Bài giảng Giải tích số - Chương 2: Sai số. Số gần đúng

GIẢI TÍCH SỐ
CHƯƠNG 2. SAI SỐ - SÔ GẰN ĐÚNG
Một số khái niệm
SỐ gần đúng:
• Số ạ gọi là giá trị gần đúng của số đúng A nếu a không sai khác nhiều so với A. kí hiệu: a « A
b) Sai số tuyệt đối:
Trong thực hành, thường dùng số gần đúng a thay cho số đúng A
Giả sử A là số đúng, a hiệu A) là:
® A. Sai số tuyệt đối của số gần đúng a (kí
(1.1)
Hay:	A= a ± A
Vi du 1.1.1: Giả sử độ dài đúng của đọan AB là 20,1824 (cm), giá trị gân đúng đo được là 20,1836 (crri), sai số tuyết đối của phep đó ỉa:
A= 120,1836 - 20,1824| = 0,0012 (cm)
2s Sai số tuyệt đối xác định độ lệnh của một giá trị gần đúng so với giá trị thực cùa nó
□ Sai số tuyệt đối giới hạn:
Thường A không biết nên A không biết
Thường dùng “sa/ số tuyệt đối giới hạn” thay cho sai tuyệt đối.
Sai số tuyệt đối giới hạn (kí hiệu Aj của số gần đúng a là một giá trị không nhỏ hơn sai số tuyệt đối A của a (A< Ag).
Ta có: a- Aa < A < a + Aa
Aa không đơn trị, và nên chọn Aa nhỏ nhất có thể.
Ví dụ 1.1.2: Lấy số □ * a = 3,1415.
Do:	3,14 có thể chọn Aa = 0,01.
Hơn nữa	3,141 có thể chọn Aa = 0,001 (tốt hơn)
c) Sai sô tương đôi:
Sai số tương đối của số gần đúng a so với số đúng A (kí hiệu ỗ) được tính bởi :
a- A
(1.2)
Ví du 1.1.3: Độ dài đúng của đọan AB là 20,1824 và giá trị gần đúng đo được là 20,1836. vậy sai số tương đối của nhéo đo là:	
5 = Ạ = I20-1826,- °’1824l»0,00006 = 0,006% A 20,1824
2si Sai số tương đối của sổ gần đúng a cho biết chất lượng cùa phép đo (hoặc tính toán)
□ Sai số tương đối giới han
Trong thực hành, thường dùng sai số tương đối giới hạn ỗa thay
cho ỗ:
(1.3)
Ví dụ 1.1.5: Lấy số a=3,14 là số gần đúng của □, sai số tuyệt đối giới hạn Aa = 0,01. Sai số tương đối giới hạn có thể chọn
ổa =
0,01
3J4
« 0,0032 = 0,32%
Ví dụ 1.1.4: Đo độ dài của 2 đoạn thăng AB và CD. A	’	’	B
Độ dài đo được: l1=200cm/ A|1=o/lcm
Phép đo nào chính xác hơn?
Độ dài đo được: l2=350cm, A|2= 0,15 cm
Ta có:
\ = 0,1
1. "
= 0,0005 = 0,05%
200
Vậy, phép đo CD chính xác hơn
ệk = ậỊỈ = 0,000429 = 0,0429% < õ
1,	350
Chữ số có nghĩa, chữ số chắc chắn
Chữ Số có nghĩa:
■ Một số có thể gồm nhiều chữ số. Ví dụ: số 132 có 3 chữ số, số 0,00547 có 6 chữ số,...
Các chữ số có nghĩa trong một số là các chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đâu tiên tính từ trái sang phải.
Ví dụ 1.2.1: số 132 có 3 chữ số có nghĩa (1,2 và 3)
Số 0,005079 có 4 chữ số có nghĩa (5, 0, 7 và 9)
Chữ số chắc chắn (chữ số đáng tin):
Mọi số thực a đều có thể biểu diễn dưới dạng:
a = ±(am10m+ am.110m-1+...+ am.210m-2+...+
am.n+110m'n+4+am.n10m'n+...
Trong đó 0<ctj<9 với i=m-1, m-2, ... và 0<ctm<9 , (Hay dị, i=m,m-
1	m-n,..là cac chữ số có nghĩa)
Ví dụ 1.2.2: số a = 0,005079 có thể biểu diễn dưới dạng:
a = 5x10’3+ 0x10’4+ 7x10’5 + 9x10’6
Chữ số có nghĩa, chữ số chắc chắn
■ Cho số gần đúng a với sai số tuyệt đối giới hạn Aa,
đáng tin) nêu:
Aa<ịlOk
2
(1-4)
Chữ số có.nghĩa ak trong a được gọi chữ số chắc chắn (hay chữ số
Ngược lại akgọi là chữ số nghi ngờ.
