Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng - Phan Trung Hiếu

11/15/2018
1
LOG
O
Chương 6:
Tích phân suy rộng 
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Các loại tích phân suy rộng
§2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng
2
§1. Các loại tích phân suy rộng
3
Loại 1:
( ) ; ( ) ; ( ) .
b
a
f x dx f x dx f x dx
Loại 2:
( )
b
a
f x dx trong đó vớilim ( )x c f x [ , ].c a b 
4
Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân
suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy
cho biết nó thuộc loại nào.
2
1
1)
 a dxx 2) 1
dxb
x
/2
0
sin)
cos
xdxc
x
1
1
)
dxd
x
1
2
) .
dxe
x
5
§2. Khảo sát sự hội tụ 
của tích phân suy rộng
6
TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân.
TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay
phân kỳ.
11/15/2018
2
7
TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.
8
 Chú ý 2.1:
 ( ) lim ( )
b b
a
a
f x dx f x dx
 ( ) lim ( )
b
b
a a
f x dx f x dx
( ) ( ) ( ) , 
c
c
f x dx f x dx f x dx c
 ( ) ( ) ( ) , (0, )
b
a a b
f x dx f x dx f x dx b

tùy ý
tùy ý
9
 Điểm suy rộng tại a lim ( )x a f x 
( ) lim ( )
b b
t a
t
f x dx f x dx
a
 Điểm suy rộng tại b lim ( )x b f x 
( ) lim ( )
t
t b
a a
f x dx f x dx
b
 Điểm suy rộng tại a và b
( ) ( ) ( ) , ( , )
c b
a c
f x dx f x dx f x dx c a b 
b
a
10
-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn
tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược
lại là tích phân phân kỳ.
-Trong công thức ,, , nếu cả 2 tích
phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
 Điểm suy rộng tại ( , )a b c
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx f x dx 
c
c
11
Định lí 2.2: 
a) ( )
a
f x dx
 hội tụ và ( )
a
g x dx
 hội tụ
 ( ) ( )
a
f x g x dx
 hội tụ và
 ( ) ( ) ( ) ( ) .
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
b) ( )
a
f x dx
 hội tụ và k là một hằng số
. ( )
a
k f x dx
 hội tụ và . ( ) . ( )
a a
k f x dx k f x dx
12
Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích 
phân sau (trong trường hợp hội tụ)
2
1
) dxa
x
0
) xb e dx 
0
) xd xe dx
 2) 1
dxf
x
1
2
0
)
1 
dxg
x
1
1
)
1 
x
x
e dxi
e
/2
0
sin)
1 cos
xdxh
x
1
ln) xc dx
x
2
2
2
)
4 
dxj
x
2
2)
1
xdxe
x
11/15/2018
3
13
TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x
-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã
có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên
hàm.
14
Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên và khả tích 
trên mọi đoạn [a,b], 
[ , )a 
Xét
( )lim .
( ) 
x
f x k
g xi) 0 :k 
( ) , ( )
a a
f x dx g x dx
 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
ii) 0 :k ( )
a
g x dx
 hội tụ ( )
a
f x dx
 hội tụ.
( )
a
f x dx
 phân kỳ ( )
a
g x dx
 phân kỳ.
iii) :k ( )
a
f x dx
 hội tụ ( )
a
g x dx
 hội tụ.
( )
a
g x dx
 phân kỳ ( )
a
f x dx
 phân kỳ.
. b a
15
Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên và
thì
[ , )a 
( ) ( )f x g x khi x 
( )
a
f x dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
( )
a
g x dx
 và
Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên 
[ , ), ( , ]a b a b
16
 Chú ý 2.4:
 Với , ta có0 a 
1 
 n
a
dx
x
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
 Với , ta có0 b 
0
1
b
n dxx
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
17
 Với , ta có a b
1
( ) 
b
n
a
dx
b x
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
 Với , ta có a b
1
( ) 
b
n
a
dx
x a
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
18
Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
3
1
)
1
dxa
x x
 51
2)
1
xdxb
x x
33
1
( 5))
1
x dxc
x x
1
3/2
0
ln(1 )) x dxe
x
1
0
)
sin
dxf
x 
3
0
) dxd
x
11/15/2018
4
19
Ví dụ 2.3: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích
phân suy rộng sau hội tụ
1
0 1
mx dx
x
20
Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
2
2
0
)
 x
xa dx
e
2
3
1
5ln)
2 1
x x xb dx
x x
2
11
0
) xc xe dx
1
0
1)
ln d dxx
2
2
1
)
1 
dxe
x
1 3
2 53
0
)
(1 ) 
x dxf
x
1 3
0
5)
tan
x xg dx
x x
21
Ví dụ 2.5: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích
phân suy rộng sau hội tụ
1
0
m xx e dx
22
Định lí 2.5: 
0 ( ) ( )f x g x với mọi x trên 
[ , )
[ , ), lim ( )
( , ], lim ( )
x b
x a
a
a b f x
a b f x
Khi đó:
( )
b
a
g x dx i) hội tụ ( )
b
a
f x dx hội tụ.
( )
b
a
f x dx ii) phân kỳ ( )
b
a
g x dx phân kỳ.
