Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng - Phan Trung Hiếu
TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân.
TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay
phân kỳ.
TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng - Phan Trung Hiếu", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng - Phan Trung Hiếu
![Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng - Phan Trung Hiếu Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng - Phan Trung Hiếu](https://s1.tailieubachkhoa.net/rl6k7x3q9zfh00j8/thumb/2021/11/25/bai-giang-giai-tich-chuong-6-tich-phan-suy-rong-phan-trung-h_PN3ae358MA.jpg)
11/15/2018 1 LOG O Chương 6: Tích phân suy rộng GV. Phan Trung Hiếu §1. Các loại tích phân suy rộng §2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng 2 §1. Các loại tích phân suy rộng 3 Loại 1: ( ) ; ( ) ; ( ) . b a f x dx f x dx f x dx Loại 2: ( ) b a f x dx trong đó vớilim ( )x c f x [ , ].c a b 4 Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy cho biết nó thuộc loại nào. 2 1 1) a dxx 2) 1 dxb x /2 0 sin) cos xdxc x 1 1 ) dxd x 1 2 ) . dxe x 5 §2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng 6 TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân. TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay phân kỳ. 11/15/2018 2 7 TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)): Phương pháp: -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm [ , ]c a b mà lim ( ) . x c f x -Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân. 8 Chú ý 2.1: ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) , c c f x dx f x dx f x dx c ( ) ( ) ( ) , (0, ) b a a b f x dx f x dx f x dx b tùy ý tùy ý 9 Điểm suy rộng tại a lim ( )x a f x ( ) lim ( ) b b t a t f x dx f x dx a Điểm suy rộng tại b lim ( )x b f x ( ) lim ( ) t t b a a f x dx f x dx b Điểm suy rộng tại a và b ( ) ( ) ( ) , ( , ) c b a c f x dx f x dx f x dx c a b b a 10 -Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. -Trong công thức ,, , nếu cả 2 tích phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. Điểm suy rộng tại ( , )a b c ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx f x dx c c 11 Định lí 2.2: a) ( ) a f x dx hội tụ và ( ) a g x dx hội tụ ( ) ( ) a f x g x dx hội tụ và ( ) ( ) ( ) ( ) . a a a f x g x dx f x dx g x dx b) ( ) a f x dx hội tụ và k là một hằng số . ( ) a k f x dx hội tụ và . ( ) . ( ) a a k f x dx k f x dx 12 Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích phân sau (trong trường hợp hội tụ) 2 1 ) dxa x 0 ) xb e dx 0 ) xd xe dx 2) 1 dxf x 1 2 0 ) 1 dxg x 1 1 ) 1 x x e dxi e /2 0 sin) 1 cos xdxh x 1 ln) xc dx x 2 2 2 ) 4 dxj x 2 2) 1 xdxe x 11/15/2018 3 13 TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)): Phương pháp: -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm [ , ]c a b mà lim ( ) . x c f x -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. 14 Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên và khả tích trên mọi đoạn [a,b], [ , )a Xét ( )lim . ( ) x f x k g xi) 0 :k ( ) , ( ) a a f x dx g x dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ii) 0 :k ( ) a g x dx hội tụ ( ) a f x dx hội tụ. ( ) a f x dx phân kỳ ( ) a g x dx phân kỳ. iii) :k ( ) a f x dx hội tụ ( ) a g x dx hội tụ. ( ) a g x dx phân kỳ ( ) a f x dx phân kỳ. . b a 15 Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên và thì [ , )a ( ) ( )f x g x khi x ( ) a f x dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ( ) a g x dx và Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên [ , ), ( , ]a b a b 16 Chú ý 2.4: Với , ta có0 a 1 n a dx x hội tụ phân kỳ 1 n 1 n Với , ta có0 b 0 1 b n dxx hội tụ phân kỳ 1 n 1 n 17 Với , ta có a b 1 ( ) b n a dx b x hội tụ phân kỳ 1 n 1 n Với , ta có a b 1 ( ) b n