Ví dụ 1.2.3:
Cho số gần đúng a = 0,03145 với sai số Aa = 0,Ọ004 có 2 chữ số chắc chắn là 3 và 1 (phần gạch chân), các chữ số 4 và 5 là nghi ngờ.
Cho số gần đúng a = 1,0519 với sai số A^ = 0,003 có 4 chữ số chắc chắn là 1, 0, 5,1 (phần gạch chân), chữ so 9 la nghi ngờ.
^Chú Ỳ.
s Nếu chữ sộ 0^ là chắc chắn thì tất cả chữ sổ có nghĩa bên trái của ctk cũng là chắc chắn
V Nếu chữ số có nghĩa ak là nghi ngờ thì tất cả chữ số phía phải của ak cũng là nghi ngờ.
Cách viết số gần đúng
Gọi A là số đúng, và a là số gần đúng của A với sai số Aa.
Cách 1:	a ± Aa. Thường dùng trong đo đạt hoặc tính toán.
Ví dụ 1.3.1: số gần đúng a = 0,03145 với sai số Aa=0,0004 được viết là: 0,03145 ±0,0004
Cách 2: Theo quy ước: “mọi chữ số có nghĩa đều là chữ số chắc chắn”. Thường dùng trong các bảng như bảng logarithm, bảng các hàm số lượng giác,... Theo cách viết thứ 2, chữ số cuối cùng (an) bên phải của số gần đúng cũng là chữ số chắc chắn, do đó: Aa <(1/2).10n. Thường chọn Aa = (1/2).10n
Ví dụ 1.3.2:
Viết a =1,539 theo cách viết thứ 2, thì Aa < (1/2).10’3=0,0005. Có thể chọn
Aa =0,0005
Viết a=0,1076 theo cách viết thứ 2, thì Aa < (1/2).10’4=0,00005. Có thể chọn
Ag =0,00005
Sự quy tròn số và sai số quy tròn
Trong tính toán ta thường quy tròn một số a thành một số gần đúng đơn giản hơn.
Quy tắc quy tròn: Giả sử ta cần làm tròn a đến vị trí thứ n (sẽ thay các chữ số bên phải chữ số thứ n bời 0):
Quỵ tắc 1:
Nếu chữ số thứ n+1> 5 thì tăng chữ số thứ n lên một đơn vị Nếu chữ số thứ n+1 < 5 thì giữ nguyên chữ số thứ n
Ví dụ 1.4.1 : Làm tròn 2,1436 đến 3 và 2 chữ số lẻ ta được 2,144 và 2,14 Ví dụ 1.4.2: Làm tròn 2,1456 đến 3 và 2 chữ số lẻ ta được 2,146 và 2,14 Quy tắc 2.
Nếu chữ số thứ n+1> 5 thì tăng chữ số thứ n lên một đơn vị
□ Nếu chữ số thứ n+1 < 5 thì giữ nguyên chữ số thứ n
Nếu chữ số thứ n+1 =5 thì giữ nguyên chữ số thứ n nếu nó chẵn hoặc tăng thêm 1 nếu nó lẻ
Sự quy tròn số và sai số quy tròn (tt)
□ Sai số quy tròn:
Giả sử a là số gần đúng của A, sai số tuyệt đối Aa.
Làm tròn a thành a’, sai số tuyệt đối quy tròn 0a.: ỡa' = a — a'
Ta có: A = A-a' = A-a + a-a'|<|A-a| + |a -a'
Mà:A-a|<A( và 9, = a-a' Nên : A = A-a'| < Aa+0a.
I a	a	I a a
Có thế chọn sai số tuyệt đối giới hạn kết quả sau cùng Aa’ là:
Aa'=Aa+0a' (1.5)
Ạ'
SÔ
Ví du 1.4.3: giả sử a = 0,5364 ± 0,00003. Làm tròn a đến hàng phần trăm (2 số lẻ thập phân), ta được a' = 0,54. có thể chọn sai tuyệt giới hạn của kết quả là:
Aa, = Aa +ea, =0,00003 + |0,54-0,5364| = 0,365x10'2
1.5.1) Trường hợp tổng quát:
Cho u = {(Xì, x2,.., xn) vớkXp x2	xn là các giá trị gần đúng của xv
x2,...,xn với sai số tuyệt đối giới hạn Ax1, Ax2,..., Axn.
