmail.com	5
Tìm đạo hàm gần đúng của 3.5, cho hai hàm số f(x) và k(x) có các mốc nội suy như sau:
X
1
2
3
4
5
y=f(x)
1
4
9
16
25
X
1
2
3
4
5
y=k(x)
1
4
6
8
10
cần tính _	.
I - f f (x)dx
Ja
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), công thức Newton - Lepnit:
Ị =\\f(x)dx = F(b)-F(a)
Trường hợp:
f(x) chỉ được cho ở dạng bảng hoặc f(x)
Hoặc f(x) đã biết nhưng tính toán phức tạp
=> Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn
Giải pháp:
B1: Xấp xỉ hàm f(x) bởi đa thức nội suy P(x).
B2: Dùng một trong 2 phương pháp
Phương pháp hình thang.
Phương pháp Simpson
□ Phương pháp hình thang:
■ Chia [a,b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia a=x0 <x.| <...<xn =b (tức là Xị =a+ih; i-0,1,...,n). Khi đó mỗi đoạn con co độ dài h=(b-a)/n.
f(x) ;
h=xi+1-xì=l/n
Xo-ax1x2 Xị xi+1
b=xn
□ Phương pháp hình thang:
i=Q
a
lenhattung.com - tungit07@gmail.com
□ Phương pháp hình thang:
■ Trên mỗi đoạn [Xj , xi+1 ], xấp xỉ diện tích hình thang cong bằng diện tích hình thang vuông. Vậy có:
J f(x)dx = ^(yi+yM)
xi
I □ Phương pháp hình thang:
■	■ Công thức
I	r _ ,	44/i z
J/(x)í/x = 2	+ Z+1)
I	a	í=0 2
I b	b — a
I J /(x)íừ «	- (^0 + 2^! + 2j^2 +... + 2	)
a
□ Phương pháp hình thang:	4
■ Ví dụ: Tính gần đúng tích phân I — J Xx dx
Ta chia [1,4] thành 3 đoạn con. Khi đó ta lập được bảng sau:
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1
1.84
4
9.88
27
80.2
256
Áp dụng công thức hình thang:
I =[(4-1 )/(2*6)](1 +2*1.84+2*4+2*9.88+2*27+2*80.2+256)
= 125,71
2.2 PHƯƠNG PHAP PARABOL(SIMPSON) suy bậc 2 (parabol) với 3 mốc nội suy:
Chia [a,b] thành 2n đoạn con bằng nhau, với độ dài mỗi đoạn là h= (b-a)/2n, bởi các điểm chia a=x0 <Xj <...<x2n.1 <x2n =b.
Trên mỗi đoạn con [x2i_2 ,x2i], i=1,.
..,n, thay f(x) bằng đa thức nộ
x2i-2 >X2Í-1 >x2i -Khi đó:
n x^j	n X2J
f (x)dx J P2 {x)dx vó>j.	a	i = ỵ X2i-2	i=ỉ ^2i-2
Từ đó có:
J P2 (x)dx = I (y2í_2 + 4>’2i_, + y2í)
x2í-2
Vậy, ta có công thức Parabol (Simpson):
f	n h
J f(x)dx =	Ừ2/-2 + 4T2Í-1 + T2/)
«	Í=1 J
/2
“*■ 4T2/7-l	T277)
= ^yữ+^yt+2y2+4yi+2y4+..
VI DỤ
10
Tính gần đúng / = J(x + l)íử
0
Chọn n=5, áp dụng công thức parabol ta được:
——H1 +4.2+ 2.3+ 4.4+ 2.5+ 4.6+ 2.7+ 4.8+ 2.9+ 4.10+ 11) = ^(12 + 4(2+ 4 + 6 + 8 +10) +2(3 +5 +7+ 9)) = H12 + 120 + 48) = 60
Kiểm tra số 3
Cho tích phân:	I = ———
0 1 + X
Bằng cách phân hoạch đoạn [0,1] thành 4 đoạn bằng nhau, tính gần đúng tích phân trên theo công thức Simpson
Cho tích phân:	/ = fsin - dx
i X
a) Bằng cách phân hoạch [0,1] thành 6 đoạn bằng nhau. Tính gần đúng tích phân đã cho bằng công thức hình thang và công thức Simpson?