a dx x a hội tụ phân kỳ 1 n 1 n 18 Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 3 1 ) 1 dxa x x 51 2) 1 xdxb x x 33 1 ( 5)) 1 x dxc x x 1 3/2 0 ln(1 )) x dxe x 1 0 ) sin dxf x 3 0 ) dxd x 11/15/2018 4 19 Ví dụ 2.3: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích phân suy rộng sau hội tụ 1 0 1 mx dx x 20 Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 2 2 0 ) x xa dx e 2 3 1 5ln) 2 1 x x xb dx x x 2 11 0 ) xc xe dx 1 0 1) ln d dxx 2 2 1 ) 1 dxe x 1 3 2 53 0 ) (1 ) x dxf x 1 3 0 5) tan x xg dx x x 21 Ví dụ 2.5: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích phân suy rộng sau hội tụ 1 0 m xx e dx 22 Định lí 2.5: 0 ( ) ( )f x g x với mọi x trên [ , ) [ , ), lim ( ) ( , ], lim ( ) x b x a a a b f x a b f x Khi đó: ( ) b a g x dx i) hội tụ ( ) b a f x dx hội tụ. ( ) b a f x dx ii) phân kỳ ( ) b a g x dx phân kỳ. 23 Ví dụ 2.6: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 2 2 1 ) 2 sin 3 dxa x x 3 1 ln) 5 xb dx x 1 1 0 ) xe dxc x 2 2 0 sin) xd dx x 0 arctan) 2 x xe dx e 24 Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định lý sau Tích phân suy rộng của hội tụ ( )f x Tích phân suy rộng của hội tụ. ( )f x Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt đối. Chú ý kết quả: sin 1; cos 1, .X X X Ví dụ 2.7: Khảo sát sự hội tụ của tích phân 3 1 sin x dx x Bài tập Giải tích 5 BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Bài 1: Tính các tích phân sau và cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ 1) 2 4 . x e dx 2) 1 2 .xe dx 3) 4(2 ) .x dx 4) 1 . xe dx x 5) 0 2 .4 dx x 6) 3 0 .xx e dx 7) 2 2 0 . ( 2) xdx x 8) 2 3 .lne dx x x 9) . ln lne dx x x x 10) 2 .1 xdx x 11) 32 .xx e dx 12) 1 0 .dx x 13) 1 2 0 .dx x 14) 1 2 0 . 1 xdx x 15) 2 5 2 0 . 4 x dx x 16) 1 0 . (2 ) 1 dx x x 17) 1 2 1 .dx x 18) 4 2 0 . ( 1) dx x 19) 1 3 0 (ln ) .x dx x 20) 22 . 2 dx x x 21) 1 0 . 1 xdx x 22) 2 0 sin .xdx 23) 0 1/ 3 1 . xe dx x 24) 2 2 0 ln .x xdx 25) 1 0 ln .x dx x Bài 2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau 1) 5 10 1 . 1 dx x x x 2) 3 53 1 . 1 1 xdx x x 3) 2 45 1 1 . 2 1 x x dx x x 4) 3 2 1 2 . 2 1 x dx x x 5) 2 1 1ln 1 . 1 x x dx x 6) 1 0 . ( 1) dx x x 7) 2 35 sin 0 ln(1 ) . 1x x dx e 8) 1 2 0 . sin x dx x 9) 1 0 . 1x dx e 10) 2 0 . 2 xdx x 11) 3 0 .dx x x 12) 22 5 1 . 2 x dx x 13) 1 2(1 cos ) .dx x 14) 1 0 . 2 dx x x 15) /2 0 . sin dx x x 16) 2 2 0 . (1 ) dx x Bài 3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau 1) 1 . lne dx x 2) 1 ln(1 ) .x dx x 3) 1 4 0 . 1 x dx x 4) /2 0 . cos dx x 5) 2 1 . ln (1 ) dx x 6) 1 0 . 1 cos xe dx x 7) 1 . 5 ln dx x x 8) 2 1 .xe dx 9) 4 0 . 2 dx x 10) 2 1 . ln dx x 11) 1 . 2 1 xe dx x 12) 2 2 0 . 2 dx x x Bài tập Giải tích 6 13) 2 1 ln . ( 1) x dx x x 14) 1 0 . cosx dx e x 15) 1 2 2 0 2 . (1 )(4 ) dx x x 16) 1 0 . cos cos1 dx x 17) 1 3 0 . ( )x x dx x e e 18) 1 2 0 ln . 1 x dx x Bài 4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau 1) 1 2 . xe dx x 2) 2 1 . (1 )x dx x e 3) 2 0 sin .x dx x 4) 2 3 1 1 .x dx x 5) 73 1 sin . cos sin 2 x x dx x x x 6) 3 1 arctan . 1 x x dx x 7) 1 2 33 0 sin . 1 x dx x 8) 1 35 0 sin cos . 1 x xdx x 9) 0 arctan . 2 x x dx e 10) 3 0 . 1 x dx x 11) 4 1 1 .x dx x x 12) 3/2 0 arctan .x dx x 13) 0 . xe dx x 14) 2 2 3 0 cos . 1 x dx x Bài 5: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau 1) 0 cos .x dx x 2) 3/2 /2 cos .x dx x 3) 2 0 cos . 1 x dx x 4) 3 1 sin .x dx x 5) 1 sin 3 .x dx x 6) 2 1 1 cos .x dx x 7) 0 s in2 .xe xdx 8) 0 sin . (1 ) x dx x x Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tích phân suy rộng sau hội tụ 1) 2 0 . 1 3 1 x m dx x x 2) 1 . (ln )me dx x x 3) 1 0 ln .mx xdx 4) 1 0 ln(1 ) .m x dx x 5) 2 0 1( 1) arctan .mx dx x 6) 20 . 1 m dx x x
File đính kèm:
bai_giang_giai_tich_chuong_6_tich_phan_suy_rong_phan_trung_h.pdf