Ta có:
Xác định Au và õu ?
af
Ax,
n
<È
af
ỔXị
1
i=l
axj
Chọn
và
II ă
<
a/ ổx.
(1-5)
s--~,
;-t
1 /■!
——in u
ÕX,
n Õf
" ỡf
Z^(X.-x,) i=I ỠXị
ỳ^Ax, àax, ‘
A = Ư-u = f(X,,X2,..
.,Xn)-f(xpx2,...,xn)
Ví du 1.5.1: Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu V=(1/6) itd3. Biết đường kính d = 3,70cm ±0,05 cm và n»3,14 với sai số chọn 0,0016?
Ta có: V = ị Ttd3 = ị X 3,14 X (3,70)3 = 26,5084 (cm3)
6	6
ỆỈ = lKd = ị d3 = ị X (3,70)3 = 8,4422
 ỞTI 6	6
 = ịx3,14x(3,70)2 =21,4933
Av =
eV
ổd
av
Ổ7T
AK = 21,4933 X 0,05 + 8,4422 X 0,0016 = 1,088
(cm3)
Ay = 1,0882
v |v| 26,5084
a 0,04105 = 4,1%
ad 2	2
Ví du 1.5.2 : Công suất của một máy phát điện cho bởi công thức:	p - l2R
Tính p và các sai số Ap, ôp . Biết rằng:
I = 5,6 A	A| = 0,084 A
R = 25 Q	Ar = 0,5 Q
Giải ?
1.5.2) Một số trường hợp đặc biệt:
a) Sai số của tổng đại số:
• Giả sử ta có X, là giá trị gần đúng của Xi (i=1..n) với sai số tuyệt đối giới hạn Axị (Àxi = IX'-xj)
Xét tổng đại số: u = X-Ị + x2 +... + xn.
Xác định sai số tuyệt đối giới hạn Au và sai số tương đối giới hạn su của tong u?
Ta có:
au
AU=Ẻ
i«l
âu
ổXị
A = A + A + ...+ A
Xj	X|	X,	xn
Theo công thức (1.6) và (1.7) ta có:
(1-8)
Ví du 1.5.3: Cho = 2,73 ± 0,005; a2 = 3,14 ± 0,0016 Tính u=a1+a2 và sai số?
Ta có:	0=2,73+3,14 = 5,87
Sai số: Au = 0,005+ 0,0016 = 0,0066 ôu = Au /|u| = 0,0066/5,87 « 0,112%
Ví du 1.5.4: Cho 2 số gần đúng theo cách viết thứ 2: X-! = 47,132 và x2 = 47,111. Tính u=x1 - x2, và xác định Au và õu.
Ta có: u = Xí-x2 = 47,132-47,111 = 0,021.
Au = Ax1 + Ax2 =0,0005+0,0005=0,001
õu =
Au
0,001
0,021
» 0,0476 = 4,76%
's.Nhận xét: Khi Xì gần với x2, sai sộ tương đối có thể lớn => Tránh 'tính hiệu của 2 số gần đúng xấp xỉ nhau.
□ Ví dụ 1.5.4: Cho 2 sô gân đúng:
a = 14.539± 0,004 và b = 14.536 ± 0,003 Tính u = a - b, Au và 8U ?
Ta có:
u = a - b = 14,539 - 14,536 = 0,003
Au= Aa+ Ab= 0,004+0,003 = 0,007
a -b
= 233,3% >100%
0.003
Nhận xét: Sai số tương đối giới hạn lớn hơn 100%
b) Sai số của tích
Cho các số gần đúng xv x2 với các sai số tuyệt đối giới hạn : Ax1, Ax2 và sai số tương đối giới hạn ồx1, 0x2. Tính u = xvx2 và sai số Au, Ôu?
ổu
Ta có:	ỠXj
Theo công thức (1.6) ta có:
ổu
-= X1 ổx2
du
ổx.
Ax.
X|
ổu
ỡx2
Giả sử x-ịOO và x2 0. Chia 2 vế cho |u|, ta được:
A x.|A*+x2A.| a, Ar
ôu =	“ x2 2 Xl1 = ÍX + ^ = ^ + Sx2
Vậy:
ôu - 8X1 +ôx2
và
Sai số của thương
Cho các số gần đúng Xp x2 (x2 *0) với các sai số tuyệt đối giới hạn Ax1, Ax2 và sai số tương đối giới hạn õx1, Ồx2 Tính u = X1ZX2 và sai số Au, Ôu?