23
Ví dụ 2.6: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
2 2
1
)
2 sin 3
dxa
x x
3
1
ln)
5
xb dx
x
1 1
0
)
xe dxc
x
2
2
0
sin) xd dx
x
0
arctan)
2 x
xe dx
e
24
 Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu
Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định
lý sau
Tích phân suy rộng của hội tụ ( )f x
 Tích phân suy rộng của hội tụ. ( )f x
Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt
đối.
 Chú ý kết quả: sin 1; cos 1, .X X X  
Ví dụ 2.7: Khảo sát sự hội tụ của tích phân 
3
1
sin x dx
x
Bài tập Giải tích 
5 
BÀI TẬP CHƯƠNG 6
Bài 1: Tính các tích phân sau và cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ
1) 2
4
.
x
e dx
2) 
1
2 .xe dx
3) 4(2 ) .x dx
 4) 
1
.
xe dx
x
5) 
0
2 .4
dx
x 
6) 3
0
.xx e dx
7) 2 2
0
.
( 2)
xdx
x
8) 
2
3 .lne
dx
x x
9) .
ln lne
dx
x x x
 10) 2 .1
xdx
x
11) 
32 .xx e dx
 12) 
1
0
.dx
x 
13) 
1
2
0
.dx
x 14) 
1
2
0
.
1
xdx
x 
15) 
2 5
2
0
.
4
x dx
x 
16) 
1
0
.
(2 ) 1
dx
x x 
17) 
1
2
1
.dx
x 
18) 
4
2
0
.
( 1)
dx
x 
19)
1 3
0
(ln ) .x dx
x 20) 22
.
2
dx
x x
21)
1
0
.
1
xdx
x 
22) 2
0
sin .xdx
23) 
0 1/
3
1
.
xe dx
x 
24) 
2
2
0
ln .x xdx 
25) 
1
0
ln .x dx
x 
Bài 2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau 
1)
5 10
1
.
1
dx
x x x
2)
3 53
1
.
1 1
xdx
x x
3)
2 45
1
1 .
2 1
x x dx
x x
4)
3
2
1
2 .
2 1
x dx
x x
5) 2
1
1ln 1
.
1
x
x dx
x
6)
1
0
.
( 1)
dx
x x 
7)
2 35
sin
0
ln(1 ) .
1x
x dx
e
8)
1
2
0
.
sin
x dx
x 
9)
1
0
.
1x
dx
e 
10)
2
0
.
2
xdx
x
11)
3
0
.dx
x x
 12) 22
5 1 .
2
x dx
x
13) 
1
2(1 cos ) .dx
x
 14)
1
0
.
2
dx
x x 15) 
/2
0
.
sin
dx
x x
 16) 2 2
0
.
(1 )
dx
x
Bài 3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau 
1) 1 .
lne
dx
x
2)
1
ln(1 ) .x dx
x
 3) 
1
4
0
.
1
x dx
x 
 4) 
/2
0
.
cos
dx
x
5) 2
1
.
ln (1 )
dx
x
 6) 
1
0
.
1 cos
xe dx
x 7) 1
.
5 ln
dx
x x
8) 
2
1
.xe dx
9) 
4
0
.
2
dx
x 
10)
2
1
.
ln
dx
x 
11)
1
.
2 1
xe dx
x
12) 
2
2
0
.
2
dx
x x 
Bài tập Giải tích 
6 
13) 2
1
ln .
( 1)
x dx
x x
14)
1
0
.
cosx
dx
e x 
15)
1
2 2
0
2 .
(1 )(4 )
dx
x x 
16)
1
0
.
cos cos1
dx
x 
17)
1
3
0
.
( )x x
dx
x e e 
18)
1
2
0
ln .
1
x dx
x 
Bài 4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
1)
1
2 .
xe dx
x
2) 2
1
.
(1 )x
dx
x e
 3) 
2
0
sin .x dx
x
4)
2
3
1
1 .x dx
x
5) 
73
1
sin .
cos sin 2
x x dx
x x x
6)
3
1
arctan .
1
x x dx
x
 7)
1 2
33
0
sin .
1
x dx
x 
8) 
1
35
0
sin cos .
1
x xdx
x
9)
0
arctan .
2 x
x dx
e
10) 3
0
.
1
x dx
x
11)
4
1
1 .x dx
x x
12) 3/2
0
arctan .x dx
x
 13)
0
.
xe dx
x
14) 
2 2
3
0
cos .
1
x dx
x 
Bài 5: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
1)
0
cos .x dx
x
2) 3/2
/2
cos .x dx
x 
3) 2
0
cos .
1
x dx
x
4)
3
1
sin .x dx
x
5)
1
sin 3 .x dx
x
6) 2
1
1 cos .x dx
x
7)
0
s in2 .xe xdx
8) 
0
sin .
(1 )
x dx
x x
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tích phân suy rộng sau hội tụ 
1) 2
0
.
1 3 1
x m dx
x x
2) 1 .
(ln )me
dx
x x
3)
1
0
ln .mx xdx 
4)
1
0
ln(1 ) .m
x dx
x
5) 2
0
1( 1) arctan .mx dx
x
6)
 20
.
1
m
dx
x x