Theo các công thức 1.6 và 1.7, ta có:
x2
Vậy:
Ví du 1.5.5: Tính diện tích của hình chữ nhật và đánh giá các sai số nếu các cạnh đo được là a= 12,5 (cm) ±0,04 (cm) và b = 6,4 (cm) ±0,02 (cm).
Diện tích hình chữ nhật tính theo công thức:
Ta có:
8a = 0,04/12,5 = 0,0032 = 0,32%
8b = 0,02/6,4 « 0,0031 = 0,31%
Vậy: 8U = 8a + 8b = 0,0032+ 0,0031 =0,0063 = 0,63% Au = |u|.8u =| 12,5 X 6,4| X 0,0063 = 0,5 (cm2) u = 12,5 X 6,4 ± 0,5 = 80 (cm2) ± 0,5 (cm2)
Sai số phương pháp và sai số tính toán
□ Sai số phương pháp:
✓ Sai số xảy ra ki thay thế bài toán đó bởi bài toán xấp xỉ, đơn giản hơn Ví du 1.6.1: Khai triển Mac Laurin của hàm ex:
CÓ thê tính ex sý4-= 1 + 4 + 4- + ... + ^-	Sai số A = ■ g — x"+l
1! 2! n! bai so	(/7 + 1)
e* _ ,	.,	.	„	
Sai số A = -——-X	Là sai số phương pháp
(/7 + 1)
Sai sô phương pháp và sai sô tính toán
□ Sai số tính toán:
✓ Sai số xảy ra trong quá trình tính toán (làm tròn, tích luỹ)
Ví dụ:
1	1_
+ 3? ¥
Ta có p-= 1,000 Sai số ỡ, = 0
1 =-7 = 0,125 Sai số $2 = 0
23 8
1 = 4 = 0,037 Sai số Ỡy = 1.10“4 /
33 27 -1 = 4 = 0,016 Sai số ớ4=4.104
5 = 1,000-0,125
+ 0,037 + 0,016
= 0,896
As =1,000-0,125
+ 0,037 + 0,016
= 0 ++1.10”4+4.10”4
= 5.10'4
43 64
Sự ổn định của quá trình tính toán
Xét một quá trình tính toán gồm vô số bước
Nếu sai số tính toán tích luỹ không tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính là ổn định. Ngược lại, quá trình tình là không ổn định
Một số nguyên nhân dẫn đến sai số
Mô hình toán học cùa vấn đề thực tế không biểu diễn đúng như thực tế.
Do sự phức tạp của bài toán mà ta chọn cách giải gần đúng, dẫn đến có sai số.
Do thu thập số liệu từ thực nghiệm: số liệu thu thập từ thực nghiệm thường phải có sai số.
Do làm tròn số: Trong quá trình tính toán, đôi khi ta làm tròn kết quả để có được số đơn giản hơn (sai số làm tròn)
Bài tập
Xác định các chữ số chắc chắn trong các số gần đúng sau:
a) a, = 0,050146 ± 0,0002	b) a2 = 1,025 ± 0,004
C) aâ = 127,5 với ôa = 0,03%	c) 84 = 5,3442;Ôa = 0,1X10 -2
Cho số gần đúng a = 1,3641 với sai số Aa = 0,45 X 10
Làm tròn ạ đến 2 số lẻ thập phân. Cho biết kết quả làm tròn và xác định sai số tuyệt đối
Đo trọng lượng của 1 dm3 nước ở o°c nhận được:
p=999,847 g + 0,001 g
Xác định sai số tương đối giới hạn của phép đo.
Hằng số khí của không khí đo được là R = 29,25. Xác định các giới hạn của R? cho biết sai số tương đối giới hạn của R là 1%
Khi đo chiều dài và chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật người ta nhận được: dài = 101,5m±0,07m;
rộng=15m ±0,4m
Bài tập
Tính chu vi của mảnh vườn và xác định các sai số
Tính diện tích của mảnh vườn và xác định các sai số
Khi đo độ dài của 2 đoạn AB và CD nhận được kết quả:
AB = 500,5m ± 0,2m và CD = 809,4 ± 3m
Hãy cho biết phép đo trên đoạn nào chính xác hơn.
Tính giá trị của biểu thức s và xác định các sai số tương đối vả tuyệt đối trong các trường hợp sau
s = X + y với x= 0,0506 ± 0,0002; y = 1,0205 ± 0,0004
s = x2yz3 với x=5,34;ỗa = 0,1x10 '2
y = 2,51 ±0,02
vàz = 1,24 ±0,01
Bài tập
8) Cho các số gần đúng:
X = 5,452 ± 0,002; y= 10,205 ± 0,001
Tính s = x2y+(x+y)3, xác định sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của s.